12 菱形(一) 菱形的性质
菱形的判定和性质
BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一 ：菱形的判定例1：下列命题正确的是（ ）（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
菱形的性质
O
3 4
相等的角： ∠DAB=∠BCD
B ∠ABC =∠CDA
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 （2）特殊三角形：
等腰三角形有： △ABC
直角三角形有： Rt△AOB Rt△COD
△DBC
△ACD
△ABD
Rt△BOC Rt△DOA
：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
课后作业:
《一课一练》 菱形第一课时
你敢挑战吗？回去想一想
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。 证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
A 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D
菱形
B
O E
C
S菱形=BC· AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能计算菱形的面积公式吗? S菱形 ABCD=S△ABD+S△BCD= 1 AC×BD 2
菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
4、如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，BO=8m,沿着菱 形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和 A 花坛的面积。
D
E A
F
C
B
【菱形的面积公式】
A
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
B
O E
C
D
S菱形=BC· AE
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
菱形的性质 (1)
菱形的性质
做一做，将一张矩形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，你发现这是一 个什么图形，这个图形有什么特点？
前面我们学习了平行四边形和矩形， 情 知道了如果平行四边形有一个角是直角时, 景成为什么图形?(矩形,由角变化得到) 创 如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 让它有一组邻边相等 , 这个特殊的四边形叫 设 什么呢? (菱形)
3、菱形的两个邻角的比是1︰2，两条对角线长 分别为a、b，且a＞b，则菱形的周长为（ ） A.4a B.4b C.2a-b D.4a+4b 4、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连 结DF，则∠CDF等于（ ） A.80° B.70° C.65° D.60°
D O
A
C
B
D
边 菱形的对边平行且相等 菱形的四条边都相等 菱形的对角相等 菱形的邻角互补
A B
O
C
几何语言
角
在菱形ABCD中
对角线 菱形的两条对角线互相垂直，
∠ADC= ∠DCA= ∠ABC ∠BCA ∥ AB CD ∠ADB=∠CDB 菱形的两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ DAB+ ∠ ABC= 180 ° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠∴ DAB= ∠ DAC= ∠ DCB ∠ BAC ∴ =
D O C
变式：
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
A B D
O
C
例3：已知如图，菱形ABCD中,DE垂直平分 CD，垂足为点E，求∠ABC的大小
1.1.2 菱形的性质与判定 课件
A. AE＝AF
B. EF⊥AC
C. ∠B＝60°
D. AC是∠EAF的平分线
课堂练习
3、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F
．且AD交EF于O，则∠AOF＝ 90 度．
4、如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的
C
D
归纳总结
四边相等的四边形是菱形.
A
D
A
D
AB=BC=CD=AD
B
C
四边形ABCD
B
菱形ABCD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
C
新知讲解
两组对边分别平行或相等
一组对边平行且相等
四边形
两组对角分别相等
对角线相平分
菱形
平行四边形
新知讲解
现在你有哪些证明一个四边形或平行四边形是菱形的判定依据？
1.1.2 菱形的性质与判定
北师版九年级上册
教学目标
1.掌握菱形的判定定理
2.经历菱形判定定理的探究过程
3.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算
新知导入
菱形的定义和性质？
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
边：四条边相等，对边平行.
角：对角相等.
对角线：对角线互相垂直平分.
新知导入
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理 四边相等的四边形是菱形.
做一做
你能用折纸的办法得到一个菱形吗?动手试一试.
菱形的性质与判定1
等腰三角形：
△ABD
△BCD
△ABC
△ADC
直角三角形：
△AOB
△BOC
△COD
△AOD
课堂小结
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形
是菱形。
2、菱形的性质：
①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所
在的直线；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的对角线互相垂直平分。
第六章 特殊平行四边形
第1节
菱形的性质与判定（一）
图片中有你熟悉的图形吗？
与左图相比较，这种平行四
边形特殊在哪里？你能给菱形
下定义吗？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具
有一般平行四边形的所有性质。你能
列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，
对角线互相平分。中心对称图形。
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
即AC⊥BD
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行
四边形的所有性质外，还有平行四边形所
没有的特殊性质：
定理
菱形的四条边都等。
定理
菱形的两条对角线互相垂直。
如图6-2，在菱形ABCD中，对角线AC
例1 与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=2，
1.已知，如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.
求证：△ABC是等边三角形
B
A
C
D
2. 如图，在菱形ABCD中，BD=6,AC=8,求菱形
ABCD的周长
D
B
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交
菱形的定义、性质
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). E B (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
A B D
菱形是中心对称图形
菱形是轴对称图形
C
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
∠DCA=∠BCA ∠ADC=∠ABC AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
由此可进一步推导得出：对角线互相垂 直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的 一半。
D B O A E
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
A
D O C
B
例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证： OE＝OF。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正 三角形。 F
D
C
E A
B
例1、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形 AEDF是菱形。 A F 1 2 变式训练：把本例中的 E “DE//AC交AB于E， DF 3 ∥AB交AC于F”改成“EF垂 C 直平分AD”，其他条件不变， B D 你能否证明四边形AEDF是 菱形？
菱形的性质与判定第一课时(菱形的性质)
B
D
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积
C
菱形的面积等于两条对角线乘积 1 2 BD AE 的一半 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
D A
O
C
解得:
B
菱形的周长为20cm ,面积为24cm2
三、课堂小结
定理:菱形的四条边都相等. 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且 每条对角线平分一组对角.
结论： 菱形是轴对称图形，有2条对称轴， 它们互相垂直。
首先它具有平行四边形的一切特征.
特殊的特征：
1、菱形的四条边相等.
思考：菱形的对角线有什么特征呢？
2、菱形的对角线互相垂直。
定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形.
求证:AB=BC=CD=DA. 分析:由菱形的定义,利用平行四边形性 质可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD. B A D C
O B
C
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD 长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, A E
∴∠AED=900,
AE
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
1 1 DE BD 10 5cm . 2 2 AD 2 DE 2 132 52 12cm .
定理:菱形的两条对角线互相垂直。 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O. 求证: AC⊥BD. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. A D
第一讲菱形的性质与判定
第一讲菱形的性质与判定（一）菱形的定义与性质1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:（1）菱形的四条边都相等;（2）菱形的对角线互相垂直平分.并且平分一组对角。
（3）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。
（4）菱形的面积计算：①菱形的面积等于底乘高②菱形的面积等于对角线乘积的一半；对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.典例分析：知识点1：利用菱形的性质求角的度数例1：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．知识点2：利用菱形的性质求线段长例2：（1）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，AC与BD相交于点O，求菱形ABCD 的周长与面积．（2）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于E，AP=5，AE=4，则点P到边AD 的距离等于_________．例2（2）图例2（3）图（3）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．知识点3：利用菱形的对称性求最短距离例3：（1）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4例3（1）图例3（2）图（2）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F 分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．知识点4：利用菱形的性质求面积例4：如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE=2．求：（1）对角线AC，BD的长；（2）菱形ABCD的面积．知识点5：利用菱形的性质证明例5：（1）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．①求证：AE=AF；②若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．（2）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．（二）菱形的判定判定方法：1、定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、对角线：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形②对角线互相平分的平行四边形是菱形3、边：四条边都相等的四边形是菱形注：(1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理图文展示：典例分析：知识点6：利用定义判定菱形例6：已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC 交AC于F．求证：四边形DECF是菱形．知识点7：利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定菱形例7：如图:,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.知识点8：利用“四边相等的四边形是菱形”判定菱形例8：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点；求证：四边形EGFH是菱形．（三）菱形的性质与判定的综合应用例9：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．例10：将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．例11：如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若纸条宽3cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积．例12：已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．夯实基础：1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，菱形ABCD的周长为8，高AE长为，则AC：BD=（）A．1：2B．1：3C．1：D．1：第3题第4题4.菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．5.在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，若△AEF是等边三角形，且EF=AB，则∠BAD的度数是（）A．100°B．105° C．110° D．120°6.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（）A．12B．24C．48D．967.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的周长为．第7题第8题第9题8.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）A．24 cm2B．20 cm2C．16 cm2D．12 cm29.如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连结PC，则∠DCF的度数为度．10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AB=13cm，AC=24cm．（1）求：菱形ABCD的面积；（2）如过点D作DE⊥BC，垂足为E，求DE的长．11.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE，若∠E=50°，求∠BAO的大小．12.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．13.如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．14.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．15.如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．16.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．。
菱形的性质与判定
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形有别于平行四边形 性质有哪些？
B
A D C
A
B 边
菱形的两组对边分别平行. 菱形的四条边相等.
C
D
菱 形 的 性 质
角
菱形的两组对角分别相等,邻角互补. 菱形的两条对角线互相垂直平分. 菱形的每一条对角线都平分一组对角.
对角线
对称性
菱形是轴对称图形.
已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合， 再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F， 分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；
已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合， 再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F， 分别连结AF和CE． 2 （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm ，求 △ABF的周长；
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
若用a、b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面 A 积为： D
1 S a b 2
O C
B
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角 形的问题来解决.
菱形的判定？
A
DBBiblioteka C有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱 形 的 判 定
边
四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
求证：四边形EGFC为菱形．
C F E A D G
B
如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的 中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证： OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为 何值时，四边形PBQD是菱形．
第12讲菱形(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）菱形的定义：准确理解菱形的概念，即一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）菱形的性质：掌握菱形的对角相等、对角线互相垂直平分、每一条对角线平分一组对角等核心性质。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解菱形的基本概念。菱形是一组邻边相等的平行四边形，它在几何图形中具有重要地位，广泛应用于日常生活和艺术设计中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个菱形在实际中的应用，了解它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调菱形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如性质推理和判定方法的灵活运用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
第12讲菱形（教案）
一、教学内容
第12讲菱形（教案）
《数学》八年级上册第四章几何图形的特殊性质：本讲主要内容为菱形的性质与判定。具体内容包括：
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.菱形的性质：菱形的对角相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与菱形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作一个菱形模型，演示菱形性质的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
第1讲 菱形的性质与判定(原卷版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★)【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（ ）(★★)A ． 60°B ． 45°C ． 30°D ． 15°【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（ ）(★★)A ．60° B ． 15° C ． 30° D ． 90°知识精讲目标导航【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)【知识拓展4】如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．求证：AB与EF互相平分．（★★）【即学即练】已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．（★★）知识点02 菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形【知识拓展1】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．（★★）【即学即练1】已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．（★★）【知识拓展2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．（★★）【即学即练2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．（★★）【知识拓展3】如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．（★★）【即学即练3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．（★★）【知识拓展4】如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是为E F ，并且DE=DF ．求证：四边形ABCD 是菱形．（★★）知识点03 菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【知识拓展1】（2019·全国九年级课时练习）补全下列解题过程．如图，在ABC ∆中，AB BC =，D E F ，，分别是BC AC AB ，，的中点．（1）求证：四边形BDEF 是菱形； （2）若10cm AB =，求菱形BDEF 的周长．解：（1）证明：∵E F ，分别是AC AB ，的中点，∴____________________．又∵D E ，分别是BC AC ，的中点，∴12DE AB =，//DE AB ． ∵四边形BDEF 是__________．又∵AB BC =，∴_________________．∴四边形BDEF 是菱形．（2）∵F 是AB 的中点，10cm AB =， ∴11105(cm)22BF AB ==⨯=． 又∵四边形BDEF 是菱形．∴BD D E EF BF ===．∴四边形BDEF 的周长为4520(cm)⨯=．【知识拓展2】（2021·浙江八年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．【知识拓展3】（2019·全国九年级课时练习）如图，在ABCD 中，AB BC =，点E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，AB a ，AC ，BD 相交于点O ．（1）求ABC ∠的度数；（2）已知32AO =，求对角线AC 的长； （3）求菱形ABCD 的面积．【知识拓展4】（2019·金昌市第五中学九年级一模）如图，已知A 、F 、C 、D 四点在同一条直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE（1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC 为菱形时AF 的长度．【知识拓展5】（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）如图，在等边ABC ∆中，6cm BC ，射线//AG BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为(s)t ．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：ADE CDF ∆∆≌；（2）当t 为多少时，四边形ACFE 是菱形．能力拓展1.如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，则∠CEF=_________．（★★★）2.如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为_________．（★★★）3.如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．（★★★）题组A 基础过关练1．（2021·湖南娄底市·九年级二模）下列各命题是真命题的是（ ）A ．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线B ．平行四边形一定是中心对称图形C ．有一个内角为60︒的平行四边形是菱形D ．三角形的外角等于它的两个内角之和 2．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒3．（2020·河北省保定市第二中学分校九年级期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（ ）A ．20B ．24C ．40D ．484．（2020·辽宁锦州市·九年级期中）菱形的边长是5cm ，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线的长为（ ）A ．6cmB ．83cmC ．8cmD ．10cm5．（2020·渠县第四中学九年级月考）若菱形的较长对角线为24cm ，面积为120cm 2，则它的周长为（ ） A ．50cmB ．51cmC ．52cmD ．56cm6．（2020·福建宁德市·九年级期中）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，则下列分层提分条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AB ＝CDB ．OA ＝OC ，OB ＝OD C ．AC =BD D ．//AB CD ，AD ＝BC7．（2020·广东茂名市·九年级期中）在菱形ABCD 中，若AB ＝2，则菱形的周长为( )A ．4B ．6C ．8D ．108．（2020·河北）如图，在菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，已知130A ∠=︒，则BEC ∠的大小为（ ）．A ．20°B ．25°C ．65°D ．75°题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·全国九年级专题练习）如图，将三角尺ABC 沿边BC 所在直线平移后得到△DCE ，连接AD ，下列结论正确的是（ ）A ．AD ＝ABB ．四边形ABCD 是平行四边形C ．AD ＝2ACD ．四边形ABCD 是菱形2．（2021·天津九年级一模）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若4EF =，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32二、填空题 3．（2021·云南曲靖市·九年级其他模拟）若菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线长为_______． 4．（2021·福建漳州市·九年级一模）在菱形ABCD 中，若对角线AC =8，BD =5， 则菱形ABCD 的面积为_____． 5．（2021·福建漳州市·九年级一模）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒．如图，以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB 在x 轴正半轴上，则点D 的坐标是_______．三、解答题6．（2021·山东聊城市·九年级二模）已知，如图，四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD 于点E ，点F 为四边形ABCD 外一点，且∠FCA ＝90°，BC 平分∠DBF ，∠CBF ＝∠DCB ．求证：四边形DBFC 是菱形．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·河南南阳市·九年级一模）如图，在矩形片ABCD 中，边4AB =，2AD =，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF 的长为5；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2021·浙江绍兴市·九年级一模）如图，ABCD 中，5AB a =，4BC a =，60A ∠=︒，平行四边形内放着两个菱形，菱形DEFG 和菱形BHIL ，它们的重叠部分是平行四边形IJFK ．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形IJFK 的面积为（ ）A ．2aB ．22aC ．232aD ．23a二、填空题 3．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·九年级一模）如图，菱形ABCD 的周长为8厘米，120D ∠=︒，点M 为AB 的中点，点N 是边AD 上任一点，把A ∠沿直线MN 折叠，点A 落在图中的点E 处，当AN =_________厘米时，BCE 是直角三角形．4．（2021·北京九年级二模）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形ABCD 中，72BAD ∠=︒，在对角线AC 上截取AE AB =，连按BE ，DE ，可将菱形分割为“风筝”（凸四边ABED ）和“飞镖”（凹四边形BCDE）两部分，则图2中的α=____°．三、解答题5．（2021·浙江杭州市·九年级二模）如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD＝3，CD2∠D＝45°，求菱形AECF的周长．6．（2021·江苏南京市·九年级专题练习）已知ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D 不与点B，C重合）．ABC是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC 于点FG，连接BE．△≌△．（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：AEB ADC（2）如图②，当点D在BC旳延长线时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形并说明理由．（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．。
19[1].2.2_菱形的性质(1)
![19[1].2.2_菱形的性质(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/cd1daefbc8d376eeaeaa312b.png)
B ∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∠DAC=∠BAC, ∠DCA=∠BCA , ∠ADB= ∠CDB, ∠ABD=∠CBD, AC⊥BD
角 平行四边形的对角相等.
性质:
平行四边形
边 平行四边形的对边平行且相等 线
平行四边形的对角线互相平分
对称性 中心对称图形
角 性质: 边
菱形的两组对角分别相等 菱形的对边平行,四条边相等
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
【菱形的面积公式】
A
菱形
B
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
菱形的两条对角线互相垂直平分， 线 每一条对角线平分一组对角。
对称性 中心对称图形,轴对称图形
相等的线段：
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
B
5 6
A
1 2
7
D
8
O
3 4
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
菱形的性质的研究 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质. 由于平行四边形的对边相等，而 菱形的邻边相等，故： 菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A D ∵四边形ABCD是菱形 B C ∴AB=BC=CD=DA
菱形的性质的研究
菱形的判定及知识点归纳
菱形的判定及知识点归纳
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菱形的判定
① 四条边都相等的四边形是菱形。
② 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形。
③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
菱形知识点归纳
1、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质:⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质;
⑵ 菱形的四条边都相等;
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷ 菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、菱形的判定方法:
⑴ 定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵ 判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶ 判断方法2:四条边相等的四边形是菱形。
4、菱形面积的计算:
菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab(a、b 为两条对角线)
归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。
希望上面对菱形知识点的总结学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们一定能很好的参加考试工作。
初中数学知识点总结:平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。
答案：cm cm 6,4。
【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。
【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
菱形的性质及知识点归纳
菱形的性质及知识点归纳1500字菱形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
下面是关于菱形的性质及相关知识点的归纳。
1. 边长性质：菱形的四条边边长相等。
2. 角度性质：菱形的内角都是直角，即90度。
3. 对角线性质：菱形的两条对角线相等且互相垂直。
4. 对称性质：菱形具有对称性，可以通过对角线进行对称。
5. 直角菱形：若菱形的一对对角线垂直，那么该菱形就是直角菱形。
6. 正菱形：若菱形的四个内角均为直角，则该菱形称为正菱形。
7. 等边菱形：菱形的四条边均相等，则称之为等边菱形。
8. 面积性质：菱形的面积可以通过对角线的乘积除以2来计算。
设菱形的对角线长为d1和d2，则菱形的面积S = (d1 × d2) / 2。
9. 周长性质：菱形的周长可以通过边长的四倍来计算。
设菱形的边长为a，则菱形的周长L = 4a。
10. 利用菱形的角平分线性质：菱形的角平分线上的长度都相等，并且菱形的左右两对角线划分出的小菱形相似，并且边长与菱形相比为1/2。
11. 利用菱形的内切圆性质：菱形的四条边都切内切圆的话，内切圆的直径等于菱形的对角线长度。
12. 利用菱形的封闭性质：菱形的内部由四个直角三角形组成。
可以通过计算这四个直角三角形的面积来计算菱形的面积。
13. 特殊菱形性质：如果一个四边形的对角线相等并且互相垂直，那么它就是一个菱形。
14. 利用菱形的边长性质：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。
15. 利用菱形的角度性质：如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它就是一个菱形。
16. 利用菱形的对称性质：如果一个四边形可以通过对角线进行对称，那么它就是一个菱形。
菱形是几何学中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
在解决几何问题和计算菱形的面积和周长时，以上这些性质和知识点都非常有用。
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17.菱形(一) 菱形的性质
基础题训练
1. (1)有一组相等的平行四边形是菱形.
(2)菱形的四条边都，菱形的对角线互相.
(3)菱形的面积等于两条乘积的一半.
2.菱形其有而矩形不具有的性质是( ).
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.四个角都相等
3.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( ).
A．对边平行B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
4.若菱形ABCD的对角线交于O点，则其中等腰三角形的个数为( ).
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5.菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为( ).
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 6条
6. (2014·大连)如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO= .
7.如图，在菱形ABCD中，AC=4，∠BAD= 120°，则菱形ABCD的周长为( ).
A.20
B.18
C.16
D.15
8.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一点，连AE，CE.则图中全等三角形共有( ).
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
9.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，则AC= .
10.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长= ，面积= .
11. (2014·枣庄)如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE=3，则四边形AECF的周长为( ).
A. 22
B. 18
C. 14
D. 11
12. (2014·攀枝花)如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是( )
A.点F
B.点E
C.点A
D.点C
13.如图，菱形ABCD中，E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，求证：CE= CF.
14.如图，菱形ABCD的周长为52，BD=10.
(1)求AC的长；(2)求菱形的高.
15.（2013·黄冈市）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.
16.如图，菱形ABCD中，AB=a，∠ABC=60°，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=60°.
(1)求证:∠E=∠F；(2)求CE－CF的值.
综合题训练
17. （2014·沈阳改）如图1，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AB =13，BD =24，点F 是BD 上一动点（不与点B 重合），将线段AF 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AM .
(1)求OA 的长;
(2)若点M ，F ，C 在同一条直线上，求证：3AC AM =;
(3)如图2，以AB 为边作等边△ABE ，AEM S ∆=40，求AF 的长.。