复数与复平面

第一章 复数与复平面
第一节 复数及其几何表示
1、复数域
每个复数z 具有iy x +的形状，其中x 和R y ∈，1
-=
i 是虚数单位；x 和y 分别
称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。

复数111
iy x z
+=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。

复数的四则运算定义为：
)
()()()(21212211b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)()())((122121212211b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++
22
22
211222
22
21212211))
()(b
a b a b a i
b
a b b a a ib a ib a +-+++=
++
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。

2、复平面：
C 也可以看成平面2
R ，我们称为复平面。

作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2
R 之建立了一个1-1
对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。

复数可以等同于平面中的向量，iy x z +=。

向量的长度称为复数的模，定义为：2
2
||y
x z +=
；
向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：
i
x y z π2arctan
Arg +=（Z k ∈）。

复数的共轭定义为：iy x z -=；
)
,(y x
复数的三角表示定义为：)sin (cos ||Argz i Argz z z +=；
复数加法的几何表示：
设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
（1）、||||||2121z z z z +≤+；（2）、||||||||2121z z z z -≥+； （3）、||||||2121z z z z +≤-；（4）、||||||||2121z z z z -≥-； （5）、|||Im ||,||Re |z z z z ≤≤；（6）、z z z =2||； 例1 试用复数表示圆的方程：
)(2
2
=++++d cy bx y x a （0≠a ）
其中，a,b,c,d 是实常数。

解：方程为 0=+++d z z z az ββ，其中)
(2
1ic b +=β。

例2、设1z 、2z 是两个复数，证明
2
1212121,z z z z z z z z =+=+
11z z =
利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设1z 、2
z 是两个非零复数，则有
)sin (cos ||1111Argz i Argz z z +=)sin (cos ||22
22Argz i Argz
z z +=
2z
则有
)]
sin( )
[cos(||||21
21
2121Argz Argz
i Argz Argz z z z z +++=
即||||||2121z z z z =，2
12
1
)(Argz
Argz z
z Arg +=，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有
)]
sin( )
[cos(||/||/21
21
2121Argz Argz
i Argz Argz z z z z -+-=
即||/|||/|2121
z z z z
=，2
1
21)/(Argz
Argz
z z Arg -=，其后一个式子也应理解为集合相等。

例3、设1z 、2z 是两个复数，求证：
),
Re(2||||||212
22
12
21z z z z z z ++=+
例4、作出过复平面C 上不同两点a,b 的直线及过不共线三点 a,b,c 的圆的表示式。

解：直线：0Im
=--a
b a z ；圆：0)Im(
=----b
c a c b
z a z 利用复数的三角表示，我
们也可以考虑复数的乘幂：
)sin (cos ||nArgz i nArgz z z n
n
+=
令n
n z
z 1=
-，则
)]sin()[cos(|
|nArgz i nArgz z z
n
n
-+-=--
进一步，有
)]1sin(
)1[cos(
||1
Argz n
i Argz n
z z n
n +=
共有n -个值。

例5、求4)1(i +的所有值。

解：由于)
4
sin
4
(cos
21π
π
i i +=
+，所以有
)]24
(41sin )24(41[cos
2)1(8
4
ππ
ππk i k i +++=+ )]
2
16
sin(
)2
16
[cos(
2)1(8
4
ππ
ππ
k i k i +
++
=
+
其中，3,2,1,0=k 。

3、复球面与无穷大：
在点坐标是),,(u y x 的三维空间中，把 xOy 面看作就是iy x z +=面。

考虑球
面S ：1222=++u y x 取定球面上一点)1,0,0(N 称为球极。

我们可以建立一个复平面C 到}{N S -之间的一个1-1对应：
'
1''u iy x iy x z -+=
+=
1
||'2
++=
z z z x ，1
||'2
+-=
z z z y ，1
||1||'22
+-=z z u 。

我们称上面的映射为球极射影。

对应于球极射影为N ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点∞，称}{∞⋃C 为扩充复平面，记为∞C 。

关于∞，其实部、虚部、辐角无意义，模等于∞+；基本运算为（a 为有限复数）：
∞
=±∞=∞±a a ；)0( ≠∞=⋅∞=∞⋅a a a ；
)
(0 );0(0
∞≠=∞
≠∞=a a a a 。

(x A。