新教材人教版高中数学必修第二册 6.1 平面向量的概念

6．1 平面向量的概念

考点

学习目标

核心素养 平面向量的相关概念

了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念

数学抽象

平面向量的几何表示 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念

数学抽象

相等向量与共线向量 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念

数学抽象、逻辑推理

问题导学

预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？

4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →

是相等向量吗？

1．向量的概念及表示

(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段

①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →

．

④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →

|. (3)向量的表示

■名师点拨

(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．

(2)用有向线段表示向量时，要注意AB →

的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．

2．向量的有关概念

(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →

|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系

(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．

(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( )

(5)向量AB →与向量BA →

是相等向量．( )

(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )

A ．也可以用MN →

表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M

答案：D

已知点O 固定，且|OA →

|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定

答案：C

如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED →

相等的向量有________．

答案：AB →，DC →

向量的相关概念

给出下列命题：

①若AB →＝DC →

，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →

； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .

其中所有正确命题的序号为________．

【解析】 AB →＝DC →

，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →

，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．

【答案】 ②③

(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

1．下列说法中正确的是( )

A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C ．向量的大小与方向有关

D ．向量的模可以比较大小

解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D 正确．

2．下列说法正确的是( )

A ．向量A

B →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →

所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量与任一向量平行

D ．共线向量是在一条直线上的向量

解析：选C.向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →

所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．

向量的表示

在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)OA →，使|OA →

|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →

|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →

|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．