复变函数与积分变换模拟题(开卷)-推荐下载

《复变函数与积分变换》模拟题（开卷）

一．判断题

1．函数若在某点可导一定在该点解析。 （ ×

）

2. 若函数f (z )在区域D 内解析，则f (z )在区域D 内沿任意一条闭曲线C 的积分为0。（ ×

）

3. 的一阶极点。 （ ×

z

z

z sin 0是

=）

4. 不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同。 （ ∨ ）

5．函数在某区域内的解析性与可导性等价。 （ ∨ ）

6．若函数f (z )=u (x,y )+i v (x,y )在区域D 内解析当且仅当

连续且满足柯西-黎y

v

x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,曼方程。 （

× ）

7．的本性奇点。 （ × 2

cos 10z z

z -=是

）

8．若的共轭调和函数，那么的共轭调和函数。 （ ×

),(),(y x v y x u 是),(),(y x u y x v 是）二．填空题

1．= 1 。4

)11(

i

i +-2．设求的虚部= 。

,iy x z +=3

z 3

2

3y y x -3．

= 。dz z z ⎰=-2||11

i π24．的孤立奇点的类型为 极点 （可去奇点、极点、本性奇点）。2

1

1(-+z z 5．L [t 2+3t +2]= 。

s

s s 2

3223++6. = 1 。

33131(

i

i

-+

7. 的收敛半径为 ∞ 。

∑∞

=0

!n n

n z 8． 函数的解析区域为 。

1

42522++-z z z 为复数z i z ,2±≠9． 的孤立奇点的类型为 本性奇点 （可去奇点、极点、本性奇点）。

z

e 110. 设C 为正向圆周|z|=1,则

= 0 。

⎰+-C 2dz )i 1z (1

三．计算题

1. 分别给出的三角形式的指数形式.

i z 43+-=解： ，,

54)3(||22=+-=

z 3

4

arctan 2)34arctan(-=++-=πππk Argz 因此三角形式为))

3

4

tan sin()34arctan (cos(5acr i z -+-=ππ指数形式为

)

3

4

arctan (5-=πi e

z 2. 判断下列函数在何处可导，何处解析？

1）； 2）2

2

)(iy x z f +=)

3(3)(3

2

23

y y x i xy x z f -+-=解：1）四个偏导函数均连,2,0,0,2,

),(,),(2

2

y y

v

x v y u x x u y y x v x y x u =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂==续，但柯西黎曼方程

仅在x=y 处成立，故函数在x=y 处可导，x

v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,处处不解析.

(4分)

2) ,6,33,

3),(,3),(223

2

2

3

xy y

u y x x u y y x y x v xy x y x u -=∂∂-=∂∂-=-=

显然四个偏导数处处连续且柯西-黎曼方程,33,622y x y

v

xy x v -=∂∂=∂∂处处成立，所以函数处处可导，处处解析. x

v

y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,3. 设C 为正向圆周|z |=3，计算积分I=。

⎰

-+C

dz z z z

)

2)(12(

解：因为函数

在内的奇点为：,

)2)(12(-+z z z 3||≤z 22

1

=-=z z 和 首先由复合闭路定理有

， ⎰⎰⎰==--++-+=-+=C z z dz z z z

dz z z z dz z z z I 1|||2|21

)2(1

2)2(12)2(12）（）（）（由柯西积分公式有：

i

z z i dz z z z

dz z z z

i z z i dz z z z

dz z z z z z z z z z ππππ5

4122212)2)(12(5

)2(22)(2)

2()2)(12(2|2||2|1||1||212

1212

1=+=-+=-+=-=+-=-+==-=-=-==⎰⎰⎰⎰所以.)2(1

2)2(121|||2|21i dz z z z

dz z z z I z z π=-++-+==

⎰⎰==-）（）（ 本题也可按留数定理去做.

4．求函数的傅里叶变换。⎩⎨

⎧>≤=0

,

00

,

)(t t e t f t 解：F [f (t )]=

.ω

ωωωωωj e j dt e dt e

e dt e

t f t j t j t

j t t

j -=

-=

==∞--∞

--∞

--+∞

∞--⎰⎰⎰

11

11)(0)1(0

)1(0

5．求下列各函数在孤立奇点处的留数。

1)

；2

cos 1z z

-2)

在z=2处的留数；

)

3)(2(1

+-z z z 3) 。1

1sin

-z 解：1） 0是的奇点，因为，故z=0为可去奇点，2cos 1z z -21

2sin lim cos 1lim 020==-→→z z z

z z z 因此

.0]0,cos 1[

Re 2

=-z

z

s 2）z=2是

的一阶极点，故

)

3)(2(1

+-z z z