如何利用线段中点

线段中点（二） 教学目标：
知识与技能：体会如何利用中点的两种基本方法构造基本图形使问题得以解决. 教学重难点：掌握简单的一般图形的中点问题的处理方法. 教学过程：
（一）引入：上节课我们研究了特殊图形中的中点问题及简单的一般图形的中点问题，请同学们回忆这几类问题的一般方法.接下来,我们继续研究一般图形的中点问题. （二）例题：
例1 如图1，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线,M 是BC 的中点，过M 作ME//AD 交BA 的延长线于E ，
交AC 于F.求证：BE=CF .
设计思想：巩固上节课所学的中点问题的处理方法，让学生按上节课的两种方法试着自己解，逐渐形成一种解题能力.
分析：要证的结论AB=CF 这两条线段不在同一个三角形中，同时它们所在的两个三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，因此必须移动图形.由于M 是BC 的中点，利用中点构造中心对称图形或中位线就能移动AB 或CF 的位置，使它们集中在同一个三角形中,另一方面,由于图中有角平分线与平行线，这两者结合能得到等腰三角形,即到线段相等，于是问题得解.
方法一：如图2，延长EM 到N,使NM=EM ，连结CN.
易证：△BEM ≌△CNM. ∴BE= CN ,∠E ＝∠N.
C
图1
再证：∠E ＝∠EFA. 由∠EFA=∠3，∠E ＝∠N. 得∠N ＝∠3. ∴CN=CF. ∴BE=CF .
说明: 如图3,延长FM 到N,使NM=FM ，连结BN,类似方法一,也可以证明BE=CF. 方法二: 如图4，连结BF ，取BF 的中点H, 取EF 的中点K ，连结HM 、KH. ∴HK ，MH 为中位线，
∴HK
1
2BE ，MH 1
2
CF. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠2＝∠3. ∵ME//AD,
∴∠E ＝∠2, ∠EFA=∠3. ∴∠E ＝∠EFA. ∵HK
BE ，MH
CF ，
∴∠HKF=∠E, ∠EFA=∠1. ∴∠HKF=∠1. ∴HK=MH. ∴BE=CF.
说明: 如图5，连结CE ，取CE 的中点H, 取EF 的中点N ，连结NH 、MH,类似方法二,也可以证明BE=CF. 例2 (2008北京中考25题改编)请阅读下列材料：问题：如图1-1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A,B,E 在同一条直线上，P 线段DF 的中点，连结PG,PC ．若60ABC BEF ∠=∠=
,探究PG 与PC 的位置关系．
12
12
C
D
C
图5
图4
C
M
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H 构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系；
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图1-2），你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
设计思想：本题在巩固中点问题通法的同时还想揭示一种学生不易观察到的常见图形：线段给了中点，并且此线段的两端存在平行线，此类题的一般的方法是延长一边与平行线相交，从而构造出中心对称基本图形，如图2.
分析：
3，并且题中
.第二问尽管条件有所改变，但中
点依然存在，并且中点两端仍然存在平行线，如图4，于是仍然可以采用第一问的作法，利用中点构造中心对称图形使问题得到解决.
解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ；
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
提示：如图5，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． 易证：GFP HDP △≌△．
D
C
G
P A
B
F 图1-2
D
D
A
B
E
F C
P
G
图1-1
B
图2
图3
∴PH PG =,DH=GF. 再证:HDC GBC △≌△, ∴CH CG =，
CH CG = ，PH PG =，
∴PG PC ⊥．
说明：这类题型在平行四边形和梯形中出现得最多，因为这类图形本来就存在平行线.例如，如图6，在梯形中，若E 为梯形一腰AB 的中点，则通常利用此方法（如图7、图8的方法）构造中心对称图形. （由于梯
.）
例3（2007年广州市）如图1-1，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结
DM 和
BM ，（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1-1，求证：BM=DM 且BM ⊥DM ；（2）将图1-1中的△ADE 绕点A 逆时针转小于45°的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.
设计思想：1、巩固例2题型的方法。

2、巩固一般图形中点问题的通法. 3、再次巩固特殊图形（直角三角形）中点问题的方法.
图1-1
图1-2
图6
C
图7
C
分析：图1-1中由于点M 为直角三角形斜边EC 的中点，显然要利用斜边中线的性质求解.图1-2中尽管△ADE 绕点A 进行了旋转,但M 为EC 的中点的条件依然未变,于是仍然可以利用中点还原出中心对称基本图形,使问题得解，另一方面，由于旋转之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决. 证明:（1）如图2，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∵M 为公共斜边EC 的中点,
∴DM=EC=BM.
∴∠3=∠2,∠6=∠5. ∵∠1=∠2+∠3=2∠2， ∠4=∠5+∠6=2∠5， ∴∠1+∠4=2（∠2+∠5）=90°. ∴ BM=DM 且BM ⊥DM.
（2）成立.
方法一：如图3：延长DM 至F ，使MF=DM ，连结CF ，BF ，延长ED 交AC 于N.易证：△EMD ≌△CMF, ∴∠DEM=∠FCM.
∴EN ∥FC ，
∴∠2=∠ACB+∠5=45°+∠5.
∵∠2=90°-∠1=90°-（∠BAC-∠α）=45°+α， ∴∠5=α.
∵AB=BC,AD=DE=CF, ∴△BAD ≌△BCF.
∴BD=BF ，∠ABD=∠CBF. ∴∠DBF=∠ABC=90°. ∵BD=BF,
图2
图3
∴△BDF 为等腰直角三角形. ∵MF=DM.
∴BM=DM 且BM ⊥DM.
方法二:如图4，取AC 的中点F ，取AE 的中点G ，连结MF ，BF ，MG ，DG.
∴MF,GM 为中位线，
∴
MF
AE,GM AC.
∵DG 为斜边中线， ∴DG= AE.
∴DG=MF.同理，GM=AC= BF, ∴MF
AG.
∴四边形AFMG 为平行四边形. ∴∠1+∠2=∠3+∠4,∠1=∠4=90°. ∴∠2=∠3. ∴△DGM ≌△MFB.
∴BM=DM, ∠GMD=∠MBF.
∴∠GMD+∠BMG=∠MBF+∠BMG=90°. ∴BM=DM 且BM ⊥DM .
(三)练习：
1．已知：如图1，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥ EC 交AB 于 F 连结FC （AB ＞AE ）,求证：⊿AEF ∽⊿ECF.
图1
F
图4
2.如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 中点，EF ⊥CD 于F ， CD=6，EF=4，求ABCD S 梯形.
3. 如图1，已知正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，AB 的中点.
求证：AG=AD.
4.（2005 大连）如图1，正方形CGEF 的边CG 与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上（
CG ＞BC ），连结AE,取线段AE 的中点M ．探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证 明.
【参考答案：
】
1．提示：证法一：如图1，延长FE 交CD 延长线于G
，易证△AFE ≌△DGE,∴EF=EG ,由EF ⊥ EC,得△FEC ≌△GEC,再利用双垂图形得⊿GDE ∽⊿GEC, 于是⊿AEF ∽⊿ECF
（证法二：如图2，易证⊿AEF ∽⊿DCE,得CE:EF=CD:AE=DE:AF=2:1,得AE:AF=2:1=CE:EF,又∠A ＝∠FEC,利用两边对应成比例且夹角相等得⊿AEF ∽⊿ECF.）
图1
图1
C
图1
图2
F
F
图1
2. 提示： ABCD S 梯形=24.解法一：如图1，过E 作GH ∥CD 交DA 延长线于H,交CB 于G,则△AHE ≌△BGE, ABCD S 梯形=GHDC S =4624⨯=.
（解法二：如图2，连结BE 并延长交CB 的延长线于M,则
ABCD S 梯形=
MCD
S =2
ECD
S =2⨯0.5⨯4624⨯=.）
3.提示：证法一，如图1，延长CF,DA 交于H,易证ΔAHF ≌ΔBCF,得AH=BC=AD, A 为线段HD 的中点,由ΔCBF ≌ΔDCE 能证明DE ⊥CF,因此AG 为直角三角形HGD 斜边中线，所以AG=0.5HD=AD. (证法二：如图2，取CD 中点H,连结AH ，用中位线的性质证明.)
4．猜想：MD=MF 并且MD ⊥MF.
证明：如图1，延长DM 交EF 于点N ，M 是线段AE 的中点，
MA ME ∴=．由题意可知． EAD FEM ∠=∠，AMD EMG ∠=∠， 得△MAD ≌△MEG ．
∴MD=MN,AD=NE.∵FG=FE,AD=DC ∴FD=FN, ∴△DFN 为等腰直角三角形，∴MD=MF 并且MD ⊥MF.
图1
C
C
图2
图1
图1
图2
E
H
（四）总结：
这节课是上节课的提升，题目的难度加大，对思维和识图能力的要求更高，但万变不离其宗，仍然可以用中点问题的一般方法去应对，希望同学们能从复杂图形中很快发现基本图形，真正掌握此类题的方法. 基础好的学校4道例题都可以用.基础薄弱校可以不讲最后一题.
1 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线,M 是BC 的中点，过M 作ME//AD 交BA 的延长线于E ，交
AC 于F.求证：BE=CF .
2 请阅读下列材料：问题：如图1-1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A,B,E 在同一条直线上，P 线段DF 的中点，连结PG,PC ．若60ABC BEF ∠=∠=
,探究PG 与PC 的位置关系．
C
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H 构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系；
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图1-2），你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
3 如图1-1，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，
在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM ，（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1-1，求证：BM=DM 且BM ⊥DM ；
（2）将图1-1中的△ADE 绕点A 逆时针转小于45°的角，如图1-2，那么（1）
中的结论是否仍成立？如果不成立，请
举出反例；如果成立，请给予证明.
D
A
B
E
F C
P
G
图1-1
D
C
G
P A
B
F 图1-2
图1-1
图1-2
练习（二）
姓名： 日期： 指导教师： 分数： 1．已知：如图1，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥ EC 交AB 于F 连结FC （AB ＞AE ）,求证：⊿AEF ∽⊿ECF.
2.如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 中点，EF ⊥CD 于F ， CD=6，EF=4，求ABCD S 梯形.
3. 如图1，已知正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，AB 的中点.
求证：AG=AD.
4.如图1，正方形CGEF 的边CG 与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上（CG ＞BC ），连结AE,取线段AE 的中点M ．探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明.
图1
图
1
C
图
1
C
F
图1。