空间中的平行(经典)

空间中的平行

一、知识梳理

<一>线线平行与线面平行

1.线线平行：

定义：空间中两直线共面且没有交点，则两直线平行.

证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线平行并等于底边的一半；

②平行四边形两组对边分别平行；

③梯形的一组对边平行；

④直线平行的传递性：若a//b,b//c,则a//c.

2.线面平行

定义：若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行.

判定1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭

判定2:两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行.

a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫

⎫⎬⎬⎭⎭

或

线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行.

<二>面面平行

1.定义：若两个平面没有交点，则两个平面平行

2.判断：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

,,a b a b A a b αααβ

ββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭

,,,a b a b A a a b b a b ααββ⊂⎫

⎪=⎪⇒⎬''⎪

⎪''⊂⎭

判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行.

3.两平面平行的性质： 性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行.

a a

b b αβ

αγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭

性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；

性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

,,A C AC BD B D AB CD αβ

αβ∈⇒=∈⎫

⎪⎪⎬⎪

⎪⎭

二、典例精析

【例1】如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，

F 为BE 的中点．求证：DF ∥平面ABC .

【练习】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求

证：MN ∥平面P AD .

【例2】已知正方形ABCD 所在的平面和正方形ABEF 所在的平面相交与AB ，M 、N 分别

是AC 、BF 上的中点.求证：MN//平面BCE .

【练习】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的上一点，且PE=2ED ．若

F 为PE 的中点.求证：BF ∥平面AEC .

【例3】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ．AB =BC=

22AD ，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ．求证：PD ∥平面EAC .

【练习】如图，正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB ，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且

31==BD BN PA PM .求证：MN ∥平面PBC .

2【例4】a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题

①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ②a ∥γ ，b ∥γ ⇒a ∥b ③α∥c ，β∥c ⇒α∥β

④ α∥γ ，β∥γ ⇒α∥β ⑤α∥c ，a ∥c ⇒α∥a ⑥α∥γ ，a ∥γ ⇒α∥a

其中正确的命题是（ ）

A.①②③⑥ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①④⑥

【练习】下面六个命题中正确命题的个数是（ ）

①如果a 、b 是两条直线，b a //，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；

②如果直线a 和平面α满足a //α,那么a 与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a //α,b //α,那么b a //；

④如果直线a 、b 和平面α满足b a //，a //α，α⊄b ，那么b //α；

⑤如果直线a 与平面α上的无数条直线平行，则a //α；

⑥如果平面α的同侧有两点A 、B 到平面α的距离相等，则AB //α.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【例5】一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关

系是（ ）

A ．异面

B ．相交

C ．平行

D ．不能确定

【练习】直线a //平面α，α内有n 条直线交于一点，这n 条直线直线中与直线a 平行的直

线（ ）

A.至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条 D ．没有

三、课后练习

1．已知直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于α的直线（ ）

A ．只有一条，不在平面α内

B ．有无数条，不一定在α内

C ．只有一条，且在平面α内

D ．有无数条，一定在α内 2．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是（ ）

A ．平行

B ．相交

C ．相交或平行

D ．以上答案都不对

3．下列结论中正确的是（ ） ①α∥β，β∥γ，则α∥γ；②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；

③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；

④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交.

A ．①②③

B ．②③④

C ．①③④

D ．①②③④

4．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是( )

A ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在

B ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b

C ．过A 至少有一个平面平行于a 和b

D ．过A 有无数个平面平行于a 和b