空间向量的数乘运算 课件

证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、 R.
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心．
∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、 R 所得四边形为平行四边形．且有
P→E＝23P→M，P→F＝23P→N，P→G＝23P→Q，P→H＝23P→R. ∵MNQR 为平行四边形， 则E→G＝P→G－P→E＝23P→Q－23P→M＝23M→Q ＝23(M→N＋M→R)＝23(P→N－P→M)＋23(P→R－P→M)
向量共面问题
对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、
CD的中点．
试证：E→F
与
→ BC
、 →AD
共面．
解析：∵E→F＝E→B＋B→C＋C→F ＝12A→B＋B→C＋12C→D， E→F＝E→A＋A→D＋D→F ＝12B→A＋A→D＋12C→D ＝－12A→B＋A→D－12C→D ∴12A→B＋12C→D＝－B→C＋E→F＝A→D－E→F. ∴2E→F＝A→D＋B→C ∴E→F＝12A→D＋12B→C. ∴E→F与B→C、A→D共面．
空间向量的数乘运算
1．共线的向量(或平行的向量)是指__________．
2．共线向量定理：当a≠0时，a∥b⇔存在实数λ，使 ________________；
3．平行于__________的向量，叫做共面向量．
例 空间任意两个向量总是__________．
4．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向 量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对 （x,y），使________________．
2．已知P是平面四边形ABCD所在 平面外一点，连结PA、PB、PC、PD， 如图所示，点E、F、G、H分别为△PAB、 △PBC、△PCD、△PDA的重心，求证： E、F、G、H四点共面．
分析：由共面向量定理可知，要证明E、F、G、H四点 共面，只要证明存在有序实数对x、y使 E→G＝xE→F＋yE→H 即 可；要证明平面EFGH∥平面ABCD，只要证明平面EG内两条直 线平行于平面AC内的两条相交直线即可．
＝23·32P→E－32P→E＋23·32P→H－32P→E
＝E→F＋E→H. ∴由共面向量定理得；E、F、G、H 四点共面．
答案：D
向量共线问题
如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边
形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断
→ CE
与
→ MN
是否共线？
解析：C→E与M→N共线，
证明：连结 AE，
∵N 为 BF 的中点，
∴N 也为 AE 的中点
∴在△AEC 中，MN 为中位线，
∴AAMC＝AANE＝MECN＝12，且 MN∥CE.
1．方向相同或相反的非零向量
2．b＝λa
3．同一平面 例：共面的 4．c＝xa＋yb
1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若
1
等于A→(1B ) D
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
2．已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有
各式中运算的结果为向量
→ AC1
的共有(
)
①(A→B＋B→C)＋C→C1；
②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1；
③(A→B＋B→B1)＋B→1C1；
④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的
质逐一进行判断：
①(→AB＋→BC)＋C→C1＝→AC＋C→C1＝A→C1. ②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1. ③(→AB＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝AC1. ④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以，所给 4 个式子的运算结果都是A→C1.
∴2MN＝CE，∴C→E＝2M→N，∴C→E，M→N共线．
1．有 4 个命题：(x、y∈R)， ①若 p＝xa＋yb，则 p 与 a、b 共面； ②若 p 与 a、b 共面，则 p＝xa＋yb； ③若M→P＝xM→A＋yM→B，则 P、M、A、B 共面； ④若 P、M、A、B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B. 其中真命题的个数是___2_____．
一点 C，满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C等于( )
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B
C.23O→A－13O→B
D．－13O→A－23O→B
解析：∵2A→C＋C→B＝0，∴2(→OC－→OA)＋(O→B－O→C)＝0， ∴O→C＝2→OA－→OB.
答案 A
3．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列