空间中的平行(经典)
考点22 空间几何平行问题(讲解)(解析版)
考点22 空间几何平行问题【思维导图】【常见考法】考法一 平行传递性证线线平行1．四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= 证明：直线//BC 平面PAD ;【答案】见解析 【解析】 在平面内，因为,所以又平面平面故平面考法二 三角形中位线证线线平行1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点，求证：PC // 平面BDE ；【答案】见解析【解析】证明: 连结AC ,交BD 于O ,连结OE .因为ABCD 是平行四边形,所以OA OC =. 因为E 为侧棱PA 的中点所以OE ∥PC .因为PC ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE .2．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，证明：//E PB A C 平面；【答案】见解析【解析】连结BD 交AC 于点O,连结EO 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点 又E 为的PD 的中点，所以EO//PBEO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC考法三 构造平行四边形证线线平行1．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点，求证：EF ∥平面PCD .【答案】详见解析【解析】如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =， ∴ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD . 又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF 平面PCD .2．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，60BAD ∠=，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =，证明：1//D G 平面11BB C C【答案】证明见解析【解析】证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，//AB CD ，44AB CD ==，3AG GB =， 则11////GB CD D C ，且111GB D C ==， 所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11//D G C B . 又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ， 所以1//D G 平面11BB C C .考法四 线面垂直的性质证线线平行1．如图，BCD 与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，2AB =，证明：直线//AB 平面MCD ；【答案】见解析【解析】证明：取CD 中点O ，连接MO ，MCD 是正三角形，MO CD ∴⊥∵平面MCD ⊥平面BCD ，MO ∴⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，∴//MO AB ，又MO ⊂面MCD ，AB ⊄面MCD ，//AB ∴面MCD .2如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =//EF 平面ABCD证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH =D ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ， 平面ABCD ⋂平面BCE BC =， ∴EH ⊥平面ABCD ，又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =∴//FD EH ，FD EH =. ∴四边形EHDF 为平行四边形． ∴//EF HD .∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， ∴//EF 平面ABCD ．考法五 三角形相似比证线线平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA =//AB CD ，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱P A 上一点，若13PE PA =，求证：//PC 平面EBD【答案】证明见解析【解析】设AC BD G ⋂=，连结EG ， 由已知//AB CD ，1DC =，2AB =，得2AG ABGC DC==. 由13PE PA =，得2AEEP =. 在PAC ∆中，由AE AG EP GC=，得//EG PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以//PC 平面EBD.2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC .证明：1//CB 面1A EF【答案】详见解析【解析】连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ． 因为11AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC=，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ，又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .考法六 线面平行性质证明线线平行1．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 上一点，且13AE ED =，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，PFFC= .【答案】14【解析】连接AC 交BE 于点M ，连接FM ． //PA 平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面EBF FM =，//PA FM ∴，∴14PF AM AE FC MC BC ===，2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过点G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH ，点H 在线段BD 上.求证：//AP GH .【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AC ，设AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点又M 是PC 的中点，∴//MO PA . 又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ， ∴//PA 平面BDM又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =，∴//AP GH ．3．如图所示，在多面体111A B D DCBA -中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F .证明：1//EF B C . 【答案】见解析 【解析】证明：11B C A D =且11A B CD =，∴四边形11A B CD 为平行四边形，11//B C A D ∴，又1B C ⊂/平面1A EFD ，1A D ⊂平面1A EFD1//B C ∴平面1A EFD ，又因为平面1A EFD平面11B CD EF =，1B C ⊂平面11B CD ，1//EF B C ∴；考法七 面面平行的性质证线面平行1．如图①所示，在直角梯形ABCP 中，APBC ，12AP AB AB BC AP ⊥==，，D 为AP 的中点，E F G ，，分别为PC PD CB ，，的中点，将PCD 沿CD 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②所示.求证：在四棱锥P ABCD -中，AP ∥平面EFG . 【答案】见解析【解析】∵G 为BC 的中点，E 为PC 的中点，∴GE ∥BP ∵GE ⊄平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，∴GE ∥平面PAB ， 由F 为PD 的中点，得EF ∥DC ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥AB∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ，∵EF∩GE ＝E ∴平面EFG ∥平面PAB ，∵PA ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG ．2如图，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且14BF PB =，证明：//EF 平面ABC ；证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ， 因为GE∩GF=G ，AC∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC考法八：面面平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .【答案】证明见解析【解析】证明 :::,==PM MA BN ND PQ QD .//,//∴MQ AD NQ BPBP ⊂平面,PBC NQ ⊄平面PBC ，//NQ ∴平面PBC .∵底面ABCD 为平行四边形，//,//BC AD MQ BC ∴∴.BC ⊂平面,PBC MQ ⊂/平面PBC ，//MQ ∴平面PBC .又MQ NQ Q =，根据平面与平面平行的判定定理，所以面//MNQ 平面PBC2．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，求证：（1）B C H G ，，，四点共面；（2）平面1EFA //平面BCHG ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)G H ，分别是1111A B A C ，的中点，GH ∴是111A B C △的中位线，则11//GH B C ，又11////B C BC GH BC ∴，，B C H G ∴，，，四点共面． (2)E F ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，EF ∴平面BCHG ，又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥，1A G EB ∴⊥，∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG ，又1A E EF E ⋂＝，∴平面1EFA //平面BCHG ，考法九：动点问题1．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，点F 为棱PD 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由；【答案】见解析；【解析】在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ ∥DC 且1FQ CD 2=，AE ∥CD 且1AE CD 2=，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ ．所以，四边形AEQF 为平行四边形．所以，AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，AF ∥平面PEC ．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若MB 平面AEF ，试判断点M 的位置.【答案】M 是AC 的中点【解析】由题意知//MB 平面AEF ，过,,F B M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接,MN NF .因为//BF 平面11,AAC C BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面11AAC C MN =，所以BF MN .因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面AEF FN =，所以//MB FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以1MN BF ==.而//,22EC FB EC FB ==，所以1//,12MN EC MN EC==，故MN是ACE的中位线.所以M是AC的中点时，//MB平面AEF.。
考点22 空间几何平行问题(讲解)(解析版)
考点22 空间几何平行问题【思维导图】【常见考法】考法一平行传递性证线线平行1．四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= 证明：直线//BC 平面PAD ;【答案】见解析【解析】 在平面内，因为,所以又平面平面故平面考法二 三角形中位线证线线平行1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点，求证：PC // 平面BDE ；【答案】见解析【解析】证明: 连结AC ,交BD 于O ,连结OE .因为ABCD 是平行四边形,所以OA OC =.因为E 为侧棱PA 的中点所以OE ∥PC .因为PC ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE .2．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，证明：//E PB A C 平面；【答案】见解析【解析】连结BD 交AC 于点O,连结EO 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点又E 为的PD 的中点，所以EO//PBEO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC考法三 构造平行四边形证线线平行1．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点，求证：EF ∥平面PCD .【答案】详见解析【解析】如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =， ∴ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD .又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF 平面PCD .2．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，60BAD ∠=，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =，证明：1//D G 平面11BB C C【答案】证明见解析【解析】证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，//AB CD ，44AB CD ==，3AG GB =， 则11////GB CD D C ，且111GB D C ==，所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11//D G C B .又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1//D G 平面11BB C C .考法四 线面垂直的性质证线线平行1．如图，BCD 与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，2AB =，证明：直线//AB 平面MCD ；【答案】见解析【解析】证明：取CD 中点O ，连接MO ， MCD 是正三角形，MO CD ∴⊥∵平面MCD ⊥平面BCD ，MO ∴⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，∴//MO AB ，又MO ⊂面MCD ，AB ⊄面MCD ，//AB ∴面MCD .2如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =//EF 平面ABCD证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH =D∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABCD ⋂平面BCE BC =，∴EH ⊥平面ABCD ，又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =∴//FD EH ，FD EH =.∴四边形EHDF 为平行四边形．∴//EF HD .∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ．考法五 三角形相似比证线线平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA =//AB CD ，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱P A 上一点，若13PE PA =，求证：//PC 平面EBD【答案】证明见解析【解析】设AC BD G ⋂=，连结EG ，由已知//AB CD ，1DC =，2AB =，得2AG AB GC DC ==. 由13PE PA =，得2AE EP =. 在PAC ∆中，由AE AG EP GC =，得//EG PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以//PC 平面EBD.2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC .证明：1//CB 面1A EF【答案】详见解析【解析】连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ．因为11AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC =，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ， 又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .考法六线面平行性质证明线线平行1．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD上一点，且13AEED=，F为PC上一点，当//PA平面EBF时，PFFC=.【答案】1 4【解析】连接AC交BE于点M，连接FM．//PA平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC平面EBF FM=，//PA FM ∴，∴14 PF AM AEFC MC BC===，2．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//AP GH.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点又M 是PC 的中点，∴//MO PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，∴//PA 平面BDM又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =，∴//AP GH ．3．如图所示，在多面体111A B D DCBA -中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F .证明：1//EF B C .【答案】见解析【解析】证明： 11B C A D =且11A B CD =，∴四边形11A B CD 为平行四边形，11//B C A D ∴，又1B C ⊂/平面1A EFD ，1A D ⊂平面1A EFD1//B C ∴平面1A EFD ，又因为平面1A EFD 平面11B CD EF =，1B C ⊂平面11B CD ，1//EF B C ∴；考法七 面面平行的性质证线面平行1．如图①所示，在直角梯形ABCP 中，AP BC ，12AP AB AB BC AP ⊥==，，D 为AP 的中点，E F G ，，分别为PC PD CB ，，的中点，将PCD 沿CD 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②所示.求证：在四棱锥P ABCD -中，AP ∥平面EFG .【答案】见解析【解析】∵G 为BC 的中点，E 为PC 的中点，∴GE ∥BP∵GE ⊄平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，∴GE ∥平面PAB ，由F 为PD 的中点，得EF ∥DC ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥AB∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ，∵EF∩GE ＝E∴平面EFG ∥平面PAB ，∵PA ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG ．2如图，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且14BF PB =，证明： //EF 平面ABC ；证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ， 因为GE∩GF=G ，AC∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC考法八：面面平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .【答案】证明见解析【解析】证明 :::,==PM MA BN ND PQ QD .//,//∴MQ AD NQ BPBP ⊂平面,PBC NQ ⊄平面PBC ，//NQ ∴平面PBC .∵底面ABCD 为平行四边形，//,//BC AD MQ BC ∴∴.BC ⊂平面,PBC MQ ⊂/平面PBC ，//MQ ∴平面PBC .又MQ NQ Q =，根据平面与平面平行的判定定理，所以面//MNQ 平面PBC2．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，求证：（1）B C H G ，，，四点共面；（2）平面1EFA //平面BCHG ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)G H ，分别是1111A B A C ，的中点，GH ∴是111A B C △的中位线，则11//GH B C ，又11////B C BC GH BC ∴，，B C H G ∴，，，四点共面． (2)E F ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，EF ∴平面BCHG ，又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥，1A G EB ∴⊥，∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG ，又1A E EF E ⋂＝，∴平面1EFA //平面BCHG ，考法九：动点问题1．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，点F 为棱PD 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由；【答案】见解析；【解析】在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ ∥DC 且1FQ CD 2=，AE ∥CD 且1AE CD 2=，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ ．所以，四边形AEQF 为平行四边形．所以，AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，AF ∥平面PEC ．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若MB 平面AEF ，试判断点M 的位置.【答案】M 是AC 的中点【解析】由题意知//MB 平面AEF ，过,,F B M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接,MN NF .因为//BF 平面11,AAC C BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面11AAC C MN =，所以BF MN .因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面AEF FN =，所以//MB FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以1MN BF ==.而//,22EC FB EC FB ==， 所以1//,12MN EC MN EC ==， 故MN 是ACE 的中位线.MB平面AEF.所以M是AC的中点时，//。
空间中的平行关系
α
①②④
5.空间四边形ABCD，若M、N分别为对角线BD、AC 的中点，AB＝CD＝2，MN＝ 2，则AB与CD所成 的角等于( 90 0)
A
N B M C D
类型一:直线与平面平行的判定 类型一 直线与平面平行的判定 例1:如图所示,已知P,Q是正方体 ABCD --- A1B1C1D1的面 A1 B1 BA 和面 ABCD 的中心. 证明:PQ ∥ BCB1C1
例3:如图，在正方体ABCD－A’B’C’D’中，M是A’B’的中 点，求异面直线AC与BM所成角的余弦值。
D A C B
D' A' M
N B'
C'
小结． 小结 线线平行、线面平行、面面平行的转化
• 两平面平行问题常常转化为直线与平面平行， 而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以注意转化思想的应用，以下为三种平行关 系相互转化的示意图．
类型二:面面平行的判定 类型二 面面平行的判定 例2:如右图所示，正三棱柱 ABC _ A1 B1C1 各棱长为4，E、F、 G、H分别是AB、AC、 A1C1 、A1 B1 的中点，求证：(1)平 面 A1 EF ∥平面BCGH.(2)求三棱锥 A1 __ AEF 的体积
、
类型三:异面直线所成的角 类型三 异面)BC∥l. • 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD. ⊄ ⊂ • 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD. • 又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝ ⊂ l.∴BC∥l.
• • • • • • • • •
(2)MN∥平面PAD. 证明：取CD的中点E，连结ME、NE. ∵M、N分别为AB、PC的中点， ∴ME∥AD，NE∥PD. 又ME⊄平面PAD，NE⊄平面PAD， ∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD， 又ME∩NE＝E， ∴平面MNE∥平面PAD. 而MN⊂平面MNE.∴MN∥平面PAD.
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明(解析版)
2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明考点一、线线平行例1、如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为DC ，AC 的中点，过EF 的平面与BD ，AB 分别交于点G ，H .求证：//EF GH证明：因为E ，F 分别为DC ，AC 的中点，所以//AD EF ，因为AD ⊄平面EFHG ，EF ⊂平面EFHG所以//AD 平面EFHG又平面EFHG ⋂平面ABD HG =，AD ⊂平面ABD所以//AD GH ，所以//EF GH .例2、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD //平面GAC .求证：G 为SB 的中点证明：证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接GE ，∵//SD 平面GAC ，平面SDB 平面=GAC GE ，SD ⊂平面SBD ，∵//SD GE ，而E 为BD 的中点，∵G 为SB 的中点.例3、在正四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,AB AD 的中点，过直线EF 的平面α分别与侧棱,PB PD 交于点,M N ，求证：//MN BD证明：证明：在ABD △中，因为E ，F 分别是,AB AD 的中点，所以EF BD ∕∕且12EF BD =， 又因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以//EF 平面PBD因为EF ⊂平面,αα⋂平面PBD MN =，所以//EF MN ，所以//MN BD ．跟踪练习 1、如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，//AB CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ，求证：//CD EF证明：证明：因为//AB CD ，AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 因为平面ABE 平面CDE EF =，CD ⊂平面CDE ，所以//CD EF .2、在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，求证：//AB MN答案：证明见解析证明：∵底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∵EF //CD ，∵EF //AB .EF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，∵MN //EF ，∵AB //MN .3、如图，三棱锥P ABC -中，∵ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，求证：//DE BC证明：∵1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，∵11//B C BC ，∵11B C ⊄平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∵11//B C 平面BCDE ，∵11B C ⊂平面11B C DE ，平面BCDE ⋂平面11B C DE DE =，∵11//B C DE ，则//DE BC ；4、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，点G.E.F .H 分别是棱PB ．AB ．DC ．PC 上共面的四点，//BC 平面GEFH.证明：//GH EF证明：∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面PBC 且平面PBC平面GEFH GH =，∵//BC GH .又∵//BC 平面GEFH ，又∵BC ⊂平面ABCD 且平面ABCD平面GEFH EF =，∵//BC EF ，∵//EF GH .5、如图，AE ⊥平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，求证：//AD BC证明：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∵//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∵平面//BCF 平面ADE ，∵平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE平面ABCD BC =，∵//AD BC ；考点二、 线面平行例1、如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中D 是AC 的中点，求证：B 1C ∵平面A 1BD证明：设AB 1与A 1B 相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1中点，∵D 为AC 中点，∵PD ∵B 1C ，又∵PD ∵平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∵B 1C ∵平面A 1BD例2、如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接,BM CE 交于点,F G 为ABE △的重心，证明：//GF 平面ABC证明：延长EG 交AB 于N ，连接CN ，因为G 为ABE △的重心，则N 为AB 的中点，且2EG GN =， 因为//CM BE ，所以2EF BE FC CM ==，所以2EF EG FC GN==，因此//GF NC ， 又因为GF ⊄平面ABC ，NC ⊂平面ABC ，所以//GF 平面ABC ；例3、如图，四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，若G ，F 分别是线段EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 平面ABC .证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，又G 是线段EC 的中点，故//GF AC ，GF ⊄面ABC ，AC ⊂面ABC ，//GF ∴面ABC ；跟踪练习1、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，证明：1//AB 平面1BC D证明：直三棱柱111ABC A B C -中，设1B C 与1BC 交于点E ，连接DE ，四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点，因D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，又1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D . 2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABC A B C -中，，11AA AB AC ===，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在线段11A B 上，若P 为11A B 的中点，求证：//PN 平面11AAC C证明：证明：取11A C 的中点H ，连接PH ，HC .在堑堵111ABC A B C -中，四边形11BCC B 为平行四边形，所以11//B C BC 且11B C BC =.在111A B C △中，P ，H 分别为11A B ，11A C 的中点，所以11//PH B C 且1112PH B C =.因为N 为BC 的中点，所以12NC BC =， 从而NC PH =且//NC PH ， 所以四边形PHCN 为平行四边形，于是//PN CH .因为CH ⊂平面11AC CA ，PN ⊄平面11AC CA ，所以//PN 平面11AACC .3、如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点，证明：//MN 平面ABCD证明：连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D B C ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；4、如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，M 是AB 的中点，N 是PD 的中点，PA AB =，求证：//MN 平面PBC证明：如图∵，取PC 的中点Q ，连接BQ ，NQ ，因为N 是PD 的中点，所以//NQ CD 且12NQ CD =.因为四边形ABCD 是菱形，M 是AB 的中点，所以//BM CD 且12BM CD =， 从而//BM NQ 且BM NQ =，所以四边形BMNQ 是平行四边形，从而//MN BQ .又MN ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC . 5、如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，222BC CD CE AD BG =====，）求证：//AG 平面BDE答案：证明见解析证明：证明：过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连接DM ，如图所示：因为BC CE ⊥，且2CE BG =，所以N 为CE 中点，所以MG MN =，MNBC DA ，12MN AD BC ==， 所以MG AD ，MG AD =，所以四边形ADMG 为平行四边形，所以AG DM ，又DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，所以AG 平面BDE .6、在四棱锥P —ABCD 中，AB //CD ，过CD 的平面分别交线段P A ，PB 于M ，N ，E 在线段DP 上(M ，N ，E 不同于端点)求证：CD //平面MNE证明：证明：∵//AB CD ，AB ⊂平面ABP ，CD ⊄平面ABP ∵//CD 平面ABP又∵CD ⊂平面CDMN ，平面CDMN 平面ABP MN =∵//CD MN又∵MN ⊂平面MNE ，CD ⊄平面MNE ∵//CD 平面MNE7、如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，1AB =，点M 为AE 的中点，求证：//BM 平面EFC证明：连接AC 交BD 于点N .连接MN .因为四边形ABCD 是正方形，所以N 为AC 的中点，由于M 为AE 的中点，所以//MN CE ， 又因为MN ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//MN 平面CEF ，易知//BN EF ，BN ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//BN 平面CEF ，因为MN BN N ⋂=，BN ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以平面//BMN 平面CEF .又因为BM ⊂平面BMN ，所以//BM平面EFC ；8、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，22AB CD ==，若Q 为AB 的中点，求证：//DQ 平面PBC证明：∵在梯形ABCD 中，//AB CD ，22AB CD ==，Q 为AB 的中点，所以//BQ CD 且BQ CD =，∵四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DQ BC ，∵BC ⊂平面PBC ，DQ ⊄平面PBC ，所以//DQ 平面PBC ．9、如图所示，四面体P ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，过EF 作四面体的截面EFGH 交PC 于点G ，交PB 于点H ，证明：GH /平面ABC证明：∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点,∵EF ∵BC ,又∵EF ∵平面PBC ,BC ∵平面PBC ,∵EF ∵平面PBC ,∵EF ∵平面EFGH ,平面EFGH ∩平面PBC =GH ,∵EF ∵GH ,又∵GH ∵平面ABC ,EF ∵平面ABC ,∵GH ∵平面ABC ;10、如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点，求证：1//AB 平面1BC D证明：证明：如图，连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ，∵四边形11BCC B 是平行四边形．∵点O 为1B C 的中点．∵D 为AC 的中点，∵OD 为1AB C 的中位线，∵1//OD AB ．∵OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，∵1//AB 平面1BC D ．11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点，求证：//PB 平面ACM答案：证明见解析证明：证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中，,O M 分别为,BD PD 的中点，//BP OM ∴,BP ⊄平面,ADE OM ⊂平面CAM ，//BP ∴平面CAM ；12、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =，证明：1//CB 平面1A EF答案：证明见解析证明：连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，因为四边形11ABB A 为菱形，则11//AA BB 且11AA BB =， E 为1BB 的中点，则11//B E AA 且1112B E AA =，故11112B G B E AG AA ==， 所以，1B G CF AG AF=，1//CB FG ∴， 1CB ⊄平面1A EF ，FG ⊂平面1A EF ，因此，1//CB 平面1A EF ；考点三、 面面平行例1、如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，12,,AC AA AD DC AC BD ====交于点E ，且,E F 分别为1,AC CC的中点，2BE =，求证：平面11//B CD 平面1A BD证明：如图，连接1AD ，设11AD A D H ⋂=，则H 为1AD 的中点，而E 为AC 的中点，连接EH ，则EH为1ACD △的中位线，所以1//EH CD ，又EH ⊄平面11B CD ，1CD ⊂平面11B CD ，所以//EH 平面11B CD ，又因为侧棱与底面垂直，所以1111//,=BB DD BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，又BD EH E ⋂=，,BD EH ⊂平面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD .例2、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D ，E ，H 分别是PA ，BC ，PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：连结BG ，因为PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，D 为PA 的中点，所以BG 与GD 共线，且2BG GD =，因为E 为BC 的中点，3BF FC =，所以F 是CE 的中点， 所以2BG BE CD EF==，所以//GE DF ， 又GE平面PGE ，DF ⊄平面PGE ，所以//DF 平面PGE ， 因为H 是PC 的中点，所以FH //PE ，因为FH ⊄平面PGE ，PE ⊂平面PGE ，所以//FH 平面PGE ，因为FH DF F ⋂=，,FH DF ⊂平面DFH ，所以平面//DFH 平面PGE ；例3、如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，2//AB DE BF BF DE ==，，，M 为棱AE 的中点，求证：平面//BMD 平面EFC证明：如图，连接AC ，交BD 于点N ，∵N 为AC 的中点，连接MN ，由M 为棱AE 的中点，则//MN EC ．∵MN ⊄面EFC ，EC ⊂面EFC ，∵//MN 平面EFC ．∵//BF DE BF DE =，，∵四边形BDEF 为平行四边形，∵//BD EF ．又BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∵//BD 平面EFC ，又MNBD N =， ∵平面//BMD 平面EFC ．跟踪练习1、如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，2AB BE EC ===，G ，F ，M 分别是线段BE ，DC ，AB 的中点，求证：平面//GMF 平面ADE证明：如图，因为AB中点为M，连接MG，∥，又G是BE的中点，可知GM AE又AE⊆平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF AD．又AD⊆平面ADE，MF⊄平面ADE，所以MF平面ADE．⋂=，GM⊆平面GMF，MF⊆平面GMF，又因为GM MF M所以平面GMF平面ADE2、如图，四边形ABCD是边长为BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∵平面CB1D1证明：证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则O 为AC 的中点，∵E 是1AD 的中点，1//OE CD ∴OE ⊂平面BDEF ,1CD ⊄平面BDEF ,所以1//CD 平面BDEF又F 是1AB 的中点11//EF B D ∴EF ⊂平面BDEF ,11B D ⊄平面BDEF ,所以11//B D 平面BDEF又111,CD B D ⊂平面11CB D ,1111B D CD D ⋂=, 所以平面//BDEF 平面11CB D ．3、如图，已知矩形ABCD 所在的平面垂直于直角梯形ABPE 所在的平面，且EP =2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，F ，G 分别是BC ，BP 的中点，求证：平面//AFG 平面PEC证明：∵F ，G 分别是BC ，BP 的中点，∵FG CP ，且FG ⊄平面CPE ，则FG ∥平面CPE ，1BG PG AE ===，且//AE BP ，AE EP ⊥∵四边形AEPG 是矩形，则EP AG ∥，且AG ⊄平面CPE ，则AG平面CPE又GA GF G ⋂=，故平面//AFG 平面PEC4、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，P ，Q 是AB ，CD 的中，点M ，N 分别是SB ，CB 的中点，求证∵平面AMN //平面SCD答案：证明见解析证明：因为M 、N 分别是SB ，CB 的中点，所以//MN SC ，MN ⊄面SCD ，SC ⊂面SCD ，所以//MN 面SCD ，又//AD CN 且AD CN =，所以ADCN 为平行四边形，所以//AN DC ，AN ⊄面SCD ，DC ⊂面SCD ，所以//AN 面SCD ，又AN MN N =，,AN MN ⊂面AMN ，所以面//AMN 面SCD ；5、如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △是正三角形，G 是PAB △的重心，,,D E H 分别是,,PA BC PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =，求证：平面//DFH 平面PGE证明：证明：连结BG ，由题意可得BG 与GD 共线，且2BG GD =，∵E 是BC 的中点，3BF FC =，∵F 是CE 的中点，∵2BG BE GD EF==，∵//GE DF ，GE 平面PGE ；DF ⊄平面PGE ；∵//DF 平面PGE ， ∵H 是PC 的中点，∵//FH PE ，PE ⊂平面PGE ，FH ⊄平面PGE ；∵//FH 平面PGE ， ∵DF FH F =，DF ⊂平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∵平面//DFH 平面PGE ； 考点四 平行中的动点例1、直三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为2，在AB 边上是否存在一点E ，使1//AC 平面1CEB ，若存在给出证明，若不存在，说明理由证明：存在，E 是AB 的中点，直三棱柱111ABC A B C -中，连接1BC 交1B C 于点O ，如图：则O 为1BC 中点，连接OE ，而E 为AB 的中点，则1//OE AC ，又1AC ⊄平面1CEB ，OE ⊂平面1CEB ，所以1//AC 平面1CEB ；例2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，CA CB ==，1AA =D 是棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，且1AD EC ⊥，在棱BC 上是否存在点F ，满足//EF 平面1ADC ，若存在，求出BF 的值答案：存在，BF =证明：因为1AA ⊥面ABC ，故三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱.故1AA ⊥面111A B C ，而1C D ⊂面111A B C ，故11AA C D ⊥，因为CA CB ==，故1111C A C B ==112B A =，因为D 是棱11A B 的中点，故111C D A B ⊥，因为1111AA A B A =， ∵直线1C D ⊥平面ADE ，而AD ⊂平面ADE ， ∵1C D AD ⊥，又1AD EC ⊥，111C D C E C ⋂=，∵AD ⊥平面1DEC ，而DE ⊂平面1DEC ，∵AD DE ⊥，在矩形11ABB A 中，11ADA DEB ∠=∠，11AA D DB E ∠=∠，故11ADA DEB ∠，故1111AA A D DB EB =11EB =即1=3EB ，故12BE EB =. 过E 作EG DE ⊥，交AB 于G ，取AB 的中点为L ，连接,DL CL ，则1DEB EGB ∠=∠，而190DB E EBG ∠=∠=︒，故1EBG DB E ， 所以11BG EB B E B D =31=，所以23BG =.在矩形11ABB A 中，因为11ADA DEB ∠=∠，故1ADA EGB ∠=∠，而1ADA DAL ∠=∠，所以EGB DAL ∠=∠，所以//AD EG ，而AD ⊂平面1ADC ，EG ⊄平面1ADC ，所以//EG 平面1ADC .在BC 上取点F ，使233BF BC ==，连GF ， 因为1BL =，故23BG BL =，故//GF CL . 在矩形11ABB A 中，因为,D L 为所在棱的中点，故11//,,DL AA DL AA =而1111//,,CC AA CC AA =故11//,CC DL CC DL =，故四边形1C DLC 为平行四边形，故1//DC CL ，故1//GF DC ，而1C D ⊂平面1ADC ，FG ⊄平面1ADC ，所以//FG 平面1ADC .因为GF EG G ⋂=，故平面以//EGF 平面1ADC ，因为EF ⊂平面EGF ，故//EF 平面1ADC .例3、如图，已知AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，12AB AC AD BC ===，设P 是直线BE 上的点，当点P 在何位置时，直线//DP 平面ABC ？请说明理由证明：当点P 是BE 的中点时，//DP 平面ABC .理由如下：如下图，取BC 的中点O ，连接AO 、OP 、PD ，则//OP EC 且12OP EC =，因为AD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，所以//AD EC . 又12AD EC =，所以//OP AD 且OP AD =， 所以四边形AOPD 是平行四边形，所以//DP AO .因为AO ⊂平面ABC ，DP ⊄平面ABC ，所以//DP 平面ABC ；跟踪练习1、在三棱锥S ABC -中，AB ⊥平面SAC ，AS SC ⊥，1AB =，AC =，E 为AB 的中点，M 为CE 的中点，在线段SB 上是否存在一点N ，使//MN 平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由证明：存在点N 为SB 上的靠近S 的四等分点即14SN SB =，//MN 平面SAC ， 证明如下：取AE 的中点F ，连接FN ，FM ，则//MF AC ，因为AC ⊂平面SAC ，MF ⊄平面SAC ，所以//MF 平面SAC ， 因为1124AF AE AB ==，14SN SB =， 所以FN //SA ，又SA ⊂平面SAC ，FN ⊄平面SAC ，所以//FN 平面SAC ，又MF FN F =，,MF FN ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面SAC ，又MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面SAC ．2、在如图所示的五面体ABCDEF 中，∵ADF 是正三角形，四边形ABCD 为菱形，23ABC π∠=，EF //平面ABCD ，AB =2EF =2，点M 为BC 中点，在直线CD 上是否存在一点G ，使得平面EMG //平面BDF ，请说明理由证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，OF ，取CD 的中点G ，连接GM ，GE因为EF //平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，所以EF //AB因为OM //AB //EF ，12OM AB EF ==，所以四边形OMEF 是平行四边形，所以OF //EM 因为EM ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF因为点G 与点M 分别为CD 与BC 的中点，所以GM //BD因为GM ⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，所以GM //平面BDF而GM ∩EM =M ，平面EMG //平面BDF3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB AD =，E 为AD 的中点，）在线段11B C 上是否存在点F ，使得平面1//A AF 平面1ECC ？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由证明：存在，当点F 为线段11B C 的中点时，平面1//A AF 平面1ECC .证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11//AD B C .又因为1CC ⊂平面1ECC ，1AA ⊄平面1ECC ，所以1//AA 平面1ECC .又E 为AD 的中点，F 为11B C 的中点，所以1//AE FC ，且1AE FC =.故四边形1AEC F 为平行四边形，所以1//AF EC ，又因为1EC ⊂平面1ECC ，AF ⊄平面1ECC ，所以//AF 平面1ECC .又因为1AF AA A =，1AA ⊂平面1A AF ，AF ⊂平面1A AF ，所以平面1//A AF 平面1ECC .4、如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1∵平面ABC ，AA 1∵AC ，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点且AD =AA 1，在棱AA 1上找一点M ，使得1//D M 平面1DBC ，并说明理由答案：M 与A 重合时，1//D M 面1DBC ，理由见解析证明：当M 与A 重合时，D 1M ∵面DBC 1，理由如下：∵D 1C 1∵AD ，且D 1C 1=AD ，∵四边形D 1C 1DA 为平行四边形，∵D 1A ∵C 1D ，因为C 1D ∵面BDC 1，∵D 1M ∵面DBC 1.5、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC 是正三角形，E 是棱AB 的中点，如1AE =，在平面PAC 内寻找一点F 使得//BF 平面PEC ，并说明理由答案：答案见解析.证明：延长AC 至点G ，使得AC CG =，延长AP 至点H ，使得AP PH =，连接GH ，在直线GH 上任取一点F ，则点F 满足BF ∥平面PEC .理由如下： E 是线段AB 的中点，C 是线段AG 的中点，CE ∴是ABG 的中位线，∴BG CE ∥，BG ∴∥平面PEC .同理HG平面PEC ， 又BG HG G =，∴平面BHG平面PEC ， BF ⊂平面BHG ，BF ∴∥平面PEC .(注：若此题点F 直接取H 或G ，理由充分，给6分)6、已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E ，试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；证明：当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .下面给出证明：取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G .因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，11BC B C =， 所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，7、在正三棱柱111ABC A B C -中，已知12,3AB AA ==，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，P 为线段1CC 上一点．平面1ABC 与平面ANP 的交线为l ，是否存在点P 使得1//C M 平面ANP ？若存在，请指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由证明：当2CP =时，1//C P 平面ANP证明如下：连接CM 交AN 于点G ，连接GP ，因为12CG CP GM PC ==，所以1//C M GP 又∵GP ⊂平面ANP ，1C M ⊄平面ANP ∵1C M 平面ANP。
1.2.2《空间中的平行关系》课件1
如果一个角的两边与另一个角的两边 分别对应平行，并且方向相同， 分别对应平行，并且方向相同，那么这 两个角相等。 两个角相等。
等角定理： 等角定理：如果一个角的两边与另一个 角的两边分别对应平行，并且方向相同， 角的两边分别对应平行，并且方向相同，那 么这两个角相等。 么这两个角相等。
C1 B1 A1
已知E、 、 、 分别是空间四边形四条 例3.已知 、F、G、H分别是空间四边形四条 已知 的中点， 边AB、BC、CD、DA的中点， 、 、 、 的中点 求证： 是平行四边形. 求证：EFGH是平行四边形 是平行四边形
练习1：在空间四边形 练习 ：在空间四边形ABCD中，E、 中 、 F、G、H分别是棱 分别是棱AB ,BC,CD，DA的 、 、 分别是棱 ， 的 中点，若对角线AC与 相等 求证： 相等， 中点，若对角线 与BD相等，求证： 四边形EFGH是菱形。 是菱形。 四边形 是菱形
A
E
H
B F C G
D
练习2 是空间四边形, 练习2：已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别 的中点, 是边AB、AD的中点, F,G 分别是边CB,CD上的点,且 上的点,
CF CG 2 = = , CB CD 3 求证: 求证:四边形EFGH是梯形
c
β
b a
？
b a c
一条直线的两直线平行， 一条直线的两直线平行，在空间中此 结论仍成立吗？ 结论仍成立吗？
问题1：在同一平面内， 问题 ？ ：在同一平面内，平行于同
问题：把一张长方形的纸对折几次， 问题：把一张长方形的纸对折几次， 打开，观察折痕， 打开，观察折痕，这些折痕之间有什么 关系？ 关系？
已 ： BAC 和∠B AC1的 AB // A B， 知 ∠ 边 1 1 1 1 AC // AC1， 且方 并 向相 。 同 1 求 ： ABC = ∠A B C1 证 ∠ 1 1
空间中的平行关系
【答案】 B 【解析】 如图所示，联结BE,BD. 因 为 点 N 为 正 方 形 ABCD的 中 心 ， △ ECD为 正 三 角 形 ， 平 面 ECD 平 面 ABCD， M 是 线 段 ED的 中 点 ， 所 以 BM 平 面 BDE， EN BDE 平 面 ， 因 为 BM 是 △ BDE中 DE边 上 的 中 线 ， EN 是 △ BDE中 BD边 上 的 中 线 ， 直 线 BM ， EN 是 相 交 直 线 ，
BM=EN,且直线BM、EN 是相交直线
已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是( )
AE CF 同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,则AC⊥BD,故A、B正确. 【 解 析 】 如 图 ,由 得 AC//EF. ①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n; EB FB 因为D点为AB的中点,
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 选项B,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ; 选项C,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ; 选项D,由AB∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方 形,D为线段AC的中点.求证:直线AB1∥平面BC1D.
专题训练
1.已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是( )
①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n;
③若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n; ④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n.
A.①③
B.③④
C.②④
D.③
【答案】D 【解析】 ①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α,β相交; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n或l∥n或l,n异面; ③正确; ④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n或m∥n或m,n异面.
空间中的平行关系PPT教学课件
2.631020 J
v12
3RT1 M mol
3 8.311273 28 103
1064
m s1
t2
3 2
k
T2
3 1.381023 273 5.651021J 2
v22
3RT2 M mol
38.31 273 28 10 3
493
m s1
t3
3 2
kT3
2.55 10 21
RT
mN mNA
kNA T
NkT
理想气体物态方程：
P nkT
标准状态下的分子数密度：
洛喜密脱数： no 2.69 1025 (m 3 )
例3.1;3.2(p107-108)
§4 气体动理论压强公式
4.1 压强的成因 压强:气体作用于容器壁单位面积上的垂直作用力 分子数密度 31019 个分子/cm3 = 3千亿个亿；
物质的微观结构 + 统计方法 ------称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论) 优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。
宏观法与微观法相辅相成。
气体动理论 §1 分子运动的基本概念
一.热力学系统 热力学研究的对象----热力学系统. 热力学系统以外的物体称为外界。 孤立系统:系统和外界完全隔绝的系统
所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1， AE=A1E1，DE=D1E1， 于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
空间中的平行关系PPT教学课件
D1
C1
利用相似三角形对应边成比例A1 及平行线分线段成比例的性质
PBM∽ AA1 M
PM MA
PB AA1
M D
B1
P N C
PBN ∽CC1N
PN NC
PB CC1
A
B
PM PN CC1 AA1 AC // MN
MA NC MN 面ABCD
MN // 面ABCD
AC 面ABCD
证明2:
（1）文字语言：如果一条直线和一个平
面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线就和交线平行.
a
（2）图形语言：
b
a//α
（3） 符号语言： a β
α∩β=b
a//b
已知：l //α，l β，α∩β=m，
求证：l //m.
l
证明：因为l //α，所以
m
l与α没有公共点，
又因为m在α内，所以l与m也没有公共点.
3.与直线AD平行的平面是＿＿＿＿＿＿．
4.
长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P BB（1 异于B、B1）
PA BA1 M , PC BC1 N ,
求证：MN // 平面ABCD
D1
C1
问题的关键是证明MN//AC,
A1
B1
在⊿PAC中，证明 PM:MA=PN:NC.
P
M
N
D
C
A
B
证法1
问题探讨：
前面已经学过苯不溶于水，乙醇极 易溶于水，那么同时具有苯环和羟 基的苯酚的溶解性又如何呢？
实验探究一: 苯酚的溶解性
注意：应配置约1520ml苯酚溶液以供后 面的实验使用。
实验条件
空间中的平行关系
空间中的平行关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：性质定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ= ，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P = ，a ∥β，b ∥β，则α∥β； 判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα= ，b γβ= ，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理二、经典例题例1 给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：（1）若l 与m 为异面直线，, l m αβ∈∈，则α∥β；（2）若α∥β，, l m αβ∈∈，则l ∥m ；（3）若, , l m n αββγγα=== ，l ∥γ，则m ∥n 。
其中真命题的个数为（ ）。
A ．3B ．2C ．1D ．0例2 如图所示正方体1111ABCD A B C D -，求证：平面11AC D ∥平面1AB C 。
例 3 如图所示，已知E 、F 分别是正方体1111ABCD A B C D -棱1AA 、1CC 上的点，且1AE C F =。
求证：四边形1EBFD 是平行四边形。
高三数学下册空间中的平行知识点
高三数学下册空间中的平行知识点
一、直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
二、线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
线面平行线线平行
三、平面与平面平行的判定及其性质
①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
(线面平行面面平行)，
②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
(线线平行面面平行)，
③垂直于同一条直线的两个平面平行，
四、两个平面平行的性质定理
①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
(面面平行线面平行)
②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
(面面平行线线平行)
练习题：
1．已知m、n、l1、l2表示直线，α、β表示平面．若m α，n α，l1 β，l2 β，l1 l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )．
A．m∥β且l1∥α
B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2
D．m∥l1且n∥l2
2．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α( )． A．平行
B．相交
C．垂直
D．不能确定
3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系为( )．
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．无法确定
以上就是我们给同学们整理的空间中的平行知识点啦！想要了解更多精彩的内容，大家可点击原创专栏来看~~。
空间立体几何中的平行、垂直证明ppt课件
精选课件PPT
21
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F，
连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点，
M
A
D
B
N
C
精选课件PPT
10
定理应用
构造平行四边形
P
M A
H D
B
N
C
精选课件PPT
空间中的平行
11
定理应用
构造平行平面
P
M
A
Q
D
B
N
C
精选课件PPT
空间中的平行
12
复习定理
空间中的垂直
解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的 转化关系：
线线垂直
空间垂直之间的转化
①
③
②
线面垂直
④
面面垂直
空间中的平行与垂直
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1
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
精选课件PPT
2
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
24
1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下 列形式转化．
经典：高中数学必修二空间中的平行关系
12
证明三点共线常用方法： 法1、找出两个平面，证明这三点都是这两个平面
的公共点； 法2、选择其中两点确定一条直线。然后证明另一
点也在直线上。
P24-例1.45
13
.例1.46：三个平面能把空间分成几 部分？ 一个平面能把空间分成几部分？ 二个平面能把空间分成几部分？
14
证明几点共面问题：可先取不共线的三点确定一个 平面，再证明其余各点都在这个平面内。
证明空间几条直线共面问题：可先取两条相交或平 行直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平 面内。
P24-例1.47 课堂练习：P25
15
1.2.2 空间中的平行关系
16
平行于同一条直线的两条直线互相平行，符号表述 为：
A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行
B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内
C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
48
(2) 下面三个命题, 其中正确的个数是（ D ）
①三条相互平行的直线必共面；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③若四边形有一组对角都是直角，则这个四
可以用判定定理将直线与平面间的平行关系，转化 为直线间的平行问题。
P26-例1.55
30
A 证明：如图,连接BD,在△ABD中,
因为 E,F分别为AB，AD的中点， E
F
又因为BD 平面BCD, EF 平面BCD,
D
C
B
所以 EF ∥BD,
31
D1
A1 E D
A
B
32
例1.53：如图，已知在三棱柱ABC— A1B1C1中，D是AC的中点.
空间中的平行关系PPT精品课件
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
空间中的平行
直线都平行于另一个平面
⑷两个平面平行的性质
1 两个平面没有公共点
两 个 平 面 平 行
2 其中一个平面内的直线平行于另 一个平面 3 两个平行平面同时和第三个平面相 交，它们的交线平行 4 夹在两个平行平面间的平行线段相 等
小结： 三种平行关系的转化 线 平行 线
线面平行性质 线面平行判定
线 面面平行判定
思考1
平面α内有一条直线和平面β平行，则 α//β。错！
思考2
平面 内有两条直线与平面平行， 则 // 错！
//
错！
思考3 平面 内有无数条直线与平面 平行，则
抽象概括：
⑶平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a
b
P
应用巩固：
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予 以证明. A E D B F C
解：EF∥平面BCD。 证明：如图，连接BD。在△ABD中， E， F分别为AB，AD的中点，
∴EF ∥BD,
EF 平面BCD
BD 平面BCD
直线AB、CD各有什么特点呢？ 有什么关系呢？
C
数学
D
从中你能得出什么结论？
A
B
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一条 直线，如果CD ∥ AB ，则CD ∥桌面
直线和平面平行 的判定定理:
如果不在一个平面内的一条直线 和平面内的一条直线平行，那么这条 直线和这个平面平行。
a b α 线线平行
a b a // a // b
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空间中的平行
一、知识梳理
<一>线线平行与线面平行
1.线线平行：
定义：空间中两直线共面且没有交点，则两直线平行.
证明两直线平行的主要方法是：
①三角形中位线平行并等于底边的一半；
②平行四边形两组对边分别平行；
③梯形的一组对边平行；
④直线平行的传递性：若a//b,b//c,则a//c.
2.线面平行
定义：若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行.
判定1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）
////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭
判定2:两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行.
a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫
⎫⎬⎬⎭⎭
或
线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行.
<二>面面平行
1.定义：若两个平面没有交点，则两个平面平行
2.判断：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
,,a b a b A a b αααβ
ββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭
,,,a b a b A a a b b a b ααββ⊂⎫
⎪=⎪⇒⎬''⎪
⎪''⊂⎭
判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行.
3.两平面平行的性质： 性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行.
a a
b b αβ
αγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭
性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；
性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；
,,A C AC BD B D AB CD αβ
αβ∈⇒=∈⎫
⎪⎪⎬⎪
⎪⎭
二、典例精析
【例1】如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，
F 为BE 的中点．求证：DF ∥平面ABC .
【练习】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求
证：MN ∥平面P AD .
【例2】已知正方形ABCD 所在的平面和正方形ABEF 所在的平面相交与AB ，M 、N 分别
是AC 、BF 上的中点.求证：MN//平面BCE .
【练习】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的上一点，且PE=2ED ．若
F 为PE 的中点.求证：BF ∥平面AEC .
【例3】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ．AB =BC=
22AD ，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ．求证：PD ∥平面EAC .
【练习】如图，正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB ，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且
31==BD BN PA PM .求证：MN ∥平面PBC .
2【例4】a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题
①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ②a ∥γ ，b ∥γ ⇒a ∥b ③α∥c ，β∥c ⇒α∥β
④ α∥γ ，β∥γ ⇒α∥β ⑤α∥c ，a ∥c ⇒α∥a ⑥α∥γ ，a ∥γ ⇒α∥a
其中正确的命题是（ ）
A.①②③⑥ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①④⑥
【练习】下面六个命题中正确命题的个数是（ ）
①如果a 、b 是两条直线，b a //，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；
②如果直线a 和平面α满足a //α,那么a 与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a //α,b //α,那么b a //；
④如果直线a 、b 和平面α满足b a //，a //α，α⊄b ，那么b //α；
⑤如果直线a 与平面α上的无数条直线平行，则a //α；
⑥如果平面α的同侧有两点A 、B 到平面α的距离相等，则AB //α.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【例5】一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关
系是（ ）
A ．异面
B ．相交
C ．平行
D ．不能确定
【练习】直线a //平面α，α内有n 条直线交于一点，这n 条直线直线中与直线a 平行的直
线（ ）
A.至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条 D ．没有
三、课后练习
1．已知直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于α的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．有无数条，不一定在α内
C ．只有一条，且在平面α内
D ．有无数条，一定在α内 2．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．相交或平行
D ．以上答案都不对
3．下列结论中正确的是（ ） ①α∥β，β∥γ，则α∥γ；②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；
③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；
④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交.
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③④
4．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是( )
A ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在
B ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b
C ．过A 至少有一个平面平行于a 和b
D ．过A 有无数个平面平行于a 和b
5．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．AB ⊂α
6.如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，
E ，
F ，P ，Q 分别是BC ，11C D ，1AD ，BD 的中点.
(1)求证：PQ //平面11DCC D ；
(2)在DC 上找一点H ，使EFH //平面11BB D D .
7.如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.
求证：PQ ∥平面ACD .
8.如图所示，已知三棱锥BCD A -被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ，求证：
（1）//EF 平面BCD ；
（2）CD EF //.。