函数与方程思想在高中的应用

函数与方程思想在高考中的应用组长：潘云鹏 12033034组员：夏炎 12304177杨岑 12304154张瑶 12304184孙雪 12304013高清华 12304196谭博闻 12304159郭志岩 12304143刘春旭 12304009 函数与方程思想在高考中的应用摘要本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等难以突破的部分，并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学，提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议.一.函数与方程思想的概念1.函数思想函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法，即用运动变化的思想观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究其内在的联系，使问题获解．应用函数思想解题的基础是：常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等；熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征；应用函数思想解题的关键是：善于观察题目的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题．．2.方程思想方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的，则可以把解析式看成一个等式，然后通过方程的讨论从而使问题获解．许多问题中含有常量、变量和参量，可以通过适当方式，运用方程的观点去观察、深入分析问题的结构特点，抓住某一个关键变量，构造出这种等式来处理．两种思想方法是相辅相成的，有关方程、不等式、最值等问题，利用函数、方程观点加以分析，常可以使问题“明朗化”，从而易于找到适当解题途径．3.函数与方程思想的相互转化很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的．方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点．例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等．方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义．在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究．对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题．函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维．二.函数思想在解题中的应用分析函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。

在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。

在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。

在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：(1)解方程；(2)含参数方程讨论；(3)转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；(4)构造方程求解。

三.函数与方程思想在解方程中的具体应用例题1.（2009福建卷）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭答案 A解析 ()41f x x =-的零点为x=41,()2(1)f x x =-的零点为x=1, ()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)= -1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。

【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答例题2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ).Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q )列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.例题3.直线和双曲线的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．分析：b 的变化是由于k 的变化而引起的，即对于k 的任一确定的值，b 有确定的值与之对应，因此b 是k 的函数，本题即为求这个函数的值域．解：由消去y，得．（）因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根．所以解得．设，则由三点共线，得出．设，则在上为减函数，，且．，或，，或．点评：根据函数的思想建立b与k的函数关系，根据方程的思想，运用二次方程的理论具体求出b的表达式，是解此题的两个关键问题．不少解析几何问题，其中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系；对于直线和曲线交点问题，经常要转化为方程问题，用方程的理论加以解决．四.在运用函数与方程思想解题时应注意的问题.1.要重视基础知识和基本技能的培养和训练,深刻理解集合、函数、反函数的有关概念.2.要能熟练讨论函数性质(如单调性、奇偶性、周期性、极值等),掌握函数图像特征的分析(如范围、截距、凹凸性、渐近线、变化趋势等),函数图像的变换(平移变换对称变换、伸缩变换等),特别是要掌握与研究函数性质有关的数学知识(如向量的平移、函数的导数等).3.要能将函数、方程、不等式有机结合起来,互相转化.能用集合的语言加以表述,用参数的工具来体现运动变化,用高等数学的观点来指导问题的解决.4.要能充分运用数学建模的思想,从数学的角度发现问题、提出问题、进行探索与研究,培养实践能力和创新意识.5.函数与方程思想和化归、数形结合、分类讨论、归纳、特殊化等数学思想同样有着密不可分的关系．五.如何在中学教学中培养学生函数与方程的思想？现今我国的教育模式正在由应试教育向全面素质教育转变,素质教育不仅要求受教育者掌握一定的知识技能,而且还要求达到领悟数学思想、掌握数学方法、提高数学素养的目的因此,数学教学中,使学生掌握基本的数学知识与理论固然重要,但更重要的是掌握数学的基本技能,能运用基本的数学思想方法来解决各类数学问题,引导他们在解题过程中提炼数学思想方法,提高数学能力．教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识与运用新知识解决问题的能力．（1）注重教学的渗透教学过程中，渗透数学思想方法将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中.教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识,运用新知识解决问题，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡．如等比数列前n项和的推导过程，复习回忆等差数列的求和公式，等比数列的定义和一些性质，探究了公式推导的各种方法．(2)在小结复习的教学过程中，概括、提炼数学思想方法.同一题可涉及到几种不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的基础知识中,因此,及时小结、复习以进行强化刺激,让学生在脑海中留下深刻的印象．这样有意识、有目的地结合数学基础知识,揭示、提炼概括数学思想方法,既可避免单纯追求数学思想方法教学欲速则不达的问题,又能很好地促使学生认识从感性到理性的飞跃．复习小结时可配合知识点和典型例题强化训练．如在高三复习课讲评例题“已知方程有实数解，求实数a的取值范围”时，首先从函数解析式的特点看，它是关于正余弦函数的三角方程,可在这时适当做变化，原题化为方程在上有实数解，也可看成求函数的值域．本题就利用了转化思想、函数与方程思想，如果教师在讲解时能较好地分析，注意培养学生此方面思想，就能充分发挥该题的功能，同时提高学生的解题能力．(3)在知识运用过程中，不断巩固和深化数学思想方法.在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中,数学思想方法是处理这些问题的助手,这些问题的解决过程,也是数学思想方法反复运用的过程．因此,注意数学思想方法的运用既有条件又有可能,这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途径.数学思想方法也只有在反复运用中,才能得到巩固与深化.总之,在数学的教学和学习过程中,处处蕴涵着数学思想方法．在教学过程中,教师要善于抓住有利时机,要努力向学生渗透数学思想方法,自觉运用数学思想方法分析问题、解决问题,提高学生运用数学的能力．数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的．因此在教学中，要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会，易于接受的．。