单纯形法解法的矩阵描述及灵敏度分析
合集下载
4.5 单纯形法的灵敏度分析
二、资源指标项的灵敏度分析
资源指标的变化在实际问题中反 映为可用资源数量的变化，由于在单
纯形表中有：
X B B b,Z CB B b
* *
1
1
运
筹
学
29
所以，如果资源指标变化，而原问题中
的其它所有参数都不改变时，将会影响原问 题最优解的可行性和对应的目标函数值。反 映到最优单纯形表上将会引起会影响到对应 的常数列上的数据。具体的讲，有以下两种
T 从而，最 指标变为 b （350, 400, 250） ，
优单纯形表上常数列应该变为：
运
筹
学
39
1 0 1 350 100 1 b B b 2 1 1 400 50 0 0 1 250 250
方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系 数 cB 变了，则 妨设
cB (cB1, cB 2 ,L , ck ,L cBm ), 当 cB 变成 (cB1, cB 2 ,L , ck Vck ,L cBm ), 则： cB
z j ( j 1, 2,L n)
一般也变了，不
运
筹
学
5
j ( j 1, 2,m) 变成
j c j zj
) c j ( z j ck akj (c j z j ) ck akj j ck akj
运 筹 学
8
要使最优解不变，只要
0 j ck akj j ck akj
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
第六章单纯形法的灵敏度分析
x1 50
x1 50 1
x4 C0B* 0
2 x2 100 0
zj
50
j=cj－zj 0
x2 x3 x4 x5 100 0 0 0
比值
b
bi/ai2
0 1 0 -1 50
B 0 -2 1 1 50
1 0 0 1 250
100 50 0 50 27500
0 -50 0 -50
对偶价格在单纯形表中的表示
相应增加一个技术列向量p6＝
(2,0.5,1.5)T
2 0.5
0.5 -2
则最优矩阵中p6’ ＝B× 1.5 ＝ 1.5
zj j=cj－zj
50 100 50 0 50 27500 0 0 -50 0 -50
一、问题的提出
事实上，系数的改变并未改变LP问题的解。
思考： 1、如果C2变为45，最优解会变吗？为保证最
优解不变， C2的取值范围？ 2、参数变化时，可否利用原问题的最优表求
解，而不必从头进行单纯形迭代，以简化计 算？
b
比值 bi/ai2
1 1 1 0 0 300 300/1
2 1 0 1 0 400 400/1
0 ① 0 0 1 250 20 0
① 0 1 0 -1 50 50/1
2 0 0 1 -1 150 150/2
0 1 0 0 1 250 _
0 100 0 0 -100 25000
中x2的目标函数系数由100变为75，求新问题 的解。
一、问题的提出
解：经过单纯形迭代得到最优表
迭代 基变 次数 量XB CB
x1 50
x2 75
x3 x4 x5 0 00
比值
运筹学 对偶理论和灵敏度分析
对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学单纯形法的灵敏度分析
的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
3.1单纯形法的矩阵描述
故所有检验数可表示 C C B B1 A与 C B B1
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
第6章 运筹学课件单纯形法的灵敏度分析
第六章 单纯形法的灵敏度 分析与对偶
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题
x2 ≤250
x1,x2 , x3 ,x4,x5 ≥0
x1,x2 ≥0
CB
50 100 0
0
0
CB XB b
x1 x2
x3
x4
x5
0 x3 300
1
1
1
0
0
原问题初始单纯形表
0 x4 400 2
1
0
1
0
0
x5 250
0
1
0
j
50 100
0
0
1
0
0
已知最优基旳基变量为x1， x4， x2，请直接写出该线性 规划问题旳最终单纯形表。并给出其对偶问题旳最优解
-2 -3 -1 0 0 -M -M
b x1
x2
x3
x4
x5
初 始
x6
8 1 4 2 -1 0 1 0 单
纯
6 3 2 0 0 -1 0 1 形 表
4M-2 6M -3 2M-1 -M -M 0
0格
-2 -3 -1 0 0 -M -M
b x1
x2
x3
x4
x5
最 终
x6
9/5 0 1 3/5 -3/10 1/10 3/10 -1/10 单
s.t. 6x1+2x2 ≤24 x1+x2 ≤5 x1,x2 ≥0
原则型：
maxZ=2x1+x2+0x3 +0x4 +0x5
5x2+x3
=15
s.t. 6x1+2x2 +x4 =24
x1+x2
+x5 = 5
x1,x2 ,x3 ,x4,x5 ≥0
单纯形法的矩阵描述
σj
7 0 0 0 -15
45
0 x3 0 0 1 -1 1 1
B-1b
7 x1 1 0 0 1 -2 2
15 x2 0 1 0 0 1 3
σj
0 0 0 -7 -1
59
最优基矩阵旳逆矩阵B-1
Page 11
基矩阵：
1 1 1
B p3
p1
p2
0 0
1 0
2 1
基矩阵旳逆矩阵：
1 1 1
0 1 -1 00 1 10 0 0 0 -7
1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0
11 -2 2 13 -1
1 2
p3
p1
1
松弛变量旳价值系数为0 x1、x2旳价值系数设为c1、c2
p2
0 − c1 = −7
0 +2c1−c2 = −1
c1 = 7 c2 = 15
1 1 1 1 1 0 0
量旳系数矩阵,则
(
X
,
X
S
)
X X
B N
，(C
,
CS
)
(CB
,
CN
);
§3.1 单纯形法旳矩阵描述 Page 5
目标函数
约束条件 非负条件
max
z
CX
(CB ,CN
)
XB XN
CB XB CN XN
(3 2)
( B,
N
)
XB XN
BX B
NX N
b
(3 3)
X B，X N 0
Page 13
例3：试验证X=(0,2,0,0,2)T是否是下列线性规划问题旳最优解。
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
单纯形法的灵敏度分析与 线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
第2章灵敏度分析
min( 11/ 1,3 / 2,1 / 1) 1
L=3，可知x7为换出变量。a33=1为主元素。
新的基变量为（x4,x6,x3）T CB1=(0,-M,-1)
B1=(P4,P6,P3)
15
步5：写出E33矩阵 Elk（l，k表示主元素的位置）
E33 1 0 1 0 1 0 1 2 1
4
令非基变量XN=0，XS=0，得到一个基可行解
1 X B B b (1) X X N 0 XS 0
目标函数取值 Z=CBB-1b
5
1、非基变量的系数CN－CBB-1N与－CBB-1 就是第一章中用符号Cj－Zj(j=1,2,…,n)表示的检验数。 因为xB的系数是0，
4 C 4 Y3 P4 1 / 3 5 C5 Y3 P5 1 / 3
σ6，σ7不用计算 所有σj≤0，说明目标函数已达极大，停止计算
Hale Waihona Puke 步2：计算非基变量的检验数
1
1 C1 Y0 P 1 3 (0, M , M ) 4 3 6 M 2 2 1 M C1 Y0 P2 1 (0, M , M ) 1 0 1 1 3M C 3 Y0 P3 1 (0, M , M ) 2 1 0 M C 5 Y0 P5 0 (0, M , M ) 1 0
实质上是CB－CBB-1B=0
Xs的系数实质上是0－CBB-1I 因此所有的检验数可用C－CBB-1A与－CBB-1表示
6
2、用矩阵描述时，θ规则的表达式是
1 1 ( B b) i ( B b) l 1 min 1 ( B Pj ) i 0 1 B Pj ) i ( B Pj ) l
L=3，可知x7为换出变量。a33=1为主元素。
新的基变量为（x4,x6,x3）T CB1=(0,-M,-1)
B1=(P4,P6,P3)
15
步5：写出E33矩阵 Elk（l，k表示主元素的位置）
E33 1 0 1 0 1 0 1 2 1
4
令非基变量XN=0，XS=0，得到一个基可行解
1 X B B b (1) X X N 0 XS 0
目标函数取值 Z=CBB-1b
5
1、非基变量的系数CN－CBB-1N与－CBB-1 就是第一章中用符号Cj－Zj(j=1,2,…,n)表示的检验数。 因为xB的系数是0，
4 C 4 Y3 P4 1 / 3 5 C5 Y3 P5 1 / 3
σ6，σ7不用计算 所有σj≤0，说明目标函数已达极大，停止计算
Hale Waihona Puke 步2：计算非基变量的检验数
1
1 C1 Y0 P 1 3 (0, M , M ) 4 3 6 M 2 2 1 M C1 Y0 P2 1 (0, M , M ) 1 0 1 1 3M C 3 Y0 P3 1 (0, M , M ) 2 1 0 M C 5 Y0 P5 0 (0, M , M ) 1 0
实质上是CB－CBB-1B=0
Xs的系数实质上是0－CBB-1I 因此所有的检验数可用C－CBB-1A与－CBB-1表示
6
2、用矩阵描述时，θ规则的表达式是
1 1 ( B b) i ( B b) l 1 min 1 ( B Pj ) i 0 1 B Pj ) i ( B Pj ) l
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)
影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价 格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则 企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价 格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
2 / 48
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
记忆方法： 极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。 注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小 于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质 （1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。 （3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问 题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0
单纯形法解法的矩阵描述及灵敏度分析讲解
1.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
2 x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
cj zj 0 0 0 1/8 9/ 4
对变化后的单纯形表继续迭代
c j 1.5 2 0 0
0
CB X B b x1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
2
-2
-2
B的逆阵 B-1
知识点1
• 目标函数为max时，判断最优的准则为 б≤0；
• 目标函数为min时，迭代过程与max一样 ，判断最优的准则为σ≥0。
知识点2
• 性质6：线性规划的原问题与其对偶问题 之间存在一对互补的基解；其中原问题 的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶 问题的剩余变量对应原问题的变量；这 些互相对应的变量如果在一个问题的解 中是基变量，则在另一个问题的解中是 非基变量；将这对互补的基解分别代入 原问题和对偶问题的目标函数有z=ω。
单纯形法解法的矩阵描述及 灵敏度分析
张林刚 经济与管理学院
单纯形解法的矩阵描述
• 线性规划问题
max z CX
s.t.
AX b X 0
• 引入松弛变量Xs,化为标准型：
max z CX 0X s
s.t.
AX IX X 0, X
s s
b 0
单纯形解法的矩阵描述
2
x1 x1
x2 2x3 4x3 4
2
x1, x2, x3 0
加入松弛变量x4、x5，对上述模型进行标准化处理
max z 6x1 2x2 3x3 0x4 0x5
2
4.5 单纯形法的灵敏度分析解析
将其反映到最优单纯形表上可得下表
运
筹
学
40
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
100 -50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
26000
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
32
（2） 如果两种原料的供应量 没有变化，则设备的台时数在什么
范围变化时，该工厂的原来最优生
产计划中所生产的产品仍然投入生
产（最优基不变）；
运
筹
学
33
（3） 如果两种原料的供应量没有 变化，设备的台时数变为350个单位，
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
运
筹
学
4
2. 在最终的单纯形表中， xk 是基变量 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
0 1 -2
x4
0 0 1
x5
0 -1 1
b
50 50
比值
-50
x1
单纯形法的灵敏度分析
bk bk
时，也就是原来的初始单
纯形表中的b向量变成了b’向量
0 0 ... 令 b bk ... 0 则有 b ' b b
9
这样在最终单纯形表中基变量XB的解就变成了
X 'B B .(b b ) B b B b 。
中从0变到Z3=50时，也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利 50元时，譬如有人愿意出50元买一个设备时，我们就不必为生产Ι、П产品
而使用完所有的设备台时了，这说明了设备台时数的对偶价格就是Z3=50元。
对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这将使得最优目
+ CK a’Kj 。要使最优解不变，只要当J
δj a' kj
δ j ΔC k a' kj 0, ΔC k a' kj δ j 当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
0;
当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
δj a' kj
0; Z k ΔC a' kk , 因为 X K 是基变量， δj a' kj
14
zj 标值 “变差”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取
值的相反数-j z
。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方程的 人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变量的 值z j 。
7
下表给出了一个由最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
以第二章例1在最终单纯形表上对进行b1灵敏度分析：
x1 x2 s1 s2 s3
50
1 0 0 50 0
100
0 0 1 100 0
0
1 -2 0 50 -50
0
0 1 0 0 0
0
-1 1 1 50 -50
b
50 50 250 27500
比值
bi/aij
x2 zj
σj=cj-zj
在第一个约束方程中含有松弛变量s1,其对应的列为(1,-2,0)T,
管理运筹学
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
§1
单纯形表的灵敏度分析
c c 一、目标函数中变量系数 ck 灵敏度分析 c k k k
1、在最终的单纯形表里，xk是非基变量
使得对应约束条件 的对偶价格不变
0
xBi xBi max dik 0 bk min dik 0 dik dik
§1
迭代 次数 基变 量
x1 s2
2
单纯形表的灵敏度分析
cB
50 0 100
b1 0 b 2 0 b b b b b k bk 0 b m 0
bk bk bk
原始的最终单纯形表中基变量xB变为x'B：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 0 x2 x3 0 4/5 0 1/ 5 1 1/ 5 0 1 / 10
0 0 x4 x5 1 6 0 1 0 0 0 3/ 2
最优解
问题2：设产品II利润为 (1 )， 求原最优解不变时 的范围。
c2 的变化仅影响 j 的变化；
在最后一张单纯形表中求出变化后 的 j ； 原最优解不变，需满足 j 0 ； 由 j 0 确定的不等式可求出 的范 围。
某一个参数发生变化时，通过计算，原最终 单纯形表会出现以下几种情况：
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤 问题的最优解不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭代 编制新的单纯形表重新计算
【例】某家电厂家利用现有资源生产两种产品
0 3 x5 x6 9/4 0 1/ 2 0 3/ 4 1 5/ 4 0
如果某个系数aij发生变化，如何 进行分析？ 最终单纯形表中，xj对应的系数列 向量发生了变化，即Pj发生了变化。
max z 6 x1 2 x2 3 x3 0 x4 0 x5 2 x1 x2 2 x3 x4 2 x1 4 x3 x5 4 x1 , x2 , x3 0
初始单纯形表
B矩阵
b 2 4 6 x1 2 1 6 -2 x2 -1 0 -2 CB 0 0 XB x4 x5
0 0 x4 x5 0 0 0 1 1 6 0 2
问题4：设调试工序可用时间为 (5 ) 小时，求 ? ，原最优解保持不变。
~ 1 b B b 1 5 / 4 15 / 2 15 (1 )15 / 2 0 1 / 4 1 / 2 24 (7 ) / 2 0 1 / 4 3 / 2 5 (1 )3 / 2
cj
2 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 0 x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 8 9 / 4
新的最终单纯形表为
cj
CB 0 1.5 2
cj zj
XB x4 x1 x2
b 6 2 3
1.5 x1 0 1 0 0
单纯形解法的矩阵描述
• 用单纯形法求解以上模型，初始单纯形 表为：
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
b
XB B CB
XN N CN
Xs I 0
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量
1
非基变量
CB
XB B b cj zj
XB I 0
XN Xs 1 1 B N B 1 1 C N CB B N CB B
cj
2 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 0 x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 8 9 / 4
对变化后的单纯形表继续迭代
CB 0 1.5 2
1.5 X B b x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 cj zj 0
灵敏度分析
• 所谓灵敏度分析，就是考察当线性规划问题中 的参数aij、bi、cj等发生变化时，线性规划问 题最优解如何变化的问题。
~ ~ 1 1 b B b, b~ B b ~ 1 1 P B P, P B P ~ c C B 1 P c Y P j j B j j j
CN CB B1N 0;CB B1 时，得到 当 最优解 1
X B B b X 0 0
*
比较两个单纯形表
非基变量 基变量
0
Xs cj zj
b
XB B CB
Hale Waihona Puke XB I 0XN N CN
Xs I 0
基变量
1
非基变量
CB
产品II利润为 (1 ) 时的最终单纯形表
cj CB X B b 0 x3 15 / 2 2 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 cj zj
2 1 0 0 0 x1 x2 1 3 x41 3 x5 1 x , 4 0 0 0 41 05/ 2 2 15 / 2 4 1 0 10 11/ 4 1/ 2 即 0 1 30 1 / 4 3/ 2 1 1 1 3 0 0 0 4 4 2 2
N矩阵
3 x3 2 4 3 0 x4 1 0 0
I单位阵
0 x5 0 1 0
最终单纯形表
如何而来？ 6
CB 6 -2 XB x1 x2 b 4 6 x1 1 0 0 -2 x2 0 1 0 3 x3 4 6 -9 0 x4 0 -1 -2 0 x5 1 2 -2
I单位阵
B-1 N
B的逆阵 B-1
知识点1
，有关数据如下表：
Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 15时 24时 5时
max z 2 x1 x 2 s.t. 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 x1 x 2 5 x1, x 2 0
最终单纯形表
原问题 最优解
2 1 0 x1 x2 x3 x3 15 / 2 0 0 1 x1 7 / 2 1 0 0 x2 3 / 2 0 1 0 cj zj 0 0 0 对偶问题最优解1 y 4 y5 y
知识点3： 单纯形法与对偶单纯形法的对比
• 单纯形法求解的基本思想：保持原问题 为可行解，通过迭代，增大目标函数， 当其对偶问题的解也为可行解时，就达 到了目标函数的最优值。 • 对偶单纯形法的基本思想：保持对偶问 题为可行解，通过迭代，减小目标函数 ，当原问题也达到可行解时，即得到了 目标函数的最优值。
【例】线性规划问题为
max z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 2 x1 2 x2 x3 12 4 x x 16 1 4 5 x2 x5 15 x j 0( j 1,,5)
原问题变量
2 CB 2 0 3 XB x1 x4 x2 cj-zj b 3 4 3 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0
代入最终原单纯形表中
2 C B X B b x1 0 x3 15 / 2 0 2 x1 7 / 2 1 1 x2 3 / 2 0 cj zj 0
cj
1 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 0 x4 x5 5 / 4主元15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2
（相差负号）
0 0 x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3/ 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
分析 c j 的变化 c j 的变化仅影响 j c j z j
Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 1.5 Ⅱ 5 2 1 1 2
可行性可能会变化：
分析 bi 的变化 ~ bi 的变化仅影响 bi ，即原最优解的
可行性不变，则原最优解不变。
可行性改变，则原最优解改变， 用对偶单纯形法，找出最优解。
问题3：设备B的能力从24增加到32小时，原最优解 如何变化？
1 5 / 4 15 / 2 15 35 / 2 ~ 0 1 / 4 1 / 2 32 11 / 2 1 b B b 0 1 / 4 3 / 2 5 1 / 2
XB B b cj zj
XN Xs 1 1 B N B 1 1 C N CB B N CB B
【例】
max z 6 x1 2 x2 3 x3 2 x1 x2 2 x3 2 x1 4 x3 4 x ,x ,x 0 1 2 3
加入松弛变量x4、x5，对上述模型进行标准化处理
3 x6 7 0 2 1
迭代后，得：
2 1 C B X B b x1 x2 0 x3 3 / 4 0 7 / 2 2 x1 7 / 2 1 0 3 x6 3 / 4 0 1 / 2 c j z j 0 1/ 2
cj
0 x3 1 0 0 0
0 x4 3/8 1/ 4 1/ 8 1/ 8
原最优解保持不变，则
~ b 0,1 1
增加一个变量 x j 的分析
增加一个变量相当于增加一种产品。 分析步骤： ~ j c j z j c j Y Pj 1、计算
~ 2、计算 Pj B 1Pj ~ 3、若 j 0 ，原最优解不变； ~ 若 0 ，则按单纯形表继续迭代
单纯形法解法的矩阵描述及 灵敏度分析
张林刚 经济与管理学院
单纯形解法的矩阵描述
• 线性规划问题
max z CX AX b s.t. X 0
• 引入松弛变量Xs,化为标准型：
max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0
j
计算找出最优解。
问题5：设生产第三种产品，产量为 x6 件， c6 3, P6 (3,4,2)T 对应的 求最优生产计划。
解：
3 ~ 3 (0,1 / 4,1 / 2) 4 1 6 2
1 ~ P6 0 0 5/ 4 1/ 4 1/ 4 15 / 2 3 7 1 / 2 4 0 3 / 2 2 2
原问题松弛变量
0 x3 1/2 -2 0 -1 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/5 4/5 1/5 -1/5