秦飞编著《材料力学》第12章 压杆的稳定性
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w a sin kx b cos kx
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12.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
上式中,a、b和k均为待定常数。为确定这些常数,可以利用
杆两端的位移约束条件。 在杆的A端,x=0,w=0。得b=0,于是
w a sinkx
杆B端的位移约束条件为:x=l,w=0。得
M0 Fcr
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该微分方程的通解为
w a sin kx b cos kx
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12.3不同杆端约束下细长压杆的临界载荷
一阶导数为
w ak cos kx bk sin kx
w 0, w 0
考虑到压杆两端的位移约束条件分别为
x 0:
πx w a sin l
在临界载荷作用下,两端铰支Fra Baidu bibliotek杆的微弯状态为半波正弦曲 线,其幅值为a,亦即杆中点(x=l/2处)的挠度值 。
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12.3 不同杆端约束下细长压杆的临界载荷
图示为两端固定约 束的压杆,当轴向 力 F 达 到 临 界 力 Fcr 时,杆处于微弯平 衡状态。由对称性, 设杆两端的约束力 偶矩均为 M0 ,则杆 将杆从坐标为x的截面截开,由静力 的受力情况如图 平衡,可得到x截面处的弯矩为
12.6 提高压杆稳定性的措施
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12.1 稳定性的基本概念
稳定性是指平衡状态的稳定性,亦即物体保持其当前平衡状 态的能力。 1 图1圆球,干扰撤除后即能恢复其原有平衡 状态,称为稳定平衡。 图2圆球,称为不稳定平衡。 2
图3放置在平面上的圆球,处于“随遇而安” 3
状态,称为中性平衡。
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12.1 稳定性的基本概念
当受到轴向压力时,如果杆件是不存在材料、 几何等缺陷的理想直杆,则杆受力后其轴线 将保持直线形状。 轴向压力较小时,给杆一个侧向干扰使其稍 微弯曲,则当干扰去除后,杆仍会恢复其原 来的直线形状,说明压杆处于稳定平衡状态。
工程上通常取其中不为零的最小值作为压杆的临界载荷。
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12.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
取n=1,上式改为
π 2 EI Fcr 2 l
上式称为计算两端铰支细长压杆 临界载荷的欧拉公式(Euler’s formula)。
(Leonhard Euler,1707~1783)
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第12章 压杆的稳定性
Stability of Columns
本章主要内容
12.1 稳定性的基本概念
12.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
12.3 不同杆端约束下细长压杆的临界载荷
12.4 欧拉公式的适用范围与临界应力总图
12.5 压杆的稳定性校核
线发生微小弯曲变形的微弯平衡状态。如何确定Fcr?
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12.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
建立图示 x-w 坐标系,
从处于微弯平衡状
态的杆中取出一段, 该段必然也处于平 衡状态。 设该段右截面(距A端坐标为x)挠度为w,考虑到静力平衡 条件,则该截面上必有一弯矩,其值为
莱昂哈德· 欧拉
当压杆截面在不同方向有不同的惯性矩时(如工字形截 面或矩形截面等),应取其中最小的惯性矩 Imin 代入欧拉 公式。
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12.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
由于挠曲轴近似微分方程成立的条件为小变形以及材料符 合胡克定律,所以欧拉公式也只适用于小变形和杆中应力 不超过材料比例极限情况。 取n=1,得到
如果将压杆的工作压力控制在临界载荷以下,则 压杆不会失稳,因此,如何确定压杆的临界载荷 是解决压杆稳定性问题的关键。
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12.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
两端球形铰支的细长等直杆,承受轴向压力F。当压力F增
大到某一临界值Fcr时,杆由轴线为直线的平衡状态变为轴
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M ( x) Fcr w( x)
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12.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
设杆的弯曲刚度为EI,将上式代入挠曲轴近似微分方程式,
得
Fcr w d 2 w M ( x) 2 EI EI dx
于是
Fcr 设 k EI
2
d2w 2 k w0 2 dx 上式为二阶齐次常微分方程,其通解为
a sinkl 0
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12.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
当取sin(kl)=0时,待定常数 必须满足条件
kl nπ, (n 0,1,2,3,) 或 k
得
nπ l
n2 π 2 EI Fcr l2
上式表明,使杆处于微弯平衡状态的临界载荷有无穷多个。
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12.1 稳定性的基本概念
当轴向压力超过某一值时,当干扰去除后压杆 不但不会恢复原来的直线形状,而且会继续弯 曲,产生显著的弯曲变形甚至破坏。
在轴向压力逐渐增大过程中,压杆从稳定的平衡状态 转变为不稳定的平衡状态,发生失稳现象或屈曲 (buckling)。此时的轴向压力值,称为压杆的临界力或 临界载荷(critical load),用Fcr表示。
x l :
w 0, w 0
将上述条件代入上式,得到联立方程 M0 b 0 Fcr ak 0 M0 a sin kl b cos kl 0 Fcr ak cos kl bk sin kl 0
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M ( x) Fcr w M 0
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12.3不同杆端约束下细长压杆的临界载荷
代入挠曲轴近似微分方程式,得
Fcr w M 0 d2w 2 EI EI dx
Fcr 令 k 上式可写为 EI 2
2
M0 d w 2 k w 2 EI dx