必修四平面向量的数量积讲义

2.3平面向量的数量积
一、平面向量数量积
1、定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为v，则数量丨a | x| b | x COST叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a • b，即a • b =| a | x| b | x COST。

注意：(1)两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向
量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“ • ”不能省略，也不能也成"x”(3)在运
用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00三6^" 1800。

(4) 规定：零向量与任
一向量的数量积为0,即_0__b = 0; (5)当向量a与b的夹角为90°时，叫a与b互相垂直，记作：a 丄b，此时：a丄b ：= a • b = 0。

2、平面向量数量积的几何意义：(1)对于a • b =| a |x| b | x COST，其
中| b | x COST叫做b在a方向上的投影，当v为锐角时，投影为正；当v为钝角时，投影为负；当二就直角时，投影为0;当二为0度时，投影是| b | ；当二为180度时，投影为一| b | ； (2). 2在b方向上的投影与b在a方向上的投影就不同的；(3)) a在b方向
—b —1|-
a *b
上的投影值可以写成
b
例1：已知| a |= 2, | b | = 5,当(1) a与b夹角为30°时；(2)当a丄b时；(3)当
当a // b时；分别计算a与b的数量积。

【解析】：(1) 5 . 3 ；(2) 0； (3)± 10
变式练习1:已知| a | = 3,| b | = 5,且a与b的夹角为45°,则a在b方向上的投影是()
3-2
A: B: 3 C：4 D: 5
【解析】：A
变式练习2:已知丨a |= 6, | b |= 3,且a • b =- 12,则a在b方向上的投影是()
A: - 4 B：- 2 C：4 D: 2
【解析】：A
二、平面向量数量积的性质
若a与b是非零向量，e是与a方向相同的单位向量，二是e与a的夹角
* f f * * * ——
1、e • a = a • e =| a | x| e |x COST
2、a 丄b ：= a • b = 0
3、若a与b同向，则a • b =| a | x| b | (夹角为0度)；若反向，则a • b =—|
a | x|
b | (夹角为180度)；
2 ■ 2
特别地，a• a= (a) = | a| 或| a| = •. a・a
一一 a ・b
4、若日是a与b的夹角，贝U coS = -
a江b
5、 | a • b | w | a | x | b | (当a与b共线时取等号)
三、平面向量数量积的运算律
—Ir —Is- f ―b- —fc- —*■—tr—Is- —* f
1、a • b = b • a
2、(a)・b = (a • b)= a • ( ■ b)
—fc- T —►T f
3、(a + b ) •C = a • C + b • C
L L L L L 2 ' 2 ・ 2 2
4、(a + b ) •(a —b )= (a) —(b ) = | a | — | b |
5、(a + b) = | a | 2+ 2x a • b + | b | 2
注意：(1)没有(a • b) • C = a • (b • c)这个运算定律；(2) a • C = b • c，则—+ —+ ―►- f f T
不能得到 a = b ；(3)若 a • b = 0，则 a = 0 或 b = 0 或<a， b >= 90。

例2：下列说法正确的个数 _________ 。

(1)两个向量的数量积是一个向量；(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量； (3)
若a - b >0,则a与b的夹角为锐角，若a • b v0，则a与b的夹角为钝角；(4) (a • b) -C —►—*■存—* —*■—f —F —*
=a • (b • C) ；(5)若a • b = 0，则a = 0 或b = 0。

【解析】：0个
■ R C F F —*■ —F - —¥■ —*■
例3：已知a 与b 的夹角为120，且丨a | = 4, | b |= 2,则计算(a — 2b ) • (a + b )=
_______ , I a + b | = ____________
【解析】：12 2 (3)
3：已知向量a 与向量b 满足，I a I = 6, I b I= 4，且a 与b 的夹角为600,
求I a + b I 与I a — 3 b I 。

【解析】：I a + b I= 2、, 19 , I a — 3b I = 6.3
变式练习4:设四边形ABCD 为平行四边形，I AB I = 6,I AD I= 4,若点M , N 满
足 BM = 3MC , DN = 2NC ，则 AM • NM =( A : 20
B : 15
C : 9
D : 6
解析】这个地方四边形 ABCD 为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以 A 为坐标原
点建立坐标系。

由 A ( 0,0) , M (6,3) N (4,4 )，进而AM
NM =(2, -1),
AM NM = 9。

例4：已知OA 丄AB , I OA I =4」OA • OB =
【解析】：16
- 1 变式练习1:已知I a I = 1, a • b =- 2 1
(a — b ) • (a + b )=
2 求(1) a 与b 的夹 角；(2) a — b 与a + b 的夹角的余弦值。

【解析】：45°,丨a — b I 2
=丄,I a + b
2 I 2= 5 , COST =
2
2
•、
5
--
变式练习2:已知向量a 、
b 的夹角为 0
60 ,且I a I = 2,I b I = 1,则向量a 与向量a
+ 2b 的夹角等于(
A : 150 )
B : 90
C ： 600
D : 300
【解析】：
a *(a 2b)
=30° 可用数形结合法，构成的四边形为菱形
变式练习 二(6,3)
变式练习5:已知向量a与向量b是两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a —c）・（b —c）= 0，则丨c丨的最大值是（）
庁V2
A : 1
B : 2 C: 2 D:
2 2 4【解析】：(a —c) •(b —c)= a • b —a • c —b • c —c = o,则
c = c • (a + b),则c
—►—■—■ f —te —■—* j
W [ c • (a + b)]= c X (a + 2a • b + b)= 2c 故2。

C
(a - c) - (d - c) = 0 c |2= c - (a + d) =| c | | +I cos 6
c冃a +乙cos^ = ^2 cos0f则c的最大值是
或者利用数形结合.a . b对应的点A , B在
m x;+v:=1 Jz,
■hr■
：对应的点C在圆x2 + v2 =2上即可。

四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
设i , j为x轴、y轴方向的两个单位向量，即i = (1 , 0), j = (0, 1),且a与b为两个非—*■—lr
零向量，a= (x i, y i), b =(x2, y2)
*■*■ f f +- -b- —
1、i • i = 1 j • j = 1 i • j = 0 a • b = x i x x2 + y i X y2
2、若a = (x, y)，则丨a | 2= x2y2或 | a |= x2y2。

若 A =(X1, y1), B = (x2, y2)，则 | AB | = 一(X2 -X1) (y2 - yj
3、若a =(X1, y1), b = (x2, y2),则a 丄b 二a • b = 0= X〔X X2+ y〔x y2= 0
4、若 a = (x i , y i ), b = (x 2, y 2), a 与 b 的夹角为 v ,贝U cosv
例 4：向量 a = (1, - 1), b = (- 1, 2)，则 a • (2a + b )=( )
A : - 1
B : 0
C : 1
D : 2
【解析】：C
变式练习：若向量a = (x , 2), b = (2, - 1)，且a 丄b ，则| a — b |=(
a = (4, 3), 2a +
b = (3,18)，贝y a 与b 夹角的余弦值等于(
8
8
16
16
A :
B : —
C :
D :—
65 65 65 65
【解析】：C
变式练习 1:设 x 、y € R ，向量 a = (x , 1), b = (1, y), c = (2,-4)，且 a 丄 c , b // c ,
则| a + b |=( )
【解析】：B
变式练习2:已知a = ( ■ , 2), b = (— 3, 5)，且a 与b 的夹角为锐角，贝V ■的取值范围 是
__________ 。

【解析】：由于a 与b 的夹角为锐角，••• a b >0，且a 与b 不共线同向.由a b >0? — 3H 10
10 6 10
>0，解得 疋~.当向量a 与b 共线时，得5X=- 6,得 L — ”，因此入的取值范围是
G
d A
G
且存一6.答案：{开入v 1■且存一5}
变式练习 3:已知 A(3 , 0), B(0 , 3), C(cos 〉，sin ：• ), O 为坐标原点。

(1)若 OC // AB ,
求 tan ： ； (2 )若 AC // BC ，求 sin2 ： ； (3 )若| OA + OC |= .13，且：€ (0, 二)，求OB 与OC 的夹角。

8
兀
【解析】：(1)- 1
(2)-
(3)
9 6
2
变
式练习 4:已知 a = (5、3 cosx , cosx), b = (sinx , 2cosx)，设函数 f(x) = a • b + 忡 +
3 r。

(1 )当x €
[—,]时，求函数f(x)的值域
2 6 2
A : 、5
B : -.10 【解析】：B
C : 2.5
D : 10
例5:若平面向量
A : 5
B :
、10 C : 2 一5 D : 10
X 1X 2 y 』2
(2) 当x € [—,]时，若f (x) = 8,求函数f(x -')的值
6 2 12
TT
(3) 将函数f(x)的图象向右平移—个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的纵坐标向
12
下平移5个单位长度，得到函数y = g(x)的图象，求函数y = g(x)的表达式，并判断其奇偶性。

7
3
4 【解析】：(1) f(x) = 5sin(2x +
)+ 5 (2) < 2x +
<
sin2x =
cos2x =——
6
2 6
6 5
5
3314/、
.
十
f(x —
)= 5sin2x + 5= 5sin(2x + — — — )=
( 3) g(x) = 5sin2x
奇
12 6 6 2
1
-，3 2
变式练习 5: a = ( 3 , — 1), b =(—,
)，且存在实数 k 和 t ，使 m = a + (t — 3)b ,
2
2
解：丁金=(\/3^ -1) J »
「j =\/(v^3)2
( —1)2 = 2 , |~Z?| =q =
1 f 且才舟 + (-1) x
工
£
・壬' =讨+ (t'-3)牙，十上亍,丄寸，
二童・7?=0, 即 (T /H- (t 2 3)〒)
(上分十七〒)
=0
展幵井化简'得-k^2+ (-kt 2+3k+t)分•〒+七
(t 2-3)牙 2=o
将|"^|=2x |牙|=1和代入上式，可得
-4k + t (t 2-3) =0,整理得 k=] (t 3-3t)
3
n = - k a + t b ，且 m 丄n ，试求
k t 2
的最大值。

• Ar + " = #(严一：兗)十严=丄十2
由此可得，当七=-2时，
—(t 十 2)2-— 4 4 4 4
kY 的最小值等于-J
t
4
课后综 合练习
【解析】：设a = (2, 0), b = (0, 2), c = x(a — b )= (2x , — 2x)，则
I a + c |= . (2 2x)2
4x 2
、•、8x 2 8x 4 w 2
1、给出以下四个命题： (1) a 丄 b ：= a • b = 0 ； (2)若 a • b = 0，且 a 丰 0 ,则 b =
的最小值为(
2
C :
2
=—| a | X| b
I 。

正确命题的个数是( )
A : 1
B : 2
C : 3
D : 4 【解析】
:B (3) 应小于 2、已知 —*
a =
(0, 1), b = (1, 1)，且(a + ■ b )丄a ，则实数■的值是(
A : — 1
B : 0
C : 1
D : 2
【解析】
:A
3、若| a | =3,|
b |= . 3，且a 、b 的夹角为一，则| a + b |为
6
A : , 6
B : 2、3
C : 3.2
D ： .21
【解析】
:D
c 是任意的非零平面向量, 且相互不共线，则(
4、设 a 、b 、 (3)右 a 丰 0 , b 丰 0 ,则丨 a • b | = | a |x| b |； (4)当a 与b 反向时，a
1) (a • b ) • c — (c • a )
=0 ； (2 )| a | — | b |v| I ； (3) (b • c ) • a — (c • a ) • b 与 c 不垂直;
(4) (3a + 2b ) • (3a — 2b )= 9 | a
| 2— 4 | b | 2
中，是真命题的有( A : (1) (2) 【解析】：D
C : ( 3) (4)
D : (2) (4)
5、如图所示, Rt A ABC 中，/ A = 90 , AB = 1,则 AB • BC 的值是 A : 1 【解
B : B
C : 2
D :— 2
6、△ ABC 中, AB = a , BC = b ，若 a -b > 0,则厶ABC 的形状为( A :直角三角形 B :钝角三角形 C :
【解析】：B 锐角三角形 D :不能判断
7、已知a 、b 满足|
=| b | = 2, a • b = 0，若向量c 与a — b 共线,
r 2
2
r 8、已知 a = 1, b = 2, (a —b ) • a = 0,贝
U a 与b 的夹角为(
)
D : 90
A : 30
B : 450
C :600
【解
析】：
B
—Ir
9、已知| a | = |
b | =1, a 与 b 的夹角是 90 ,
c = 2a + 3b ,
d = k a — 4b , c 与 d 垂
直，则k 的值为(
)
A : — 6
B ： 6
C : :3
D :— 3
【解
析】：
B
—»
10、| a
| = 1 , | b
1 = 2, —*
f
f
—r
—*■
且(a + b ) • a = 0,则a 、b 的夹角为 。

【解析】：
1200
11、 _______________________________________________________________________________已知向量a 和b 的夹角为1200,且丨a | = 2,| b |= 5, (2 a - b ) • b = _____________________ 【解析】：—35
- - 0
12、 已知向量a 和b 的夹角为45 ,且I a | = 1,| 2a — b | = •、10 ,则| b | = __ 【解析】：3 (2)
b = (1, 1)，若向量b — 3a 与向量a 夹角的余弦值为
与b 方向上的身影为 _____________ 。

5
【解析】：
2
15、已知向量a = (— 2, 2), b = (5, k), (1)若a 丄b ，求k 值；(2)若| a + b |不超过 5,求k 的值。

解:⑴■/向量才=(-2.2) , T = (5,上)*才丄. a* >
13、已知向量a = (1, 0), 【解析】：
2 5 5
—• —■
0 .
14、向量G ，e 2就夹角为60的两个单位向量, 若向量a = e + 3e 2与b = 2© ,则向量a
I) —1()+2* = 0 1
计算得出k=5.
(2) y 向量a* = (-2,2) , T = (5,fc),
.-.0*4-17 = (3.2+A-),
\-|(T+~b)\不超过5,
二|才+"5*| = v^9+(2+fc)2<5，计算得出-6<Jt<2 ,
「.k的取值范围是［心2 •。