专题复习六必修五《数列与不等式》知识要点

《等比数列与不等式》知识要点
一．数列的概念与简单表示法．
(1)数列是定义域为(或它的有限子集{1，2，…，n})的特殊函数，
(2)数列的表示方法：
解析法(通项公式法)；列表法；图象法；递推法（递推公式法）．
(3)a n与S n的关系式：a n＝
二．等差数列
(1)定义：．
（
(2)公差为d的等差数列{a n}的通项公式：，
等差数列中任意两项的关系：. 即：d ＝
(3)等差中项：
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，可表示成．
(4)前n项和公式S n＝＝．
(5)等差数列的判断：定义法:
等差中项法：
<
通项公式法：形如
求和公式法：形如
(6)等差数列的性质
①若公差，则{a n}是递增等差数列；
若公差 ，则{a n }是递减等差数列； 若 ，则{a n }是常数列．
②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则 ．
%
若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则
③若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ， ，…仍成等差数列，公差
(7) 若{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项的和，T n 是{|a n |}的前n 项的和，
若0
n a 是正负项的分界项，它与1a 的符号一致。

前正后负：T n = ； 前负后正：T n = （8）等差数列前n 项和的最值 ①等差数列{a n }中，
[
a 1>0，d <0时，S n 有 ；
a 1 ，d ，S n 有最小值． ②最值的求法
配方或求二次函数最值的方法：
等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋
n
n －12
d ＝d 2n 2
＋(a 1－d 2
)n ＝An 2
＋Bn ，可通过 求得． 邻项变号法：．
}
当a 1>0，d <0时，满足 的n ，使S n 取最大值；
当a1<0，d>0时，满足的n，使S n取最小值．
三．等比数列
(1)定义：(q为常数，且q≠0)．
(2)公比为q(q≠0)的等比数列{a n}的通项公式：，
'
等比数列中任意两项的关系：.
(3)等比中项：
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，可以表示成.
(4)前n项和公式S n＝
(5)等比数列的判断: 定义法:
等差中项法：
&
通项公式法：形如
求和公式法：形如S n=
(6)等比数列的性质
①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则；
若m＋n＝2(m，n，p∈N*)，则；
②若{a n}是等比数列，则S n，，，…仍成等比数列(当S n≠0时)，且公比为（q≠－1)．
③如果{a n}，{b n}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，
·
那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{ka n }(k ∈R ，且k ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
b n a n ，{|a n |}仍是等
比数列，且公比分别为 ， ， ， ， .
(7)在等比数列{a n }中，若q >0，则{a n }中的项 ；
若q >0，则{a n }中的项的符号
(8) 在等比数列{a n }中，q =1时，{a n }是 。

四.常见数列的求和
（1）公式法： 数列， 数列的求和用公式
…
（2）分组求和法：
适当分组，可拆分成两个或两个以上的 或 数列求和问题
（3）裂项法：通项公式是分式的形式如：①
1
()
n n k -= ②若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则1
1
n n a a -⋅=
=
（4）错位相减法：一般地，若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项的和时，可用错位相减法。

注意：①识别题型： ；
[
②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两
式 ，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；
>
四，不等式
<
1．比较大小的依据：⇔a>b；⇔a＝b；⇔a<b．2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔；
(2)传递性：a>b，b>c，⇒；
(3)可加性：⇔a＋c>b＋c.
a>b，c>d，⇒
、
(5)可乘性：a>b，，⇒ac>bc；a>b，，⇒ac<bc．
，⇒ac>bd．
(7)可乘方：a>b，⇒a n>b n(n∈N*，n≥2)．
(8)可开方：a>b，⇒n
a>
n
b(n∈N*，n≥2)．
3．一元二次不等式的解集
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的
图象
!
ax2＋bx＋c＝0(a>0)
的根
ax2＋bx＋c>0(a>0)#
ax2＋bx＋c<0(a>0)
{
五.二元一次不等式
1，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，其作法分两步：
①定界：画直线Ax＋By＋C＝0确定边界．不包含边界，含边界
②定域：法一确定区域；
法二由的符号与决定：，。

2，线性规划问题：
截距型：z=ax by
+；b>0时上移，下移；b<0时上移，下移。

斜率型：z=y b
x a
-
-
；表示。

（
距离型：22
()()
x a y b
-+-；表示。

三，基本不等式
1．两个正数的基本不等式：ab≤；
变式：
2．利用基本不等式求最值：若a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝S ，ab ＝P ，则： 如果P 是定值，那么当a ＝b 时，S 的值最小为 ； 如果S 是定值，那么当a ＝b 时，P 的值最大为 ．
！
求最值的必要条件： 、 、 ．
3．双勾函数：,0a
y x a x =+>
|
]
《等比数列与不等式》知识要点
一．数列的概念与简单表示法．
(1)数列是定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…，n })的特殊函数，
(2)数列的表示方法：
解析法(通项公式法)； 列表法； 图象法；递推法（递推公式法）．
(3)a n 与S n 的关系式： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， （n ＝1）S n －S n －1， （n ≥2，n ∈N *
）
…
二．等差数列
(1)定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)．
(2)公差为d 的等差数列{a n }的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，
等差数列中任意两项的关系：a n ＝a m ＋(n －m )d . 即：d ＝
a m －a n
m －n
(3)等差中项：
若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，可表示成A ＝a ＋b 2．
(4)前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）
2
d ． \
(5)等差数列的判断：定义法: a n ＋1－a n ＝d (常数)
等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *) 通项公式法：形如 a n ＝kn+b 求和公式法：形如 S n =An 2+Bn
(6)等差数列的性质
①若公差d >0，则{a n }是递增等差数列；若d <0，则{a n }是递减等差数列；若d ＝0，则{a n }是常数列．
②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．
￥
若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p
③若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等差数列，公差n 2d .
(7) 若{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项的和，T n 是{|a n |}的前n 项的和，
若0
n a 是正负项的分界项，它与1a 的符号一致。

前正后负：T n =0
00............2...n n S n n S S n n ≤⎧⎨->⎩
； 前负后正：T n =0
00............2...n n S n n S S n n -≤⎧⎨-+>⎩
（8）等差数列前n 项和的最值
①在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值；当a 1<0，d >0，S n 有最小值．
&
②最值的求法
配方或求二次函数最值的方法：等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝na 1＋
n n －12d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2
)n ＝An 2
＋Bn ，可通过配方或求二次函数最值的方法求得．
常用邻项变号法：．
当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，
a n ＋1≤0的n ，使S n 取最大值；
当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤0，
a n ＋1
≥0的n ，使S n 取最小值．
：
三．等比数列
(1)定义：a n ＋1
a n
＝q (q 为常数，且q ≠0)．
(2)公比为q (q ≠0)的等比数列{a n }的通项公式：a n ＝a 1·q n －1，
等比数列中任意两项的关系：a n ＝a m q n －m .
(3)等比中项：若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，可以表示成G ＝±ab .
(4)前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧na 1， （q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ， （q ≠1）
…
(5)等比数列的判断: 定义法: a n ＋1
a n
＝q (q 为常数，且q ≠0)
等差中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *
，a n ≠0)
通项公式法：形如 a n ＝kq n 求和公式法：形如 S n =Aq n -A
(6)等比数列的性质
①若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2 (m ，n ，p ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p 2； ②若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列(当S n ≠0时)，且公比为q n (q ≠－1)．
—
③如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{ka n }(k ∈R ，且k ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1，q 1q 2，q 2
q 1
，|q 1|.
(7)在等比数列{a n }中，若q >0，则{a n }中的项同号；若q >0，则{a n }
中的项的符号正负相间
(8) 在等比数列{a n }中，q =1时，{a n }是不为零的常数列。

四.常见数列的求和
（1）公式法：等差数列，等比数列的求和用公式
~
（1）分组求和法：适当分组，可拆分成两个或两个以上的等差
或等比数列求和问题
（2）裂项法：通项公式是分式的形式如：①1()n n k -=111
()k n n k
⋅-- ②若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则11n n a a -⋅=1111
(
)n n
d a a --
（3）错位相减法：一般地，若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项的和时，可用错位相减法。

注意：①识别题型：等比与等差数列的积；
?
②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，
以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；
?
四，不等式
`
1．比较大小的依据：a －b >0⇔a >b ； a －b ＝0⇔a ＝b ； a －
b <0⇔a <b ．
3．一元二次不等式的解集
Δ＝b2－4acΔ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
|
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等
的实根
有两个相等
的实根
没有实根
—
ax2＋bx＋c>0(a>0){x|x<x1或x>x2}{x|x≠－b
2a}
R ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}ØØ
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c，⇒a>c；
(3)可加性：a>b，⇔a＋c>b＋c.
a>b，c>d，⇒a＋c>b＋d.
(5)可乘性：a>b，c>0，⇒ac>bc；a>b，c<0，⇒ac<bc．
a>b>0，c>d>0，⇒ac>bd．
(7)可乘方：a>b>0，⇒a n>b n(n∈N*，n≥2)．
(8)可开方：a>b>0，⇒n
a>
n
b(n∈N*，n≥2)．
五.二元一次不等式
1，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，其作法分两步：
①定界：画直线Ax＋By＋C＝0确定边界．虚线不包含边界，实
线含边界②定域：法一取特殊点确定区域；
法二由y的系数的符号与不等号决定：同号取上，异号取下。

2，线性规划问题： 截距型：z=ax by +；
b>0时上移变大，下移变小；b<0时上移变小，下移变大。

斜率型：z=
y b
x a
--；表示两点（x,y ）与（a,b ）连线的斜率。

距离型：z=22()()x a y b -+-；表示两点（x,y ）与（a,b ）的距离。

三，基本不等式
1．两个正数的基本不等式：
ab ≤a ＋b 2；
变式：2ab a b ≤+ 2
()4
a b ab +≤
2．利用基本不等式求最值：若a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝S ，ab ＝P ，则： 如果P 是定值，那么当a ＝b 时，S 的值最小为2p ；
如果S 是定值，那么当a ＝b 时，P 的值最大为2
4
S ．
求最值的必要条件：一正、二定、三相等． 3．双勾函数：,0a y x a x
=+>。