全等几何模型讲解

常见的几何模型

一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。

这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。

1.绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转

，造等腰直角

旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060

例题讲解：

1.如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=

3 2，

PC=4，求△ABC的边长。

C

A

B

P

2. 如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？

3.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD= .

4.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。

A

B C

O

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

模型变形：

等边三角形共顶点

共顶点等腰直角三角形

共顶点等腰三角形

共顶点等腰三角形

例题讲解：

1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ‚ ②AC=CF+CD.

(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、

CF 、CD 之间存在的数量关系。

2.（13北京中考）

在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得 到线段BD 。

（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。

2.半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和

为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

例题：

1.在等腰直角△ABCD 的斜边上取两点M,N,使得45=︒∠MCN ,记AM=m,MN=x,BN=n ， 求证以m ，x ，n 为边长的三角形为直角三角形。

m x

n

B

C

A

M

N

2.如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、 Q ，若△APQ 的周长为2，

求PCQ ∠的度数。

D A

C

B

Q P

3.E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为 垂足，求证：AH AB =．

4. 已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交

CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．

C

H F

E

D B

A

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：

AH=AB；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C

B，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．

6.(14房山2模). 边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.

（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；

（3）如图3，设MBN ∆的周长为

p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变

化？请证明你的结论.

7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，将∠BAC 绕顶点A

逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q ，交BC ，CD 于点E 、点F ，连接EF ，EQ ．

（1）在∠BAC 的旋转过程中，∠AEQ 的大小是否改变？若不变写出它的度数；若

改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）； （2）探究△APQ 与△AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

8．已知在ABC △中，

90=∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线

CD 上，CD DE 2

1

=

，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点.

（1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数

量关系：___________，___________；

（2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证：

45=∠CNE ；

（3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得

45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由．