旋转解题技巧

巧旋转妙解题

1.理解旋转变换的作用是什么？

旋转可以移动图形的位置而不改变图形的形状、大小.

2.在什么情况下需要利用旋转变换？图形具备什么条件时可以实现旋转？

当图形过于分散或集中，无法有效利用时，需要移动图形，而移动图形的手段就是三种变换.当图形中只要存在共顶点的等线段时就可以实施旋转变换.

3. 怎么旋转？

确定旋转中心、旋转方向、旋转角度.

4.旋转之后怎么办？

利用旋转的性质.

对基本图形的认识：

以等边三角形为背景的旋转问题

举例1：如图，△中，∠＝120°，以为边向三角形外作等边△，把△绕着点A按逆时针方向旋转60°到△的位置.若＝2，＝3. 求：①∠的度数；②求的长.

练习 1.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，已知：115AOB ∠=︒，

125BOC ∠=︒，则以线段OA OB OC ，

，为边构成三角形的各角度数是多少？

2.如图，P 是等边ABC ∆内一点，若3AP =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．

3.如图所示，P 是等边ABC ∆内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC ∆的边长.

O

C

B

A

P

C

B

A 5

43B

4.如图所示，P 是等边ABC ∆中的一点，2PA =

，PB =，4PC =，试求ABC ∆的边长.

5.如图，P 是等边ABC ∆外的一点，3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．

A

B

P

6.如图所示，ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？

P

C

B

A

D C

B

A

以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题

举例1：已知，△中, ⊥于D,且是上一点，,连结并延长交于E.求证：OB

举例2：如图甲，在△中，∠为锐角．点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．

解答下列问题：

（1）如果，∠90º．

①当点D在线段上时（与点B不重合），如图乙，线段、之间的位置关系为，数量关系为．

②当点D在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果≠，∠≠90º，点D在线段上运动．

试探究：当△满足一个什么条件时，⊥（点C、F重合除外）？

画出相

应图

形，并

说明理由．（画图不写作法）

练习1.如图所示：ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，且3AP =，2CP =，1BP =，求BPC ∠的度数．

2.如图，正方形ABCD 内一点P ，15PAD PDA ∠=∠=︒，连结PB 、PC ，请问：PBC ∆是等边三角形吗？为什么？

123

P C

B A

D

A

3.如图所示，P 为正方形ABCD 内一点，若PA a =，2PB a =，3(0)PC a a =>.

求：⑴ APB ∠的度数；⑵ 正方形的边长.

4.如图，P 为正方形ABCD 内一点，123PA PD PC ===，，，将PDC ∆绕着D 点按逆时针旋转90︒到PQD ∆ 的位置。

（1）求:PQ PD 的值；（2）求APD ∠的度数。

P

D

C B A P

B A

5.

已知：PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P ，D 两点落在直线AB 的两侧如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；当

APB ∠变化，

且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应的APB ∠的大小。

以一般等腰三角形为背景的旋转问题

举例1:(1)如图①，已知在△中，，P 是△内部任意一点，将绕A 顺时针旋转至，使∠∠，连接、，求证：.

(2)将点P 移到等腰三角形之外，(1)中的条件不变， “”还 成立吗？

举例2：在等腰△中，＝，D 是△内一点，∠＝ ∠，

A

Q

B

P

C

Q

P

C

B

A

P D

C

B

A

求证：∠＝∠.

练习1.在ABC

∠>∠，

=，P是ABC

∆中，AB AC

∆内任意一点，已知APC APB 求证：PB PC

>．

A

P

B

C