单纯形法解法的矩阵描述及灵敏度分析

cj
2 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 0 x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 8 9 / 4
对变化后的单纯形表继续迭代
CB 0 1.5 2
1.5 X B b x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 cj zj 0
XB B b cj zj
XN Xs 1 1 B N B 1 1 C N CB B N CB B
【例】
max z 6 x1 2 x2 3 x3 2 x1 x2 2 x3 2 x1 4 x3 4 x ,x ,x 0 1 2 3
加入松弛变量x4、x5，对上述模型进行标准化处理
j
计算找出最优解。
问题5：设生产第三种产品，产量为 x6 件， c6 3, P6 (3,4,2)T 对应的 求最优生产计划。
解：
3 ~ 3 (0,1 / 4,1 / 2) 4 1 6 2
1 ~ P6 0 0 5/ 4 1/ 4 1/ 4 15 / 2 3 7 1 / 2 4 0 3 / 2 2 2
（相差负号）
0 0 x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3/ 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
分析 c j 的变化 c j 的变化仅影响 j c j z j
Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 1.5 Ⅱ 5 2 1 1 2
的变化。
D 15时 24时 5时
问题1：当c1 1.5, c2 2 该公司最优生 产计划有何变化？
~ ~ c C B 1P c C P j j B j j B
最终单纯形表变为：
c j Y Pj
CB 0 1.5 2
1.5 X B b x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 cj zj 0
2 0 x2 x3 0 4/5 0 1/ 5 1 1/ 5 0 1 / 10
0 0 x4 x5 1 6 0 1 0 0 0 3/ 2
最优解
问题2：设产品II利润为 (1 )， 求原最优解不变时 的范围。
c2 的变化仅影响 j 的变化；
在最后一张单纯形表中求出变化后 的 j ； 原最优解不变，需满足 j 0 ； 由 j 0 确定的不等式可求出 的范 围。
灵敏度分析
• 所谓灵敏度分析，就是考察当线性规划问题中 的参数aij、bi、cj等发生变化时，线性规划问 题最优解如何变化的问题。
~ ~ 1 1 b B b, b~ B b ~ 1 1 P B P, P B P ~ c C B 1 P c Y P j j B j j j
max z 6 x1 2 x2 3 x3 0 x4 0 x5 2 x1 x2 2 x3 x4 2 x1 4 x3 x5 4 x1 , x2 , x3 0
初始单纯形表
B矩阵
b 2 4 6 x1 2 1 6 -2 x2 -1 0 -2 CB 0 0 XB x4 x5
0 0 x4 x5 0 0 0 1 1 6 0 2
问题4：设调试工序可用时间为 (5 ) 小时，求 ? ，原最优解保持不变。
~ 1 b B b 1 5 / 4 15 / 2 15 (1 )15 / 2 0 1 / 4 1 / 2 24 (7 ) / 2 0 1 / 4 3 / 2 5 (1 )3 / 2
原最优解保持不变，则
~ b 0,1 1
增加一个变量 x j 的分析
增加一个变量相当于增加一种产品。 分析步骤： ~ j c j z j c j Y Pj 1、计算
~ 2、计算 Pj B 1Pj ~ 3、若 j 0 ，原最优解不变； ~ 若 0 ，则按单纯形表继续迭代
产品II利润为 (1 ) 时的最终单纯形表
cj CB X B b 0 x3 15 / 2 2 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 cj zj
2 1 0 0 0 x1 x2 1 3 x41 3 x5 1 x , 4 0 0 0 41 05/ 2 2 15 / 2 4 1 0 10 11/ 4 1/ 2 即 0 1 30 1 / 4 3/ 2 1 1 1 3 0 0 0 4 4 2 2
某一个参数发生变化时，通过计算，原最终 单纯形表会出现以下几种情况：
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤 问题的最优解不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭代 编制新的单纯形表重新计算
【例】某家电厂家利用现有资源生产两种产品
【例】线性规划问题为
max z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 2 x1 2 x2 x3 12 4 x x 16 1 4 5 x2 x5 15 x j 0( j 1,,5)
原问题变量
2 CB 2 0 3 XB x1 x4 x2 cj-zj b 3 4 3 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0
可行性可能会变化：
分析 bi 的变化 ~ bi 的变化仅影响 bi ，即原最优解的
可行性不变，则原最优解不变。
可行性改变，则原最优解改变， 用对偶单纯形法，找出最优解。
问题3：设备B的能力从24增加到32小时，原最优解 如何变化？
1 5 / 4 15 / 2 15 35 / 2 ~ 0 1 / 4 1 / 2 32 11 / 2 1 b B b 0 1 / 4 3 / 2 5 1 / 2
，有关数据如下表：
Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 15时 24时 5时
max z 2 x1 x 2 s.t. 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 x1 x 2 5 x1, x 2 0
最终单纯形表
原问题 最优解
2 1 0 x1 x2 x3 x3 15 / 2 0 0 1 x1 7 / 2 1 0 0 x2 3 / 2 0 1 0 cj zj 0 0 0 对偶问题最优解1 y 4 y5 y
原问题松弛变量
0 x3 1/2 -2 0 -1 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/5 4/5 1/5 -1/5
对偶问题剩余变量Βιβλιοθήκη Baidu
对偶问题变量
基变量
1
非基变量
CB
XB B b cj zj
XB I 0
XN Xs 1 1 B N B 1 1 C N CB B N CB B
• 其中XB=B-1b为原问题的基解；而 YS=CBB-1为对偶问题的基解。
出现负值，为不可行解，用对偶单纯形法继续求解
把计算结果代入原最终单纯形表中
CB 0 2 1
2 X B b x1 x3 35 / 2 0 x1 11 / 2 1 x2 1 / 2 0 cj zj 0
可行性改变，用对偶 单纯形法换基求解。
cj
1 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
知识点3： 单纯形法与对偶单纯形法的对比
• 单纯形法求解的基本思想：保持原问题 为可行解，通过迭代，增大目标函数， 当其对偶问题的解也为可行解时，就达 到了目标函数的最优值。 • 对偶单纯形法的基本思想：保持对偶问 题为可行解，通过迭代，减小目标函数 ，当原问题也达到可行解时，即得到了 目标函数的最优值。
单纯形法解法的矩阵描述及 灵敏度分析
张林刚 经济与管理学院
单纯形解法的矩阵描述
• 线性规划问题
max z CX AX b s.t. X 0
• 引入松弛变量Xs,化为标准型：
max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0
代入最终原单纯形表中
2 C B X B b x1 0 x3 15 / 2 0 2 x1 7 / 2 1 1 x2 3 / 2 0 cj zj 0
cj
1 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 0 x4 x5 5 / 4主元15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2
0 3 x5 x6 9/4 0 1/ 2 0 3/ 4 1 5/ 4 0
如果某个系数aij发生变化，如何 进行分析？ 最终单纯形表中，xj对应的系数列 向量发生了变化，即Pj发生了变化。
单纯形解法的矩阵描述
• 用单纯形法求解以上模型，初始单纯形 表为：
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
b
XB B CB
XN N CN
Xs I 0
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量
1
非基变量
CB
XB B b cj zj
XB I 0
XN Xs 1 1 B N B 1 1 C N CB B N CB B
CN CB B1N 0;CB B1 时，得到 当 最优解 1
X B B b X 0 0
*
比较两个单纯形表
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
b
XB B CB
XB I 0
XN N CN
Xs I 0
基变量
1
非基变量
CB
0 0 x4 x5 5 / 4 主元 / 2 15 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2
经过迭代得： 新的最优解
cj
CB X B b 0 x3 15 2 x1 5 0 x4 2
cj zj
2 1 0 x1 x2 x3 0 5 1 1 1 0 0 4 0 0 1 0
cj
2 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 0 x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 8 9 / 4
新的最终单纯形表为
cj
CB 0 1.5 2
cj zj
XB x4 x1 x2
b 6 2 3
1.5 x1 0 1 0 0
3 x6 7 0 2 1
迭代后，得：
2 1 C B X B b x1 x2 0 x3 3 / 4 0 7 / 2 2 x1 7 / 2 1 0 3 x6 3 / 4 0 1 / 2 c j z j 0 1/ 2
cj
0 x3 1 0 0 0
0 x4 3/8 1/ 4 1/ 8 1/ 8
N矩阵
3 x3 2 4 3 0 x4 1 0 0
I单位阵
0 x5 0 1 0
最终单纯形表
如何而来？ 6
CB 6 -2 XB x1 x2 b 4 6 x1 1 0 0 -2 x2 0 1 0 3 x3 4 6 -9 0 x4 0 -1 -2 0 x5 1 2 -2
I单位阵
B-1 N
B的逆阵 B-1
知识点1
• 目标函数为max时，判断最优的准则为 б≤0； • 目标函数为min时，迭代过程与max一样 ，判断最优的准则为σ≥0。
知识点2
• 性质6：线性规划的原问题与其对偶问题 之间存在一对互补的基解；其中原问题 的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶 问题的剩余变量对应原问题的变量；这 些互相对应的变量如果在一个问题的解 中是基变量，则在另一个问题的解中是 非基变量；将这对互补的基解分别代入 原问题和对偶问题的目标函数有z=ω。