由一道找规律的题想到

由一道找规律的题想到

北京市草场地中学（100015）李茂蓓

今年海淀区的九年级期中考时题，是一道找规律的题型，作为北京市中考特色题型，第8题和第12题都是一些考查学生动手能力和逻辑思维运用能力的题。第12题是填空题得压轴题，经常是一些找规律的题。所以这次海淀区的一模练习的第12题就是一个典型的找规律的题。

题目：（2020年年海淀一模）12．

如图，矩形纸片ABCD

中，AB =

BC =第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，

第二次将纸片折叠使点B 与点1D 重合，折痕与

BD 交于点2O ；设21O D 的中点为2D ，第三次将

纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O

，

…… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与 BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．

…

第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠 …

答案：2 ；1

233

2n n --

其实找规律的题，在小学的数学教学中就有涉及，但由于我校是一个农村中学，学生基础较差，所以本题的第二空得分率为0，所有学生都没能找到规律。我和同组教师也思考了很久才找到这个题的答案。因为本题涉及到折纸问题，学生阅读和逻辑思维能力较弱，动手操作抽象为数学思维的概括能力也有限，加之本题的规律又不是那么简单地能看出来。所以学生全军覆没了。

在试卷讲评课上，同组教师是这样给学生讲解的，首先读题，带着学生们分析问题，B A D

C B B A

D B A D

然后发现第一次折叠 n =1时： 1BO =2

第二次折叠 n=2时： 23BO 2

=

第三次折叠 n=3时： 39BO 8

= 第四次折叠 n=4时： 427BO 32= ……..

然后教师引导学生们根据这些数据找规律，在教师的帮助和引导下，学生们发现了分子都是3的倍数关系，不难得出分子是n 13-，学生们也都表示理解和认可。但是在找分母的规律的时候，问题出来了，因为分母是232n -，是学生不容易通过观察数据就直接能找到的规律。

所以在课上学生们开始迷茫，甲说：“分母是n 2 ”，然后很快有学生乙就说“不对”，不满足规律……课上学生思考了5分钟也没有出结果，但是初三时间较缺乏，因此教师最后算较生硬地给出了学生分母是232n -的答案。然后告诉学生自己再课下再好好探究和研究一下，找一下规律就可以发现了。

但是我觉得学生应该还是掌握得不好的，首先本来学生在考试的时候就没能找到规律，现在即使教师给出了答案，学生也只是掌握了答案，并没有真正掌握了方法，这个题直接找出分母是232n -的规律是不容易的。因为它的次数是2n-3，对于学生来说n-3是容易想到的，但是是2n-3次方，就不容易了。

说实话，这个题，我在做的时候也想了5分钟，而且在我找到前4次折叠的数值后，我都没有很快地一眼发现规律，因为分母的这个规律的确是不容易想到的。但是这个题，我还是解出来了，因为通过读题，理解题意，明确整个操作过程以后，我们会发现由勾股定理得出BD=4，第一次折纸以后，在接下来的折纸过程中，每次折叠都是剪去了

14的长度，剩下的就是上一次34

的长度值，理解了整个过程就好办了。这样折叠情况就变成了这样： 第一次折叠 n =1时：11BO BD 2= 即：0131BO 442

⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ 第二次折叠 n =2时：213BO BO 4= 即：1

231BO 442⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭

第三次折叠 n =3时：3234BO BO = 即：2

331442

BO ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ 第四次折叠 n =4时：4334BO BO = 即：3431442

BO ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ …… …… ……

这样就能很简单容易地发现 第k 次折叠 n =k 时：134k k BO BO -= 即：131442

k k BO -⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭ 但是这样得到的答案不是最简的，是需要学生利用整数指数幂的知识来化简的，但其实这个化简也不复杂，作为初中的学生们是能够化简得出最后答案的。

课下我进行了反思，为什么同组教师会直接让学生观察数据来找规律，而没有给学生通过揭示规律化简再得出结论？可能因为本校学生基础较差，计算能力有限，所以张老师想让学生能更简便地解出本题，通过直接观察数据，由特殊到一般直接推算出规律。

但是我觉得本题不是一个简单地观察数据的找规律的题，直接观察数据找规律，学生在小学时就能胜任，到了中学，作为第12题思维训练题型，应该是考察学生的读题能力，以及运算能力，所以我觉得第二种这样的教学方法，让学生们明确整个折纸过程，从而很顺利地由特殊情况，顺利地推导出一般的情况，再根据已有的整数指数幂的知识化简得出最终答案的教学方法应该才是更好的。虽然复杂了一些，但是我相信这样的讲解教学，学生才能真正地理解本题，否则答案的得出就变得很生硬。

作为填空题，标准答案里只有答案，没有过程。作为年轻教师，我看到了经验丰富的同组教师讲解本题的教学方法，但是我还是觉得让学生掌握规律的本质，从而发现一般性的规律，虽然计算量大一些，但是应该这样才是中学生解决本题该有的思维方式方法，那作为中学的教师也应该培养他这样去想，因为他们不再是小学生了，他们是可以根据整数指数幂的知识得出答案。而不需要还像小学生一样观察数据，猜和筹出答案了。