2016浙江高考理科数学真题及答案

2016浙江高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=
A.[2,3]
B.(-2,3]
C.[1,2)
D.
2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则
A. B. C. D.
3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点
在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=
A. B.4 C. D.6
4.命题“使得”的否定形式是
A.使得
B.使得
C.使得
D.使得
5.设函数，则的最小正周期
A.与b有关，且与c有关
B.与b有关，但与c无关
C.与b无关，且与c无关
D.与b无关，但与c有关
6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且
，，
，.
（表示点P与Q不重合）学.科.网
若，为的面积，则
A.是等差数列
B.是等差数列
C.是等差数列
D.是等差数列
7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，
分别为的离心率，则
A.且
B.且
C.且
D.且
8.已知实数.
A.若则
B.若则
C.若则
D.若则
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.
10.已知，则A=，b=.
11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.
12.已知，若，则a=，b=.
13.设数列的前n
，则=，=.
14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线
段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.
15.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，学.科.网若对任意单位向量e，均有
|a·e|+|b·e|，则a·b的最大值是.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B += （Ⅰ）证明：2A B =
（Ⅱ）若ABC ∆的面积2
4
a S =，求角A 的大小. 学科.网
17.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE 平面ABC ，90ACB ∠=︒，
1BE EF EC ===，2BC =，3AC =，
（Ⅰ）求证：ACFD BF ⊥平面 （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.
18. （本题满分15分）设3a ≥，函数2
()min{2|1|,242}F x x x ax a =--+-,
其中
（Ⅰ）求使得等式2
()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围
（Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a
（ii ）求()F x 在[0,6]上的最大值()M a 学.科网
19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:22
21(1)x y a a
+=>
（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示）
（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.
20、（本题满分15分）设数列
满足1
||12
n n a a +-
≤，
（Ⅰ）求证：1
1||2(||2)(*)n n a a n N -≥-∈
（Ⅱ）若3||()2
n n a ≤，*n N ∈，证明：||2n a ≤，*n N ∈.学科&网
浙江数学（理科）试题
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分40分. 1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.多空题每题6分，单空题每题4分，满分16分.
11.72,32 12.4,2 13.1,121 14.
12 15. 12
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（I ）由正弦定理得sin sinC 2sin cos B+=A B ，
故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B =B+A+B =B+A B+A B ， 于是()sin sin B =A-B ．
又A ，()0,πB∈，故0π<A-B <，所以
()πB =-A-B 或B =A-B ，
因此πA =（舍去）或2A =B ， 所以，2A =B ．
（II ）由24a S =得2
1sin C 24a ab =，学.科.网故有
1
sin sin C sin 2sin cos 2
B =B =B B ，
因sin 0B ≠，得sinC cos =B ．
又B ，()C 0,π∈，所以C 2
π
=±B ．
当C 2
π
B +=时，2
π
A =； 当C 2
π
-B =
时，4
π
A =．
综上，2
π
A =
或4
π
A =
．
17.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

（I ）延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示． 因为平面CF B E ⊥平面C AB ，且C C A ⊥B ，所以， C A ⊥平面C B K ，因此， F C B ⊥A ．
又因为F//C E B ，F FC 1BE =E ==，C 2B =，所以 C ∆B K 为等边三角形，且F 为C K 的中点，则 F C B ⊥K ．
所以F B ⊥平面CFD A ．
（II ）方法一：
过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．
因为F B ⊥平面C A K ，学科&网所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．
在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313
FQ 13
=
． 在Rt QF ∆B 中，313FQ =
，F 3B =3
cos QF ∠B = 所以，二面角D F B-A -3
． 方法二：
如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．
取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ． 以点O 为原点，学.科.网分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向， 建立空间直角坐标系xyz O ． 由题意得
()1,0,0B ，()C 1,0,0-，(3K ，
()1,3,0A --，132⎛E ⎝⎭，13F 2⎛- ⎝⎭
．
因此，
()C 0,3,0A =u u u r ，(3AK =u u u r ，()2,3,0AB =u u u r
．
设平面C A K 的法向量为()111,,m x y z =r ，平面ABK 的法向量为()222,,n x y z =r
．
由C 00
m m ⎧A ⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，得111130330y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取)
3,0,1m =
-r ；
由
n
n
⎧AB⋅=
⎪
⎨
AK⋅=
⎪⎩
u u u r r
u u u r r，得22
222
230
330
x
y
x y z
+=
⎧⎪
⎨
++=
⎪⎩
，取()
3,2,3
n=-
r
．
于是，
3
cos,
4
m n
m n
m n
⋅
==
⋅
r r
r r
r r．
所以，二面角D F
B-A-的平面角的余弦值为
3
4
．
18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。

同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

（I）由于3
a≥，故
当1
x≤时，()()()
22
242212120
x ax a x x a x
-+---=+-->，
当1
x>时，()()()
22422122
x ax a x x x a
-+---=--．
所以，使得等式()2
F242
x x ax a
=-+-成立的x的取值范围为
[]
2,2a．
（II）（i）设函数()21
f x x
=-，()2242
g x x ax a
=-+-，则
()()
min
10
f x f
==，()()2
min
42
g x g a a a
==-+-，
所以，由()
F x的定义知()()()
{}
min1,
m a f g a
=，即
()
2
0,322
42,22
a
m a
a a a
⎧≤≤+
⎪
=⎨
-+->+
⎪⎩
（ii）当02
x
≤≤时，
()()()()
{}()
F max0,22F2
x f x f f
≤≤==，
当26
x
≤≤时，
()()()()
{}{}()()
{}
F max2,6max2,348max F2,F6
x g x g g a
≤≤=-=．
所以，
()348,34
2,4
a a a a -≤<⎧M =⎨
≥⎩． 19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

（I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22
211y kx x y a
=+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得
()2
2
2
2120a k x
a kx ++=，
故
10x =，2222
21a k
x a k =-+．
因此
21222
21a k
x a k
AP =-=+ （II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足
Q AP =A ．
记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（I ）知，
1AP =
，2
Q A =
，
故
1
2
=
，
所以(
)()
22222222
121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣
⎦
．
由于12k k ≠，1k ，20k >得
()222222
1212120k k a a k k +++-=，
因此
()22
2212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ①
因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是
()22121a a +->，
所以
a >
因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为
12a <≤，
由c e a a ==得，所求离心率的取值范围为0e <≤
20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、学.科.网不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

（I ）由112n n a a +-
≤得11
12
n n a a +-≤，故 111222
n n n n n a a ++-≤，n *
∈N ， 所以
1122311
122312222222
2n
n n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121111
222n -≤
++⋅⋅⋅+
1<，
因此
()1122n n a a -≥-．
（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，
112
1112
1222
2222
2n m
n n n n m m n
m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11
111
222n n m +-≤
++⋅⋅⋅+ 11
2
n -<， 故
1122
2m n
n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭
111322
22m
n n m
-⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
3224m
n ⎛⎫
=+⋅ ⎪⎝⎭
．
从而对于任意m n >，均有
3224m
n n a ⎛⎫
<+⋅ ⎪⎝⎭
．
由m 的任意性得2n a ≤． ①
否则，存在0n *
∈N ，有02n a >，取正整数00
03
4
2log 2
n n a m ->且00m n >，则
00
3
4
02log 23322244n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
，
与①式矛盾．
综上，对于任意n *∈N ，均有2n a ≤．。