数理经济学

2011-4-30 IV.9/10.6 GuoSipei@CCNUMATH
• 相对极值的一阶导数检验
在一阶导数为0的基础上增加一些附加条件,可得到 相对极值检验的重要方法 若函数f(x)在x=x0处的一阶导数为0,即f’(x0)=0 则函数在x0的值f(x0)将是:
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IV.9/10.7
2011-4-30 IV.9/10.28 GuoSipei@CCNUMATH
第10章 指数函数与对数函数 章
• 指数函数的性质
简单的指数函数:y=f(t)=bt (b>1) 图形特征:处处连续且平滑,因此是处处可微的;严 格递增的,且速率保持一致,因此一阶和二阶导数为 正;函数定义域包含正数和负数,函数值域为正数 一般化的指数函数:y=abct 优先选用的底:e 函数et的导数为其自身!
如果我们要运用的成本函数为如下形式,则需要3+bQ2+cQ+d
MC函数必须处处为正,即当MC函数的绝对极小值为正的 时候可以保证这一点! MC=C’(Q)=3aQ2+2bQ+c,起码须抛物线开口向上,即 a>0 还需要MCmin>0
– MC的极小值出现在 – 满足一阶条件的产出水平是 >0,那么b<0 – 二阶导数为正: – 代入MC表达式中,求MCmin有如下结果,那么b2>3ac,且c>0:
2011-4-30
IV.9/10.23
GuoSipei@CCNUMATH
• 拉格朗日型的余项 若刚好有 则泰勒级数被称为在展开 点收敛到φ(x),并可以写成下列收敛无穷级数: φ ( x0 ) φ ' ( x0 ) φ ' ' ( x0 ) φ ( x) = + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ... 0! 1! 2!
• 对于风险的态度
事前支付固定数目的货币(游戏成本),扔色子,如果出现奇数 则得到回报10美元,如果出现偶数则得到回报20美元.
两种结果出现的概率相同,则回报的数学期望为 EV=0.5*10+0.5*20=15 游戏成本设为15元,上述游戏称为“公平游戏”,但风险的存在是显 而易见的.
如果潜在的玩家有严格凹的效用函数U,并且 U(0)=0,U’(x)>0,U’’(x)<0,那么,个人所面对的经济决策 涉及两种行为的选择:
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IV.9/10.24
GuoSipei@CCNUMATH
一元函数相对极值的n阶导数检验 一元函数相对极值的 阶导数检验
• 泰勒展开式与相对极值
相对极值的重新定义:对于在x0最近邻域内的x值 (包括x0左右两边的x值),如果f(x)-f(x0)为负(正), 则函数f(x)达到极大(极小)值. 运用前述泰勒展开和拉格朗日型余项:
求平均成本函数的相对极值:AC=f(Q)=Q2-5Q+8
导数f’(Q)=2Q-5,令其为0,则Q*=2.5 应用一阶导数检验:
– f’(2.4)=-0.2<0,f’(2.6)=0.2>0 – 稳定值f’(2.5)=1.75是相对极小值
2011-4-30
IV.9/10.9
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若上式小于0,则意味着MR的变化率低于MC的变化率,即 该产出使得利润最大化
2011-4-30
IV.9/10.15
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2011-4-30
IV.9/10.16
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例
2011-4-30
IV.9/10.17
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• 三次总成本函数的系数
2011-4-30
IV.9/10.3
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最优化的实质就是求出那些能够使目标函数达到极 值的选择变量的值的集合
系统地阐述一个最优化问题,首先要确定目标函数,其中 因变量表示最大化或最小化的对象,而自变量则表示这样 一组对象,其大小由所涉及的经济单位出于最优化的考虑 而进行选择,常被称为“选择变量” 某厂商可能寻求利润π最大化,即最大化总收益R与总成 本C的差.因为在给定技术水平和市场对该厂商产品需求 的情况下,R与C均为产出水平Q的函数,所以π也可以表示 成Q的函数: π(Q)=R(Q)-C(Q).此方程构成目标函数, π 是最大化目标,Q则是唯一的选择变量,最优化问题就是选 择产出水平Q使得π最大化!
2011-4-30
IV.9/10.10
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严格凹函数:如果在曲线上选择任意两个点M和N并 以一条直线将他们连接起来,线段MN完全位于曲线 下方 严格凸函数:如果在曲线上选择任意两个点M和N并 以一条直线将他们连接起来,线段MN完全位于曲线 上方
2011-4-30 IV.9/10.11 GuoSipei@CCNUMATH
d表示固定成本,应大于0
2011-4-30 IV.9/10.19 GuoSipei@CCNUMATH
• 向上倾斜的边际收益曲线
在前述的例图中边际收益曲线被表示成处处向下倾 斜的曲线,这是在不完全竞争条件下厂商MR曲线的 传统画法,我们不能排除MR曲线部分或全部向上倾 斜的可能 给定平均收益函数AR=f(Q),边际收益为 MR=f(Q)+Qf’(Q) [R=AR•Q,MR=R’] MR曲线的斜率为: MR :
经济学基本上是关于选择的科学,要实现一个特定 的经济目标,如要实现一个特定水平的产出,通常有 许多可供选择的方式,但在诸多选择中,按照某一标 准,会有一种方式会比其他方式更好 经济学中最常见的选择标准是最大化目标或最小化 目标,它们都归为最优化问题,表示“寻求最优” 纯数学角度下,“极值”并无最优化的含义
IV.9/10.22
GuoSipei@CCNUMATH
• 多项式函数的泰勒级数(在任意点x=x0附近展开)
对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn的 展开,泰勒公式如下:
• 任意函数的展开
给定任意函数φ(x),如果我们知道此函数在x0的值,和 各阶导数值,则此函数可在点x0的邻域展开如下:
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上述前两种可能性见前页图中(b),关于第三种可能 性,可称其为“拐点”
相对极值必为稳定值(f’(x)=0),而稳定值或者是相 对极值或者是拐点 因此,求给定函数的极值时先求稳定值,再用一阶导 数检验法确定该稳定值是极值还是拐点
2011-4-30 IV.9/10.8 GuoSipei@CCNUMATH
不参加游戏,节省游戏成本15元,并享受15元的效用; 参加游戏,游戏的期望效用就是EU= 0.5*10+0.5*20=15 下页图非常清楚地表明两种选择下的效用差别,玩家的最终选择明确
如果玩家有严格凸的效用函数则选择与上述过程相反 两种玩家对待风险的态度与其效用函数的凹凸相联系
2011-4-30 IV.9/10.12 GuoSipei@CCNUMATH
二阶及高阶导数
• 导数的导数
对于我们所研究的一般函数,总假设它有可达到我 们所需要的阶数的导数
• 二阶导数的解释
一阶导函数f’度量函数f的变化率,二阶导函数f’’度量 导函数f’的变化率 二阶导数与曲线的曲率相联系:对所有x,f’’(x)<0 则原函数必为严格凹函数;若对所有x,f’’(x)>0则 原函数必为凸函数.
2011-4-30
IV.9/10.25
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• 某些特例
f’(x0)≠0 f’(x0)=0, f’’(x0)≠0
f’(x0)=f’’(x0)=0, f’’’(x0)≠0
2011-4-30
IV.9/10.26
GuoSipei@CCNUMATH
f’(x0)=f’’(x0)=…=f(N-1)(x0)=0, f(N)(x0)≠0
第四篇 最优化问题
• 第9章 最优化:一类特殊的均衡分析
最优值与极值 相对极大值和极小值：一阶导数检验 二阶及高阶导数 二阶导数检验 麦克劳林级数与泰勒级数 一元函数相对极值的n阶导数检验
2011-4-30
IV.9/10.1
GuoSipei@CCNUMATH
第9章 最优化 一类特殊的均衡分析 章 最优化:一类特殊的均衡分析
U(x)
A U(15) EU M B
N
10
15
20
x
2011-4-30
IV.9/10.13
GuoSipei@CCNUMATH
二阶导数检验
• 相对极值的二阶导数检验
• 必要条件与充分条件
一阶条件仅是相对极值的必要条件,但非充分条件 二阶条件是相对极值存在的充分条件而非必要条件
2011-4-30
IV.9/10.14
麦克劳林级数与泰勒级数
• 在x0附近展开函数y=f(x)意味着把此函数变换 成一个多项式,其中各项系数均以导数来表示, 所有导数都在展开点x0处计算其值 • 多项式函数的麦克劳林级数(在x=0处展开)
对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 的展开,麦克劳林公式如下:
2011-4-30
d MR = −46 + 6.6Q − 0.216Q 2 dQ
意义:MR曲线上存在正斜率的弧段具有有趣的含义, 这样的MR曲线可能会与MC曲线产生不止一个满足 利润最大化二阶充分条件的交点.但尽管这些交点 构成局部最优,但仅只有一个是厂商追求的全局最 优.
2011-4-30
IV.9/10.21
GuoSipei@CCNUMATH
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