1994年高考(理工农医类)数学

1994年普通高等学校招生全国统一考试

数学

(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题共65分)

一、选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则

(A){0} (B){0,1} (C){0,1,4} (D){0,1,2,3,4}

【】

(2)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是

(A)(0,+∞) (B)(0,2) (C)(1,+∞) (D)(0,1)

【】

(A)双曲线(B)椭圆 (C)抛物线(D)圆

【】

(4)设θ是第二象限的角,则必有

【】

(5)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成

(A)511个(B)512个(C)1023个(D)1024个

【】

(A)y=sin2x+cos4x (B)y=sin2xcos4x

(C)y=sin2x+cos2x (D)y=sin2xcos2x

【】(7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为

【】

∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是

【】(9)如果复数z满足│z+i│+│z-i│=2,那么│z+i+1│的最小值是

【】(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有

(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种

【】(11)对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是

【】

【】(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,

则球面面积是

【】

【】(15)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数

h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么

【】

第Ⅱ卷(非选择题共85分)

二、填空题(本大题共5小题,共6个空格;每空格4分,共24分.把答案填在题中横线上)

16.在(3-x)7的展开式中,x5的系数是 .(用数字作答)

17.抛物线y2=8-4x的准线方程是 ,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 .

19.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2,圆锥顶点到直线AB的

20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到

a1,a2,…a n,共n个数据,我们规定所测量物理量的"最佳近似值"a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,a n推出的

a= .

三、解答题(本大题共5小题,共61分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)

21.(本小题满分11分)

已知z=1+i.

22.(本小题满分12分)

23.(本小题满分12分)

如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.

(1)证明AB1∥平面DBC1;

(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.

24.(本小题满分12分)

已知直线l过坐标原点,抛物线C顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.

25.(本小题满分14分)

设{a n}是正数组成的数列,其前n项和为S n,并且对于所有的自然数n,a n与2的等差中项等于S n与2的等比中项.

(1)写出数列{a n}的前3项;

(2)求数列{a n}的通项公式(写出推证过程);

1994年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答

一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)

1.C

2.D

3.D

4.A

5.B

6.D

7.B

8.A

9.A 10.C

11.C 12.B 13.D 14.B 15.C

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)

三、解答题

21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.

解:(1)由z＝1+i,有

ω的三角形式是

(2)由z=1+i,有

由题设条件知(a+2)-(a+b)i=1-i.

22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力.

证明:

且0

0

23.本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.

(1)证明:

∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,

∴四边形B1BCC1是矩形.

连结B1C交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.

在△AB1C中,

∵AD=DC,

∴DE∥AB1.

∴AB1∥平面DBC1.

(2)解:作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.

∵AB1⊥BC1,

由(1)知AB1∥DE,

∴DE⊥BC1,

则BC1⊥EF,

∴∠DEF是二面角α的平面角.

∵△ABC是正三角形,

∴在Rt△DCF中,

取BC中点G.

∵EB=EC,

∴EG⊥BC.

在Rt△BEF中,

∴∠DEF=45°.

故二面角α为45°.

24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力.

解法一:依题设抛物线C的方程可写为

y2=2px (p>0),

且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为

y=kx (k≠0). ①

设A'、B'分别是A、B关于l的对称点,因而A'A⊥l,直线A'A的方程为

②

又M为AA'的中点,从而点A'的坐标为

③

同理得点B'的坐标为

④

又A'、B'均在抛物线y2=2px(p>0)上,由③得

.