平稳随机过程与遍历性
随机过程平稳过程
2 ( cos (t ) sin t sin (t ) cos t )
2 sin
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第三节 平稳正态过程与正交增量过程 一、平稳正态过程 定义1 若正态随机过程{X (t ) ,t (,) }，满足
E[ X (t )] m
a1 , a2 ,, an 与 1 , 2 ,, n ，有
证
n
n
n
i 1 j 1
B( i j )ai a j 0
n n i 1 j 1
n
Hale Waihona Puke 首页 B(i 1 j 1
n i 1 j 1
n
n
i
j )ai a j E[ X ( i ) X ( j )]ai a j
X (t ) 的自相关函数
BX ( ) E[ X (t ) X (t )]
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E[(U cos (t ) V sin (t )) (U cost V sin t )]
E(U 2 ) cos (t ) cost E(V 2 ) sin (t ) sin t 2 cos
注
说明相关函数B( ) 在 0 时取得最大值
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性质3 证 性质4
B( ) 为偶函数： B( ) B( )
B( ) E[ X (t ) X (t )]
E[ X ((t ) ) X (t )] B( )
B( ) 具有非负定性 即对任意的2n个实数
E[ X (t )] sin 2txdx 0
0
1, f ( x) 0 ,
1
0 x 1
其它
第十二章第三节正态平稳过程第四节遍历过程
第三节 正态平稳过程一.正态过程正态随机变量复习,一维正态随机变量,),(~2σμN X 概率密度，;222)(21)(σμπσ--=x e x f +∞<<∞-x 二维正态随机变量,);,;,(~),(222211ρσμσμN Y X 概率密度]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f维正态分布,n ),,,(21n X X X ⋅⋅⋅概率密度，)}()(21exp{)(det )2(1),,,(1'21221μμπ---=⋅⋅⋅-x C x C x x x f n n 其中,, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=n x x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=n μμμμ21协方差矩阵,.n n ij C C ⨯=)(),(j i ij X X Cov C =定义5 如果随机过程,对任意)(t X 正整数,任意,n T t t t n ∈⋅⋅⋅,,,21都服从正态分布,))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅则称为正态过程,又称高斯(Gauss))(t X 过程.即维随机变量n 的概率密度为))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅)}()(21exp{)(det )2(1),,,;,,,(1'2122121μμπ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-x C x C t t t x x x f n n n n 其中,, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=n x x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=)()()(21n X X X t t t μμμμ协方差矩阵,.nn ij C C ⨯=)())(),((j i ij t X t X Cov C =特别,设为正态过程,}),({T t t X ∈则 ,1T t ∈∀))(),((~)(1211t t N t X XX σμ,,21T t t ∈∀,));(),();(),((~))(),((22212121ρσμσμt t t t N t X t X X X X X .)()(),(221221t t t t C X X X σσρ⋅=独立正态过程:如果是正}),({T t t X ∈态过程,同时又是独立过程,则称为独立正态过程.}),({T t t X ∈正态过程,如果是可列}),({T t t X ∈T 集,,记,},,,,{21⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n t t t T t X t X =)(那么,是正态序},,,,,{21⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n t t t t t X 列.二.正态平稳过程设是正态过程,}),({T t t X ∈于是服从正态分布,)(t X 则 必存在,即二阶矩)]([)(22t X E t X =ψ存在.定义 如果正态过程又是)(t X (广义)平稳过程,则称为正态)(t X 平稳过程.正态平稳过程的性质:设是正态平稳过程,}),({T t t X ∈则有,)()(εμμμ+==t t X X X ,),()(),(εε++=-=j i X i j X j i X t t C t t C t t C 从而成立)}()(21exp{)(det )2(1),,,;,,,(1'2122121μμπ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-x C x C t t t x x x f n n n n ,),,,;,,,(2121εεε+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=n n n t t t x x x f 即又是严平稳过程.于是有)(t X定理二.设是正态过程.)(t X 则为严平稳过程为广义平)(t X ⇔)(t X 稳过程.严(狭义,强)平稳过程,如果二阶矩存在是宽(广义,弱)平稳过程.⇒例1 设正态过程}),({+∞<<-∞t t X 的均值函数,自相关函数0)(=t X μ,试写出过程的)(),(1221t t R t t R X X -=一维、二维概率密度函数.解 根据题设条件,知服从正态分布,)(t X 服从二维正态分布;))(),((21t X t X ,0)()]([==t t X E X μ ,)0(),()]([)()(22XX R t t R t EX t EX t DX ==-=即得;))0(,0(~)(X R N t X ,,0)()]([==i X i t t X E μ)0()(X i R t DX =,2,1=i )()()]()([))(),((212121t EX t EX t X t X E t X t X Cov ⋅-= ,)(),(1221t t R t t R X X -==,)0()()()())(),((122121X X R t t R t DX t DX t X t X Cov -=⋅=ρ于是 .)0()();0(,0);0(,0(~))(),((1221X X X X R t t R R R N t X t X -例2 设是正态平稳过程,)(t X 且,令0)()]([==t t X E X μ,⎩⎨⎧≥<=0)(,00)(,1)(t X t X t Y 当当证明是平稳过程.)(t Y 解 因为是平稳过程,)(t X 所以,)(),(1221t t R t t R X X -=又是正态过程,)(t X 且,0)()]([==t t X E X μ由上例,知道,))0(,0(~)(X R N t X ,))0()();0(,0);0(,0(~))(),((1221X X X X R t t R R R N t X t X - 其概率密度,),;,(2121t t x x f );,(1221t t x x f -=,21}0)({}1)({=<==t X P t Y P ,21}0)({}0)({=≥==t X P t Y P ,21}0)({0}1)({1)]([==⋅+=⋅=t Y P t Y P t Y E(是常数)存在且有限,21)]([2=t Y E }1)(,1)({11)]()([=+=⨯⋅=+ττt Y t Y P t Y t Y E }0)(,1)({01=+=⨯⋅+τt Y t Y P }1)(,0)({10=+=⨯⋅+τt Y t Y P }0)(,0)({00=+=⨯⋅+τt Y t Y P }1)(,1)({=+==τt Y t Y P }0)(,0)({<+<=τt X t X P 仅依赖于,212001);,(21dx dx x x f x x τ⎰⎰<<=);0,0(τX F =τ故是平稳过程.)(t Y 第四节 遍历过程一.时间均值和时间相关函数设随机过程,)},(),({+∞-∞=∈T t t X 任固定,S e ∈样本函数,)(),(t x t e X =样本函数在区间)(t x )0](,[>-l l l 上的函数平均值定义为 ,⎰-=l ldt t x l t x )(21)(在上的函数平)(t x ),(+∞-∞均值定义为.⎰-+∞→=l l l dt t x lt x )(21)(lim 当变化时,e .⎰-+∞→==l l l dt t e X lt e X t X ),(21),()(lim 定义6 ⎰-+∞→==l l l dt t e X l t e X t X ),(21),()(lim 称为随机过程对于参数的平均值,)(t X t 通常称为随机过程的时间均值.)(t X 显然是一⎰-+∞→==l l l dt t e X lt e X t X ),(21),()(lim 个随机变量.在任意处,给任意实数,过程在t τt 和的两个状态的乘积τ+t 在上的平均值,),(),(τ+t e X t e X ),(+∞-∞记为.⎰-+∞→+=+=+l l l dt t e X t e X l t e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim τττ定义7⎰-+∞→+=+=+l l l dt t e X t e X lt e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim τττ称为随机过程的时间相关函数.)(t X 显然⎰-+∞→+=+=+l l l dt t e X t e X lt e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim τττ是一个随机过程.对随机过程,)},0[),({+∞=∈T t t X 此时,时间均值 ,⎰+∞→=l l dt t e X l t X 0),(1lim )(时间相关函数.⎰+=+=++∞→l l dt t e X t e X lt e X t e X t X t X 0),(),(1),(),()()(lim τττ例1 求随机相位正弦波的时间均值和)cos()(Θ+=t a t X ω时间相关函数.解 时间均值⎰-+∞→==l l l dt t e X lt e X t X ),(21),()(lim ⎰-+∞→Θ+=l l l dt t a l)cos(21lim ω l l l t l a -+∞→Θ+⋅=|)sin(12lim ωω，l l l a l )sin()sin(2lim Θ+--Θ+=+∞→ωωω0=时间相关函数⎰-+∞→+=+=+l l l dt t e X t e X lt e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim τττ ⎰-+∞→Θ++⋅Θ+=l l l dt t a t a l])(cos[)cos(21lim τωω⎰-+∞→Θ+++=ll l dt t l a 2])2(cos[cos 22lim τωωτ.ωτcos 22a =(记住这个例题的结论,以后要用)二.各态遍历性定义8 设是一个平稳过程)(t X 或),((+∞-∞=T )),0[+∞=T(即,为常数,X t X E μ=)]([22)]([X t X E ψ=))()]()([ττX R t X t X E =+(1)如果,1})]([)({===X t X E t X P μ则称过程的均值具有各态遍)(t X 历性;(2) 如果,1)}()]()([)()({==+=+τττX R t X t X E t X t X P 则称过程的自相关函数具有)(t X 各态遍历性.(3)均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程称为遍历过程,或者说,该平稳过程具有遍历性.三.遍历过程的例子例 设, )cos()(Θ+=t a t X ω,其中是实),(+∞-∞∈t )0(,≠ωa 常数,服从区间上的均Θ)2,0(π匀分布,讨论的各态遍历性.)(t X 解 由前面例题的结果,知是平稳过程,)(t X 且 ,0)]([==t X E X μ;ωτττcos 2)]()([)(2a t X t X E R X =+=由上面的例1,知 ,0)(=t X )(cos 2)()(2τωττX R a t X t X ==+于是有,1}{})]([)({====S P t X E t X P X μ1}{)}()]()([)()({===+=+S P R t X t X E t X t X P X τττ故是均值和自相关函数都具有各态)(t X 遍历性的平稳过程,即是遍历过程.)(t X 不具各态遍历性的例子：设,是一个随机变量,Y t X =)(Y 且.0≠DY 则 (1) 是平稳过程;)(t X (2) 的均值不具有各态)(t X 遍历性.解 (1) 是常数,EY t X E =)]([ 是常数,22)]([EY t X E =2)]()([EY t X t X E =+τ(与无关),t 由定义, 是平稳过程.)(t X (2)⎰-+∞→==lll dt t e X lt e X t X ),(21),()(lim ,Y Ydt llll ==⎰-+∞→21lim 利用定理,1}{0==⇔=EX X P DX 由条件，得0≠DY ,1})]([)({≠====X t X E EY Y t X P μ所以的均值不具有各态遍历性.)(t X四.平稳过程具有各态遍历性的判别定理引理 设是一}),({+∞<<-∞t t X 个平稳过程,则它的时间均值)(t X 的数学期望和方差分别为 ,)]([])([t X E t X E X ==μ .τμττd R l lt X D X X l l ])()[21(1])([220lim --=⎰+∞→定理三(均值各态遍历定理) 平稳过程的均值具}),({+∞<<-∞t t X 有各态遍历性的充要条件是.0])()[21(1220lim =--⎰+∞→τμττd R l lX X l l 证 根据方差的性质以及引理Xt X E t X E t X μ===)]([])([)(以概率1成立的充要条件是,0])([=t X D 再由引理,即得证.五．引入遍历过程的目的,应用意义近似计算提供依据.X μ例 设是以为周)()(Θ+=t S t X T 期的随机相位周期过程,即满足(是周期函数)S ,)()(Θ++=+T t S T t X )()(t X t S =Θ+=其中是在上服从均匀分布Θ),0(T 的随机变量.试证: (1) 是平稳过程;)()(Θ+=t S t X(2) 是遍历过程.)()(Θ+=t S t X 证 (1) 的概率密度Θ ,⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(T T f θθ ⎰+∞∞-+=Θ+==θθθμd f t S t S E t X E t X)()()]([)]([)( θθd Tt S T1)(0⎰+=⎰+=Tt tduu S T )(1 ⎰⎰⎰+++=T t Tt T duu S T 00)()(1 (常数),⎰=Tdu u S T 0)(1)]()([)]()([),(Θ++Θ+=+=+τττt S t S E t X t X E t t R X θθτθd Tt S t S T1)()(0+++=⎰⎰++=Tt tduu S u S T)()(1τ ,)()()(1ττX TR du u S u S T=+=⎰存在,)0()]([)(22X X R t X E t ==ψ所以是平稳过程;)()(Θ+=t S t X (2) )(t X ⎰-+∞→Θ+=lll dt t S l)(21lim,⎰-+∞→Θ+=nTnTn dt t S nT)(21lim (这是因为,对任意,1>l 存在正整数,n 使得,,,r nT l +=T r <≤0+∞→⇔+∞→n l ,122lim =+∞→lnTn ⎰-Θ+ll dt t S l)(21⎰---Θ+=nTr nT dtt S l)([21,⎰-Θ++nTnTdt t S )(])(⎰+Θ++rnT nTdt t S ⎰---Θ+nTr nT dt t S l)([21||])(⎰+Θ++r nT nT dt t S ⎰-Θ+=0)([21|rdt t S l |])(0⎰Θ++rdt t S ⎰-Θ+≤0|)(|[21rdt t S l ]|)(|0⎰Θ++r dt t S ⎰-Θ+≤0|)(|[21Tdt t S l ]|)(|0⎰Θ++T dt t S ,⎰-=0|)(|[21Tdt u S l )(,0]|)(|0+∞→→+⎰l dt u S T⎰-Θ+nTnTdtt S nT)(21⎰-Θ+=0)([21nTdt t S nT ])(0⎰Θ++nTdt t S dtt S nT n i T T i T i ∑⎰-=++-+-Θ+=10)1()1()([21])(1dt t S n i TiT iT∑⎰-=+Θ++ ⎰Θ+=T dtt S n nT 0)(221,⎰Θ+Θ=T du u S T)(1⎰=Tduu S T)(1)(t X μ=于是)(t X ⎰-+∞→Θ+=lll dt t S l)(21lim ⎰-+∞→Θ+=nTnTn dtt S nT)(21lim ,⎰=Tduu S T)(1)(t X μ=)()(τ+t X t X ⎰-+∞→Θ++Θ+=ll l dtt S t S l)()(21lim τ,⎰-+∞→Θ++Θ+=nTnTn dt t S t S nT)()(21lim τ⎰-Θ++Θ+nTnTdtt S t S nT)()(21τ⎰-Θ++Θ+=0)()([21nTdt t S t S nT τ])()(0⎰Θ++Θ++nTdt t S t S τdtt S t S nT n i T T i T i )()([2110)1()1(∑⎰-=++-+-Θ++Θ+=τ ])()(1dt t S t S n i TiT iT∑⎰-=+Θ++Θ++τ ⎰Θ++Θ+=T dtt S t S n nT 0)()(221τ⎰Θ+Θ+=T duu S u S T)()(1τ,⎰+=Tduu S u S T)()(1τ)(τX R =从而)()(τ+t X t X ⎰-+∞→Θ++Θ+=ll l dtt S t S l)()(21lim τ⎰-+∞→Θ++Θ+=nTnTn dtt S t S nT)()(21lim τ,⎰+=Tduu S u S T)()(1τ)(τX R =所以有,1}{})]([)({====S P t X E t X P X μ,1}{)}()]()([)()({===+=+S P R t X t X E t X t X P X τττ故是遍历过程.)()(Θ+=t S t X例 设平稳过程的自相关函)(t X 数是以为周期的周期函数，)(τXR T 证明：对于任意，等式以t )()(t X T t X =+概率1成立。
平稳随机过程及其遍历性
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
平稳各态遍历随机过程的概念
平稳各态遍历随机过程的概念在概率论和数理统计中，平稳各态遍历随机过程是一种重要的概念，它由平稳性和各态遍历性两个性质共同定义。
这种随机过程在许多实际应用领域，如物理学、经济学、生物学等，都有广泛的出现。
本文将详细介绍平稳各态遍历随机过程的概念，包括平稳性、各态遍历性、随机过程和遍历性等方面。
1. 平稳性平稳性是指随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
换句话说，平稳随机过程在任何时间点的概率分布与时间无关。
例如，在金融市场中，如果一个股票价格的时间序列是平稳的，那么无论何时观察该股票价格，其均值和方差等统计特性都保持不变。
2. 各态遍历性各态遍历性是指随机过程在长时间内能够充分地展现出所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是各态遍历的，那么对于任何给定的时间间隔，在间隔内的任何时刻观察到的样本点都具有相同的概率分布。
例如，在气象学中，如果一个气候模型的时间序列是各态遍历的，那么可以通过观察该时间序列来预测未来任何时间点的气候状态。
3. 随机过程随机过程是指一系列随时间变化的随机变量。
例如，在金融市场中，股票价格可以看作是一个随机过程，它随时间变化，并且每个时刻的股票价格都是一个随机变量。
随机过程可以用来描述许多自然现象和人为现象，如天气变化、交通流量、人口增长等。
4. 遍历性遍历性是指一个随机过程能够覆盖所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是遍历的，那么在足够长的时间内，该过程可以展现出所有可能的状态。
例如，在密码学中，一个随机密钥生成器是遍历的，意味着在足够多的次数之后，该生成器能够产生所有可能的密钥。
总的来说，平稳各态遍历随机过程是指具有平稳性和各态遍历性的随机过程。
这种随机过程在许多领域都有广泛的应用，如预测气候变化、金融市场分析、密码学等。
通过对其概念的理解和研究，可以更好地应用这些方法来处理和分析实际问题。
平稳随机过程
相关时间：
0 rX ( )d
0
rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )
2 X
2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )
随机过程(平稳过程)、第六章
6.1 平稳随机过程的概念
定义6.1 设{X(t)，t T }是随机过程， 对任意常数和正整数n， t1,t2,, tnT, t1+, t2+,,tn+ T， 若(X(t1), X(t2), , X(tn))与 (X(t1+), X(t2+),, X(tn+)) 有相同的联合分布，则称{X(t)，t T } 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。
15
§6.2平稳过程及其相关函数的性质
一.相关函数的性质(实平稳过程)
X t , t T 是平稳过程，相关函数为RX 2 (1) RX 0 E X 2 t X 0 (2) RX RX ，即RX 是偶函数。 RX E X t X t E X t X t RX 由此性质，在实际问题中只需计算或测量RX
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
解 因为E[Xn]=0， RX ( n,n ) E[ X n X n ]
注：
i , j 1
n E X ti X t j ai a j i , j 1
2
X ti X t j ai a j ( X ti ai )( X t j a j )
n n n i 1 j 1
n E X ti ai 0 i 1 在理论上可证明：任一连续函数只要具有非负 定性，则该函数必是某平稳过程的自相关函数。
随机过程第六章
2 X
mx2
若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。
对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)， 若令ε=-t1，则
F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ)
1.
l.i.mcn
lim
n
cn
c
2. l.i.mU U
3. l.i.m(cnU ) cU
4. l.i.m(aX n bYn ) aX bY
5.
lim
n
E[
X
n
]
E[ X
]
E[l.i.mXn
]
6.
lim
n,m
E[
X
nYm
]
E[
XY
]
E[(l.i.mX
n
)(l.i.mYm
)]
定理6.2
设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在：
各态历经定理的意义：
一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的
时间平均代替过程的集合平均，即
mX
l.i.m 1 T T
T
x(t)dt,
0
RX
(t)
l.i.m
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下列估
计式
l.i.m 1
T 2T
T
T X (t) X (t ) dt RX ( )
严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程
则称X t 为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程
平稳随机过程的统计特性不随时间的推 移而改变
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15
3.3 平稳随机过程
严平稳随机过程的数字特征
1 E X t mX 与时间t无关 2 2 D X t X 3 RX t1, t2 RX 只与t2 t1 相关 2 4 C X t1, t2 RX mX
北京工业大学电控学院 3
随机过程的概念Fra bibliotek随机过程的含义有两点： 首先它是一个时间函数； 其次每个时刻上的函数 值是随机的，按照一定 的概率分布。如果时间 是离散的，则称为随机 序列。例如计算机产生 的信号则是随机序列， 而通信中的热噪声是随 机过程。
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4
3.1 引言
随机过程定义
北京工业大学电控学院
10
3.2 随机过程的统计特性
两随机过程X(t),Y(t)的n+m维联合分布函 数和概率密度
xn , t1 , t2 , tn ; y1 , y2 , , ym , t '1 , t '2 , t 'm
Fn ,m x1 , x2 ,
X t1 x1 , X t2 x2 , , X tn xn ; P X t '1 y1 , X t '2 y2 , , X t 'm ym Fn ,m x1 , x2 , xn , t1 , t2 , tn ; y1 , y2 , , ym , t '1 , t '2 , pn ,m x1x2 xny1y2 ym
11平稳过程下—遍历性
第四节遍历过程(历经过程)要讨论平稳随机过程的数字特征，就应该知道一族样本函数，而样本函数往往需要大量的观察试验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。
讨论平稳随机过程的历经性就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值和相关函数等数字特征。
l一. 时间均值和时间相关函数设随机过程{X (t ),t ∈T = (-∞,+∞)} 任意固定e ∈S,样本函数X(e,t)=x(t), x(t)在区间[-l , l ](l >0)上的函数平均值定义为x (t ) = 12l ⎰-lx (t )dtx(t)在(-∞,+∞)上的函数平均值定义为x (t ) = lim 1⎰ x (t )dtl →+∞ 2l-l当e 变化时X (t ) =X (e ,t ) = lim 1⎰X (e ,t )dtl →+∞2l-lll定义1X (t) = X (e,t) =lim 1⎰X (e,t)dtl→+∞2l -l称为随机过程X(t)对于参数t的平均值, 通常称为X(t)的时间均值.显然X (t) 是一个随机变量.可以记Y= X (t)l定义2∀t,τ∈(-∞,+∞)X (t ) X (t +τ ) = X (e ,t ) X (e ,t +τ ) = lim 1 ⎰ X (e ,t ) X (e ,t +τ )dtl →+∞2l-l称为随机过程X(t)的时间相关函数.显然 X (t )X (t +τ ) = lim 1⎰X (e ,t )X (e ,t +τ )dtl →+∞ 2l-l是一个随机过程.可以记Y(τ)= X (t )X (t +τ )ll例1. 求随机相位正弦波 X (t ) = a c os(ωt + Θ)的时间均值和时间相关函数. 解: 时间均值X (t ) =X (e , t ) = lim 1⎰ X (e , t )dtl →+∞ 2l-l= lim 1⎰ a cos(ω t + Θ)dtl →+∞=2l -la ⋅1sin(ωt + Θ ) |l lim l → +∞ω - l= lim asin(ω l + Θ) -sin(-ω l + Θ)= 0l →+∞2ωlll2l时间相关函数X (t )X (t +τ ) = lim 1⎰X (e ,t )X (e ,t +τ )dtl →+∞2l-l= lim 1⎰ a cos(ωt + Θ) ⋅ a cos[ω(t +τ ) + Θ]dtl →+∞ 2l-l= lim a2⎰ cos ωτ + cos[ω(2t +τ ) + Θ] dtl →+∞ 2l-l 2 =a2cos ωτ2a2由第二节例1知 μX= 0, R X (τ ) = cos ωτ 2lll结论这样,对于随机相位正弦波, 用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的，并且与t无关.称均值和相关函数都具有各态遍历性。
2-2-平稳随机过程和各态历经过程
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
A2 2
cosc
14
例题
比较统计平均（例1）与时间平均，得
mX= mX
R(τ)= R( )
因此，随机相位余弦波是各态历经过程。
15
2、应用
一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程 的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数不可能无限长， 只要足够长即可。
A
2
[cosct
2
0
cosd
sin ct
2
0
sind ] 0(常数）
8
例题
X(t)的自相关函数为
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
E[ A cos(ct1 ) A cos(ct2 )]
A2 2
E cosc (t2
t1) cos[c (t2
t1) 2 ]
2 X
mX2
此值在[－1，1]之间。rX ( ) 0 表示不相关，rX ( ) 1 表
示完全相关。rX ( ) 0 表示正相关，表明两个不同时刻起
伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。
27
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同 时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。
22
⑵ R(τ) =R(-τ) [R(τ)是偶函数]
证明：
R( ) E[X (t)X (t )],令t ' t ,即t t '
随机信号分析 第三章平稳随机过程(1)
C X ( )
0, C X ( 0 ) R X ( 0 ) m X 2 X 2
2.宽平稳随机过程
如果随机过程 X (t )满足 E [ X (t )] m X (t ) m X R X [t1 , t 2 ] R X ( ) 且 E [ X (t )]
0 0 0
T
T
cos w dt lim 4T .2T .cos w
0 T 0
a2
a2 2
cos w0
可见，随机过程 X (t )的时间均值和自相关函 数满足： E [ X (t )] X (t ) 0， R X ( ) X (t ) X (t ) 因此， X (t )是各态历经过程。 a2 2 cos(w0 )
3.1.2各态历经过程
设X(t)是一个平稳过程
1 .若 x (t ) E [ X (t )] m X 以概率 1成立，则称随机过程 X (t )的均值具有各态历经性 。
2 .若 X (t ) X (t ) E [ X (t ) X (t )] R X ( )以概率 1成立， 则称随机过程 X (t )的自相关函数具有各态 历经性。
0
1
2
t1 ) a cos 2 (t1 t 2 ) a ]da
0.5, t1 t 2 0, t1 t 2
所以，X(t)是宽平稳的
3.1.2各态历经过程
辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平稳过程的一个 样本函数取时间均值.当观察时间充分长,将从概率意义上趋 近它的统计平均.这样的平稳过程就说它具有各态历经性或 遍历性. 各态历经过程的每个样本都经历了随机过程的各种可能 状态,任何一个样本都能充分代表随机过程的统计特性
遍历性
τ
=0
所以X(t)是关于均值遍历的。
推论1 推论1. 均方连续的平稳过程关于均值具有遍历性⇔ 1 2T τ 2 lim ∫ (1 − ) R X (τ )dτ = µ X 0
T →∞
T
2T
推论2. 均方连续的平稳过程{X(t)}， 推论2 若满足
∫
+∞
−∞
| R X (τ ) | dτ < +∞ ，则它关于平均值具有均
我们最关心的是随机过程X(t)沿整个时间轴的如下 两种时间平均。 设{ X (t ), −∞ < t < ∞}是平稳过程，若下面均方极限存在，
1 X ( t ) = l .i .m T →+∞ 2T
∫
T
−T
X ( t )dt ,
1 T X ( t ) X ( t + τ ) = l .i .m ∫−T X (t ) X (t + τ )dt . T →+∞ 2T
注：各态历经性定理的重要价值在于它从理论上给 出了如下保证： 一个平稳过程X(t)，只要满足上述两条件，便 可以从一次试验所得到的样本函数x(t)来求得该过 程的均值和自相关函数的估计。即：若样本函数x(t) 在有限区间[0，T]，只要T足够大，便有
1 T µ X ≈ lim ∫ x ( t )dt , T →+∞ T 0 1 T −τ RX (τ ) ≈ ∫0 x(t ) x(t + τ )dt . T-τ
方遍历性⇔µX=0。 证：因为
1 2T 1 τ | ∫ (1 − ) R X (τ )dτ |≤ 0 T 2T T
∫
2T
0
| R X (τ ) |dτ → 0
2．(自相关函数遍历性定理) 均方连续的平稳过程{X(t)}， ) 且对给定τ,{X(t)X(t+τ)}也是均方连续的平稳过程，则 {X(t)}关于自相关函数具有遍历性
第十二章 平稳随机过程
{ X t }是严平稳过程当且仅当 （）所有的X t同分布。 1 （2）对任意n ≥ 2, ( X t1 , X t2, ..., X tn )的分布 仅与时间差t2 − t1,t3 − t2, ..., tn − tn −1有关， 而与起始时间t1无关。
严平稳过程的数字特征：
设严平稳过程 { X ( t )} 是二阶矩过程，则 （1）µ X ( t ) = E X ( t ) = E X ( 0 ) ＝＝ µ X ( 常数 ) （2）RX ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) X ( t2 ) = E X ( 0 ) X ( t2 − t1 ) ＝＝ RX ( t2 − t1 )
解： X ( t ) > = lim 1 < T →+∞ 2T
将Θ看作一定值
X ( t ) = acos (ω t + Θ )的时间平均
T
∫
−T
acos (ω t + Θ ) dt
a sin (ωT + Θ ) − sin ( −ωT + Θ ) ＝＝＝＝ lim T →+∞ 2T ω
20
独立同分布平稳序列的均值遍历性
设X 1 ,K , X n， , 独立同分布，EX 1 = µ , DX 1 = σ 2 > 0, K 则大数定理成立：
1 p → ∑ X i µ n i =1
n
定理一： (均值各态历经定理 ) P{< X (t ) >= µ X } = 1 ⇔ 1 lim T →+∞ T
1 2 n
t1 , t2 ,L tn ∈ T 和任意实数h，当t1 + h, t2 + h,L , tn + h ∈ T 时,
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
随机过程的遍历性
1 a x(t ) lim T T
T 2
T 2
x(t ) dt
1 T2 R( ) x(t ) x(t ) lim x(t ) x(t )dt T T T 2
如果平稳过程使下式成立
a a R( ) R( )
随机过程
1 2
平稳性 遍历性 正交性、不相关性与独立性 正态随机过程的主要性质
3
4
随机过程的平稳性 ， f ( x, y, z, t ) f ( x, y, z, t )，当 x x x 的特性不变，就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。 平稳性：若一个函数 判断方法： 方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )]与时间t 无关。 方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。 实际意义：
严格平稳
一定
广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
随机过程的遍历性
• 实际意义： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计 平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下， 从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经 性，又称遍历性。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
•
• • • •
高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。
如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。 如果高斯过程的时间进程中两个不同时刻的随机变量不相关，则等价于统计独立。 高斯过程的线性积分则为相应的高斯随机变量。 两个高斯分布律的随机变量的卷积是高斯分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分 布律的均值和方差的代数和。
三.平稳随机过程
解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ)
式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得
(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)]与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程
若随机过程 X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
解： mX (t) EX t E t2 Asin t B cost
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t) Asin t B cost
mY (t) EY t EAsin t B cost 0 RY (t1,t2 ) EY t1Y t2 EAsin t1 B cost1Asin t2 B cost2
mX 2 RX 2() 10 所以有
mX mX1 mX2 10
E[ X 2 (t)] RX (0) 300
2 X
RX (0) mX2
300 100 200
严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度 与时间无关
二维概率密度仅 与时间间隔有关
均值、均方值、 方差及 E[ X k (t)] 与时间无关
例5：已知随机过程 X (t) a cosw0t ,其中a和w0是常数，
6-4平稳过程-各态历经性
解放军电子技术学院
卢
定义 设{X(t),t∈(－∞,+ ∞)}是平稳过程
1) 若P{ X ( t ) m X } 1,
称X(t)的均值具有各态历经性(均方遍历性).
X X |2 | T 0 1 2T T 2T2T 1 2 2T T t T lim (1 ) R ( ) d (t1 , t ) 1 1 2 2 2 T T 0 2T 2 T ; 1 2 2T t T 2T ( 1 , 2 ) 2 2 ( 1 2 lim (1 T )[ R ) m ]d
1 2T lim 0 1 C X d 0 T T 2T
或
1 2T lim 1 RX mX T T 0 2T
2
d 0
卢
解放军电子技术学院
证 均值各态历经
由概率论知识，对于随机变量X而言： P{X E[ X ]} 1 D( X ) 0 故,要证明我们的定理，只须证明： E X (t ) E[ X (t )] mx , D X (t ) 0
2
2 2
1 1 |2 | 1 2T lim (1 ) R ( ) d 令 1 ,T 2 t22 1 t21. 则 t1 X(t) 为实平稳过程 ( 1 2 ), t2 ( 1 2 ) 2tT2 t12 2 T若 T 2T 2 2 2
6.4 平稳过程的均方遍历性
类似于处理随机变量的办法，通过统计试验的 方法，由所取得的数据，求出这些统计特征和 估计值．确定随机过程的统计特性 ， 所需试验 的工作量很大，实际上这种做法也难以办到．
平稳随机过程
即二阶矩过程X (t ) 的协方差函数存在
注
二阶矩过程的相关函数 R(t1 , t 2 ) 也一定存在。
注1
严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0),
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
注3
利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t ) .
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t 2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
f (t；x) f (0；x) f ( x)
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关， 即
第六章平稳随机过程.ppt
6.3 随机分析简介
dmX (t) 在T上, RX (t1, t2 ) , RX (t1, t2 ) , 2 RX (t1, t2 )
dt
t1
t2
t1t2
在T T上 存 在 ， 并 且 有
(1) dmX (t) dEX (t) E[ X (t)]
第六章 平稳随机过程
6.1 平稳随机过程的概念
定义6.1 设{X(t)，t T }是随机过程，对
任意常数和正整数n， t1,t2,, tnT, t1+, t2+,,tn+ T，
若(X(t1), X(t2), , X(tn))与
(X(t1+), X(t2+),, X(tn+))
有相同的联合分布，则称{X(t)，t T } 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。
E[ X (t1) X
(t2 )]
6.3 随机分析简介
• 均方积分
• 设{X(t),tT}为二阶矩过程，f(t)为普通函
数，其中T=[a,b]，用一组分点将T划分如
下：a=t0<t1<<tn=b，
记
max{t
1 i n
i
ti1}
n,
n
作 和 式Sn f (ti) X (ti)(ti ti1), i 1
Y (t) X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t) X (t )] E[ X (t)Y (t )]
E[Y (t) X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
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若随机过程X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] RX ( )
2 (t) E[X 2(t)] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 不一定
广义平稳
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
fX (x1,t1 t) fX (x1,t1) fX (x1, 0) fX (x1)
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4
随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的
都与时间t无关
E[ X (t)] xfX (x)dx mX
E[ X 2 (t)]
x2
fX
(x)dx
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2
一 平稳随机过程
1 严平稳随机过程(Strictly Stationary Process) (1) 定义 如果随机过程的任意n维分布不随时间起点 变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严（格）平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程。
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
x2 ;
)dx1dx2
R X
(
)
KX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1)mX (t2 )
R X
(
)
mX2
Kx ( )
若 t2
t1
，则 K X (0) RX (0) mX2
2 X
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7
《随机信号分析》教学组
8
(3) 严平稳随机过程的判断
可见，相关函数也包含有与随机过程X(t)的周期 分量相同周期的周期分量。
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24
性质6 若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量， 则满足
lim
RX
(
)
RX
()
mX2
lim
K
X
(
)
K
X
()
0
物理含义：当 增大时，X (t)与 X (t ) 之
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9
实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过 程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。
相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。
随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数 那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上 相当有效的描述了随机过程的重要特性。
所以X(t)是非平稳的。
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19
二 平稳随机过程自相关函数的性质
数学期望和相关函数是随机过程的基本数字特征。
对于平稳随机过程而言，数学期望是常数，经中心 化后为零，所以基本的数字特征实际上就是相关函数。
相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量(状态)间关 联特性的信息，而且也为随机过程的功率谱密度以及从 噪声中提取有用信息的工具。
2 cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2 cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
RZ (0) 2
Z(t)是广义平稳的。
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16
E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
E(Y
2)
(1)2
2 3
22
1 3
2 3
4 3
2
E(X
3
)
E(Y
2)
(1)3
2 3
23
1 3
2 3
8 3
2
E(XY ) E(YX ) E(X )E(Y ) 0
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15
mZ (t) E[Z (t)] E[ X ]cos t E[Y ]sin t 0
按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程 是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维 概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就 可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：
1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)]
与时间t无关。
2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具 有相同的统计特性。
6
fX (x1, x2,t1,t2 ) fX (x1, x2, )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
fX
(x1,
实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
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3
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
(2) 特性 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时，对于一维概率密度有：
代入前式，可得 2RX (0) 2RX ( ) 0
于是 RX (0) RX ( )
同理
KX (0)
2 X
KX ( )
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22
性质4
若平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称 它为周期平稳过程，其中T为随机过程周期。 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与随机过程的周期相同。即：周期平稳过 程X(t)=X(t+T)，T为周期，则相关函数满足
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12
例 随机相位信号 X (t) Acos(0t ) 是否平稳?
解 mX (t) E[X (t)] E[Acos(0t )]
A
2 0
cos(0t
)
1
2
d
0
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] E[ A cos(0t1 ) A cos(0t2 )]
X2
D[X (t)]
(x
mX )2
fX
(x)dx
2 X
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5
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。
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23
例：设随机过程为
X (t) Acos(0t ) N (t)
式中 A,0 为常数， 为(0, 2 ) 上均匀分布的随
机变量，N(t)为一般平稳过程，对于所有t 而言，
与 N(t) 统计独立。
则易得出相关函数为
RX ( )
A2 2
cos0
RN ( )
1.3 平稳随机过程及其遍历性
平稳性：若一个函数 f (x, y, z,t) ，当 x x x，
f (x, y, z,t)的特性不变，就称 f (x, y, z,t) 关于 x
函数是平稳的。
对确定函数来说：特性不变指函数值不变。
对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，
且仅仅对时间变量t而言。
证： RX ( ) E[X (t)X (t )] E[X (u)X (u )] RX ( ) 同理 KX ( ) KX ( )
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21
性质3
RX (0) RX ( )
KX
(0)
2 X
KX
( )
极值性
当 0 平稳过程的相关函数具有最大值。
1 2
A2E[cos 0 (t1
t2 )
cos[0 (t1
t2 )
2]]
1 2
A2
cos
0
(t1
t2
)
1 2
A2
2 0
1 2
cos[0
(t1
t2
)
2]d
1 2
A2
cos
0 (t1
t2 )
1 2
A2
cos 0
X(t)均值为“0”，自相关函数仅与时间间隔有关，故X(t)是宽平稳的。
《随机信号分析》教学组
11
为什么要研究宽平稳随机过程?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地 说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实 际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平 稳信号分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分 析的基础。
物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无 关在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平 稳。
n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：