竞赛数学中的组合数学问题

组合数学论文

竞赛数学中的组合数学问题

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竞赛数学中的组合数学问题

组合数学是上个世纪五十年代后逐步建立和完善起来的一门数学分支，组合数学也称为组合学、组合论，组合分析。教科书上对组合分析的定义：按某种要求把一些元素构成有限集合的研究叫做组合分析。

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这种研究比传统的数学讨论的对象更广泛，在实际生活和实践活动中应用性更大。这种研究一般讨论以下问题：在一定的约束条件下，对象——构成的存在性（有与没有、能与不能）问题；构成的分类与计数；构成的方法（构造方法）及最优化方法。

人们常把竞赛中某些问题称为杂题，又称为组合数学问题。为什么

中学数学竞赛中的一些问题，很难把它们归类为代数问题或几何问题，但它们涉及到的解题目标和解题方法可以归入组合问题和组合分析；当然一些组合数学的习题也直接用作竞赛题。

初等数学竞赛中的组合问题与组合分析常用的方法有抽屉原理、递推（归）原理、容斥原理、染色方法等，这些原理方法都很一般，重要的是经验和技巧——应用的能力。本文重点研究竞赛数学中的组合数学计数问题。

计数问题

组合数学中的计数问题，数学竞赛题中的熟面孔，看似司空见惯，不足为奇．很多同学认为只要凭借课内知识就可左右逢源，迎刃而解．其实具体解题时，时常会使你挖空心思，也无所适从。对于这类问题往往首先要通过构造法描绘出对象的简单数学模型，继而借助在计数问题中常用的一些数学原理方可得出所求对象的总数或其范围。

1、计数中求最大值：

第一步：分类讨论

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（1）情况一，推出目标数 f ≤m1；

（2）情况二，推出目标数 f ≤m2；

…

（s）情况s，推出目标数 f ≤m s；

第二步：m0=max{m1，m2，…，m s}，则f ≤m0；

第三步：构造模型使计数恰好等于常数m0，则常数m0即为最大值。

另一种叙述:

第1步：由目标数f≤m推出可以符合条件；

`

第2步：由f =m+1推出是不能符合条件；

所以f max = m 。

2、计数中求最小值：

第一步：分类讨论

（1）情况一，推出目标数 f ≥m1；

（2）情况二，推出目标数 f ≥m2；

…

（s）情况s，推出目标数 f ≥m s；

*

第二步：m0=min{m1，m2，…，m s}，则f ≥m0；

第三步：构造模型使计数恰好等于常数m0，则常数m0即为最小值。

另一种叙述:

第一步：由目标数 f ≥m推出可以；

第二步：由目标数f =m－1推出不能；

所以f min =m 。

下面我们从一道简单的组合问题说起：

)

如图，每个正方体的六个面上分别写着数字1，2，3，4，5，6，并且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7。把这样的4个正方体一个挨着一个连接起来后，紧挨着的两个面上的数字之和都等于8。图中标着x 的那个面上所写的数字是几

分析：

拐角处正方体前后分别为4，3，则右侧面可能是1或6，

而1不能使x面的对面数字为7，故只能为6，所以x的对

面数字为2，所以，x =5。

著名的赛题图1证明：任意六个人中，总有三个人，要么相互认识，要么相互不认识。

同色分析三步：把实际问题转化为图形染色；抽屉原理；二分法推理。

证明：

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圆上六个点A1A2A3A4A5A6表示六个人，两人相互

认识，相应两点间连红线，两人不相识，相应两点间连

蓝线，原命题即为证明存在三边同色的三角形。与A1

相连的5条线分别染两种颜色，至少有三条线同色。不

妨设至少有三条红线，且为A1A2、A1A3、A1A4。若A2、

A3、A4三点间的连线有一条红线，则有红色三角形；否

则，三条连线都是蓝线，存在蓝色三角形。

图2

例1、由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第一名运动员给1分，第二名运动员给2分，…，第12名运动员给12分。最后评分结果显示：每名运动员所得的9个分数中高低分之差都不大于3分。设各运动员的得分总和分别为e1，e2，e3，…，e12，且e1≤e2≤e3≤…≤e12，求e1 的最大值。分析：含1分的格子最多有4列，此4列的每格数字平均不超过，3列呢2列1列

解：

对9个1分布的列数进行讨论：

（1）1分分布在同一列，该列的和为9，e1= 9；

（2）1分恰在两列中，列中数字不超过4，两列的

和最大为5×9=45，较小的列和≤45÷2，是整数，

则较小的列和≤22，故最小的列和e1≤22(21)；

，

（3）1分恰在三列中，列中数字不超过4，三列的

和最大为8×9=72，同理e1≤24；

（4）1分恰在四列中，列中数字不超过4，四列的和最大为10×9=90，同理e1≤22；图3

（5）1分恰在5列中，5列45个数都只能取1、2、3、4，9个裁判只能给出9个1、2、3、4，共36个，填不满5列；同理，1分不能分布在比5更多的列中。所以，1最多能在4列中。故e1≤24。

若前三列中，每列三个1、三个3、三个4，每列的和都是24，第四列5个2，4个5，和为30；第五列4个2，5个5，和为33；以后第k列填9个k，和为9k≥54。则e1=24。所以e1 的最大值为24。

例2、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花4种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，把第三张丢掉，把第四张放在最底层……，如此下去，直至最后剩下一张牌。则所剩的这张牌是什么

我们先来看下下面这道题，是一个小学的竞赛题，称为“做数学”。

依顺时针方向将数字1，2，3，4，5，6，7写在圆周上。首先将数字1删除，然后每次跳过一个未删除的数，删除被跳到位置上的数，依此方法继续进行直到最后只剩下一个数为止。例如，

删除数字1，跳过数字2；

￥

删除数字3，跳过数字4；

删除数字5，跳过数字6；

删除数字7，跳过数字2；

删除数字4，跳过数字6；

删除数字2，所以，剩下最后的一个数是6。图4

如果依顺时针方向将1，2，3，…，2004写在圆周上，并依照上述规则操作，试问最后剩下的一个数为。

解：

第一圈:从1开始，删去所有奇数，余下2k型数：

*

2，4，6，8，…，2002，2004；

第二圈:从2开始，删去所有4k-2型数，余下4k型数：

4，8，12，16，…，2000，2004；

第三圈:从4开始，删去所有8k+4型数，余下8k型数：

8，16，24，…，1992，2000；

第四圈:从16开始，删去所有16k型数，余下16k-8型数：

8，24，40，…，1976，1992；

第五圈:从24开始，删去所有32k-8型数，余下32k-24型数：

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8，40，72…，1960，1992；

第六圈:从8开始，删去所有64k-56型数，余下64k-24型数：

40，104，…，1896，1960；

第六圈:从8开始，删去所有64k-56型数，余64k-24型数：

40，104，…，1896，1960；

第七圈:从104起，删去所有128k-24型数，余128k-88型数：