电磁场理论习题及答案7.(最新整理)

E
2 0
sin
2kz
sin
2t
故当 Z 0 时，有 当 Z 0 时，有
8
S(0,t) 0
当 Z 0 时，有 4
S(
0
8
,t)
eX
E 20 4
0 sin 2t 0
S(
0
,
t)
0
4
任一点的坡印廷矢量的平均值为
S SV
1
T
T 0
Sdt
ez
1 4
0 0
E 20
sin
2kz
1 T
T sin 2tdt 0
z,t)
er
0.398 r
cos(108 t
0.5) A /
m
（2）内导体表面的电流密度
Js n H ra er H ra
ez 397.9 cos(108t 0.5) A / m2
(3) 位移电流密度
Jd 0
E t
er
8.854 102 r
sin(108 t
0.5) A /
m2
所以 0 Z 1m 中的位移电流
习题：
1. 在 z 3m 的平面内，长度 l 0.5m 的导线沿 x 轴方向排列。当该导线以速度
v ex 2 ey 4 m s 在磁感应强度 B ex 3x2 z ey 6 ez 3xz2T 的磁场中移动时，求
感应电动势。
解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁
in
0.5 0
[ex108
x
ey 54
x
ez (12
36
x2
)]
ex dx
13.5V
2.长度为 l 的细导体棒位于 xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场
B ez B0 中以角速度 旋转时，求导体棒中的感应电动势。
解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即
in (v b) dl
根据已知条件，导体棒上任意半径 r 处的速度为
v er
dl erdr
故感应电动势为
in
l
(v b) dl
0
l 0
(e r
ez B0
)
er dr
B0
L 0
rdr
12B0l
2V
3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。
解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度 E 和磁感应强度 B 的
即
V DdV SD d S V dV q
根据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷 q 有 E 4r 2 q ，
所以距离该点电荷 r 处的电场强度为
E
er
q 4r 2
静电场为无旋场，因此有 E ，则
D E 2
所以有 即泊松方程。
2
8.由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。
刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应）。 解：选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为 (0, 0, vt) ，且产生
的场强与角度 无关，如习题所示。设 P(r,, z) 为空间任一点，则点电荷在 P
点产生的电场强度为
E
qR
4 0 R3
其中 R 为点电荷到 P 点的位置矢量，即
0
16.写出存在电荷 和电流密度 J 的无耗媒质中的 E 和 H 的波动方程的瞬时值形 式
解： 由麦克斯韦方程的微分形式
H J E t
（1）
E H t
（2）
H 0
（3） （4）
E
1
由式（1）两边取旋度，得 ( H ) J ( E) t
利用矢量恒等式，
( H ) 2 H ( H )
（2）求内导体表面的电流密度； （3）计算 0 Z 1m 中的位移电流。
z
ab
a
r
解： （1）将 E 表示为复数形式，有
E(r,
z)
er
100 r
e
j 0.5z
由复数形式的麦克斯韦方程，得
H
1 j0
E
1 j0
e
Er z
e
0.398 r
e
j
0.5
z
A
/
M
磁场 H 的瞬时表达式为
H (r,
1
A
I 4
=c
(
1 r
)
d
l
= = I
4
c
(
er r2
)
d
l
I 4
d l er c r2
9.如图所示，同轴电缆的内导体半径 a 1mm ，外导体内半径 b 4mm ，内、外
导体间为空气介质，且电场强度为
E
er
100 r
cos(108 t
0.5z)V
/
m
（1）求磁场强度 H 的表达式
在 x a 处， Ey 0 ， H x 0
H z H0 cos(kz t)
上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量 Ey 和磁场的
法向分量 H x 。 另外，在 x 0 的表面上，电流密度为
J s n H |x0 ex (ex H x ez H z ) |x0 ex ez H z |x0 ey H0 cos(kz t)
) sin(x ) sin(kz a
t)
Hx
a H0k(
) sin(x ) sin(kz a
t)
Hz
H0
cos(x ) cos(kz a
t)
这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？
解：应用理想导体的边界条件可以得出
在 x 0 处， Ey 0 ， H x 0
H z H0 cos(kz t)
所以 2 H ( H ) J ( E) t
将式（2）和式（3）代入上
2 H J ( H ) t t
故得
（5） 同理可得
2 H
2 H t 2
J
（6）
2 E
2 E t 2
J t
1
式（5）式（6）则为所求的有源空间中 E 和 H 所满足的波动方程，是非齐次波 动方程。 17．在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹规范条件，而是采用库仑规范条件，即
Sav
1 2
E0
H0
cos( e
m )
证明：坡印廷矢量的瞬时值为
S E H E0 cos(t e ) H0 cos(t m )
1 2
E0
H 0 [cos(t
e
t
m
)
cos(t
e
t
m
)]
1 2
E0
H 0 [cos(2t
e
m
)
cos(
e
m
)]
故平均坡印廷矢量为
Sav
1 T
T Sdt 1
D1, E1
1 2
1
2
D2 , E2
解：利用 D 和 E 的关系以及理想介质分界面的边界条件求解。
设 D1 和 D2 分别为介质1,2 中电通量密度。 E1 ， E2 分别为介质1,2 中电 场强度。在各向同性介质中， D 和 E 具有相同的方向。由边界条件
D1n D2n 和 E1t E2t ，得
R err ez (z vt)
那么，由
Jd
D t
0
E t
，得
Jd er
3qrv(z vt)
5
ez
qv[2(z vt)2
r2]
5
4[r2 (z vt)2 ]2 4[r2 (z vt)2 ]2
z
dz vdt
r
R
P(r,, z)
x
0
0
6.已知自由空间的磁场为 H ey H0 cos(t kz) A / m
而根据图可知
E1t E2t D1n D2n
D1n D1 cos1
E1t E1 sin 1
D2n D2 cos2
E2t E2 sin 2
则得
tan 1 1 r1 0 r1 tan 2 2 r2 0 r2
12.写出在空气和 的理想磁介质之间分界面上的边界条件。
解：空气和理想导体分界面的边界条件为 nE 0 nH Js
令 A 0 ，导出 A 和 所满足的微分方程。 解： 将电磁位定义代入麦克斯韦方程，利用 算子的二阶运算恒等式将所 得式子简化，然后引入库仑规范条件就可得到 A 和 所满足的方程即
B A
E A t
代入麦克斯韦方程，
H J D t
得
关系，将 H B , D E, J E 代入即可，注意在非均匀媒质中 ,, 是
空间坐标的函数。
考察麦克斯韦第一方程，有
H
B
(
1
)
B
1
B
1
B
1
B
2
J
D
J
E
t
t
所以
B
J
E
B
t
而
D ( E) E E ，于是，微分形式的麦克斯韦方程
根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式 E H , H E, J s Jms
即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件 nH 0 n E J sm
式中， J sm 为表面磁流密度。
13.在由理想导电壁 (r ) 限定的区域 0 x a 内存在一个由以下各式表示的电
磁场：
Ey
H
0
(
a
D
同样，对方程 E B 两边取散度，得 t
故得
( E) B ( B) 0 t t
B 0
11.如图所示，两种理想介质，介电常数分别为 1 和 2 ，分界面上没有自由电荷。 在分界面上，静电场电力线在介质1,2 中与分界面法线的夹角分别为1 和2 。求1 和2 之间的关系。