必修四平面向量的数量积讲义

2.3平面向量的数量积

一、平面向量数量积

1、定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为v，则数量丨a | x| b | x COST叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a • b，即a • b =| a | x| b | x COST。

注意：(1)两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向

量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“ • ”不能省略，也不能也成"x”(3)在运

用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00三6^" 1800。(4) 规定：零向量与任

一向量的数量积为0,即_0__b = 0; (5)当向量a与b的夹角为90°时，叫a与b互相垂直，记作：a 丄b，此时：a丄b ：= a • b = 0。

2、平面向量数量积的几何意义：(1)对于a • b =| a |x| b | x COST，其

中| b | x COST叫做b在a方向上的投影，当v为锐角时，投影为正；当v为钝角时，投影为负；当二就直角时，投影为0;当二为0度时，投影是| b | ；当二为180度时，投影为一| b | ； (2). 2在b方向上的投影与b在a方向上的投影就不同的；(3)) a在b方向

—b —1|-

a *b

上的投影值可以写成

b

例1：已知| a |= 2, | b | = 5,当(1) a与b夹角为30°时；(2)当a丄b时；(3)当

当a // b时；分别计算a与b的数量积。

【解析】：(1) 5 . 3 ；(2) 0； (3)± 10

变式练习1:已知| a | = 3,| b | = 5,且a与b的夹角为45°,则a在b方向上的投影是()

3-2

A: B: 3 C：4 D: 5

【解析】：A

变式练习2:已知丨a |= 6, | b |= 3,且a • b =- 12,则a在b方向上的投影是()

A: - 4 B：- 2 C：4 D: 2

【解析】：A

二、平面向量数量积的性质

若a与b是非零向量，e是与a方向相同的单位向量，二是e与a的夹角

* f f * * * ——

1、e • a = a • e =| a | x| e |x COST

2、a 丄b ：= a • b = 0

3、若a与b同向，则a • b =| a | x| b | (夹角为0度)；若反向，则a • b =—|

a | x|

b | (夹角为180度)；

2 ■ 2

特别地，a• a= (a) = | a| 或| a| = •. a・a

一一 a ・b

4、若日是a与b的夹角，贝U coS = -

a江b

5、 | a • b | w | a | x | b | (当a与b共线时取等号)

三、平面向量数量积的运算律

—Ir —Is- f ―b- —fc- —*■—tr—Is- —* f

1、a • b = b • a

2、(a)・b = (a • b)= a • ( ■ b)

—fc- T —►T f

3、(a + b ) •C = a • C + b • C

L L L L L 2 ' 2 ・ 2 2

4、(a + b ) •(a —b )= (a) —(b ) = | a | — | b |

5、(a + b) = | a | 2+ 2x a • b + | b | 2

注意：(1)没有(a • b) • C = a • (b • c)这个运算定律；(2) a • C = b • c，则—+ —+ ―►- f f T

不能得到 a = b ；(3)若 a • b = 0，则 a = 0 或 b = 0 或= 90。

例2：下列说法正确的个数 _________ 。

(1)两个向量的数量积是一个向量；(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量； (3)

若a - b >0,则a与b的夹角为锐角，若a • b v0，则a与b的夹角为钝角；(4) (a • b) -C —►—*■存—* —*■—f —F —*

=a • (b • C) ；(5)若a • b = 0，则a = 0 或b = 0。

【解析】：0个

■ R C F F —*■ —F - —¥■ —*■

例3：已知a 与b 的夹角为120，且丨a | = 4, | b |= 2,则计算(a — 2b ) • (a + b )=

_______ , I a + b | = ____________

【解析】：12 2 (3)

3：已知向量a 与向量b 满足，I a I = 6, I b I= 4，且a 与b 的夹角为600,

求I a + b I 与I a — 3 b I 。

【解析】：I a + b I= 2、, 19 , I a — 3b I = 6.3

变式练习4:设四边形ABCD 为平行四边形，I AB I = 6,I AD I= 4,若点M , N 满

足 BM = 3MC , DN = 2NC ，则 AM • NM =( A : 20

B : 15

C : 9

D : 6

解析】这个地方四边形 ABCD 为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以 A 为坐标原

点建立坐标系。由 A ( 0,0) , M (6,3) N (4,4 )，进而AM

NM =(2, -1),

AM NM = 9。

例4：已知OA 丄AB , I OA I =4」OA • OB =

【解析】：16

- 1 变式练习1:已知I a I = 1, a • b =- 2 1

(a — b ) • (a + b )=

2 求(1) a 与b 的夹 角；(2) a — b 与a + b 的夹角的余弦值。

【解析】：45°,丨a — b I 2

=丄,I a + b

2 I 2= 5 , COST =

2

2

•、

5

--

变式练习2:已知向量a 、

b 的夹角为 0

60 ,且I a I = 2,I b I = 1,则向量a 与向量a

+ 2b 的夹角等于(

A : 150 )

B : 90

C ： 600

D : 300

【解析】：

a *(a 2b)

=30° 可用数形结合法，构成的四边形为菱形

变式练习 二(6,3)