电路中的一类功率最值问题

电路中的一类功率最值问题 上海市崇明中学 吴士玉

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在电路的学习中，有一类涉及到求解电路中某个用电器消耗功率的最大值问题。此类问题可根据功率的计算公式利用数学函数求极值的方法得解，但若能结合图像、数形结合将给此类问题的解决带来很大的方便。

问题的提出：在图1所示的闭合回路中，已知电源电动势为E ，电源内电阻为r ，滑动变阻器的最大阻值为R 且R>r ，问当滑动变阻器阻值取多少时电源的输出功率最大？

分析与解答：此题中求电源的输出功率最大值即滑动变阻器R 消耗的功率最大值，根据功率的计算公式R I P 2=和闭合电路的欧姆定

律r R E

I +=可得()2

2

2

r R R E R r R E P +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=。我们对上式作一变换即()

()

R

Rr

r R E

r R R

E P 42

2

2

2

+-=

+=

可见当R=r 时，电源的输出功率即滑动变阻器消耗的功率达最

大值r

E

P m

42

=。

现在我们对()

()

R

Rr

r R E

r R R

E P 42

2

2

2

+-=

+=

式子加以讨论分析如下：（1）当R>r 时，由数

学知识可知R 增大时P 减小；R 减小时P 增大。（2）当R

()

()

R

Rr

R r E

r R R

E P 42

2

2

2

+-=

+=

，由数学知识可知当R 增大时，P 增大；R

减小时，P 减小。根据上述的讨论结果，我们可大致的作出电源的输出功率P 和外电阻的关系图像，如图2所示。

由图2可知，对同一个电源而言当外电阻取两不同阻值时，电源消耗的功率却是相同的。当外电阻分别取R 1和R 2时，据222121R I R I =可得

22

212

1R r R E R r R E ⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可得到21R R r =。

拓展应用1：如图3所示，已知电源电动势E ，内阻r ，R 0为一定值电阻，滑动变阻器最大阻值R ，R>R 0+r 且R 0

分析与解答：由上文讨论可知，电源的输出功率取最大值的条件是外电阻的阻值和电源内阻相等，因此只要令R+R 0=r 即可，所以R=r-R 0时电源的输出功率最大；欲求滑动变阻器消耗的功率最大值，因滑动变阻器为可变电阻，R 0为定值电阻，可将R 0等效为电源内阻即可，即令R=R 0+r 即可；因R 0为定值电阻，只要令通过R 0的电流取最大值即可，所以令R=0即可让定值电阻R 0消耗的功率取最大值。

R

12图2

R 0

R

图3

E r

拓展应用2：在闭合电路中，已知外电阻R 大于内电阻r ，则当外电阻增加时，下列判断中正确的是（ ）

（A ）总电流一定减小 （B ）端电压一定增大

（C ）电源内电路电压一定增大 （D ）电源输出功率一定减小

分析与解答：根据闭合电路的欧姆定律r

R E I +=可知，当R 增加时，电

路总电流减小，A 正确。据端压Ir

E U

-=可知，当I 减小时，由于电源

内阻不变，即内电压减小，端压U 增大，所以B 正确。至于选项D 电源输出功率的变化趋势，若能结合电源输出功率P 与外电阻R 之间的函数图像来做，则很容易得解，由于外电阻R>r ，如图4所示，当外电阻R 增大时对应图像右半部分输出功率是减小的，所以选项D 很容易判断出是正确的，本题答案ABD 。

图4