向量的数量积及其应用教案

平面向量的数量积及其应用

讲师：王光明

一、复习目标

深刻理解平面向量数量积的定义及其几何意义。能应用向量数量积解决有关向量垂直问题，向量的长度、夹角的问题，能将其它章节某些问题转化为可用向量数量积解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力。

二、基础知识知识点回顾

1、两个向量的夹角是如何规定的？两个向量的夹角的取值范围是什么？ 如下图，已知两个非零向量和作=，=，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量与的夹角，记作〈，〉.

2、平面向量数量积的定义是什么？其几何意义是什么？ 如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ∙b ，即a ∙b ＝a b cos q 。规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注意数量积是一个实数，不再是一个向量

a ∙

b 的几何意义：数量积a ∙b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。b 在a 上的投影为||cos b θ =b a a

，它是一个实数，但不一定大于0

3、平面向量数量积有哪些性质？

设e 是单位向量，〈a ，e 〉=θ.

（1）e ·a =a ·e =|a |cos θ.

（2）当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =－|a ||b |，

特别地，a ·a =|a |2

，或|a （3）a ⊥b ⇔a ·b =0.(a 、b 都是非零向量)

注意：零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行，但却不可以与任何向量垂直

（4）cos θ= ×a b |a ||b |

. （5）|a ·b |≤|a ||b |.

4. 平面向量数量积运算律：

（1）a ·b =b ·a ；

（2）（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）；

（3）（a +b ）·c =a ·c +b ·c

思考讨论

()()a b c a b c 与是否相等?

5.向量数量积的坐标运算：

设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则

（1）a ·b =x 1x 2+y 1y 2；

（2）|a

（3）cos 〈a ，b 〉

（4）a ⊥b Þa ·b =0Þx 1x 2+y 1y 2=0.

三、双基训练

1.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |等于 A.7 B.10 C.13 D.4

解析：|a +3b

|=

960cos 1161+︒⨯⨯⨯+=13.

答案：C

2.已知a =（λ，2），b =（3，—6），且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 解析：a 与b 的夹角为钝角，cos < 0且cos≠-1，

又cos

> =()(),11,4λ∈-∞-⋃-

3．已知,,为非零的平面向量. 甲：,

:,a b a c b c ⋅=⋅= 乙则 （ ）

()A 甲是乙的充分条件但不是必要条件；()B 甲是乙的必要条件但不是充分条件

()C 甲是乙的充要条件； ()D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

若a b =a c ，则|a ||b |cos a =|a ||c |cos b （其中α、b 分别为a 与b ，a 与c 的夹角）若|a |≠0，则 |a |cos a =|c |cos β.∵cos a 与cos b 不一定相等，∴|b |与|c |不一定相等.∴b 与c 也不一定相等.∴甲Þ乙

若b =c 则|b |=|c |且b 与a ，c 与a 夹角相等，∴a b a c ⋅=⋅ 乙⇒甲

四、平面向量的数量积的应用

例1、已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，

（1）求证： a b a b +- 与互相垂直；

（2）若ka b a kb +- 与的相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α

（1）证法一：

∵a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）

∴a b + ＝（cosα+cosβ，sin α+ sinβ）,

a b - ＝（cosα-cosβ，sin α- sinβ）

∴()a b + ·()a b - =（cosα+cosβ，sin α+ sinβ）·（cosα-cosβ，sin α- sinβ）

=cos 2α-cos 2β+sin 2α- sin 2β=0

∴()a b + ⊥()a b -

证法二：

∵a =（cosα，sin α）b =（cosβ,sinβ）

∴a ＝1，b ＝1

∴()a b + ·

()a b - =22a b - =22||||a b - =0 ∴()a b + ⊥()a b -

证法三：

∵a =（cosα，sin α）, b =（cosβ,sinβ）

∴a ＝1，b ＝1,

记＝a ，＝b ，则||＝||=1,

又α≠β，∴O 、A 、B 三点不共线。

由向量加、减法的几何意义，可知以OA 、OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形，其中＝a b + ，BA ＝a b - ，

由菱形对角线互相垂直，知()a b + ⊥()a b -

（2）解：由已知得|||ka b a kb +=- |

又∵2||ka b + ＝(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k 2+1+2kcos (β－α),

2|a kb - |＝(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=k 2+1-2kcos (β－α),

∴2kcos (β－α)= -2kcos (β－α)

又∵k ≠0 ∴cos (β－α)＝0

∵0<α<β<π ∴0<β－α<π,

∴β－α=2

π 评述：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证

例2. 如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与

的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值. 解法一： ,AB AC ⊥ 0.AB AC ∴⋅= ,,,AP AQ BP AP AB CQ AQ AC =-=-=- ()()BP CQ AP AB AQ AC \?-? AP AQ AP AC AB AQ AB AC =⋅-⋅-⋅+⋅ 2a AP AC AB AP =--⋅+⋅ 2()a AP AC AB =--⋅-

212a PQ BC =-+⋅ 212

a PQ BC =-+⋅ 22cos .a a θ=-+ 故当cos 1θ=，即0θ=（PQ 与BC 方向相同）时，BC CQ ⋅ 最大，其最大值为0。

解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设||||AB c AC b ==，则(0,0),(,0),(0,),A B c C b 且||2,||.PQ a BC a ==

(,),(,),BP x c y CQ x y b ∴=-=---

设点P 的坐标为(,)x y ， 则(,)Q x y --，(,),(2,2).BC c b PQ x y =-=-- ()()()BP CQ x c x y y b ∴⋅=--+-- 22().x y cx by =-++-