教案_对策论基础

矩阵： A(aij)
2020/12/5
• 齐王的赢得矩阵(支付矩阵)A
3
1
1
1
1
-1
1
3
1
1
-1
1
•
A=
1
-1
3
1
1
1
-1
1
1
3
1
1
1
1
-1
1
3
1
1
1
1
-1
1
3
• 田忌的赢得矩阵是什么？
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锤头、剪刀、布游戏
• 设游戏双方为甲、乙，则甲的赢得
乙
甲的赢得
包
剪
锤
甲
包
0
-1
1
剪
1
0
-1
锤
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博弈现象
下棋与打牌 体育比赛 战争 市场进入 谈判 生产管理决策 竞拍
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几个典型的博弈案例
• 锤子、剪刀、布的儿童游戏 • 囚徒困境 • 智猪博弈 • 强盗分金币
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一、基本概念与名词
• 局中人 • 策略与策略集 • 局势 • 赢得函数 • 零和对策 • 矩阵对策：二人有限零和对策
运筹学
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第六章 对策论基础
• 概论 • 矩阵对策的基本理论
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第一节 概论
• 对策与决策 • 决策是由单方做出的 • 对策是由利害冲突的多方做出的 • 1944年，Von Neumann &
D.Morgenstern合作出版《对策论与经济 行为》，标志着对策论的诞生
S 1 { a 1 ,a 2 , ,a m } S 2 ,{ 1 ,2 , ,n }
称 i为I 的纯策略， j为II 的纯策略，
对于纯策略i , j 构成的策略偶( i , j )称 为纯局势
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矩阵对策的纯策略解（鞍点解）
• 对于局中人I来说，各策略中最坏的结果 分别为｛-8, 2, -10, -3｝
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例子的最优纯策略
• 在上述定理中
a i* jm j (a iij)n, a i*jm i (a a ij)x
因此符合条件 mi (aaix* j)mj (ian i*j)
的即为最优纯策略。 • 上述例子的最优纯策略为：最优局势
(2,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
• 且VG=2为局中人I的赢得值。
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3
1
1
1
王 (中下上) 4 -1
1
1
3
1
1
(下中上) 5 1
1
-1
1
3
1
(下上中) 6 1
1
1
-1
1
3
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对策的数学表示
• 二人矩阵对策用下列式子表示
G I , I , S 1 , I S 2 , A 或 G S 1 , S 2 , A
• 其中I、II表示两个局中人，S1、S2分别 表示局中人I、II的策略集，A则表示赢得
• 在这些最坏的情况中，最好的结果是 max{-8, 2, -10, -3}=2
即：只要局中人I采用 2 ，无论II采用何
种策略，I都可以保证赢得不少于2
• 在这种情况下，II应采用策略 2 ,否则
输得更多
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最优纯策略的表述
•若满足 m i m ajx{a iin } j m j m iin{a ai} jx
，表这示六，组对策田略忌用，则i,i用 1,i2 ,i,3 ,4 1,,5 2,,6 3,4,5,6 表示。
支付函数—赢了得一千金，输了付一千金。
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齐王赛马赢得函数
田忌
1 2 3 4 5 6
(上中下) 1 3
1
1
1
1
-1
(上下中) 2 1
3
1
1
-1
1
齐 (中上下) 3 1
-1
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• 零和对策
– 如果各局中人的赢得函数之和为零，则称之 为零和对策，反之为非零和对策
• 矩阵对策
– 有限二人零和对策 – 三个特征：局中人只有2个；每个局中人只
有有限个可选择的策略；在任一局势中，两 个局中人的得失之和为零
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二、对策分类
（一）按对策双方是否存在有约束力的协议 来分：合作对策 非合作对策 （二）按局中人数分类：二人对策 多人对策 （三）按策略数分类：
则上述条件规定的局势
(
* i
,
* j
)
叫做最优纯局势，也是矩阵对策的最优解，
是局中人I、II的最优纯策略,即鞍点
•定理：矩阵对策G={S1,S2,A}有纯策略解的 充要条件是存在一个纯局势 (i*, *j使) 得
a i* j a i* j* a i* j,i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n
-1
1
0
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二、最优纯策略
• 现有一矩阵对策 G S1,S2,A
S1 {1, 2 , 3 , 4}, S2 {1, 2 , 3}
• 其中
1 2 3
1 6 1 8
A
2
3
2
4
3 4
9
3
1 0
10 6
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纯策略与纯局势
• 如果局中人I，II的策略集分别为
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• 局势
– 在一局对策中，每个局中人采用的策略所形 成的策略组称为一个局势，用s表示。
• 赢得函数（支付、支付函数，Payoff）
– 当局势出现后，对策的结果也就确定。即： 对任一局势 sS，局中人i可以得到一个赢得 Hi (s) ，显然，Hi (s) 是局势s的函数，称之 为第i个局中人的赢得函数
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• 策略和策略集
– 一局对策中，可供局中人选择的一个实际可 行的完整的行动方案，称为一个策略，它的 集合称为策略集S。
– 在儿童游戏中，锤子、剪刀、布就分别是一 个策略，｛锤子、剪刀、布｝就是一个策略 集。
– 如果每个局中人只有有限个策略，则相应的 对策称为有限对策，否则称为无限对策
有限策略对策 无限策略对策
二人有限零和对策是讨论的重点。
第二节 矩阵对策的基本理论
• 矩阵对策的数学模型 • 最优纯策略 • 混合策略与混合扩充
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一、矩阵对策的数学模型
以齐王赛马为例说明： 齐王赛马—二人有限零和对策
局中人—齐王和田忌 策略— 上 中下三种等级的马的组合 ，比三次，有六组策 略：( 上，中，下) 、 ( 中，上，下) 、 ( 上，下，中) 、 ( 中，下，上) 、 ( 下，上，中) 、 ( 下，中，上) ，对齐王
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局中人
– 在一个对策行为（或一局对策）中，有权决 定自己行动方案的对策参加者，称为局中人 （Player）
– 通常用I表示局中人的集合，如果有n个局中 人，则I＝｛1,2,3,…,n｝
– 在一个对策中，至少要有两个局中人 – 局中人，不一定是单个人，也可以是利益完
全一致的一个集体 – 只有两个局中人的对策，称为两人对策