平稳随机过程与遍历性

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例 随机相位信号 X (t) Acos(0t ) 是否平稳?
解 mX (t) E[X (t)] E[Acos(0t )]

A
2 0
cos(0t
)
1
2
d

0
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] E[ A cos(0t1 ) A cos(0t2 )]
n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2,t1,t2 ) fX (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2, 0,t2 t1) fX (x1, x2, )
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
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RZ (t1, t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )]
E{[ X cos t1 Y sin t1][ X cos t2 Y sin t2 ]} E[ X 2 ]cos t1 cos t2 E[Y 2 ]sin t1 sin t2
E[ XY ]cos t1 sin t2 E[YX ]sin t1 cos t2
可见，相关函数也包含有与随机过程X(t)的周期 分量相同周期的周期分量。
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性质6 若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量， 则满足
lim

RX
(
)

RX
()

mX2
lim

K
X
(
)

K
X
()

0
物理含义：当 增大时，X (t)与 X (t ) 之
所以X(t)是非平稳的。
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二 平稳随机过程自相关函数的性质
数学期望和相关函数是随机过程的基本数字特征。
对于平稳随机过程而言，数学期望是常数，经中心 化后为零，所以基本的数字特征实际上就是相关函数。
相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量(状态)间关 联特性的信息，而且也为随机过程的功率谱密度以及从 噪声中提取有用信息的工具。
2 cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2 cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
RZ (0) 2
Z(t)是广义平稳的。
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E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
6
fX (x1, x2,t1,t2 ) fX (x1, x2, )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关

RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2




x1x2
fX
(x1,
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例 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-<t< 。其中 X，Y为相互独立的随机变量， 且分别以概率 2/3、1/3取值-1和2。 试讨论随机过程Z(t)的平 稳性。
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解
E(
X
)

E(Y
)

(1)

2 3

2
1 3

0
E(
X
2
)

证： RX ( ) E[X (t)X (t )] E[X (u)X (u )] RX ( ) 同理 KX ( ) KX ( )
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性质3
RX (0) RX ( )
KX
(0)


2 X

KX
( )
极值性
当 0 平稳过程的相关函数具有最大值。
实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
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3
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
(2) 特性 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时，对于一维概率密度有：
物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。
证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即
E[( X (t) X (t ))2 ] 0 E[ X 2 (t) 2X (t) X (t ) X 2 (t )] 0
对于平稳过程X(t)，性质1可知
E[ X 2 (t)] E[ X 2 (t )] RX (0)
R( ) R( T )
证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到
RX ( T ) E[X (t)X (t T )] E[X (t)X (t )] RX ( )
性质5 若平稳过程含有一个周期分量，则自相关函数 RX ( ) 含有同一个周期分量。
自相关函数可用来检测信号是否含有周期分量。

X2
D[X (t)]

(x


mX )2
fX
(x)dx


2 X
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fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。
E(Y
2)

(1)2

2 3

22

1 3

2 3

4 3

2
E(X
3
)

E(Y
2)

(1)3

2 3

23

1 3


2 3

8 3

2
E(XY ) E(YX ) E(X )E(Y ) 0
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mZ (t) E[Z (t)] E[ X ]cos t E[Y ]sin t 0
要求：
(1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳 过程的自相关函数；
(2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。
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性质1 性质2
RX (0)
E[ X 2 (t)]


2 X

0
平均功率
RX ( ) RX ( ) K X ( ) K X ( ) 偶函数
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例：设随机过程为
X (t) Acos(0t ) N (t)
式中 A,0 为常数， 为(0, 2 ) 上均匀分布的随
机变量，N(t)为一般平稳过程，对于所有t 而言，
与 N(t) 统计独立。
则易得出相关函数为
RX ( )

A2 2
cos0
RN ( )
2 cos3 t sin3 t
Z(t)不是严格平稳的。
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例 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布 的随机变量。试问X(t)是否平稳？
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解 E[X (t)] E[tA] tE[A] 0
RX (t1,t2) E[ X (t1) X (t2)] t1t2E[ A2] t1t2
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实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过 程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。
相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。
随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数 那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上 相当有效的描述了随机过程的重要特性。
x2 ;
)dx1dx2

R X
(
)
KX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1)mX (t2 )

R X
(
)

mX2
Kx ( )
若 t2
t1
，则 K X (0) RX (0) mX2


2 X
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7
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8
(3) 严平稳随机过程的判断
代入前式，可得 2RX (0) 2RX ( ) 0
于是 RX (0) RX ( )
同理
KX (0)


2 X

KX ( )
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性质4
若平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称 它为周期平稳过程，其中T为随机过程周期。 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与随机过程的周期相同。即：周期平稳过 程X(t)=X(t+T)，T为周期，则相关函数满足
分类
严格平稳 宽平稳（广义平稳）
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1
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程 的主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时 间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以 认为是平稳的。
若随机过程X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] RX ( )
2 (t) E[X 2(t)] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 不一定
广义平稳
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
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2
一 平稳随机过程
1 严平稳随机过程(Strictly Stationary Process) (1) 定义 如果随机过程的任意n维分布不随时间起点 变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严（格）平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程。
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。
（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数 学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。
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2 宽(广义)平稳随机过程(Weakly Stationary Process)
按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程 是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维 概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就 可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：
1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)]
与时间t无关。
2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具 有相同的统计特性。

1 2
A2E[cos 0 (t1

t2 )

cos[0 (t1

t2 )

2]]

1 2
A2
cos
0
(t1

t2
)

1 2
A2
2 0

1 2
cos[0
(t1

t2
)

2]d


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1 2
A2
cos
0 (t1
t2 )

1 2
A2
cos 0
X(t)均值为“0”，自相关函数仅与时间间隔有关，故X(t)是宽平稳的。
fX (x1,t1 t) fX (x1,t1) fX (x1, 0) fX (x1)
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4
随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的
都与时间t无关

E[ X (t)] xfX (x)dx mX
E[ X 2 (t)]

x2
fX
(x)dx
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为什么要研究宽平稳随机过程?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地 说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实 际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平 稳信号分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分 析的基础。
物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无 关在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平 稳。
1.3 平稳随机过程及其遍历性
平稳性：若一个函数 f (x, y, z,t) ，当 x x x，
f (x, y, z,t)的特性不变，就称 f (x, y, z,t) 关于 x
函数是平稳的。
对确定函数来说：特性不变指函数值不变。
对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，
且仅仅对时间变量t而言。