xianxingdaishu习题选讲
线性代数课后习题答案全)习题详解
线性代数课后习题答案全)习题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --1002310021214---34)1(142101+-⨯--=143102211014-- 321132c c c c ++141717001099-(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4)4444442222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边)()()222222222222a d d a c c a a d a c ad a c ------ =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=n n n nd c d c b a b a a 0000111111--展开按第一行0000)11111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121n n n n a a a a a a a a +------10001001000100100010000114332展开（由下往上）按最后一列1(+n a nn n a a a a a a a ------00000000000000000000000224332 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=000100210151---= 112035122412111512-----=D 11503120270151------=313911230231115-2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列0000105165610050066100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 11051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以 AB =(AB)T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |1-A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解 由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E -2A)-1=-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数_第五章习题选讲
第五章习题选讲5、设0λ≠是AB 的特征值，则λ也是BA 的特征值，其中A 是m n ×矩阵，B 为n 矩阵。
m ×证明：11()()1E AB A E AB A A E A A AB A λλλ−−−−=−=− 11()EA A A A BA E BA λλ−−=−=−6证明：正交矩阵的实特征值为1±证明：设A 为正交矩阵，其特征值为λ，α为属于特征值λ的特征向量，即A αλα=则 ()()T T A A ααλαλ=α即 2T T T A A ααλαα=即 2T T ααλαα= （T AA E =）211λλ=⇒=±7、设1122,,n n a b a b a b αβ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0,0αβ≠≠，且0T αβ=，记T A αβ=，求A 的特征值与特征向量。
证明：设λ为A 的一个特征值，对应于λ的特征值的特征向量为γ（0γ≠）。
()()2()()T T T T T T T A αβαβαβαβααββ===0=所以200λλ=⇒=即矩阵A 的全部特征值全为0；不妨设,αβ中分量110,0,a b ≠≠则(0)0E A X −=，即： 11121111211112(000n n i i n n n n a b a b a b a b a b a b a i i a a b a b a b −−−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜+×−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠ ⎟⎟ 12111(000n b b b i a ⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎜⎟⎝⎠211(,1,0,,0)T b b η=− ，321(,0,1,,0)T b b η=− ， n-11(,0,0,,1)T n b b η=− 则A 的属于特征值零的特征向量为：112211121(,,,)n n n k k k k k k ηηη−−−+++ 不全为零8、设A 为n 阶矩阵，12,λλ是A 的两个不同的特征值，12,αα分别是A 的属于1,2λλ的特征向量，证明12αα+不是A 的特征值。
线性代数习题选讲__ 线性方程组的解的结构_
解 (1) 证明α1,α2,α3是线性无关的. 用反证法. 假设 α1,α2,α3是线性相关的, 那么存在不全为零的常数 k1, k2, k3, 使得
k1α1 k2α2 k3α3 0.
于是
α4 3α1 α2 5α3
与 4 (3 k1) 1 ( 1 k2) 2 (5 k3) 3
是α4表示为α1,α2,α3的线性组合的两种不同的表示方法. 这与题目的条件相矛盾. 因此, 1, 2, 3是线性无关的.
是AX 的解, 那么 A(c11 c22 ctt) c1Aγ1 c2Aγ2 ctAγt c1β c2β ctβ (c1 c2 ct).
因为AX β是非齐次方程组, 所以β 0. 因此,
c1 c2
ct 1.
反过来, 设 因为
c1 c2
ct 1.
A(c11 c22 ctt) c1A1 c2A2 ctAt c1β c2β ctβ (c1 c2 ct) ,
(2) 求方程组AX β的通解.
因为α4 3α1 α2 5α3, 所以向量组α1,α2,α3,α4是 是线性相关的. 又因为 1, 2, 3是线性无关的, 所以
r(A) r{α1,α2,α3,α4} 3. 由此可得, 方程组AX 的导出方程组AX 0的基础 解系由它的一个非零解向量构成.
第 10 讲 线性方程组的解的结构
题10.1 设A (α1,α2,α3,α4)是m4矩阵, α4可以表示 为 1, 2, 3的线性组合
α4 3α1 α2 5α3, 并且表示的方法是唯一的. (1) 证明α1,α2,α3是线性无关的.
(2) 如果β α1 α2 2α3 3α4, 求方程组AX β的通解.
因此,
1 3
1
1
c c
线性代数第八章习题解说课讲解
线性代数第八章习题解线性代数第八章习题解习题八1. 验证1) 全体m n ⨯级的实矩阵的集合)(R M m n ⨯关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.2) 给定实数轴上一闭区间[a ,b ](a <b ), 取C [a ,b ]为[a ,b ]上的全体连续函数的集合, 则C [a ,b ]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.证: 1) 任给三m n ⨯级矩阵)(,,R M C B A m n ⨯∈, 任给二实数R l k ∈,, 因有A +B =B +A ,(A +B )+C =A +(B +C )O +A =AA +(-A )=Ok (A +B )=kA +kB(k +l )A =kA +lA(kl )A =k (lA )1A =A因此, )(R M m n ⨯关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.2) 任给三个在闭区间[a ,b ]上的连续函数],[)(),(),(b a C x h x g x f ∈, 任给二实数R l k ∈,, 并用O (x )在此闭区间上的函数值总取0值的函数, 即O (x )=0, a ≤x ≤b , f (x )的负函数则为-f (x )因有f (x )+g (x )=g (x )+f (x )[f (x )+g (x )]+h (x )=f (x )+[g (x )+h (x )]O (x )+f (x )=f (x )f (x )+[-f (x )]=O (x )k [f (x )+g (x )]=kf (x )+kg (x )(k +l )f (x )=kf (x )+lf (x )(kl )f (x )=k [lf (x )]1f (x )=f (x )因此, C [a ,b ]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.2. 取上一题中)(R M m n ⨯的n ×m 个元素E ij 为(i ,j )位元素为1, 其它全为零的矩阵, i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m . 验证这n ×m 个元素为M n ×m (R )的一个基. 从而M n ×m (R )的维数为n ×m .证: 首先验证n ×m 个元素线性无关, 考察关于k ij , i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m 的齐次方程O E km j n i ij ij =∑∑==11, 这n ×m 个相加的矩阵中的每一个k ij E ij 都是只有一个第i 行第j列的元素为k ij , 其余元素为0, 这样就有n m ij m j n i ij ij k E k⨯===∑∑}{11, 只有当k ij =0, i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m 时才有{k ij }m ×n =O m ×n , 因此知这n ×m 个元素E ij 线性无关.此外, 任何)(}{R M a m n m n ij ⨯⨯∈, 都有∑∑==⨯=m j ni ij ij m n ij E a a 11}{从而这n ×m 个元素为M n ×m (R )的一个基. 从而M n ×m (R )的维数为n ×m .3. 判断下述变换中哪些是线性变换.1) 线性空间V 中, V ∈=ααξ,A 是一固定向量.2) 线性空间V 中, V ∈+=αξαξ,A 是一固定向量。
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
线性代数习题选讲__第16讲 方阵的特征值与特征向量_
题16.5 设 A是mn矩阵, B是n m矩阵, 非零常数k 是 AB的特征值, α是AB的属于特征值k的特征向量. 证明
(1) Bα 0; (2) k也是BA的特征值, 并且B 是BA的属于特征值
k的特征向量.
证明 设非零常数k是 AB的特征值, α是AB的属于 特征值k的特征向量, 那么
(AB)α kα. (5) (1) 假设B 0. 因为
分别是A的属于 1, 2的特征向量. 于是
Aα1 1α1, Aα2 2α2.
根据定理5.3, 向量组α1, α2是线性无关的.
(1) 用反证法证明α1 α2不是A的特征向量.
假设α1 α2是A的属于特征值的特征向量, 那么 A(α1 α2) (α1 α2) α1 α2, (1)
A( 1 2) A 1 A 2
解 因为AAT 2I, 所以| A|2 |2I | 24 16.
| A| 0, 所以| A| 4. 因此, A是可逆矩阵, 并且
A | A| A 1 ( 4)A 1.
因为A是可逆矩阵, 所以A的特征值 1, 2, 3, 4 1 A 并且 的特征值为 , 都不等于零1
因此, A 的特征值为
1
1
1
1 1 ( 4) ,( 4) ,( 4) ,(
如果存在i, j{1, 2, , n}, 使得 i
j, 那么由题16.1
可知, n元向量εi εj 不是 A的特征向量. 这与题目的
条件相矛盾. 于是, 我们得到
因此,
1
2
1
2
A
是数量矩阵. ▌.4 设 A是4阶矩阵, 1, 2, 3, 4是A的特征值, | A| 0, 并且 AAT 2I, 求A的伴随矩阵 A 的特征值.
线性代数 第1章 行列式(习题选讲) 20101104
1 1+ ∑ i=1 ai 0 M = M L an 0
1 0
a1 L M 0 L an
1习题课-9
计算n阶行列式： 计算n阶行列式：
题解P26 习题1.5 题解P26 习题1.5
2 -1 1 + a1 a1a 2 L a1a n L a1 + a1 a2 an a 2 a1 1 + a 2 L a 2 a n a1 a 21 + a 2 L an 2 = a1a 2 L a n M M M M M M 2 a n a1 a n a 2 L 1 + a n L a n1 + a n a1 a2
证明： 证明：
y +z z+x x+y x y z x+y y +z z+x = 2z x y y z x z+x x+y y +z
y z+x x+y z z+x x+y = x y +z z+x + y y +z z+x z x+y y +z x x+y y +z
1习题课-3
对下面的行列式， 对下面的行列式，有D1=_____D -24
-1 a 1 + a1 a 2 L a n 2 1 + a1 - a 1 1 a 21 L 0 -1 = a1a 2 La n M M M = M 0 L a n1 - a1 1 -1
2 a2 L an 2 n 1 L 0 = 1+ ∑ ai M M i=1 0 L 1
1习题课-10
计算行列式： 计算行列式：
a11 a12 D = a 21 a 22 a 31 a 32
线性代数(同济大学第五版)行列式讲义例题
线性代数（同济大学第五版）行列式讲义例题线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题第一章行列式行列式就是研究线性方程组的一个有力工具,本章得出了行列式的定义、性质及其计算方法.§1全排列及其逆序数一、排序及其逆序数定义对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.定义1由n个自然数1,2,?,n共同组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称作一个n元全排序,缩写为排序.例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.定义2在一个排序里,如果某一个很大的数码排在在一个较小的数码前面,就说道这两个数码形成一个逆序（反序）,在一个排序里发生的逆序总数叫作这个排序的逆序数,用?(i1,i2,?,in)则表示排序i1,i2,?,in的逆序数.根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：设于一个n级排序i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)小的且位列it前第1页面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排序的逆序数．即为n?(i1i2?in)?t1?t2tn??ti.i?1基准1排序排序45321的逆序数.解因为4排在首位,故其逆序数为0；比5大且位列5前面的数有0个,故其OMO序数为0；比3大且位列3前面的数有2个,故其OMO序数为2；比2大且位列2前面的数有3个,故其OMO序数为3；比1大且位列1前面的数有4个,故其OMO序数为4．可知所求排序的逆序数为(45321)002349．定义3逆序数为偶数的排序叫作偶排序,逆序数为奇数的排序叫作奇排序.(i1,i2,,in)=i2前面大于i2的元素个数+i3前面大于i3的元素的个数in前面大于in的元素的个数,比如:(2341)0033,逆序数为3,?(2341)为奇排列.?(4321)?1?2?3?6,逆序数为6,?(4321)为偶排列.定义4把一个排序中某两个数码i和j交换边线,而其余数码不颤抖,就第2页获得一个崭新排序.对一个排序所颁布的这样一个转换叫作一个重新排列.例如排列2341经过元素2,4对换变成排列4321,可记为2341??(2?,4)?4321定理1对换改变排列的奇偶性.证明先证相连重新排列设排列为a1?alabb1?bm对换a与b.a1?albab1?bm当a?b时,经对换后a的逆序数增加1,b的逆序数不变;当a?b时,经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.再证非相连重新排列,现设排序为a1?alab1?bmbc1?cn现来重新排列a与bam次相邻对换1?alab1?bmbc1?cna1?alabb1?bmc1?cnam?1次相邻对换1?alabb1?bmbc1?cna1?albb1?bmac1?cna2m1次相连重新排列1?alab1?bmbc1?cna1?albb1?bmac1?cn因此对换两个元素,排列改变奇偶性.也就是说,只要经过一次重新排列,奇排序变为偶排序,而也时排序变为奇排第3页列.推断奇排序变为标准排序的重新排列次数为奇数,偶排序变为标准排序的重新排列次数为偶数.二、排列及其逆序数性质与定理性质1设i1i2?in和j1j2?jn就是n个数码的任一两个排序,那么总可以通过一系列重新排列由i1i2?in得出结论j1j2?jn.引理1对换的可逆性――即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.所以任意n 元排列i1i2?in可经过一系列对换变为自然排列12?n.而自然排列12?n可经一系列对换变为任意一个n元排列j1j2?jn.事实上,由定理1所述：任一一个n元排序j1j2?jn可以经一系列重新排列变为自然排列12?n,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.定理2n?2时,n个数码的排序中,奇排序与也时排序的个数成正比,均为n!2个.证明：设n个数的排序中,奇排序存有p个,偶排序存有q个,则p?q?n!,对p个雷排序,颁布同一重新排列,则由定理1获得p个偶排序.（而且就是p个不同的偶排列）因为总共有q个偶排列,所以p?q.同理q?p.第4页所以p?q?n！2.§2行列式的定义开场白三阶行列式的形成规律为：a11a12a13a21a22a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a31a32a33?a13a22a31?a12a21a33? a11a23a32a11a12a13其中：符号aa22a22123是由3个元素aij构成的三行、三列方表,a31a32a33纵排叫行,横排叫列；在上述形式下元素aij的第一个负号叫行负号,第二个负号叫列负号.从形式来看,三阶行列式就是上述特定符号则表示的一个数,这个数由一些项的和而得：1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积；2）项数：三阶行列式就是3！=6项的代数和；3）项的符号：每项的一般形式可以写成a1j1a2j2a3j3时,即行标为自第5页然排序时,该项的符号为(?1)?(j1j2j3),即为由列标排序j1j2j3的奇偶性然定.一、n阶行列式的定义定义5n阶行列式定义为a11a12?a1na?a21a22?a2nj1j2?jn)??(i1i2?in)(?1)?(ai1j1ai2j2?ainjni1i2?inaj 1j2?jnn1an2?anna11a12?a1n用符号a21a22?a2n2表示由n个数aij所组成的n阶行列an1an2?ann式,直和为a或d,这就是一个数,其中i1i2?in和j1j2?jn都是n级排列,?表示对所有的n级排列于议和.由定义可以看出,n阶行列式的值等于所有取自不同的行、不同的列上的n个元素的乘积ai1j1ai2j2?ainjn的代数和,共有n!项,每一项前面的符号由排序i1i2?in和j1j2?jn的逆序数?(i1i2?in)+?(j1j2?jn)同意.第6页另外行列式的还可以定义为a11a12?a1na?a21a22?a2n(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjnan1an2?ann或a11a12?a1na?a21a22?a2n(?1)?(i1i2?in)ai11ai22?ainnan1an2?ann以上两个定义式分别以行列的排序为标准序列,其每一项前面的符号存有j1j2?jn和i1i2?in的逆序数同意.例2在四阶行列式中,a21a32a14a43应带什么符号？求解1）按行列式定义5排序,因为a21a32a14a43?a14a21a32a43,而4123的逆序数为?(4123)?0?1?1?1?3,所以a21a32a14a43的前面应当拎负号.2）按行列式定义5计算,因为a21a32a14a43行指标排序的逆序数为?(2314)?0?0?2?0?2,第7页列指标排列的逆序数为?(1243)?0?0?0?1?1.所以a21a32a14a43的前面应带负号.a11a1200基准3排序行列式a210a2300a.3200000a44分析按行列式定义,每一项都就是源自相同行相同列于的4个元素的乘积,共计4!项.但此行列式中存有很多零元素,因此有的项为零,故只需找到C99mg零元素的项,何不设立各个字母则表示的都不为零元素.于是在第一行中只有两个非零元素a11和a12.当第一行挑a11时,第二行就可以挑a23（a21与a11同列,故无法挑）,第三行就可以挑a32,第四行就可以挑a44,即a11a23a32a44就是其中的一项.另外,当第一行挑a12时,第二行可以挑a21和a23,但当第二行取a23,第三行只能取零元素,故第二行只可以取a21,第三行取a33,第四Charlieua44,即为另一非零项为a12a21a33a44.解d?(?1)?(1324)a?(2134)11a23a32a44?(?1)a12a21a33a44??a11a23a32a44?a12a21a33a44第8页例4证明n行列式a110?0a11a12?a1n(1)a21a22?00a22?a2na11a22?ann,an1an2?ann00?anna1n(2)a2,n?1an(n?1)2n(?1)2a1na2,n?1?an1an1?an,n?1anna110?0a11a12?a1n证(1)记da22?0a22?a2n1?a21d02?an1an2?ann00?ann由于当j?i时,aij?0,故d1中可能不为0的元素aipi,其下标应有pi?i,即p1?1,p2?2,?,pn?n.在所有排列p1p2?pn中,能满足上述关系的排列只有一个自然排列12?n,所以d?1中可能将不为0的项只有一项(?1)a11a22?ann,此项的符号(?1)??(?1)0?1,所以第9页d1?a11a22?ann.由于当j?i时,aij?0,故d2中可能不为0的元素aipi,其下标应有pi?i,即p1?1,p2?2,?,pn?n.在所有排序p1p2?pn中,能够满足用户上述关系的排序只有一个自然排在列12?n,所以d?2中可能不为0的项只有一项(?1)a11a22?ann,此项的符号(?1)??(?1)0?1,所以d2?a11a22?ann得证.a1n(2)根据行列式定义a2,n?1a2nt(?1)a1na2,n?1?an1an1?an,n?1ann其中t为排序n(n?1)?21的逆序数,故t?0?1?2n?n(n?1)2证毕.二、子式、余子式与代数余子式第10页。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
(C)0, 2
(D)0,1
解 按 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ， 则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解 按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （ ）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （ ）．
分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，
线性代数试题讲课讲稿
线性代数试题、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1.设向量组a 1,a 2,a 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是()a 2 , a 2 - a 3 , a 3 - a 1a 2 , a 3 + a 1 a 2 , 2 a 1 - 3 a 2(D)正确答案：B 解答参考：A 中的三个向量之和为零，显然 A 线性相关；B 中的向量组与a 1a 3等价,其秩为3, B 向量组线性无关；C D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组2. ________________________________________________ 设濾诙矩阵，且』的行列式MI - 0「则砂 _________________________________(A) 必有一列元素全为0; (B)必有两列元素对应成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；正确答案：C 解答参考：3.矩阵(0 1 1- 1 2 ,0 1 - 1 - 1 0 ,0 1 3 - 1 4 ,1 1 0 1 -1 )的秩为 ()。
(A) 1 (B)2(C) 3 正确答案：C 解答参考：4•若矩阵(1 a - 1 2, 1- 1 a 2 ,1 0 - 1 2 )的秩为2,则a 的值为(A) 0 (B)0 或-1(C) -1(A) a 1 (B) a 1 (C) a 1a 2,正确答案：B 解答参考：5.二次型-8 x 2 x 3 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x2 ，则f 的矩阵为(A)(B)(C)(D) (((( 0你选择的答案：未选择［错误］正确答案：解答参考：6.设A、B为n阶方阵，且A与B等价，| A |=0 ，则r(B)(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n你选择的答案：未选择［错误］正确答案：A解答参考：7.若矩阵［1 2 2 - 3 ,1 - 1入-3 ,1 0 2 - 3 ］的秩为2,则入的取值为(A) 0(B) -1(C) 2(D) -3你选择的答案：未选择［错误］正确答案：C解答参考：8.设a 1 , a 2 , a 3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为Ax=0的基础解系的是(A) 2(B) -2(C) 1(D) -1你选择的答案：未选择［错误］正确答案：B解答参考:二、判断题(判断正误，共6道小题)9. 设A?B是同阶方阵，则AB=BA 。
线性代数习题答案详解
线性代数习题答案详解【篇一：段正敏主编《线性代数》习题解答】张应应胡佩 2013-3-1目录第一章第二章第三章第四章第五章第六章行列式 ....................................................................................................... ............. 1 矩阵 ....................................................................................................... ............... 22 向量组的线性相关性 .......................................................................................... 50 线性方程组 ....................................................................................................... ... 69 矩阵的相似对角化 .............................................................................................. 91 二次型 ....................................................................................................... (114)1附录：习题参考答案 ....................................................................................................... . (129)1教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。
线性代数辅导讲义练习题精选
线性代数辅导讲义练习题精选最近我在学习线性代数，为了加深对这门课程的理解和掌握，我在网上搜索了一些线性代数辅导讲义和练习题。
在这些讲义和练习中，我选择了一些精选练习题来练习，并分享给大家。
第一道练习题是关于矩阵的基础概念。
假设A、B、C是三个矩阵，且每个矩阵的大小为3×3。
如果A和B的乘积是3A-2B，B 和C的乘积是4B+5C，同时满足A^2-2B+C=A，则求C的元素。
这道题需要我们对矩阵的基本运算和关系有一定的掌握，尤其是对矩阵乘法有深刻的理解。
我们可以通过对矩阵乘法的展开来求解，将乘积式子中相同的部分提取出来，然后根据矩阵乘法结合律和分配律进行化简，最终得到C的元素。
第二道练习题是关于向量子空间的定义和性质的证明。
假设V 是一个数域K上的向量空间，W是V的一个子集，如果W是V 的子空间，那么证明W必须包含零向量。
这道题需要我们对向量空间和子空间的定义有深入的理解，关键在于利用子空间的性质进行证明。
我们可以先证明W中必须包含加法逆元素，因为子空间对加法逆元素乘积封闭，且根据加法逆元素的定义，当a+b=0时有b=-a，所以此时零向量0可以表示为-a+a的形式，从而得出W中必须包含0。
第三道练习题是关于线性变换的矩阵表示的计算。
如果L是一个从R^3到R^2的线性变换，且L(e1)=2e1-e2+3e3, L(e2)=e1-5e2,L(e3)=4e1+2e2-2e3，则求L对应的3×2矩阵A。
这道题需要我们对线性变换的矩阵表示和线性变换在向量空间中的作用有一定程度的理解和掌握。
我们可以将L对向量的作用表示为一个3维列向量，然后将其对应的2维列向量和其它向量表示为矩阵的形式，从而求出L对应的矩阵。
第四道练习题是关于矩阵的特征值和特征向量的求解。
如果A是一个3×3的矩阵，且其特征值为2、3、6，对应的特征向量为v1、v2、v3，则证明向量v=v1+v2-v3是A的一组特征向量。
线性代数习题精选精讲
线性代数习题精选精讲线性代数在高等数学学科中占有非常重要的地位，是大学数学教育的基础课程之一。
线性代数中有许多重要的概念和思想，例如向量空间、线性变换、矩阵等等。
做好线性代数课程不仅需要理解这些概念和思想，还需要掌握一定的计算能力。
而掌握计算能力的最好方法，就是通过做线性代数习题。
本文将介绍几道线性代数习题，并给出详细的解答和讲解，希望能够帮助读者更好地学习线性代数。
第一道习题：计算矩阵的迹题目描述：计算矩阵$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3\\ 4 &5 &6\\ 7&8&9\end{pmatrix}$的迹。
解答：矩阵的迹是指它的对角线上的元素之和。
对于本题中的矩阵$A$，其迹为$1+5+9=15$。
因此，矩阵$A$的迹为$15$。
第二道习题：判断矩阵是否可逆题目描述：判断矩阵$A=\begin{pmatrix}1 &2 \\ 3&4\end{pmatrix}$是否可逆，并求出其逆矩阵。
解答：要判断一个矩阵是否可逆，最常用的方法是计算其行列式。
如果矩阵的行列式为非零数，那么该矩阵可逆；如果行列式为零，则矩阵不可逆。
对于本题中的矩阵$A$，计算其行列式为$1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$，因此矩阵$A$可逆。
接下来，可以使用矩阵求逆的公式，求出矩阵$A$的逆矩阵：$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d &-b\\ -c &a\end{pmatrix} $$将矩阵$A$的元素代入公式中，有：$$A^{-1}=\frac{1}{1\times 4 - 2 \times 3}\begin{pmatrix}4 &-2\\ -3 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 &1\\ \frac{3}{2} &-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$因此，矩阵$A$的逆矩阵为$\begin{pmatrix}-2 &1\\ \frac{3}{2} &-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。
线性代数习题选讲__ 矩阵的运算_
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0 0 1 0
0
1/2
0
0
.
▌
1 3 0 3
0
0
0
1
题 3.2 (1) 设 A是 n阶矩阵, α, β 是两个n1矩阵. 如果 Aa 0, AT β 3 β, 证明αT β 0. (2) 设 A, B是两个 n阶矩阵, A B I , B2 B, 证明 A是可逆矩阵.
进一步地, 因为 ( A hI )q( A) kI , 所以
因此,
(A
hI
)
1 k
q(
A)
I.
( A hI )1 1 q( A). ▌ k
题 3.4 设方阵 A满足 A2 5A 6I 0, 证明 (1) A 2I 与 A 3I 中至少有一个是不可逆矩阵; (2) A 3I 是可逆矩阵.
解 因为h不是 f ( x) 的根, 所以存在非零常数k, 使得 f ( x) ( x h)q( x) k,
其中q( x)是 m 1次多项式. 于是 0 f ( A) ( A hI )q( A) kI ,
即 ( A hI )q( A) kI .
因为k 0, 所以 kI 是可逆矩阵. 因此, A hI 是 可逆矩阵.
于是
( A I )( Am1 Am2 A I ) I .
因此, A I 是可逆矩阵, 并且
( A I )1 ( Am1 Am2 A I ). ▌
由题目的条件可知,
B AP1P2 P3 P4 .
因此, A1B A1( AP1P2 P3 P4 ) P1P2 P3 P4
0 0 1 01 0 0 01 3 0 01 0 0 3
线性代数典型习题讲解
1 2 0 5
解1 首先寻找含零个数最多的行或列。本题第3列含两个零，于是
从第三列着手，再变出一个零元素。
12 0 4
1 0 r3r2 1 2 D 3 1 1 0
（按第3列展开得）
1 2 0 5
12 4
12 4
D 1 (1)23 4 1
2
r3 r1
4 1
2 （再按第3列展开得）
1 2 5
0
0
1
2 1
1 0
11 11
【例】
利用逆矩阵求下列方程组的解
x2 2x3 1 x1 x2 4x3 0
2x1 x2
2
解 设所给方程组的系数矩阵为 A ，未知量矩阵为 X ，常数项矩阵
为 B ，即
0 1 2
x1
1
A
1
2
1 1
4
0
X
x2
x3
B
0
2
于是，线性方程组可以写成矩阵方程：AX B
012
因为 A 1 1 4 2 0
2 1 0
所以 A1存在，在上式 AX
B
两边同乘A1 ，得：X
A1B
12 12
下页继续……
又因为 所以
4 2 2
A
8
4
2
3 2 1
2 1 1
A1
1 A
A
4
3
2 1
1
1
2
2
2 1 1 1 0
则
X
A1B
4
2
1
0
2
3
1
1
2
1
2
2
2
即原方程组的解为：