数理经济学
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可见,只要AR曲线向下倾斜(不完全竞争的市场中),则 2f’(Q)<0 而AR函数的二阶导数符号由AR曲线的凹凸性所决定.如 果AR曲线是严格凸的,那么正的Qf’’(Q)是可以使其与 2f’(Q)的和大于0的!
2011-4-30 IV.9/10.20 GuoSipei@CCNUMATH
例:平均收益函数
2011-4-30 IV.9/10.6 GuoSipei@CCNUMATH
• 相对极值的一阶导数检验
在一阶导数为0的基础上增加一些附加条件,可得到 相对极值检验的重要方法 若函数f(x)在x=x0处的一阶导数为0,即f’(x0)=0 则函数在x0的值f(x0)将是:
2011-4-30
IV.9/10.7
源自文库
d表示固定成本,应大于0
2011-4-30 IV.9/10.19 GuoSipei@CCNUMATH
• 向上倾斜的边际收益曲线
在前述的例图中边际收益曲线被表示成处处向下倾 斜的曲线,这是在不完全竞争条件下厂商MR曲线的 传统画法,我们不能排除MR曲线部分或全部向上倾 斜的可能 给定平均收益函数AR=f(Q),边际收益为 MR=f(Q)+Qf’(Q) [R=AR•Q,MR=R’] MR曲线的斜率为: MR :
2011-4-30
IV.9/10.23
GuoSipei@CCNUMATH
• 拉格朗日型的余项 若刚好有 则泰勒级数被称为在展开 点收敛到φ(x),并可以写成下列收敛无穷级数: φ ( x0 ) φ ' ( x0 ) φ ' ' ( x0 ) φ ( x) = + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ... 0! 1! 2!
2011-4-30
IV.9/10.25
GuoSipei@CCNUMATH
• 某些特例
f’(x0)≠0 f’(x0)=0, f’’(x0)≠0
f’(x0)=f’’(x0)=0, f’’’(x0)≠0
2011-4-30
IV.9/10.26
GuoSipei@CCNUMATH
f’(x0)=f’’(x0)=…=f(N-1)(x0)=0, f(N)(x0)≠0
IV.9/10.22
GuoSipei@CCNUMATH
• 多项式函数的泰勒级数(在任意点x=x0附近展开)
对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn的 展开,泰勒公式如下:
• 任意函数的展开
给定任意函数φ(x),如果我们知道此函数在x0的值,和 各阶导数值,则此函数可在点x0的邻域展开如下:
d MR = −46 + 6.6Q − 0.216Q 2 dQ
意义:MR曲线上存在正斜率的弧段具有有趣的含义, 这样的MR曲线可能会与MC曲线产生不止一个满足 利润最大化二阶充分条件的交点.但尽管这些交点 构成局部最优,但仅只有一个是厂商追求的全局最 优.
2011-4-30
IV.9/10.21
GuoSipei@CCNUMATH
• N阶导数检验
2011-4-30
IV.9/10.27
GuoSipei@CCNUMATH
练习
• 某厂商有如下总成本函数与总需求函数:
此总成本函数是否满足系数限制 写出以Q表示的总收益函数R和总利润函数π 求出利润最大化的产出水平Q* 最大利润是多少?
• 用下列步骤验证前例中的AR曲线具有负的斜率
以S表示AR的斜率;写出S的表达式 运用二阶导数检验,求S的极大值Smax 由Smax的值判断出AR曲线的斜率为负
如果我们要运用的成本函数为如下形式,则需要对 参数加以适当的限制以防止曲线向下倾斜 C=C(Q)=aQ3+bQ2+cQ+d
MC函数必须处处为正,即当MC函数的绝对极小值为正的 时候可以保证这一点! MC=C’(Q)=3aQ2+2bQ+c,起码须抛物线开口向上,即 a>0 还需要MCmin>0
– MC的极小值出现在 – 满足一阶条件的产出水平是 >0,那么b<0 – 二阶导数为正: – 代入MC表达式中,求MCmin有如下结果,那么b2>3ac,且c>0:
U(x)
A U(15) EU M B
N
10
15
20
x
2011-4-30
IV.9/10.13
GuoSipei@CCNUMATH
二阶导数检验
• 相对极值的二阶导数检验
• 必要条件与充分条件
一阶条件仅是相对极值的必要条件,但非充分条件 二阶条件是相对极值存在的充分条件而非必要条件
2011-4-30
IV.9/10.14
2011-4-30
IV.9/10.10
GuoSipei@CCNUMATH
严格凹函数:如果在曲线上选择任意两个点M和N并 以一条直线将他们连接起来,线段MN完全位于曲线 下方 严格凸函数:如果在曲线上选择任意两个点M和N并 以一条直线将他们连接起来,线段MN完全位于曲线 上方
2011-4-30 IV.9/10.11 GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30 IV.9/10.28 GuoSipei@CCNUMATH
第10章 指数函数与对数函数 章
• 指数函数的性质
简单的指数函数:y=f(t)=bt (b>1) 图形特征:处处连续且平滑,因此是处处可微的;严 格递增的,且速率保持一致,因此一阶和二阶导数为 正;函数定义域包含正数和负数,函数值域为正数 一般化的指数函数:y=abct 优先选用的底:e 函数et的导数为其自身!
• 目标均衡将是我们研究的主要内容
所谓目标均衡是指给定经济单位,如居民户,厂商或 整个经济等的最优状态,而且这些经济单位主动谋 求均衡的实现
• 最优化的古典方法:微积分法 • 现代的方法:数学规划
2011-4-30
IV.9/10.2
GuoSipei@CCNUMATH
最优值与极值
• 最优化问题的实质:从众多方式中选择最适宜的 方式
求平均成本函数的相对极值:AC=f(Q)=Q2-5Q+8
导数f’(Q)=2Q-5,令其为0,则Q*=2.5 应用一阶导数检验:
– f’(2.4)=-0.2<0,f’(2.6)=0.2>0 – 稳定值f’(2.5)=1.75是相对极小值
2011-4-30
IV.9/10.9
GuoSipei@CCNUMATH
• 对于风险的态度
事前支付固定数目的货币(游戏成本),扔色子,如果出现奇数 则得到回报10美元,如果出现偶数则得到回报20美元.
两种结果出现的概率相同,则回报的数学期望为 EV=0.5*10+0.5*20=15 游戏成本设为15元,上述游戏称为“公平游戏”,但风险的存在是显 而易见的.
如果潜在的玩家有严格凹的效用函数U,并且 U(0)=0,U’(x)>0,U’’(x)<0,那么,个人所面对的经济决策 涉及两种行为的选择:
GuoSipei@CCNUMATH
上述前两种可能性见前页图中(b),关于第三种可能 性,可称其为“拐点”
相对极值必为稳定值(f’(x)=0),而稳定值或者是相 对极值或者是拐点 因此,求给定函数的极值时先求稳定值,再用一阶导 数检验法确定该稳定值是极值还是拐点
2011-4-30 IV.9/10.8 GuoSipei@CCNUMATH
传统的总成本函数的两个“纽动”,形成一个凹弧 (递减的边际成本)和一个凸弧(递增的边际成本),三 次函数有两次转折所以可以合适地充当这一角色, 但应避免向下倾斜的弧段(总成本函数的经济意义 要求更大的产出要承担更高的成本,所以成本函数 曲线要始终保持向上倾斜)
2011-4-30
IV.9/10.18
GuoSipei@CCNUMATH
二阶及高阶导数
• 导数的导数
对于我们所研究的一般函数,总假设它有可达到我 们所需要的阶数的导数
• 二阶导数的解释
一阶导函数f’度量函数f的变化率,二阶导函数f’’度量 导函数f’的变化率 二阶导数与曲线的曲率相联系:对所有x,f’’(x)<0 则原函数必为严格凹函数;若对所有x,f’’(x)>0则 原函数必为凸函数.
若上式小于0,则意味着MR的变化率低于MC的变化率,即 该产出使得利润最大化
2011-4-30
IV.9/10.15
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.9/10.16
GuoSipei@CCNUMATH
例
2011-4-30
IV.9/10.17
GuoSipei@CCNUMATH
• 三次总成本函数的系数
GuoSipei@CCNUMATH
• 一阶导数检验
给定函数y=f(x),其一阶导数f’(x)在寻求极值方面起着重要 作用:若在x=x0处存在极值,则(1)f’(x)不存在;或者 (2)f’(x0)=0
对于常用假设y=f(x)连续且具有连续偏导数,则排除了类似 (a)中的角点. 平滑的函数,相对极值仅在一阶导数为0处存在,即斜率为0 是极值存在的必要条件(并非充分条件)
2011-4-30
IV.9/10.24
GuoSipei@CCNUMATH
一元函数相对极值的n阶导数检验 一元函数相对极值的 阶导数检验
• 泰勒展开式与相对极值
相对极值的重新定义:对于在x0最近邻域内的x值 (包括x0左右两边的x值),如果f(x)-f(x0)为负(正), 则函数f(x)达到极大(极小)值. 运用前述泰勒展开和拉格朗日型余项:
*以下的讨论中,对于一般函数y=f(x),都假定函数f连 续可导.
2011-4-30 IV.9/10.4 GuoSipei@CCNUMATH
相对极大值和极小值:一阶导数检验 相对极大值和极小值 一阶导数检验
• 相对极值与绝对极值
此后我们所讨论的极值都是指相对或局部极值
2011-4-30
IV.9/10.5
第四篇 最优化问题
• 第9章 最优化:一类特殊的均衡分析
最优值与极值 相对极大值和极小值：一阶导数检验 二阶及高阶导数 二阶导数检验 麦克劳林级数与泰勒级数 一元函数相对极值的n阶导数检验
2011-4-30
IV.9/10.1
GuoSipei@CCNUMATH
第9章 最优化 一类特殊的均衡分析 章 最优化:一类特殊的均衡分析
麦克劳林级数与泰勒级数
• 在x0附近展开函数y=f(x)意味着把此函数变换 成一个多项式,其中各项系数均以导数来表示, 所有导数都在展开点x0处计算其值 • 多项式函数的麦克劳林级数(在x=0处展开)
对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 的展开,麦克劳林公式如下:
2011-4-30
2011-4-30
IV.9/10.3
GuoSipei@CCNUMATH
最优化的实质就是求出那些能够使目标函数达到极 值的选择变量的值的集合
系统地阐述一个最优化问题,首先要确定目标函数,其中 因变量表示最大化或最小化的对象,而自变量则表示这样 一组对象,其大小由所涉及的经济单位出于最优化的考虑 而进行选择,常被称为“选择变量” 某厂商可能寻求利润π最大化,即最大化总收益R与总成 本C的差.因为在给定技术水平和市场对该厂商产品需求 的情况下,R与C均为产出水平Q的函数,所以π也可以表示 成Q的函数: π(Q)=R(Q)-C(Q).此方程构成目标函数, π 是最大化目标,Q则是唯一的选择变量,最优化问题就是选 择产出水平Q使得π最大化!
经济学基本上是关于选择的科学,要实现一个特定 的经济目标,如要实现一个特定水平的产出,通常有 许多可供选择的方式,但在诸多选择中,按照某一标 准,会有一种方式会比其他方式更好 经济学中最常见的选择标准是最大化目标或最小化 目标,它们都归为最优化问题,表示“寻求最优” 纯数学角度下,“极值”并无最优化的含义
不参加游戏,节省游戏成本15元,并享受15元的效用; 参加游戏,游戏的期望效用就是EU= 0.5*10+0.5*20=15 下页图非常清楚地表明两种选择下的效用差别,玩家的最终选择明确
如果玩家有严格凸的效用函数则选择与上述过程相反 两种玩家对待风险的态度与其效用函数的凹凸相联系
2011-4-30 IV.9/10.12 GuoSipei@CCNUMATH
GuoSipei@CCNUMATH
• 利润最大化的条件
厂商使边际成本等于边际收益,实现利润最大化 总收益函数R=R(Q),总成本函数C=C(Q)二者均是 单一变量Q的函数,利润函数(即目标函数)为:π= π(Q)=R(Q)-C(Q) 一阶必要条件:dπ=π‘(Q)=R’(Q)-C’(Q)=0因此 最优(均衡)产出必须满足方程R’(Q*)=C’(Q*),即 MR=MC 二阶条件:
2011-4-30 IV.9/10.20 GuoSipei@CCNUMATH
例:平均收益函数
2011-4-30 IV.9/10.6 GuoSipei@CCNUMATH
• 相对极值的一阶导数检验
在一阶导数为0的基础上增加一些附加条件,可得到 相对极值检验的重要方法 若函数f(x)在x=x0处的一阶导数为0,即f’(x0)=0 则函数在x0的值f(x0)将是:
2011-4-30
IV.9/10.7
源自文库
d表示固定成本,应大于0
2011-4-30 IV.9/10.19 GuoSipei@CCNUMATH
• 向上倾斜的边际收益曲线
在前述的例图中边际收益曲线被表示成处处向下倾 斜的曲线,这是在不完全竞争条件下厂商MR曲线的 传统画法,我们不能排除MR曲线部分或全部向上倾 斜的可能 给定平均收益函数AR=f(Q),边际收益为 MR=f(Q)+Qf’(Q) [R=AR•Q,MR=R’] MR曲线的斜率为: MR :
2011-4-30
IV.9/10.23
GuoSipei@CCNUMATH
• 拉格朗日型的余项 若刚好有 则泰勒级数被称为在展开 点收敛到φ(x),并可以写成下列收敛无穷级数: φ ( x0 ) φ ' ( x0 ) φ ' ' ( x0 ) φ ( x) = + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ... 0! 1! 2!
2011-4-30
IV.9/10.25
GuoSipei@CCNUMATH
• 某些特例
f’(x0)≠0 f’(x0)=0, f’’(x0)≠0
f’(x0)=f’’(x0)=0, f’’’(x0)≠0
2011-4-30
IV.9/10.26
GuoSipei@CCNUMATH
f’(x0)=f’’(x0)=…=f(N-1)(x0)=0, f(N)(x0)≠0
IV.9/10.22
GuoSipei@CCNUMATH
• 多项式函数的泰勒级数(在任意点x=x0附近展开)
对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn的 展开,泰勒公式如下:
• 任意函数的展开
给定任意函数φ(x),如果我们知道此函数在x0的值,和 各阶导数值,则此函数可在点x0的邻域展开如下:
d MR = −46 + 6.6Q − 0.216Q 2 dQ
意义:MR曲线上存在正斜率的弧段具有有趣的含义, 这样的MR曲线可能会与MC曲线产生不止一个满足 利润最大化二阶充分条件的交点.但尽管这些交点 构成局部最优,但仅只有一个是厂商追求的全局最 优.
2011-4-30
IV.9/10.21
GuoSipei@CCNUMATH
• N阶导数检验
2011-4-30
IV.9/10.27
GuoSipei@CCNUMATH
练习
• 某厂商有如下总成本函数与总需求函数:
此总成本函数是否满足系数限制 写出以Q表示的总收益函数R和总利润函数π 求出利润最大化的产出水平Q* 最大利润是多少?
• 用下列步骤验证前例中的AR曲线具有负的斜率
以S表示AR的斜率;写出S的表达式 运用二阶导数检验,求S的极大值Smax 由Smax的值判断出AR曲线的斜率为负
如果我们要运用的成本函数为如下形式,则需要对 参数加以适当的限制以防止曲线向下倾斜 C=C(Q)=aQ3+bQ2+cQ+d
MC函数必须处处为正,即当MC函数的绝对极小值为正的 时候可以保证这一点! MC=C’(Q)=3aQ2+2bQ+c,起码须抛物线开口向上,即 a>0 还需要MCmin>0
– MC的极小值出现在 – 满足一阶条件的产出水平是 >0,那么b<0 – 二阶导数为正: – 代入MC表达式中,求MCmin有如下结果,那么b2>3ac,且c>0:
U(x)
A U(15) EU M B
N
10
15
20
x
2011-4-30
IV.9/10.13
GuoSipei@CCNUMATH
二阶导数检验
• 相对极值的二阶导数检验
• 必要条件与充分条件
一阶条件仅是相对极值的必要条件,但非充分条件 二阶条件是相对极值存在的充分条件而非必要条件
2011-4-30
IV.9/10.14
2011-4-30
IV.9/10.10
GuoSipei@CCNUMATH
严格凹函数:如果在曲线上选择任意两个点M和N并 以一条直线将他们连接起来,线段MN完全位于曲线 下方 严格凸函数:如果在曲线上选择任意两个点M和N并 以一条直线将他们连接起来,线段MN完全位于曲线 上方
2011-4-30 IV.9/10.11 GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30 IV.9/10.28 GuoSipei@CCNUMATH
第10章 指数函数与对数函数 章
• 指数函数的性质
简单的指数函数:y=f(t)=bt (b>1) 图形特征:处处连续且平滑,因此是处处可微的;严 格递增的,且速率保持一致,因此一阶和二阶导数为 正;函数定义域包含正数和负数,函数值域为正数 一般化的指数函数:y=abct 优先选用的底:e 函数et的导数为其自身!
• 目标均衡将是我们研究的主要内容
所谓目标均衡是指给定经济单位,如居民户,厂商或 整个经济等的最优状态,而且这些经济单位主动谋 求均衡的实现
• 最优化的古典方法:微积分法 • 现代的方法:数学规划
2011-4-30
IV.9/10.2
GuoSipei@CCNUMATH
最优值与极值
• 最优化问题的实质:从众多方式中选择最适宜的 方式
求平均成本函数的相对极值:AC=f(Q)=Q2-5Q+8
导数f’(Q)=2Q-5,令其为0,则Q*=2.5 应用一阶导数检验:
– f’(2.4)=-0.2<0,f’(2.6)=0.2>0 – 稳定值f’(2.5)=1.75是相对极小值
2011-4-30
IV.9/10.9
GuoSipei@CCNUMATH
• 对于风险的态度
事前支付固定数目的货币(游戏成本),扔色子,如果出现奇数 则得到回报10美元,如果出现偶数则得到回报20美元.
两种结果出现的概率相同,则回报的数学期望为 EV=0.5*10+0.5*20=15 游戏成本设为15元,上述游戏称为“公平游戏”,但风险的存在是显 而易见的.
如果潜在的玩家有严格凹的效用函数U,并且 U(0)=0,U’(x)>0,U’’(x)<0,那么,个人所面对的经济决策 涉及两种行为的选择:
GuoSipei@CCNUMATH
上述前两种可能性见前页图中(b),关于第三种可能 性,可称其为“拐点”
相对极值必为稳定值(f’(x)=0),而稳定值或者是相 对极值或者是拐点 因此,求给定函数的极值时先求稳定值,再用一阶导 数检验法确定该稳定值是极值还是拐点
2011-4-30 IV.9/10.8 GuoSipei@CCNUMATH
传统的总成本函数的两个“纽动”,形成一个凹弧 (递减的边际成本)和一个凸弧(递增的边际成本),三 次函数有两次转折所以可以合适地充当这一角色, 但应避免向下倾斜的弧段(总成本函数的经济意义 要求更大的产出要承担更高的成本,所以成本函数 曲线要始终保持向上倾斜)
2011-4-30
IV.9/10.18
GuoSipei@CCNUMATH
二阶及高阶导数
• 导数的导数
对于我们所研究的一般函数,总假设它有可达到我 们所需要的阶数的导数
• 二阶导数的解释
一阶导函数f’度量函数f的变化率,二阶导函数f’’度量 导函数f’的变化率 二阶导数与曲线的曲率相联系:对所有x,f’’(x)<0 则原函数必为严格凹函数;若对所有x,f’’(x)>0则 原函数必为凸函数.
若上式小于0,则意味着MR的变化率低于MC的变化率,即 该产出使得利润最大化
2011-4-30
IV.9/10.15
GuoSipei@CCNUMATH
2011-4-30
IV.9/10.16
GuoSipei@CCNUMATH
例
2011-4-30
IV.9/10.17
GuoSipei@CCNUMATH
• 三次总成本函数的系数
GuoSipei@CCNUMATH
• 一阶导数检验
给定函数y=f(x),其一阶导数f’(x)在寻求极值方面起着重要 作用:若在x=x0处存在极值,则(1)f’(x)不存在;或者 (2)f’(x0)=0
对于常用假设y=f(x)连续且具有连续偏导数,则排除了类似 (a)中的角点. 平滑的函数,相对极值仅在一阶导数为0处存在,即斜率为0 是极值存在的必要条件(并非充分条件)
2011-4-30
IV.9/10.24
GuoSipei@CCNUMATH
一元函数相对极值的n阶导数检验 一元函数相对极值的 阶导数检验
• 泰勒展开式与相对极值
相对极值的重新定义:对于在x0最近邻域内的x值 (包括x0左右两边的x值),如果f(x)-f(x0)为负(正), 则函数f(x)达到极大(极小)值. 运用前述泰勒展开和拉格朗日型余项:
*以下的讨论中,对于一般函数y=f(x),都假定函数f连 续可导.
2011-4-30 IV.9/10.4 GuoSipei@CCNUMATH
相对极大值和极小值:一阶导数检验 相对极大值和极小值 一阶导数检验
• 相对极值与绝对极值
此后我们所讨论的极值都是指相对或局部极值
2011-4-30
IV.9/10.5
第四篇 最优化问题
• 第9章 最优化:一类特殊的均衡分析
最优值与极值 相对极大值和极小值：一阶导数检验 二阶及高阶导数 二阶导数检验 麦克劳林级数与泰勒级数 一元函数相对极值的n阶导数检验
2011-4-30
IV.9/10.1
GuoSipei@CCNUMATH
第9章 最优化 一类特殊的均衡分析 章 最优化:一类特殊的均衡分析
麦克劳林级数与泰勒级数
• 在x0附近展开函数y=f(x)意味着把此函数变换 成一个多项式,其中各项系数均以导数来表示, 所有导数都在展开点x0处计算其值 • 多项式函数的麦克劳林级数(在x=0处展开)
对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 的展开,麦克劳林公式如下:
2011-4-30
2011-4-30
IV.9/10.3
GuoSipei@CCNUMATH
最优化的实质就是求出那些能够使目标函数达到极 值的选择变量的值的集合
系统地阐述一个最优化问题,首先要确定目标函数,其中 因变量表示最大化或最小化的对象,而自变量则表示这样 一组对象,其大小由所涉及的经济单位出于最优化的考虑 而进行选择,常被称为“选择变量” 某厂商可能寻求利润π最大化,即最大化总收益R与总成 本C的差.因为在给定技术水平和市场对该厂商产品需求 的情况下,R与C均为产出水平Q的函数,所以π也可以表示 成Q的函数: π(Q)=R(Q)-C(Q).此方程构成目标函数, π 是最大化目标,Q则是唯一的选择变量,最优化问题就是选 择产出水平Q使得π最大化!
经济学基本上是关于选择的科学,要实现一个特定 的经济目标,如要实现一个特定水平的产出,通常有 许多可供选择的方式,但在诸多选择中,按照某一标 准,会有一种方式会比其他方式更好 经济学中最常见的选择标准是最大化目标或最小化 目标,它们都归为最优化问题,表示“寻求最优” 纯数学角度下,“极值”并无最优化的含义
不参加游戏,节省游戏成本15元,并享受15元的效用; 参加游戏,游戏的期望效用就是EU= 0.5*10+0.5*20=15 下页图非常清楚地表明两种选择下的效用差别,玩家的最终选择明确
如果玩家有严格凸的效用函数则选择与上述过程相反 两种玩家对待风险的态度与其效用函数的凹凸相联系
2011-4-30 IV.9/10.12 GuoSipei@CCNUMATH
GuoSipei@CCNUMATH
• 利润最大化的条件
厂商使边际成本等于边际收益,实现利润最大化 总收益函数R=R(Q),总成本函数C=C(Q)二者均是 单一变量Q的函数,利润函数(即目标函数)为:π= π(Q)=R(Q)-C(Q) 一阶必要条件:dπ=π‘(Q)=R’(Q)-C’(Q)=0因此 最优(均衡)产出必须满足方程R’(Q*)=C’(Q*),即 MR=MC 二阶条件: