2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 8.1直线与方程
2014高考数学一轮复习精品讲练(人教通用版)8.1直线的方程
2014高中数学精讲精练第八章直线和圆的方程【知识图解】【方法点拨】1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程．4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．第1课直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.【基础练习】1.直线x cosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是2.过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为4.无论取任何实数，直线必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）【范例导析】例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k；（2）求直线AB的方程；（3）已知实数m，求直线AB的倾斜角α的取值范围．分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.解:（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在．当m≠－1时，，（2）当m=－1时，AB：x=－1，当m≠1时，AB：.（3）①当m=－1时，；②当m≠－1时，∵∴故综合①、②得，直线AB的倾斜角点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.分析：引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程. 解（1）设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-,0),B(0,1-2k),且2->0, 1-2k>0,即k<0. △AOB的面积S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,当-4k=,即k=时, △AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).分别令y=0和x=0,得A(2-,0),B(0,1-2k),∴|PA|·|PB|=,当且仅当k2=1,即k=±1时, |PA|·|PB|取得最小值4.又k<0, ∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,),且|PA|·|PB|=当且仅当θ=时, |PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1, 直线l的方程是x+y-3=0.点评①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.分析本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.解：解法一设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有，解得直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.解法二由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝，∵A,B两点分别l1和l2上，∴，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.解法三设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x －5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.点评本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。
高考数学一轮复习 8.1 直线方程精品课件 理 新人教A版
∴倾斜角θ∈(
3 π,π).故应选D.) 4
考点二 求直线方程 求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-4 ; (3)过点A(1,-1),与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且 |AB|=5. 【分析】选择适当的直线方程形式,把所需要的条 件求出即可.
【解析】 (1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y= 3x,即2x-3y=0.
x y ②若a≠0,则设l的方程为 + =1 , a a 3 2 ∵l过点(3,2),∴ + =1 , a a
∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0. 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
8.1 直线方程
一、倾斜角与斜率 1.倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为 基准，x轴正向与 直线l向上方向之间所成的角α 叫做 直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定 它的倾斜角为 0° .因此,直线的倾斜角α的取值范围 为 ［0°,180°) .
2.斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线 的斜率，即k= tanα .倾斜角是90°的直线没有斜率. 3.斜率公式：经过两点 P （x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2) y 2 - y11 的直线的斜率公式k= . x 2 - x1
【分析】从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的 范围，再确定倾斜角范围.
【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ=- cosα. 又α∈〔
2 3 ≤- cosα＜0. 3 3 即- 3≤tanθ＜0,注意到0≤θ＜π, 3
高三数学一轮复习 第8章 第1课时 直线及其方程 文 新人教版
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考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
{注意点}
直线的倾斜角的范围不是 k＝tan α的单调区间
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应
α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k0
k＞0
不存在
k＜0
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考点突破 题型透析
考点二 求直线方程
求适合下列条件的直线方程：
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考点突破 题型透析
考点二 求直线方程
为k
直线
斜率为 k，纵截距 y＝kx＋b
为b
不含垂直于x轴 的 直线
过两点(x1，y1)， (x2，y2)，(x1≠x2，
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
y1≠y2)
不包括 垂直于坐 标轴 的直线
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教材梳理 基础自测
二、直线方程
名称 截距式 一般式
几何条件
方程
局限性
在 x 轴、y 轴上的 截距分别为 a， ax＋by＝1
性．
当 α 取值在0，2π内，由 0 增大到π2α≠π2时，k 由 0 增大到＋∞；当 α 取 值在π2，π，由2πα≠π2增大到 π(α≠π)时，k 由－∞趋近于 0.解决此类问
题，也可采用数形结合思想．
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考点突破 题型透析
考点二 求直线方程
{突破点} 根据条件选择适当的直线方程形式 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标 轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在 解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用 点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
高考数学全程一轮复习第八章解析几何第一节直线的方程课件
5 ． ( 易 错 ) 过 点 P(2 ， 3) 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 __x_＋__y_－_5_＝__0_或_3_x_－__2_y＝__0_．
解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为xa + ya＝1， 则2a + 3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
平面内所有直线
【常用结论】 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°<α<90°
90°
k
0
k>0
不存在
2.特殊位置的直线方程
(1)与x轴重合的直线方程为y＝0；
(2)与y轴重合的直线方程为x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
公共点，则直线l斜率的取值范围为__[13_，___3_]_．
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， ∴kPA＝2−1−−01 ＝13，kPB＝0−3−−01 ＝ 3. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[13 ， 3].
【变式练习】 若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他 条件不变，则直线l的斜率的取值范围为__(－__∞__，_－___3_]_∪__1_，__+__∞__．
解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝
3−0＝－
0−1
3，
当直线l过A时设直线l的斜率为k2， 则k2＝12−−01＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3] ∪
2014高考数学(理)一轮复习学案课件 第8编 直线的方程
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考点 四 考点 三 考点 二 考点 一
真题再现 误区警示 规律探究
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高考数学 8-1直线及其方程领航规范训练 文
2014高考数学 8-1直线及其方程领航规范训练 文 新人教A 版【A 级】 基础训练1．(2013·茂名一模)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－ －1 －5－1＝－13.故选B.答案：B2．(2013·佛山一检)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距相等，所以a ＝－2. ②当直线l 不过原点时，所以a ＋2＝a ＋2a， 解得a ＝1.故选D. 答案：D3．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π 解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，且θ∈[)0，π，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π.故选C.答案：C4．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．解析：∵k ＝tan α在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π上都是增函数， ∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[)－3，0. 答案：[)－3，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 5．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________．解析：由题意知截距均不为零，设直线方程为x a ＋yb＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝62a ＋1b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝06．已知直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其横截距与纵截距分别为a 、b (a 、b 均为正数)，则使a ＋b ≥c恒成立的c 的取值范围为________． 解析：依题意知直线l 方程为x a ＋y b＝1，由于直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， ∴12a ＋2b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，故c ≤92. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，927．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0， 化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.8．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)、Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ有交点，求m 的取值范围．解：法一：直线x ＋my ＋m ＝0恒过A (0，－1)点．k AP ＝－1－10＋1＝－2，k AQ ＝－1－20－2＝32， 则－1m ≥32或－1m ≤－2，∴－23≤m ≤12且m ≠0.又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是－23≤m ≤12.法二：过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)，即y ＝13x ＋43.代入x ＋my ＋m ＝0，整理得：(3＋m )x ＋7m ＝0， ∴x ＝－7mm ＋3(显然m ≠－3)， 由已知－1≤－7mm ＋3≤2， 解得：－23≤m ≤12.法三：通法．由题知P 、Q 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(－1＋m ＋m )(2＋2m ＋m )≤0， ∴(2m －1)(3m ＋2)≤0，∴－23≤m ≤12.【B 级】 能力提升1. 在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a .于是可知，l 1的斜率是l 2的纵截距，l 1的纵截距是l 2的斜率．在选项A 中，l 1的纵截距为正，而l 2的斜率为负，不合题意，排除A.同样可排除选项C 、D ，故选B. 答案：B2．经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是( )A ．2x ＋y ＝2B ．2x ＋y ＝4C ．2x ＋y ＝3D ．2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0解析：当截距不等于零时， 设l 的方程为x a ＋y2a＝1， 又点P 在l 上，∴2a －12a ＝1，则a ＝32，∴l 的方程为2x ＋y ＝3.当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ， 又点P 在l 上，∴k ＝－12，∴x ＋2y ＝0，故选D.答案：D3．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．0解析：直线方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a ＞0，所以截距之和l ＝a ＋1a ≥2.当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，故选A. 答案：A4．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________．解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距为5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.答案：y ＝3x ＋55．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是_______．解析：∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)6．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．解析：AB 所在直线方程为x 3＋y4＝1，∴x 3·y 4≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 42＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：37．已知直线l 过点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B (如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a,8－2a )． ∵P (0,1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a,2a －6)． 又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A (－a,2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(3a －6)＋10＝0， 解得a ＝4.∴点B 的坐标是(4,0)．因此，过P (0,1)，B (4,0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.。
【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《直线方程和两直线的位置关系》
【审题视点 】
(2)求过点 A 且与 原点距离最大的 直线 l 的方程，最 大距离是多少？
(3)是否存在过点 A 且与原点距离为 6 的直线？若存在， 解(2) 过点 A 与原点 O 距离最大的直线是过点 A 与 AO 求出方程；若不存 由 垂直的直线， l⊥AO，得 klkOA＝－1， 在，请说明理由． 1 由直线的点斜式得 y＋1＝2(x－2)， 【方法锦囊 】 所以 kl＝－k ＝2， OA 即 2x－y－5＝0， 即直线 2x－y－5＝0 是过点 A 且与原点 若已知点到直线的 距离最大的直线 l 的方程， 最大距离是|－5|＝ 5. 距离求直线方程， 5 解(3) 不存在． 一般考虑待定斜率 由(2)可知，过点 A 不存在到原点距离超过 5的直线， 法，此时必须讨论 因此不存在过点 A 且与原点距离为 6 的直线． 斜率是否存在．
这时直线 l 的倾斜角为 2θ，
【方法锦囊 】
须存在， 而两点式不能表示与 坐标轴垂直的直线， 截距式不 能表示与坐标轴垂直或经过 原点的直线， 故在解题时， 若 采用截距式，应注意分类讨 论， 判断截距是否为零； 若采 用点斜式， 应先考虑斜率不存 在的情况．
2tan θ 24 其斜率为Fra bibliotektan 2θ＝ ＝ . 1－tan2θ 7
解析（1）若 a＝0 或 a＝1，则两直线不平行，
综上，a＝0 或 1. 答案
若 不符合题意，舍去． a≠0 且 a≠1，则两直线 由 两 直 线 平 行 或 垂 直的关系求直线的 a 1 的斜率分别是－ ， ，由 两 直 线 平 行 的 方程，或求方程中的 2 1－a a 1 参数，首先需要考虑 充要条件可得－ ＝ 且 a＋1≠－3， 2 1－a 两直线的斜率是否 解得 a＝2 或 a＝－1.经检验知符合题意． 存在，若斜率都存 (2)若 a＝0，B＝(1,0)，Q(0,0)，此时 l1⊥l2； 在，则依据斜率相等 3a－0 －2a＋1 1－2a 若 a≠0， 1＝ kl ＝a， 2＝ kl ＝ a ，或斜率乘积为－1 求 1＋2 a－0 解；若斜率不存在， 1－2a 则 l1⊥l2⇔kl1· 2＝a× a ＝－1，解得 a＝1. 则 需 要 注 意 特 殊 情 kl
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.1直线的方程课件 新人教A版
x ＝3k－2， y＝kx－3， A k－2 由 解得 2x－y－2＝0， y ＝ 4k . A k－2
xB＝3k－3， y＝kx－3， k＋1 由 解得 x＋y＋3＝0， y ＝ －6k. B k＋1
∵P(3,0)是线段 AB 的中点， 4k －6k ∴yA＋yB＝0，即 ＋ ＝0， k－2 k＋1 ∴k2－8k＝0，解得 k＝0 或 k＝8. 若 k＝0，则 xA＝1，xB＝－3， xA＋xB 1－3 此时 ＝ ≠3，∴k＝0 舍去， 2 2 故所求的直线方程为 y＝8(x－3)， 即 8x－y－24＝0.
直线方程的综合应用
[例3]
(2012· 开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它
夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段 AB恰被点P平分，求此直线的方程． [自主解答] 法一：设点 A(x，y)在 l1 上，点 B(xB， yB)在 l2 上．
x＋xB ＝3， 2 由题意知 y＋yB 2 ＝0， 则点 B(6－x，－y)，
A．45° C．120°
B．60° D．135°
解析：由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝
π π 知，f(0)＝f 2 ，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾 4
斜角为135° .
答案：D
(2)(2012· 金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l： y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是 (
1 A. ，＋∞ 2 1 C．(－∞，－2]∪ ，＋∞ 2
)
B．(－∞，－2]
1 D.－2， 2
解析： 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右 图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB. 1 ∵kPA＝－2，kPB＝ ， 2 1 ∴－2≤k≤ . 2
2014届高考数学一轮复习课件：第八章第1课时直线及其方程(新人教A版)
(2)直线的斜率
tanθ ①定义：若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k＝______； ②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直 y2－y1 (x ≠x2) x2－x1 1 于x轴，则k＝_______________．
思考探究 所有的直线都存在斜率吗？都有倾斜角吗？ 提示：直线一定有倾斜角，但不一定有斜率．
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 直线的倾斜角与斜率
例1
α∈π，π 的倾斜角的变 直线 2xcos α－y－3＝0 6 3
)
化范围是(
π，π A. 6 3 π，π C. 4 2
π，π B. 4 3 π，2π D. 4 3
跟踪训练
1．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是
直线AB倾斜角的两倍，则直线l的斜率是________．
－2＋5 解析：因为 A(－1，－5)，B(3，－2)，所以 kAB＝ ＝ 3＋1 3 3 .设直线 AB 的倾斜角为 θ，则 tan θ＝ .这时直线 l 的倾斜 4 4 3 2× 4 2tan θ 24 角为 2θ，其斜率为 tan 2θ＝ ＝ ＝ . 3 2 7 1－tan2θ 1－4 24 答案： 7
【题后感悟】
直线方程的应用问题常见的类型及解法：
(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方
程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函 数性质来解决． (2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式 等知识来解决．
跟踪训练 3．在本例条件下，若|PA|· |PB|最小，求l的方程．
1．直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都 有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90° 的直线无斜率． 2．求直线方程的方法
新高考一轮复习人教A版第8章第1节直线的方程课件(52张)
解析：由图可知，经过点 P0，－1 作直线 l，当直线 l 过点 A 时斜率最小，过点 B 时斜率最大，因为 P0，－1 ，A1，－2 ， B2，1 ，
所以 kPA＝－2－1（ －－ 0 1） ＝－1，kPB＝1－（ 2－－01） ＝1，所
以－1≤tan α≤1， 因为 0°≤α<180°，所以 0°≤α≤45°或 135°≤α<180°．
则线段 AC 的中点为点 Nc＋2 2，321－25c ， 易知点 N 在直线 x－3y＝0 上，则c＋2 2 －32－4 5c ＝0，解得 c＝4， 所以点 C 的坐标为4，－1 ． 直线 BC 的斜率为 k＝－41－－00 ＝－14 ，因此直线 BC 的方程为 y＝－14 x，即 x＋4y ＝0．
于是 S△AOB＝12 ·|OA|·|OB|＝12 ·2k－k 1 ·(1－2k)＝12 4－1k－4k ≥
答案：π4 ，π2
考点 2 直线的方程[典例引领] 【例 2】 求下列直线的方程 (1)过点 P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x 的倾斜角的 2 倍； (3)经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
解：(1)当直线过原点时，方程为 y＝32 x，即 3x－2y＝0． 当直线 l 不过原点时，设直线方程为ax －ay ＝1． 将 P(2，3)代入方程，得 a＝－1，所以直线 l 的方程为 x－y＋1＝0． 综上，所求直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x－y＋1＝0． (2)设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α．
2．斜率公式 条件
直线l的倾斜角为αα≠π2
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2
2014届高考数学 8-1直线与直线的方程课件 北师大版
4．(2010·湖南高考)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，
b) ， (3 － b,3 － a) ， 则 线 段 PQ 的 垂 直 平 分 线 l 的 斜 率 为 ________．
3－a－b 【解析】 kPQ＝ ＝1，则 kl＝－1. 3－b－a
【答案】
－1
5．(2011·安徽高考)在平面直角坐标系中，如果x与y都
【解析】 要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差 最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与 直线OP垂直即可．又已知点P(1,1)，则kOP＝1，故所求直线
的斜率为－ 1. 又所求直线过点 P(1,1) ，故由点斜式得，所求 直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.故选A.
【答案】 A
3．(2010·安徽高考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行
的直线方程是( ) B．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
A．x－2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 【解析】
设直线方程为 x － 2y ＋ c ＝ 0 ，又经过 (1,0) ，
故c＝－1，所求方程为x－2y－1x＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是： k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【解析】 ①例如 y＝ 3x＋ 2，②如 y＝ 2x－ 2过整 点(1,0)，③设 y＝kx(k≠0)是过原点的直线，若此直线过两个 整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有 y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得 y1－y2＝k(x1－x2)，则点(x1－x2，y1－y2)也在直线 y＝kx 上， 通过这种方法可以得到直线 l 经过无穷多个整点，通过上下 1 平移 y＝kx 得对于 y＝kx＋b 也成立，所以③正确；④如 y＝ 3 1 x＋ 不经过无穷多个整点， ⑤如直线 y＝ 3x，只经过(0,0)． 2
高考数学一轮专项复习ppt课件-直线的方程(北师大版)
设直线AB的倾斜角为α， 由已知得 kAB＝tan α＝2 3， 设直线AC的倾斜角为θ， 则kAC＝tan θ， 因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°， 所以θ＝α±60°， 当θ＝α＋60°时，tan θ＝tan(α＋60°)
＝1t－antαan＋αttaann6600°°＝1－2 23＋3×3 3＝－353， 所以 kAC＝－353； 当θ＝α－60°时，tan θ＝tan(α－60°) ＝1t＋antαan－αttaann6600°°＝1＋2 23－3×3 3＝ 73，
延伸探究
1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
由本例方法二知，2a＋1b＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a＋b1＝3＋ab＋2ab≥3＋2 2， 当且仅当ab＝2ab， 即 a＝2＋ 2，b＝1＋ 2时，等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为 x＋ 2y－2－ 2＝0.
自主诊断
2.已知点A(2,0)，B(3， 3 )，则直线AB的倾斜角为
A.30°
B√.60°
C.120°
D.150°
由题意得直线 AB 的斜率 k＝ 33－－20＝ 3， 设直线 AB 的倾斜角为 α，则 tan α＝ 3， ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
自主诊断
3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_3_x_－__2_y_＝__0_或__x_＋__y_－__5_ _＝__0__.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.( √ ) (2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.( × ) (3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( × ) (4)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0).( × )
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.1直线与方程
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.1直线与方程一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 ※相关※2．已知斜率k 的X 围，求倾斜角α的X 围时，若k 为正数，则α的X 围为(0,)2π的子集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的X 围为(,)2ππ的子集，且k=tan α为增函数。
若k 的X 围有正有负，则可所X 围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角X 围。
※例题解析※〖例〗已知直线的斜率k=-cos α(α∈R).求直线的倾斜角β的取值X 围。
思路解析：cos α的X 围→斜率k 的X 围→tan β的X 围→倾斜角β的取值X 围。
解答：1cos 1,1cos 1.11,1tan 1,30,443[0,],.44k ααβππββπππβπ-≤≤∴-≤-≤-≤≤∴-≤≤∴≤≤≤≤⎡⎫∴⎪⎢⎣⎭即或倾斜角的范围为 （二）直线的斜率及应用 ※相关※ 1、斜率公式：2121y y k x x -=-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直线上两点，根据斜率公式 212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
※例题解析※〖例〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
解答：332233222222,,,.,()()0.,0.AB AC AB AC a b c A a b a ab b a b a c a ac c a cA B C a ac c a ac c b c a b c b c a b c ∴-==++--==++-∴=++=++-++=≠∴++=互不相等，过、B 、C 任两点的直线的斜率均存在。
2014高考数学一轮总复习 8.1 直线与方程教案 理 新人教A版
第八章 直线和圆的方程高考导航知识网络8.1 直线与方程 典例精析题型一 直线的倾斜角【例1】直线2xcos α－y －3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是( )A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]【解析】直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B. 【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知M(2m ＋3，m)，N(m －2,1)，当m ∈ 时，直线MN 的倾斜角为锐角；当m ＝ 时，直线MN 的倾斜角为直角；当m ∈ 时，直线MN 的倾斜角为钝角.【解析】直线MN 的倾斜角为锐角时，k ＝m －12m ＋3－m ＋2＝m －1m ＋5＞0⇒m ＜－5或m ＞1；直线MN 的倾斜角为直角时，2m ＋3＝m －2⇒m ＝－5；直线MN 的倾斜角为钝角时，k ＝m －12m ＋3－m ＋2＝m －1m ＋5＜0⇒－5＜m＜1.题型二 直线的斜率【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，求直线l 的斜率.【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB ＝－2＋53＋1＝34，设直线AB 的倾斜角为θ，则tan θ＝34，l 的倾斜角为2θ，tan 2θ＝2tan θ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.所以直线l 的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设α是直线l 的倾斜角，且有sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率为( )A.34B.43C.－43D.－34或－43【解析】选C.sin α＋cos α＝15⇒sin αcos α＝－1225＜0⇒sin α＝45，cos α＝－35或cos α＝45，sin α＝－35(舍去)，故直线l 的斜率k ＝tan α＝sin αcos α＝－43.题型三 直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等； (2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x －3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，把(3,2)代入，得a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.故所求直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)当斜率不存在时，直线方程x －2＝0合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y －1＝k(x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k ＝－34，方程为3x ＋4y －10＝0.故所求直线方程为x －2＝0或3x ＋4y －10＝0.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论. 【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y ＝kx.因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k ，得k ＝－43.此时直线方程为y ＝－43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为x a ＋y－a ＝1，因为直线过点P(3，－4)，所以a ＝3＋4＝7.此时方程为x －y －7＝0.综上，所求直线方程为4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0. 题型四 直线方程与最值问题【例4】过点P(2,1)作直线l 分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，点O 为坐标原点，当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程. 【解析】方法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由于点P 在直线上，所以2a ＋1b ＝1.2a ·1b ≤(2a ＋1b 2)2＝14， 当2a ＝1b ＝12时，即a ＝4，b ＝2时，1a ·1b 取最大值18， 即S △AOB ＝12ab 取最小值4，所求的直线方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.方法二：设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)，直线与x 轴的交点为A(2k －1k ，0)，直线与y 轴的交点为B(0，－2k ＋1)，由题意知2k －1＜0，k ＜0,1－2k ＞0.S △AOB ＝12(1－2k) ·2k －1k ＝12[(－1k )＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)·(－4k)＋4]＝4.当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，S △AOB 有最小值，所求的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式. 【变式训练4】已知直线l ：mx －(m2＋1)y ＝4m(m ∈R).求直线l 的斜率的取值范围.【解析】由直线l 的方程得其斜率k ＝mm2＋1.若m ＝0，则k ＝0； 若m ＞0，则k ＝1m ＋1m≤12m ·1m ＝12，所以0＜k≤12；若m ＜0，则k ＝1m ＋1m ＝－1－m －1m ≥－12(－m)(－1m )＝－12，所以－12≤k＜0. 综上，－12≤k≤12.总结提高1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k ＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k ＝tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.。
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2014年高考一轮复习考点热身训练：8.1直线与方程
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.直线经过原点和点(-a,a)(a≠0)，则它的倾斜角是( )[
(A)45° (B)135°
(C)45°或135° (D)0°
2.(2013²福州模拟)一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角为α=45°,则这条直线方程为( )
(A)x+y+5=0 (B)x-y-5=0
(C)x-y+5=0 (D)x+y-5=0
3.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足( )
(A)ab＞0,bc＜0 (B)ab＞0,bc＞0
(C)ab＜0,bc＞0 (D)ab＜0,bc＜0
4.设△ABC的一个顶点是A(3,-1)，∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x，则直线BC的方程为( )
(A)y=2x+5 (B)y=2x+3
(C)y=3x+5 (D)
15 y x
22 =-+
5.(易错题)设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数
根，且0≤c≤1
8
，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )
(A)1
2
，
1
2
(D)
1
2
6.(2012²泉州模拟)若点A(3,5)关于直线l：y=kx的对称点在x轴上，则k是
( )
(D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012•莆田模拟)过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是_____________.
8.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2，0)射出的光线被直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经OB反射后回到P点，则光线所经过的路程是__________.
9.设直线l1经过点A(3，0),直线l2经过点B(0,4)，且l1∥l2，则l1与l2间的距离d的取值范围为__________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知两直线l1:x+ysinθ-1=0和l2:2xsinθ+y+1=0,试求θ的值，使得:(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
11.两互相平行的直线分别过A(6,2)，B(-3,-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行线间的距离为
d.
(1)求d的变化范围；
(2)求当d取得最大值时的两条直线方程.
【探究创新】
(16分)在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数f(x)=k(x-2)+3的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，探究正实数m 取何值时，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；仅有两条；仅有三条；仅有四条.
答案解析 1.【解析】选B.因为经过原点和点(-a,a)(a ≠0)的直线的斜率0a
k 10a -=
=-+，
所以直线的倾斜角为135°. 2.【解析】选C.由题意知所求直线的斜率k ＝1，方程为y-3=x+2，即x-y+5=0. 3.【解析】选A.易知直线斜率存在，即直线ax+by+c=0变形为a c y x b b
=-
-, 由题意知a
0b
c 0b
⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＞,∴ab ＞0,bc ＜0.
4.【解题指南】利用角平分线的性质，分别求出点A 关于∠B ，∠C 的平分线的对称点坐标，由两点式得
BC 方程.
【解析】选A.点A(3,-1)关于直线x=0,y=x 的对称点分别为A ′(-3,-1), A ″(-1,3),且都在直线BC 上,故得直线BC 的方程为:y=2x+5. 5.【解析】选D.∵两条直线x+y+a=0和x+y+b=0
间的距离d 又∵a 、b 是关于x 的方程x 2
+x+c=0的两个实数根， ∴a+b=-1，ab=c ， 从而
b -=.
又∵0≤c ≤
18，∴0≤4c ≤12，∴1
2
-≤-4c ≤0，
max min 11
14c 1d d 22
∴≤-≤∴==，. 6.【解析】选D.由题设点A(3,5)关于直线l ：y=kx 的对称点为B(x 0,0)，
依题意得0
050
13x k 503x k 22
-⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩,
解得k =
. 7. 【解析】设所求直线方程为
x y a b
+=1. 则541a b ,ab 10--⎧+=⎪
⎨⎪=⎩
解得a 5b 2=⎧⎨=-⎩或5a .2b 4⎧=-⎪⎨⎪=⎩
即方程为
x y 52-=1或y x
5
42
-=1, 化简得2x-5y-10=0或8x-5y+20=0. 答案：2x-5y-10=0或8x-5y+20=0
8.【解题指南】转化为点P 关于AB 、y 轴两对称点间的距离问题求解.
【解析】如图所示，P 关于直线AB ：x+y=4的对称点P 1(4,2),P 关于y 轴的对称点P 2(-2，
0).
=.
答案：
9.【解析】∵A(3，0)，B(0，4)，∴|AB|=5.
此时为两平行线之间距离的最大值，当l 1，l 2都过A ，B 时，两条直线重合，因此0＜d ≤5. 答案：0＜d ≤5
10.【解析】(1)∵l 1∥l 2,∴2sin 2
θ-1=0,得sin 2
θ=
12
, ∴sin θ
=∴θ=k π±4π
,k ∈Z. ∴当θ=k π±
4
π
,k ∈Z 时，l 1∥l 2. (2)∵l 1⊥l 2,∴2sin θ+sin θ=0, 即sin θ=0,∴θ=k π(k ∈Z), ∴当θ=k π,k ∈Z 时，l 1⊥l 2.
11.【解析】(1)方法一：当两直线的斜率都不存在时，两直线方程分别为x=6，x=-3，此时d=9；当两直
线斜率存在时,设两条直线方程分别为y=kx+b 1，和y=kx+b 2，则1226k b 13k b =+⎧⎨-=-+⎩即12
b 26k
b 3k 1=-⎧⎨=-⎩，
而d ∴d 2
+d 2k 2
=81k 2
-54k+9,
即(81-d 2)k 2-54k+9-d 2
=0,
由于k ∈R ，∴Δ=542-4(81-d 2)(9-d 2
)≥0， 整理得4d 2
(90-d 2
)≥0，∴0＜d
≤.
综上0＜d
≤.
方法二：画草图可知，当两平行线均与线段AB 垂直时，距离d=|AB|=重合，即都过A ，B 点时距离d=0最小，但平行线不能重合，
∴0＜d ≤.
(2)因为d=时，k=-3, 故两直线的方程分别为 3x+y-20=0和3x+y+10=0. 【探究创新】
【解析】显然直线f(x)=k(x-2)+3与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A(3
2k
-,0)，B(0,3-2k)； 当k ＜0时，△AOB 的面积为
()13(2)32k 2k --，依题意得，()13
(2)32k m 2k
--=， 即4k 2
-(12-2m)k+9=0. 又因为Δ=［-(12-2m)］2
-4³4³9，且m ＞0，所以，
m=12时，k 值唯一，此时直线l 唯一；m ＞12时，k 值为两个负值，此时直线l 有两条； 当k ＞0时，△AOB 的面积为()13
(2)32k 2k
--
-，依题意得， ()13
(2)32k m 2k
---=，即4k 2-(12+2m)k+9=0, 又因为Δ=［-(12+2m)］2
-4³4³9=4m 2
+48m ，
且m ＞0，所以Δ＞0，对于任意的m ＞0，方程总有两个不同的解且都大于零，此时有两条直线；
综上可知：不存在正实数m ，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；当0＜m ＜12时，直线l 有两条；当m=12时，直线l 有三条；当m ＞12时，直线l 有四条.。