抛物型初边值问题的matlab求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解【原创实用版】目录一、引言二、一维抛物型偏微分方程的基本概念三、初边值问题的求解方法四、数值解法的应用与比较五、结论正文一、引言抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程，其在物理、工程和生物学等领域具有广泛的应用。
在实际应用中，抛物型偏微分方程通常伴随着初边值问题，即在给定的时间或空间范围内，需要求解方程的初始值和边界值。
因此，研究一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法具有重要的实际意义。
二、一维抛物型偏微分方程的基本概念一维抛物型偏微分方程是指形如 u*"" + pu" + qu = f(x, t) 的偏微分方程，其中 u 表示未知函数，p 和 q 是常数，f(x, t) 是已知函数。
在一维抛物型偏微分方程中，未知函数的导数最高阶为二阶，因此它是一种特殊的偏微分方程。
三、初边值问题的求解方法针对一维抛物型偏微分方程的初边值问题，常用的求解方法包括：分离变量法、Crank-Nicolson 方法、Richardson 外推法和紧差分法等。
下面对这些方法进行简要介绍：1.分离变量法：将一维抛物型偏微分方程中的未知函数拆分为空间和时间变量的乘积，通过求解分离的偏微分方程，得到未知函数的解。
该方法适用于求解具有特定形式的初边值问题。
2.Crank-Nicolson 方法：一种基于有限差分法的求解方法，通过在每个时间步长上对未知函数进行三次线性插值，求解得到离散的初边值问题。
该方法具有较高的精度和稳定性。
3.Richardson 外推法：通过求解一组线性微分方程，预测未知函数在接下来的时间步长的值。
该方法适用于求解时间步长较大的初边值问题。
4.紧差分法：一种基于有限差分法的求解方法，通过在每个时间步长上对未知函数进行三次线性插值，并采用紧差分格式进行求解，得到离散的初边值问题。
该方法具有较高的精度和稳定性。
四、数值解法的应用与比较在实际应用中，针对一维抛物型偏微分方程的初边值问题，可以根据问题的具体特点和求解需求，选择合适的求解方法。
MATLAB边值问题求解课程设计
MATLAB边值问题求解课程设计一、教学目标本课程的目标是使学生掌握使用MATLAB软件解决边值问题的方法。
通过本课程的学习，学生应能够：1.描述边值问题的数学模型及求解方法。
2.熟练使用MATLAB软件进行边值问题的建模和求解。
3.分析并评估求解结果的准确性和可靠性。
在知识目标方面，学生应掌握：1.边值问题的基本概念及其数学描述。
2.常用的边值问题求解方法。
3.MATLAB软件的基本操作和功能。
在技能目标方面，学生应具备：1.运用MATLAB软件进行边值问题建模的能力。
2.编写MATLAB脚本文件求解边值问题的能力。
3.分析求解结果并进行相应的图形可视化。
在情感态度价值观目标方面，学生应：1.认识数值计算在工程和科研中的应用价值。
2.培养严谨的科学态度和良好的团队协作精神。
3.激发对计算机辅助数学建模的兴趣。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.边值问题的基本概念和数学描述。
2.常用的边值问题求解方法，如差分法、有限元法等。
3.MATLAB软件的基本操作、函数和编程方法。
4.使用MATLAB软件求解边值问题的实例分析和实践。
教学大纲安排如下：第1-2课时：边值问题的基本概念和数学描述。
第3-4课时：常用的边值问题求解方法。
第5-6课时：MATLAB软件的基本操作和函数。
第7-8课时：使用MATLAB软件求解边值问题的实例分析。
第9-10课时：综合练习和课程总结。
三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学：1.讲授法：用于讲解边值问题的基本概念、求解方法和MATLAB软件的基本操作。
2.案例分析法：通过分析实际案例，使学生更好地理解边值问题的求解过程。
3.实验法：让学生动手实践，使用MATLAB软件求解边值问题，提高其实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将采用以下教学资源：1.教材：《MATLAB边值问题求解教程》。
2.参考书：涉及边值问题求解方法和MATLAB软件应用的各类书籍。
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解标题：深度剖析一维抛物型偏微分方程初边值问题求解在数学和物理领域中，偏微分方程是一种重要的数学工具，被广泛应用于描述自然界中的各种现象和规律。
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解是其中的一个重要领域，对于理解热传导、扩散和波动等问题具有重要意义。
本文将深入探讨一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法，并以此为基础，展开对这一领域的全面评估。
1. 引言一维抛物型偏微分方程是描述时间和空间变化的物理量之间的关系的数学方程。
它具有广泛的应用，包括热传导、扩散、波动等诸多领域。
在实际问题中，我们经常需要求解一维抛物型偏微分方程的初边值问题，这就是本文要探讨的重点。
2. 理论基础在讨论一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解之前，我们首先需要了解其理论基础。
一维抛物型偏微分方程通常具有形式：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partialx^2} + f(x, t) \]其中，\( u(x, t) \) 是待求函数，\( c \) 是常数，\( f(x, t) \) 是已知函数。
对于这类方程，我们需要给定初始条件 \( u(x, 0) = \phi(x) \) 和边界条件 \( u(0, t) = g(t) \) 以及 \( u(l, t) =h(t) \)。
3. 求解方法在实际问题中，我们可以采用分离变量法、变量替换法、差分法等多种方法来求解一维抛物型偏微分方程的初边值问题。
这里我们以分离变量法为例进行讨论。
我们可以假设解具有形式：\[ u(x, t) = X(x)T(t) \]将其代入原方程，得到两个关于 \( X \) 和 \( T \) 的常微分方程，分别为：\[ \frac{1}{c^2}\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T'(t)}{T(t)} = -\lambda \]解出 \( X(x) \) 和 \( T(t) \) 后，再利用边界条件和初始条件，我们就可以得到一维抛物型偏微分方程初边值问题的解。
二维抛物型方程初边值问题拟多重网格预处理迭代法
Ｖｏ １ ． ３ ４． Ｎｏ ． ９
Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０ １ ３
二 维 抛 物 型 方程 初 边 值 问题 拟 多重 网格 预 处 理 迭代 法
杨艳 南， 白 乙拉
（ 渤海大学 数理学 院， 辽宁 锦州 １ ２ １ ０ １ ３ ）
摘
要： 将 求解二 维椭 圆方程 边值 问题 的拟 多重 网格 预 处理 迭代 法推 广 到二 维抛 物型 方 程
在时间区域［ ０ ， Ｔ ］ 上仍然采用等距离剖分 ， 取时间步长为 ． ｒ ， 因而把时间区域［ ０ ， Ｔ ］ 分为 Ⅳ个 时间层 ， 其中
Ｎ＝［ ７ － ］ ， 则有［ ０， Ｔ ］＝｛ ｔ Ｉ ｔ ＝ ｒ ， ｎ＝１ ， ２ ， … …Ⅳ｝ ． 因此 ， 为采 用 拟 多重 网格 预处 理 迭代 法 ， 在第 ｎ时 间层 上 （ 即时 间变 量 ｔ 取值为 ｔ ） ， 对抛 物 型方 程 （ １ ） 的解 的 空 间 区域 ｎ 进 行 如 下 的 Ｚ （ 起 始 的 网格 层 数 Ｚ 为偶 数 ） 层 旋 转 网格 剖 分 ： 空间 区域 ｎ ＝｛ （ ， Ｙ ｊ ） Ｉ ｘ ＝ｉ ｈ ｆ ， ｙ ＝ ｆ ｝ ， 其中 ｉ √＝１ ， ２ ， …… ， ｎ １ ； １ ＝ ２
第３ ４卷 第 ３期
２ ０ １ ３年 ９月
பைடு நூலகம்
渤 海大 学学 报 （ 自然 科学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｂ ｏ ｈ ａ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
ｐ ｉ ＞ ０ ， 。 （ ， Ｙ ） 为 已知 的初 始条件 函数 ， ｇ ｏ （ ， ｔ ） 、 ｇ 。 （ ｙ ， ｔ ） 、 ｈ 。 （ ， ｔ ） 及ｈ （ ， ｔ ） 为 已知 的边 界条件 函数 ， Ｍ为未 知 函数 ， Ｖ表示梯 度．
matlab 第一类边值问题 电磁场 迭代法
matlab 第一类边值问题电磁场迭代法关于matlab 第一类边值问题电磁场迭代法，程序本身没有错，显示结果的语句不符合matlab语言习惯，另外去掉disp也能显示出结果来，区别你运行下就知道了，最后提两点。
1）变量x出现三种类型，工作区内后定义类型变量值会覆盖前一种类型，且不能再使用前一种类型的变量，不同类型最好另外起名字；
2）对于double型数据的相等判断，最好采用abs(a-b)<eps的形式，eps可以自己是机器精度，可以自己调，这个程序里if xx == 1.5没有出现问题，是因为精度判断没有问题。
1）for循环那里x=1.4后面应为冒号；
2）for 少了对应的end；
3）for循环里x_derivative为sym类型，不能直接运算，需用subs代入数值；
4）迭代算法需要大改，n没有定义。
混合型方程论文：关于混合型双曲(抛物)—抛物型方程的初边值问题
混合型方程论文：关于混合型双曲（抛物）—抛物型方程的初边值问题【中文摘要】这篇文章主要研究的是混合型方程的初边值问题,混合型方程是偏微分方程中特殊的研究方向之一,也是偏微分方程的一个推广.国内外的学者在这方面做出了杰出的贡献.关于混合型方程在未知边界问题上的初边值问题,是这篇文章的重要部分.这篇文章分五部分阐述了这些问题.第一部分,讲述了混合型方程的,研究现状及研究意义.第二部分,介绍了本文所用到的预备知识.第三部分,给出了n+ 1维混合型双曲——抛物方程的Cauchy问题.第一节,问题的提出.第二节,讨论了问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性,得到了本文的定理3.2.1,定理3.2.2,定理3.2.3,定理3.2.4,定理3.2.5,定理3.2.6.第三节,先给出了τ( x )和γ( x)存在唯一性,在利用级数的收敛性定理证明了问题解的存在性,得到了文中的定理3.3.1,定理3.3.2.第四部分,讨论了一类混合型方程的未知边界问题.第一节,首先提出问题.第二节,研究了问题在区域D = D1∪D2上解的唯一性.得到了文中的定理4.2.1,定理4.2.1.第五部分,这是这篇文章的重要组成部分,主要研究的是混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题.第一节,提出问题.第二节,讨论了问题在不同区域上解的唯一性,得到了文中的定理5.1.1,定理5.1.2.第三节,根据Green公式,导出问题的积分形式解,在利用不动点原理,证明问题解的存在性.得到了文中的定理5.2.1,定理5.2.2.【英文摘要】In this paper we study the initial boundary value problem of the mixed type equation, which is one of the special study directions in partial differentialequation .Much fruitful research work have been made by many scholars at home and abroad on this respect .The problem on changing boundary and non-local peoblem is an important and interesting issue. This paper is divided into five parts to discuss these issues.In part1, we describes the research background,the present research situation and the research meaning of the mixed type equation.In part2, we introduce the preliminary knowledge concerning the article.In part3, we state the dimensional mixed hyperbolic– parabolic of Cauchy problems.In Section 1, we state of the problem.In Section2, we discussed the prior model solution for the problem and the solution estimates, uniqueness and stability, by Theorem 3.2.1 of this paper, Theorem 3.2.2, Theorem 3.2.3, Theorem 3.2.4, Theorem 3.2. 5, Theorem 3.2.6.In Section3, we gives the existence and uniqueness, in the use of the convergence theorem of series solution for the problem have proved the existence of the text in the Theorem by 3.3.1, Theorem 3.3.2.In part4,we discussed a class of mixed-type equation by the boundary problem.In Section 1,we first of all ask questions.InSection2,we state the problem in the region on the solution uniqueness. Has been the text in the Theorem 4.2.1, Theorem 4.2.1.In part5, this is an important part of this article, the main research is mixed parabolic - semi-parabolic equation by the boundary problem.In Section 1, we ask questions.In Section 2,we discusses the problem in different regions of the uniqueness of the solution was to get the text in the Theorem 5.1.1, Theorem 5.1.2.In Section 3, we according to Green formula, the problem of integral solutions obtained, reasonable use of the fixed point theorem, was proved the existence of Solutions. Get the text in the Theorem 5.2.1, Theorem 5.2.2.【关键词】混合型方程未知边界问题先验估计解的存在性解的唯一性解的连续依赖性【英文关键词】mixed type equation the unknown boundary problem a priori estimates existence of solutions uniqueness of solution the solution of the continuous dependence【目录】关于混合型双曲（抛物）—抛物型方程的初边值问题中文摘要3-4Abstract4 1 引言6-8 1.1 选题目的与意义6 1.2 国内外的研究现状6-8 2 预备知识8-10 2.1 定解问题的适定性定义和一些定理8-9 2.2 一些重要不等式与恒等式9-10 3 n+ 1 维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy问题10-16 3.1 问题的提出10 3.2 问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性10-13 3.3 解的存在性13-16 4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题16-21 4.1 问题的提出16-17 4.2 解的唯一性17-21 5 关于一类混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题21-36 5.1 混合型抛物—半抛物型方程未知边界问题解的唯一性21-26 5.2 解的存在性26-36参考文献36-40在校期间发表的论文40-41后记41【备注】索购全文在线加好友QQ：139938848同时提供论文写作一对一指导和论文发表委托服务。
matlab求解初边值问题的偏微分方程
偏微分方程是描述自然界中动态过程的重要数学工具，在工程领域中，求解偏微分方程是很多实际问题的重要一步。
MATLAB作为一种强大的数学计算软件，提供了丰富的工具和函数来求解各种类型的偏微分方程。
本文将介绍使用MATLAB求解初边值问题的偏微分方程的方法和步骤。
一、MATLAB中的偏微分方程求解工具MATLAB提供了几种可以用来求解偏微分方程的工具和函数，主要包括：1. pdepe函数：用于求解偏微分方程初边值问题的函数，可以处理各种类型的偏微分方程，并且可以自定义边界条件和初始条件。
2. pdepeplot函数：用于绘制pdepe函数求解得到的偏微分方程的解的可视化图形，有助于直观地理解方程的解的特性。
3. pdetool工具箱：提供了一个交互式的图形用户界面，可以用来建立偏微分方程模型并进行求解，适用于一些复杂的偏微分方程求解问题。
二、使用pdepe函数求解偏微分方程初边值问题的步骤对于给定的偏微分方程初边值问题，可以按照以下步骤使用pdepe函数进行求解：1. 定义偏微分方程需要将给定的偏微分方程转化为标准形式，即将偏微分方程化为形式为c(x,t,u)∂u/∂t = x(r ∂u/∂x) + ∂(p∂u/∂x) + f(x,t,u)的形式。
2. 编写边界条件和初始条件函数根据实际问题的边界条件和初始条件，编写相应的函数来描述这些条件。
3. 设置空间网格选择合适的空间网格来离散空间变量，可以使用linspace函数来产生均匀分布的网格。
4. 调用pdepe函数求解偏微分方程将定义好的偏微分方程、边界条件和初始条件函数以及空间网格作为参数传递给pdepe函数，调用该函数求解偏微分方程。
5. 可视化结果使用pdepeplot函数绘制偏微分方程的解的可视化图形，以便对解的性质进行分析和理解。
三、实例分析考虑一维热传导方程初边值问题：∂u/∂t = ∂^2u/∂x^2, 0<x<1, 0<t<1u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, u(x,0) = sin(πx)使用MATLAB求解该初边值问题的步骤如下：1. 定义偏微分方程将热传导方程化为标准形式，得到c(x,t,u) = 1, r = 1, p = 1, f(x,t,u) = 0。
一类退化抛物型方程初边值问题的blowup
一类退化抛物型可以被定义为在给定初边值下满足偏微分方程。
这类
方程常被用于在物理，天文学和其他学科中的应用，它们的解决方案
可以提供有关被研究系统的机制和行为的信息。
然而，这类方程可能会面临一个叫做blowup的挑战，这是指这一类的
解析解会在某个时刻爆炸，而不是一直收敛到某个常数值。
研究表明，在特定的初边值和参数中，抛物型方程的解可能会出现动力学爆炸行为，而不是一直收敛到某个常数值。
动力学爆炸通常可以由垂直双曲
分支解析地表示出来，其在偏微分方程解上存在极限行为。
抛物型方程的blowup在经典动力系统理论中得到广泛应用，它可以用
来模拟复杂现象，比如发散、涟漪、共振、数学不稳定性等。
空间上
可以表示为数学模型的抛物型就可以考虑物理系统的动力学，这些物
理系统会产生blowup的行为，并可以通过抛物型方程研究。
此外，blowup也在动力计算领域引入了新的挑战，由于抛物型方程具
有无限可变的对流特性，数值方法一般无法有效地解决。
为了解决这
一问题，研究者们提出了一些学术工作，他们提出了一些复杂的数值
方案，使用数值代替解析解，从而解决了抛物型方程的blowup问题。
因此，从多领域的角度来看，blowup仍然是重要的研究课题，从理论
到实践，它都给大家带来了新的挑战，同时也提供了新的突破口。
研
究者们也在不断努力完善已有的研究成果，希望能够更好地理解抛物
型方程blowup的机制和行为，从而潜心研究并获得成功。
MATLAB边值问题求解课程设计
MATLAB边值问题求解课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解边值问题的基本概念，掌握其在工程与科学中的应用。
2. 学习并掌握利用MATLAB求解线性及非线性常微分方程边值问题的方法。
3. 能够描述不同边值问题求解算法的原理及其适用范围。
技能目标：1. 能够运用MATLAB软件，独立编写程序求解简单的线性及非线性边值问题。
2. 能够分析边值问题求解结果，识别并初步解释结果中的物理意义。
3. 培养对实际工程问题进行数学建模，并利用MATLAB进行数值求解的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生面对复杂问题时的耐心和解决问题的决心，增强学生对科学研究的兴趣。
2. 增强学生的团队协作意识，通过小组讨论和合作完成边值问题求解任务。
3. 引导学生认识到数学工具在现代科技发展中的重要作用，增强其学习的责任感与使命感。
本课程针对高年级本科生或研究生设计，考虑到学生的数学基础、编程能力以及实际应用需求，课程目标定位于理论知识与实践操作的结合。
通过本课程的学习，学生不仅能够掌握利用MATLAB求解边值问题的基本技能，而且能够在实际问题中应用所学知识，从而提高其解决复杂工程问题的能力。
同时，课程旨在培养学生的科学素养和积极的学习态度，为将来从事科学研究或工程实践打下坚实基础。
二、教学内容1. 边值问题基本概念介绍：包括线性与非线性边值问题的定义、常见类型及其在工程与科学中的应用实例。
教材章节：第二章“常微分方程边值问题”2. MATLAB求解边值问题的基本算法：介绍MATLAB内置函数（如bvp4c、bvp5c）的原理与使用方法。
教材章节：第三章“数值解法及MATLAB实现”3. MATLAB编程实践：通过案例教学，指导学生编写程序求解线性与非线性边值问题。
教材章节：第四章“案例分析与应用”4. 边值问题求解结果分析：教授如何分析求解结果，包括误差估计、稳定性分析等。
教材章节：第五章“结果分析及优化”5. 数学建模与边值问题求解：结合实际工程问题，指导学生进行数学建模，并利用MATLAB求解。
【毕业设计(论文)】二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现
第1章前言1.1问题背景在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的MATLAB实现》和曹刚教授的《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。
诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-uhlenbeck过程。
热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。
在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。
虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。
自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。
科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。
而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。
解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。
为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的。
1.2问题现状近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。
同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。
而且精度上更好。
目前，在欧美各国MATLAB的使用十分普及。
在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB苏佳园：二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB也成为大学生们必不可少的计算工具，甚至是一项必须掌握的基本技能。
关于混合型双曲（抛物）-抛物型方程的初边值问题
1引言1 引言1.1 选题目的与意义混合型方程初边值问题是一个在现实和理论上都有重要意义的问题.方程式与混合型方程的区别是：（1）定义域不同；（2）初边值条件的提法不同（初始条件与边界条件中某一个是未知的）；（3）关于方程式利用的定义、定理、公式等理论在很多情况下不能直接应用于混合型方程问题;（4）实际应用不同.在混合型偏微分方程初边值问题分析性质方面，主要是研究问题解的唯一性和解关于初边值函数与自由项的连续依赖性以及解的存在性.混合型偏微分方程初边值问题是偏微分方程领域中的一个非常重要的分支，同时既是偏微分方程方向中的一个特殊方向之一，也是偏微分方程式的推广.本文改进了一些已有的结果，并进行推广，提出了一些问题和解的存在性，唯一性及连续依赖性.1.2国内外的研究现状对混合型二阶线性抛物-逆抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型三阶线性双曲-逆双曲型方程混合问题和Cauchy问题,混合型二阶线性双曲-抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型线性抛物-椭圆型方程混合问题,混合型线性双曲-椭圆型方程混合问题,混合型二阶非线性双曲-抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型非线性抛物-椭圆型方程混合问题,混合型非线性双曲-椭圆型方程混合问题等等,国内的陈恕行,倪星棠[3][4],刘丹平,王景荣,孙和生[19],闻国椿[6][9][11][12],孙龙祥[17],肖黎明[14],张福元, ,国外的Ж.О.Тахиров, Т.Д.Джураев等都作过广泛深入的研究并取得了不少的成果.近十余年以来,有许多学者在这方面也做了大量细致的工作.并取得了一些重要且完美的结果.在混合型偏微分方程初边值问题分析性质方面,则主要是研究问题解的先验估计式及利用先验估计式研究解的唯一性和解关于初边值函数与自由项的连续依赖性,而利用积分方程组理论研究解的存在性.混合型方程早在20世纪50年代特里谷米研究，在发现它们与空气动力学问题有联系后,对这类方程的研究就更加活跃了.1959年А.В.Бицадзе建立了混合型偏微分方程问题,在此基础上19世纪70年代末В.И.Врагов与Т.Д.Джураев对关于混合型二阶双曲-抛物型方程问题进行了多方面研究,取得合型偏微分方程问题，在此基础上19世纪70年代末В.И.Врагов与Т.Д.Джураев对于混合型二阶双曲—抛物型方程进行了多方面研究，取得了一系列成果.混合1引言型二阶双曲—抛物型方程未知边界问题，М.Мамажанов与Д.Халмуратов关于混合型三维带特征双曲-抛物型方程边值问题方面进行了进一步探讨并取得了很好的结果.20世纪90年代Д.Халмуратов研究了关于一般形式的混合型双曲-抛物型方程的边值条件问题并取得了很好的成果.20世纪90年代末Шавкат.Кадер研究了关于混合型拟线性双曲-抛物型方程边值问题并得到了一系列成果.2003年И.Т.Мамедов提出并研究了关于混合型二阶椭圆-抛物型方程边值问题,在这个问题方面得到了一系列有意义的研究成果.2004年Н.А.Пардаева提出并研究了一般二阶线性抛物型方程的非局部问题,得到了一些完美的结果.在国内陈恕行,倪星棠,王景荣,孙和生,闻国椿,孙龙祥,肖黎明,张福元等将偏微分方程中的研究成果及方法与积分方程理论和泛函分析中的一些重要理论及研究方法有机结合起来,研究了二阶和三阶混合型方程初边值问题解的存在唯一性和连续依赖性,得到了一系列创造性的成果.关于混合型双曲-抛物型方程初边值问题,国内外很多学者已作过许多重要研究,对于1维到n维,线性和非线性，双曲型和抛物型方程的初边值问题方面已经得到了很好的结果,如三阶非线性偏微分方程初边值问题解的存在性[7],一类拟抛物型方程的初边值问题[8]等,对于混合型方程初边值问题方面也有不少需要研究的问题，如一类双曲—抛物型方程的广义解[1]，半线性双曲方程和抛物方程解整体存在和不存在的两个门槛结果[2]等.尤其是高维混合型抛物-双曲型方程的初边值问题,如一类混合型椭圆—双曲型偏微分方程的正对称性证明与推广[5]，混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题在国内外还有待于进一步研究.线性和非线性混合型偏微分方程初边值问题是在偏微分方程式理论中的一个特殊方向之一,也就是说,是偏微分方程式理论的推广.在国内外，很多数学家对混合型方程进行了大量的研究.例如:倪星棠，Трикоми，Геллерстеда，Бицадзе，Франкля等数学家们研究局部和非局部初边值问题,变动边界问题和未知边界问题等等.问题的提出,证明的方法的大部分是现代混合型方程理论,主要是从如下的数学家们的研究中获得的,他们分别是А.В.Бчцадзе, М.С.Салахитдинов, Т.Д.Джураев, М.М.Смирнов, В.Н.Врагов, М.М.Мередов, Т.Ш.Калыменов, Нейсинтанг等.2预备知识2 预备知识2.1 定解问题的适定性定义和一些定理含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程.方程的个数是1的称为方程式，方程的个数多于1的称为方程组.对方程组而言，一般要求方程的个数与未知数的个数相同.如果方程的个数少于未知函数的个数，称方程组是欠定的.如果方程的个数多于未知函数的个数，称方程组是超定的.方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数.如果方程（组）中的项关于未知函数及各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的.非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性.给定一个常微分方程，有通解和特解的概念.通解只要求满足方程， 定义 1[44] 既有初始条件又有边界条件的定解问题称为混合问题（有时也称初边值问题）.定义 2[44] 如果方程在Ω的某一部分上是某一种类型的（比如双曲型的），而在Ω的其余部分上是另一种类型的（比如椭圆型的），则称它在Ω中是混合型的.定义 3 [50]设X 是一个非空集，X 叫作距离空间，是指在X 上定义一个双变量的实值函数(,)x y ρ，满足下面三个条件：(1) (,)0x y ρ≥,且(,)0x y ρ=当且仅当x y =； (2) (,)(,)x y y x ρρ=;(3) (,)(,)(,)x y x z z y ρρρ≤+,,,x y z X ∀∈;称ρ为X 上的一个距离，以ρ为距离的空间X 记为(,)X ρ.定义 4（自映射）设X 是距离空间，A ：X X →是映射，方程u Au =的解称为算子A 的不动点.若存在01α≤<使得对一切,x y X ∈，均有(,)(,)Ax Ay x y ραρ≤则称A 是X 上的一个压缩映射（自映射）.定理 1 （Gronwall 不等式）若函数()A t 满足()()()A t cA t B t ′≤+ ，0t > ， 其中()B t 是非负的单增函数，0c >是常数，则有2预备知识1()(0)(1)()ct ct A t A e e B t c ′≤+− ，0t ≥ .定理 2 （不动点定理）设X 是一个完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，则T 有唯一的不动点.定理 3 （强极值原理）设函数u 在Ω内调和.如果u 不是正常数，则u 在Ω内既达不到最大值也达不到最小值.定理 4 （弱极值原理）设()T u C Q ∈∩2,1()T C Q 且满足[]0u ϕ≤，则u 的值一定在T Γ上达到，即max max TQu Γ=.2.2 一些重要不等式与恒等式1．Cauchy 不等式对任意,0a b ≥，有2222a b ab ≤+ .2. 带ε的Cauchy 不等式对任意,0a b ≥和0ε>，有2222a b ab εε≤+ .3. Young 不等式对任意,0a b ≥，1p < ，q <∞，111p q +=，有p qa b ab p q ≤+.4. 带ε的Young 不等式对任意,0a b ≥和0ε>,1,p q <<∞,111p q +=有qpqpa b ab p qεε−≤+.5.Green 恒等式2uu udx u dx udS nΩΩ∂Ω∂Δ=−∇+∂∫∫∫. 其中Ω是n R 中的有界区域,∂Ω是Ω的边界，12(,,...,)n x x x x =，22222212...n x x x ∂∂∂Δ=+++∂∂∂,12(,,...)n x x x u gradu u u u ∇==，n 是∂Ω上的单位外法向量.3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题在这一章中，将研究1n +维混合型双曲—抛物方程的Cauchy 问题解的先验模估计，利用先验模估计[41][42][43]证明解的唯一性和连续依赖性.利用积分方程组理论证明解的存在性.3.1 问题的提出设函数(,)(()T u x t Q c ∈∩2,1())T Q c 满足下列方程和初值条件：问题Ⅰ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,0)(,0)()(,0)(,0)()tt t t t u x t u x t f x t v x t v x t g x t v x u x x v x u x x τγ+−+−−Δ=−Δ===== ,,,, (,)(,)T T n nx t Q x t Q x R x R +−∈∈∈∈ ,,,.(3.1.1)(3.1.2)(3.1.3)(3.1.4)其中121212(,,......)(,)(,,......,),(,)(,,......,),n n n x x x x u x t u x x x t f x t f x x x t ===，2221222212(,)(,,......,),......,{(,):}n t n g x t g x x x t x t x R t x x x ∂∂∂=Δ=+++Ω=≤−∂∂∂12((,,......),1,2,......),,(0,],n n n i T T T T R x x x x x R i n Q Q Q Q R T +−+==∈==∪=×[,0),[0,],[,0]n n n T T T Q R T Q R T Q R T −+−=×−=×=×−,(,),(,)f x t g x t 是已知连续可微函数 ，(),()x x τγ是未知连续可微函数 .3.2 问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性本节主要研究问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性，即把问题Ⅰ分成如下两个定解问题进行研究：问题Ⅱ (,)(,)(,)(,0)()(,0)()tt t u x t u x t f x t u x x u x x τγ−−−Δ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,,, (,)T n n x t Q x R x R +∈∈∈,,. (3.2.1)(3.2.3)(3.2.4) 问题Ⅲ (,)(,)(,)(,0)()t v x t v x t g x t v x x τ+−Δ=⎧⎨=⎩，， (,)T nx t Q x R −∈∈ .， (3.2.2)(3.2.4) 定理3.2.1 设(,)()T u x t c Q +∈∩2,1()T c Q +是初值问题Ⅱ的解，则对于依赖于T3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题的常数11()c c T =，u 满足先验模估计：2222210()[()]tttt u u dx c dx f dxdt γτΩΩΩ+Δ≤+Δ+∫∫∫∫，（3.2.5） 其中 12122222222212......,......,.....n n x x x x x x n u u u u dx dx dx dx ττττΔ=+++Δ=+++=⋅⋅.定理3.2.2 设2,1(,)()()T T v x t c Q c Q −−∈∩是初值问题Ⅲ的解，则对于依赖于T 的常数22()c c T =，v 满足先验模估计：222200()ttttttv dx v dxdt c dx g dxdt τΩΩΩΩ+Δ≤+∫∫∫∫∫∫， （3.2.6）证明：对问题Ⅲ中的方程两边乘以(,)u x t 并在T Q −上积分，得ttttt t t v vdx v vdxdt gvdxdt ΩΩΩ−Δ⋅=∫∫∫∫∫∫， （3.2.7）对(3.2.7)式进行变换，并对其左端第一项中关于t 积分，利用部分积分以及初值条件，得22200111()222ttt t vv dt v dt v τ==−∫∫， (3.2.8)对(3.2.7)式左端第二项和右端利用不等式，222ab a b ≤+可知，220001122t t ttttv vdxdt v dxdt v dxdt ΩΩΩΔ⋅≤Δ+∫∫∫∫∫∫， (3.2.9)220001122tt ttttgvdxdt g dxdt v dxdt ΩΩΩ≤+∫∫∫∫∫∫，(3.2.10) 把(3.2.8)、(3.2.9)和(3.2.10)代入(3.2.7)式，得22222002tttt tttt v dx v dxdt dx v dxdt g dxdt τΩΩΩΩΩ+Δ≤++∫∫∫∫∫∫∫∫. (3.2.11)记 22200(),().tttttY t v dxdt F t dx g dxdt τΩΩΩ==+∫∫∫∫∫利用Gronwall 不等式,得3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题20()(0)(1)()tttt v dxdt Y t Y ee F t Ω=≤+−∫∫220()()ttttte F t e g dxdt dx τΩΩ≤=+∫∫∫.把上式代入(3.2.11)式得(3.2.6)式成立. 其中22()21t c c T e ==+.定理3.2.3 设2,1(,)(()())T T u x t c Q c Q ∈∩是初值问题Ⅰ的解，则对于依赖于T 的常数()c c T =，u 满足先验模估计：222222222300()[()]ttttt tt t uu u dx u dxdt c dx f dxdt g dxdt γττΩΩΩΩΩ++Δ+Δ≤++Δ++∫∫∫∫∫∫∫∫（3.1.12）定理3.2.4 双曲—抛物型方程cauchy 问题Ⅰ至多有一个古典解.证明：设问题Ⅰ有两个古典解，12(,)(,)u x t u x t 和，令12(,)(,)(,)u x t u x t u x t =−， 则(,)u x t 满足对应于0f g τγ====的问题Ⅰ， 利用先验模估计式(3.2.12)，得2222()0ttt t u u u dx u dxdt ΩΩ++Δ+Δ=∫∫∫故12......0n t x x x u u u u ====即,u x t 与无关， 所以 (,)u x t c =， 由 (,0)0,u x = 得 (,0)0u x c ==， 则 12(,)0(,)(,)u x t c u x t u x t ===−， 即 12(,)(,)u x t u x t ≡， 所以问题Ⅰ有唯一解.定理3.2.5 设2,1(,)(()())T T u x t c Q c Q ∈∩是初值问题Ⅰ的解，33()0c c T =>，3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题使得222222222300()[()]ttttttt t u u u dx u dxdt c dx f dxdt g dxdt γττΩΩΩΩΩ++Δ+Δ≤++Δ++∫∫∫∫∫∫∫∫（3.1.13） 证明：由文献[44]我们知道，对于问题Ⅱ可以推得，222220[()]tttttu dx dx t dx e tef dxdt τγτΩΩΩΩ≤++Δ+∫∫∫∫∫(3.2.14)由(3.2.12)式加(3.2.14)式得证(3.2.13)成立. 其中 33()max{1}t c c T e c c t ==++，.定理3.2.6 任取00,[,]n x R t T T ∈∈−，则对于任意的0ε>，均存在0δ>，只要 22220012121212()()()((,))max{,(),,,t t t L L L L K x t f f ττττγγΩΩΩ−Δ−−−20012((,))}L K x t g g −,δ<对应于111(,,)f τγ和222(,,)f τγ，11(,)g τ和22(,)g τ的解1u 和2u 就满足2220000121212()((,))((,))max{,(),()}t tL L K x t L K x t u u u u u u εΩ−−Δ−<. (3.2.15)证明：记 1212121212,,,,f f f u u u g g g τττγγγ=−=−=−=−=−，则u 满足问题Ⅰ，于是(3.2.13)式成立.2222200001212121212()()()((,))((,))max{,(),,,}t t t L L L L K x t L K x t f f g g ττττγγΩΩΩ−Δ−−−−≤22200003121212()((,))((,))max{,(),()}t t L L K x t L K x t c u u u u u u Ω−−Δ−3c δ≤取 3c δε=，得(3.2.14)式成立.所以问题Ⅰ的解连续地依赖于,,f g τγ和.3.3 解的存在性本文主要利用级数的收敛性定理证明解的存在性，首先给出一个引理.引理：设0lim (,)0tt t u x t →=及1(,)f x t −Δ存在，(,),(,)f x t g x t 是已知的连续可微函数，则20()(),x c τ∈Ω0()()x c γ∈Ω存在.3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题证明：因为(,)u u f x t tt−Δ=，当0t −→时， ()(,0)x f x τ−−Δ= . （3.3.1） (,)v v g x t t −Δ=， 当0t +→时，()()(,0)x x g x γτ+−Δ=. （3.3.2）由（3.3.1）式得1()(,0)x f x τ−−=Δ， 将（3.3.1）-（3.3.2）式整理,得()(,0)(,0)()x g x f x F x γ+−=−=，因为(,)(,)f x t x t 和g 是已知连续可微函数，所以()()x x τγ和存在唯一.定理 3.3.1设在n R 上(),()x x c τγ∞∈，在t Q +上(,)f x t c ∞∈，及满足12max (),max (),n ni i x Rx RM x M x τγ∈∈=Δ=Δ12322()M M TM T M =++，则问题Ⅱ的解存在.证明： 因为2212100001(,)()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t i i i i x i i i t t u x t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+====Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 所以2212100001(,)()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t iii ix i i i t t u x t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+===≤Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 2212100001()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t i ii i x i i i t t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+===≤Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 22122123000(2)!(21)!(21)!(22)i i i i i i T T T M M M i i i i ++∞∞∞===≤+++++∑∑∑22122123000(2)!(2)!(2)!i i i i i i T T T M M M i i i ++∞∞∞===≤++∑∑∑221230()(2)!ii T M M T M T i ∞=≤++∑221232102()2ii i T M M T M T ∞−=≤++∑3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题20(2)!i i T M i ∞=≤∑202ii T M ∞=⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠∑.由Fourier 级数收敛定理[43]，因为202ii T M ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数(,)u x t 绝对收敛.故问题Ⅱ的古典解存在.定理 3.3.2设在n R 上()x c τ∞∈，在t Q −上(,)g x t c ∞∈，及满足1max (),njx RN x τ∈=Δ2(,)[,0)max (,)}nj x x t R t N g x t ∈×−=Δ，12N N TN =+，则问题Ⅲ的解存在.证明：因为001(,)()()(,)!!j j j j x tj j t v x t x t g x t d j j τττ∞∞===Δ+−Δ∑∑∫所以0001(,)()()(,)!!j jj jx t j j t v x t x t g x t d j j τττ∞∞===Δ+−Δ∑∑∫12001()!!j jt j j T N N t d j j ττ∞∞==≤+−∑∑∫11200!(1)!j j j j T T N N j j +∞∞==≤++∑∑1200!!j jj j T T N N T j j ∞∞==≤+∑∑!jj T N j ∞=≤∑.由Fourier 级数收敛定理[43],因为级数0!jj T N j ∞=∑收敛，所以(,)v x t 绝对收敛.4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题混合型方程的未知边界问题是在偏微分方程中比较特殊的一种问题，在这一章中，是在未知的边界区域上讨论一类混合型抛物—半抛物型方程的初边值问题，并研究这个问题解的唯一性.4.1 问题的提出在本节中先提出问题，为了讨论方便，把问题在化成两个定解问题进行讨论.设D t x u ∈),(满足如方程：0)),((sgn ),(=−t x u t t x u t xx ， D t x ∈),( ， （4.1.1） 及在1Γ、2Γ、3Γ、4Γ、5Γ上满足如下初边值条件，,)),(()(,)),(()(,0)),((,0)),((,),(),0(,)()0,()0,(0t t h u t h t t s u t s t t h u t t s u t x u t u x x u x u x x βατ−=======••−+,),(,),(,),(,),(,],[,0,),(535302Γ∈Γ∈Γ∈Γ∈−∈<<Γ∈t x t x t x t x T T t c x t x )7.1.4()6.1.4()5.1.4()4.1.4()3.1.4()2.1.4( 其中1D D =∪2D ， }0),(0:),{(1T t t s x t x D <<<<= ，},0),(0:),{(2≤≤−<<=t T t h x t x D },0,0:),{(1T t x t x ≤≤==Γ},0,0:),{(2c x t t x ≤≤==Γ},0,)(:),{(3T t t s x t x ≤≤==Γ}0,0:),{(4≤≤−==Γt T x t x ，}0,)(:),{(5≤≤−==Γt T t h x t x .)(x τ是连续可微的未知函数，且0)(=′′c τ，)(t s 、)(t h 分别为在],0[T ，]0,[T −上连续可微的未知边界函数，c h s ==)0()0(，H t s <<•)(0，0)(<<−•t h K ，βα,,,,c K H 均为正常数，)6.1.4(、)7.1.4(分别为求)(t s ，)(t h 的条件.为了方便讨论，把定解问题（4.1.1）—（4.1.7）分成如下两个问题：4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题问题Ⅰ ,)),(()(,0)),((,),(),0(,)()0,(,0t t s u t s t t s u t x u t u x x u u u x xx t ατ=====−⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧•+ ,],0[,],0[,],0[,0,0,),(01T t T t T t c x c x D t x ∈∈∈<<≤≤∈ 问题Ⅱ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=====+•−,)),(()(,0)),((,),(),0(,)()0,(,00t t h u t h t t h u t x u t u x x u u u x xx t βτ ,]0,[,]0,[,]0,[,0,0,),(02T t T t T t c x c x D t x −∈−∈−∈<<≤≤∈4.2 解的唯一性为了证明问题Ⅰ和问题Ⅱ解的唯一性，应先证明未知边界函数()s t 和()h t 的唯一性，而要证明未知函数()s t 和()h t 的唯一性，必须要确定未知函数()s t 和()h t 的单调性，并利用弱极值原理证明问题解的唯一性.由此我们给出这样的两个定理，并给与证明.定理4.2.1设0)(>x τ，则0)(<<−•t h K 成立.证明：由混合型抛物型方程极值原理[24]，问题Ⅱ中的),(t x u 只能在542,,ΓΓΓ上取得极值。
经典偏微分方程课后习题答案
第四章 抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。
取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。
u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。
一类二阶抛物型方程初边值问题解的存在定理
（ １ ． ２ ）
的一个先验估计 ｌ ２ － １ Ｃｌ ｌ Ｌ ｕ ｌ ｌ ０ ， 进而得到了解存在唯一性定理
受到上述思想的启发， 我们将对二阶抛物型算子
Ｌｏ ｕ： Ａｕ— ａ ｉ ｒ 一 ｔ
（ １ ． ３ ）
建立 一个 优先 估计
ｌ ２ ＿ １ ｃ（ Ｉ Ｌ ￣ ｌ ｌ 。 ＋Ｉ Ｉ Ｌ ｕ ｌ Ｌ 。 ） ，
在抛物型偏微分方程解的存在性 问题的研究中， 一般是先建立一个可能的解的先验估计 ，
然后利用一些非线性分析 的方法证明解 的存在性． 如Ｅ ｌ ｃ ａ ｒ ｔ和 Ｓ ｉ ｇ ｉ ｌ ｌ ｉ ｔ ｏ在文 ［ １ 】 中先推导出
了抛 物 算子 Ｌ。
Ｌｎ ｉ ｔ＝ ａ ｉ ｊ ｕ。 ＋ ｂ ｉ ｕ ｔ一 ０ —Ｃ Ｕｔ
有关 吸 引盆 理 论 的相关 知识 ．
引理 １ ． １［ ６ 】设 ， Ｆ为Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间， 日 为 Ｅ 中连 通开 集 ．ｆ： Ｈ ｃ Ｅ－ ＿ ＋ Ｆ 在 Ｈ 上 是
局 部 同胚 的 Ｃ 映射 ． 设Ｘ ０∈Ｈ ， 对 于任 何 Ｘ∈Ｈ， 路径 提升 问题
ｆ ． 厂 （ ％＠ ） ） ＝ｆ （ ｘ ｏ ） ＋ｅ － ｔ （ ， （ ） 一 ｔ 厂 （ ｏ ） ） ， ｔ ∈ Ｒ ，
考虑 二 阶抛物 算 子
Ｌｏ ｕ＝ Ａｕ—ａ ｕ一 ｔ ，
（ ２ ． １ ）
己
０
其中ａ （ ｘ ） 是ｔ ， Ｘ ｌ ， … ， 的有界函数． 设 Ｗｏ （ Ｄ） 是以
Ｕ
（ Ｉ Ｐ ｕ ｌ ， ： ／ （ “ ， ２ ＋ Ｉ Ｉ ［ ２ ＋ ｕ ｔ ２ ）
（ １ ． ４ ）
然 后 利 用 非线 性 分 析 的方 法 讨论 方程 （ １ ． １ ）解 的存 在 性 问题 ， 并推 导 出一 类 二阶 抛物 型 方程 初边 值 问题 解 的存 在 唯一 性 的一个 充 分条 件 ． 我们 的证 明不 同于 Ｅ ｌ ｃ ａ ｒ ｔ和 ｓ ｉ ｇ ｉ ｌ ｌ ｉ ｔ ｏ给 出 的证 明．一个 有趣 的工具 ， 吸 引盆 ， 在 我 们 的主 要定 理 ２ ． １的证 明中起 着重 要 的作用 ，下面先 给 出
李荣华二维抛物方程的初边值问题matlab
李荣华二维抛物方程的初边值问题在数学和工程领域中扮演着重要角色。
通过使用Matlab，我们能够更深入地理解和解决这一问题。
在本文中，我们将从基础概念开始，逐步深入讨论李荣华二维抛物方程的初边值问题，并结合Matlab进行实际分析和解决。
一、初边值问题的概念和涵义1. 初边值问题的定义初边值问题是指在偏微分方程中，除了部分边界条件外，还需给出一些初始条件。
李荣华二维抛物方程的初边值问题即是在方程中给定初值条件和边界条件的问题。
2. 李荣华二维抛物方程简介李荣华二维抛物方程是描述热传导、扩散等现象的数学模型，在物理学和工程领域有着广泛的应用。
它的形式通常为一个关于未知函数和其在空间和时间上的导数的方程。
3. Matlab在初边值问题中的应用Matlab作为一种强大的数学建模和仿真工具，能够帮助我们求解各种类型的偏微分方程，包括初边值问题。
通过Matlab，我们可以对李荣华二维抛物方程进行数值求解和模拟，从而更清晰地理解问题本质。
二、李荣华二维抛物方程的初边值问题解析1. 方程的建立我们需要建立李荣华二维抛物方程的数学模型，并给定相应的初值条件和边界条件。
在Matlab中，我们可以通过定义矩阵和方程的形式来实现这一过程。
2. 数值求解我们利用Matlab提供的数值求解方法，如有限差分法或有限元法，对初边值问题进行求解。
通过程序的编写和运行，我们可以得到方程的数值解，并对物理过程有更直观的认识。
3. 结果分析在求得数值解之后，我们可以对结果进行分析和可视化。
通过Matlab 的绘图功能，我们能够直观地观察李荣华二维抛物方程的演化过程，以及初值条件和边界条件对解的影响。
三、个人观点和总结在本文中，我们深入探讨了李荣华二维抛物方程的初边值问题，并结合Matlab进行了实际分析和解决。
通过对问题的全面评估和数值求解，我们对方程的特性和行为有了更深入的理解。
个人观点上，我认为Matlab是一个非常强大的工具，能够帮助我们更直观、高效地处理数学问题。
基于matlab解抛物型方程的交替隐方向p-r差分格式的实现
基于matlab解抛物型方程的交替隐方向p-r差分格式的实现1. 引言1.1 概述本文旨在利用MATLAB中的抛物型方程解析方法，具体实现交替隐方向p-r差分格式。
抛物型方程是一类常见的偏微分方程，在科学计算和工程领域中有着广泛的应用。
该类方程描述了许多自然界和社会系统中的动态过程，如热传导、扩散、弹性形变等。
而交替隐方向p-r差分格式则是一种高效解法，适用于求解抛物型方程。
1.2 文章结构本文将按以下结构展开详细论述：- 第2节将简要介绍抛物型方程及其解析方法概述，并特别关注MATLAB在此过程中的应用。
- 第3节将深入探讨交替隐方向p-r差分格式的原理，并对其稳定性和精确度进行分析。
- 第4节将重点阐述基于MATLAB实现交替隐方向p-r差分格式的步骤，包括空间离散化方法选择与实现、时间离散化方法选择与实现、以及迭代求解过程描述与收敛性分析。
- 最后，第5节将呈现数值实验设置，并展示数值结果，同时对结果进行讨论。
1.3 目的本文的目的在于通过MATLAB解析抛物型方程，并实现交替隐方向p-r差分格式，从而提供一种高效、稳定、精确的数值计算方法。
此研究对于处理抛物型方程相关问题具有实际应用意义，为科学计算和工程领域中的相关研究提供了指导和借鉴。
我们期望该研究能够拓展数值计算方面的知识，促进在实践中解决复杂系统动态过程模拟与分析的能力。
2. 抛物型方程解析2.1 抛物型方程简介抛物型方程是一类常见的偏微分方程，它描述了许多自然现象和数学模型中的动态行为。
一般而言，抛物型方程包括一个时间变量和多个空间变量，并且通常具有二阶时间导数和二阶或更高阶的空间导数。
典型的抛物型方程包括热传导方程、扩散方程和波动方程等。
2.2 解析方法概述解析方法是指通过使用数学分析和解析推导来求解偏微分方程的方法。
在抛物型方程的解析研究中，常用的方法包括变量分离法、相似变量法、格林函数法等。
这些方法基于物理建模和数学推导，可以得到精确的解或者近似解。
偏微分数值解(2,MATLAB求解方法)
初始条件:
u1 ( x,0) 1,
u2 ( x,0) 0
边界条件:
u1 (0, t ) 0, u1 (1, t ) 1 x u2 u2 (0, t ) 0, (1, t ) 0 x
方程来自电动力学中关于电磁场理论的一个 偏微分方程组。
2.1 用偏微分方程工具箱求解微分方程
直接使用图形用户界面（ Graphical User Interface，简记作GUI）求解．
图22.1 所讨论定解问题的区域
第三步：选取边界 首先选择Boundary菜单中Boundary Mode命 令，进入边界模式．然后单击Boundary菜单中 Remove All Subdomain Borders选项，从而去掉子 域边界，如图22.2．单击Boundary菜单中Specify Boundary Conditions选项，打开Boundary Conditions对话框，输入边界条件．本例取默认条 件，即将全部边界设为齐次Dirichlet条件，边界显 示为红色．如果想将几何与边界信息存储，可选择 Boundary菜单中的Export Decomposed Geometry,Boundary Cond‟s命令，将它们分别存储 在g、b变量中，并通过MATLAB形成M文件．
第八步：若要画等值线图和矢量场图，单击 Plot 菜单中 Parameter 选项，在 Plot selection 对话框中选中 Contour 和 Arrows 两项．然后单击 Plot 按钮，可显示解的等值 线图和矢量场图，如图 2. 6 所示。
图 2.6 解的等值线图和矢量场图
(1) u1=hyperbolic（u0，ut0，tlist，b，p，e，t，c，a，f，d）
matlab报告——用matlab研究抛体运动
用matlab研究抛体运动2. 用matlab研究抛体运动引论MATLAB语言是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处置等多种功能的高级语言。
利用MATLAB模拟物理现象为咱们解决问题提供了一种新的方式，利用其方便的数值计算和作图功能，能够方便的模拟一些物理进程。
关于处置非线性问题，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，方便有效，基于其功能壮大，界面友善，语言自然，交互性强等优势，已成为教学和科研中最基础的软件之一，利用其解决复杂的数值计算问题，能够减少工作量，节约时刻，图形绘制问题，真实直观，能够加深明白得，提高工作效率将物体以必然的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所作的运动，它的初速度不为零，可分为平抛运动和斜抛运动。
物理上提出的“抛体运动”是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。
抛体运动加速度恒为重力加速度，相等的时刻内速度转变量相等，而且速度转变的方向始终是竖直向下的。
抛体运动及应用、实验设计思路一、理论分析一样的处置方式是将其分解为水平方向和竖直方向，平抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解两种情加速度及位移等进行相应分析。
不管如何分解，都必需把运动的独立性和独立作用原理结合进行系统分解，即将初速度、受力情、加速度及位移等进行相应分析。
斜抛运动： 水平方向速度αcos 0v v x= （1）竖直方向速度gt v v y -=αsin 0 （2）水平方向位移 tx v αcos 0= （3）竖直方向位移 2021cos gtt y v -=α （4）平抛运动： 水平方向速度v v x 0=（5）竖直方向速度gt v y = (6) 水平方向位移tx v 0= (7)竖直方向位移221gtv y = (8)合速度t g vv vv y xt 42202241+=+=（9）合速度方向与水平夹角β：v v v gt tg x y 0==β (10)合位移yxs 22+=(11)位移方向与水平夹角α：02v gttg ss xy==α (12)设某一抛射体的初速度为0v ，抛射角为θ，将其运动在X,Y 轴上进行正交分解，水平方向速度0cos x v v θ=(13)竖直方向0sin y v v gt θ=- (14) 质点的坐标(,)x y 是0()cos()x t t v θ= (15)201()sin 2y t t gt v θ=- (16)从上两式消去t ，便得质点的轨迹运动方程2220tan 2cos gx y x v θθ=-t (17)抛射体能达到的最大高度为220sin 2H g vθ= (18)其抵达最大高度所需时刻为0sin T gv θ= (19)空中飞行时刻为0sin 22t T g v θ== (20)抛射体的最大射程为2sin 2X gv θ= (21)它跟初速度0v 和抛射角θ有关，在抛射角θ不变的情形下，射程x 与20v 成正比，因此射程随初速度的增大而增大。
ADI(交替方向隐格式)求解二维抛物方程(含matlab程序)
ADI 法求解二维抛物方程学校：中国石油大学（华东） 学院：理学院 姓名：张道德 时间：2013.4.271、ADI 法介绍作为模型，考虑二维热传导方程的边值问题：（3.6.1）,0,,0(,,0)(,)(0,,)(,,)(,0,)(,,)0t xx yy u u u x y l t u x y x y u y t u l y t u x t u x l t ϕ=+<<>⎧⎪=⎨⎪====⎩取空间步长1hM，时间步长0，作两族平行于坐标轴的网线：,,,0,1,,,j k x x jh y y kh j k M =====将区域0,x y l ≤≤分割成2M 个小矩形。
第一个ADI 算法（交替方向隐格式）是Peaceman 和Rachford （1955）提出的。
方法：由第n 层到第n+1层计算分为两步：（1） 第一步： 12,12n j k xx yy u +从n->n+，求u 对向后差分,u 向前差分，构造出差分格式为：1(3.6.1)11112222,,1,,1,,1,,1221222,,2-22=21()n n n n n n n n j kj kj kj k j kj k j k j k n n x j k y j k hhhτδδ+++++-+-+-+-+=+uu uuuu u u （+）u u（2） 第二步：12,12n j k xx yy u +从n+->n+1，求u 对向前差分,u 向后差分，构造出差分格式为：2(3.6.1)1111111222,,1,,1,,1,,12212212,,2-22=21()n n n n n n n n j kj kj kj k j kj k j k j k n n x j k y j k hh hτδδ++++++++-+-++-+-+=+uu uuuu u u （+）u u其中1211,1,,1,0,1,2,,()22n j k M n n n τ+=-=+=+上表表示在t=t 取值。