南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学(含附加题)

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南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学(含附加题)数学附加题

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷
数学试题
第Ⅱ卷（选做题，40分）
21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤
2 1 1 2．
（1）求M 2；
（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)及点M (2，0)，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4．
（1）求p 的值；
（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上．
O
y
B
x
M A C P
l l 1
l 2
23．（本小题满分10分）
对于给定正整数n ，设n
n
n
x a x a x a a x ++++=-
Λ2
2
10)1(，记01n
n k
k S a ==∑．
（1）计算1234S S S S ，，，的值；
（2）求n S ．。

2020届江苏省南师附中高三下学期数学第一次模拟考试II卷

2020届江苏省南师附中高三年级第一次模拟考试数学II(附加题) 2020.03.1921．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1A⎡=⎢⎣2⎤⎥⎦，2B⎡=⎢⎣1a⎤⎥⎦，且AB BA=（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值.B．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.C .[选修4—5：不等式选讲]已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v夹角的余弦值为15. （1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.23.已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021k n n k nT k a =-=∑+．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除．。

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学(含附加题)数学参考答案及评分标准

A ．选修 4—２：矩阵与变换
解：（ 1） M 2＝ 2 1 12
21
54
＝
．………… 4 分
12
45
λ－ 2 － 1 （2）矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝－ 1 λ－ 2 ＝ (λ－1)( λ－ 3)．
令 f(λ)＝ 0，解得 M 的特征值为 λ1＝1， λ2＝ 3．………… 6 分
21 Ⅰ当 λ＝ 1 时，
高三数学参考答案第 1 页共 11 页
又因为 A， C 是ⅠABC 的内角，所以 A＝ C．………… 6 分
（2）由（ 1）知，因为
A ＝ C ，所以
a＝ c，所以
cosB
＝
a2＋ c2－ 2ac
b2 ＝
a
2－ a2
2
．…………
8分
因为 →BA ·→BC＝ 1，所以 a2cosB＝ a2－2＝ 1，所以 a2＝3．………… 10 分
代入切线方程，得 b＝－ 2，
所以 a＝－ 1， b＝－ 2．………… 2 分
（
2
）
g
(x)＝
f(
x)
＋
ax＝
ln
x＋
ax＋
ax＋
1，
g
′x（)＝
1x－
xa2＋
a＝Biblioteka ax2＋ x－ x2a
．
Ⅰ当
a＝ 0 时， g′x（)＝ 1x＞ 0，则
g(x) 在区间
(0，
1 2)
上为增函数，
则
g(x) 在区间
(0，
又Ⅰ an 0 ， Sn 0 ，
Sn 1 1
Ⅰ
Sn 1
an 1 ， an
S2 1 S3 1

江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析

（1)当立柱和立柱高度相同时，求两立柱的总造价;
(2）求立柱和立柱总造价的最小值．
【答案】（1）万元；（2) 万元．
【解析】
【分析】
设两立柱的总造价为y万元．
（1）过C作的垂线分别交，于，，根据题中数据,求出，即可得出结果；
（2）过B作的垂线，垂足为F，过C作的垂线，垂足为G，设，
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知与共线反向，令 ,然后由和列方程求解即可。
【详解】解：因为平面向量与的夹角是 ,
所以设，即，
因为，所以 ,得 ,
因为，所以 ,
所以 ,
故答案为：
【点睛】此题考查共线向量,向量的模,向量的坐标运算，属于基础题.
10. 已知是椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点,且的最大值为，则椭圆的离心率为______．
试题解析：（1）在直三棱柱中， , ，所以 ,因为，所以 ,又，所以，因为，所以，因为在平面中，，所以四边形为正方形，因为点分别为的中点，所以 ∽ ，所以，所以，即，又因为，所以。
（2）连接交于点 ,连接交于点，连接，
在正方形中利用及平面几何知识可得，在正方形中利用 ∥ 且可得，所以在中, ，所以，又平面，平面，所以平面．
12. 在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是．
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理得: 又即．
又 ∴ ，，
由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立；
所以，

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期六月押题数学试卷含附加题

江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷(2020．6)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n (x i －x)2，其中x ＝1nx i .锥体的体积V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．球体的表面积S ＝4πr 2，其中r 是球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|－1，0，1，6}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1－2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部为0，则实数a 的值为________．3. 样本数据6，7，10，14，8，9的方差是________．4. 右图是一个算法流程图，若输入的x 的值为1，则输出S 的值为________．5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛郑2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是________．6. 已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于点(2π3，0)对称，则φ的值是________．7. 已知PABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16 π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，则该三棱锥的体积为________．8. 若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线C 的渐近线距离为________．9. 已知函数f(x)＝sin x ＋2x ＋x 3.若f(a －6)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＋a 2＋a 5＝47，a 3＋a 4＝28.若存在正整数k ，使得对任意的n ∈N *都有S n ≤ S k 恒成立，则k 的值为________．11. 已知圆O ：x 2＋y 2＝m(m ＞0)，直线l ：x ＋2y ＝10与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．若圆O 上存在点P 使得△PAB 的面积为252，则实数m 的最小值为________．12. 已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若AB →·GD →＝6，AC →·GF →＝32，则BC →·GE →＝________．13. 已知函数f(x)＝a |x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－x ＋116，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝g(x)有3个不同的实数根，则实数a 的取值集合为________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知cos 2B ＋cos 2Asin 2B ＝4cos 2Acos 2B ，则sin 2Asin 2B4cos 2C ＋2sin 2Asin 2B的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C.(1) 求cos(B ＋π3)的值；(2) 若D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．16.(本小题满分14分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为菱形，且AB ＝BC 1，点E ，F 分别为BB 1，A 1C 1的中点．求证：(1) 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC ； (2) EF ∥平面A 1BC.某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧AB ︵和两条线段AC ，BC构成．已知圆心O 在线段AC 上，现测得圆O 半径为2百米，∠AOB ＝2π3，BC ⊥AC.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC ，上底为MN ，点M 在圆弧AD ︵(点D 在圆弧AB ︵上，且OD ⊥OA)上，点N 在圆弧BD ︵上或线段BC 上．设∠AOM ＝θ.(1) 将梯形ACNM 的面积表示为θ的函数；(2) 当θ为何值时，梯形ACNM 的面积最大？求出最大面积．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为22，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q.(1) 求椭圆Γ的标准方程；(2) 当CD ＝852时，求直线l 的方程；(3) 求证：OP →·OQ →为定值．设f(x)＝a(x －1)2－e x ＋ex ，g(x)＝e x (x －1)＋12ax 2－(a ＋e)x ，a ∈R ，其中e 为自然对数的底数(e ＝2.718 2…)．(1) 当a ＝e 时，求g(x)在(1，g(1))处的切线方程； (2) 设F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间； (3) 当≥1时，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围．已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，且满足a1＝a，a n＋1－a n＝d（a n＋1＋a n）.(1) 若d＝1，a3＝6，求a的值；(2) 设数列{b n}满足b n＝a n＋1－a n，其前n项的和为S n.①求证：{b n}是等差数列；②若对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得S n＝b m成立．求证：S n≤(2n－1)b1.江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b ，点P(3，－1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3，5)． (1) 求a 和b 的值；(2) 求矩阵A 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(θ－π6)＝a ，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ.若直线l与曲线C 相切，求实数a 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋2ca ＋b的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校举办的体育节设有投篮项目．该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分．(1) 若甲同学每次投篮命中的概率为25，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分为X ，求随机变量X 的概率分布列；(2) 若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为12，且相互不影响，甲、乙两人之间互不干扰．求甲同学的总分低于乙同学的总分的概率．23.在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O 出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进1个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O 出发行进到点P(x ，y ，z)(x ，y ，z ∈N )经过最短路径的不同走法的总数为f(x ，y ，z)．(1) 求f(1，1，1)，f(2，2，2)和f(n ，n ，n)(n ∈N *)；(2) 当n ∈N *，试比较f(n ，n ，n)与（4n ＋1）2n4n ·（n ！）2的大小，并说明理由．江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {－1，0，1}2. －23. 2034. 1005. 166. －π37. 9438. 139. ⎣⎡⎦⎤－2，32 10. 1011. 5 12. －92 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2e 14. [613，12)15. 解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C ，所以由正弦定理可知BC 2－2BC ·AB ＝AC 2－AB 2，BC 2＋AB 2－AC 2＝2BC ·AB ，(2分)cos B ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB＝22.因为在△ABC 中，B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(5分)所以cos(B ＋π3)＝cos Bcos π3－sin Bsin π3＝22×12－22×32＝2－64.(7分)(2) 由余弦定理可知，在△ACD 中，cos C ＝DC 2＋AC 2－AD 22AC ·DC ＝32＋72－522×7×3＝114，(9分)因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，sin C ＝1－cos 2C ＝1－（114）2＝5314.(11分)由正弦定理可知，在△ABC 中，AB sin C ＝AC sin B ，所以AB 5314＝722，所以AB ＝562.(14分)16. 证明：(1) 连结AC 1交A 1C 于O 点，连结BO. 在△ABC 1中，因为AB ＝BC 1，所以BO ⊥AC 1.(2分) 因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线A 1C ⊥AC 1.(4分)因为BO ∩A 1C ＝O ，BO ，A 1C ⊂平面A 1BC ，所以AC 1⊥平面A 1BC.(6分) 因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC.(7分)(2) 连结FO ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线互相平分，点O 为A 1C 的中点．因为点F 为A 1C 1的中点，所以在△A 1CC 1中，FO ∥CC 1，FO 綊12CC 1，(9分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱BB 1綊CC 1，又点E 为BB 1的中点，所以BE 綊12CC 1.又FO 綊12CC 1，所以BE 綊FO ，四边形BEFO 是平行四边形，(12分)所以EF ∥BO.因为EF ⊄平面A 1BC ，BO ⊂平面A 1BC ，所以EF ∥平面A 1BC.(14分)17. 解：(1) 因为点M 在圆弧AD ︵上，OD ⊥OA ，当点M 分别与点A ，D 重合时，梯形不存在，所以θ∈(0，π2)．过点B 作BB′∥CA ，且BB′交圆弧AD ︵于点B′，连结B′O ，因为OD ⊥OA ，所以BB′⊥OD. 由垂径定理可知OD 垂直平分BB′，因此∠B′OD ＝∠BOD ＝∠AOB －∠AOD ＝2π3－π2＝π6，∠AOB ′＝∠AOD －∠B′OD＝π2－π6＝π3，因此，当θ∈(π3，π2)时，点N 在圆弧BD ︵上，当θ∈(0，π3]上时，点N 在线段BC 上．设OD ∩MN ＝H ，① 当θ∈(π3，π2)时，因为MN ∥CA ，所以∠HMO ＝∠AOM ＝θ.又OD ⊥OA ，所以MN ⊥OD.由垂径定理可知HM ＝HN ，在Rt △OHM 中，HM ＝OMcos ∠OMH ＝2cos θ， HO ＝OMsin ∠OMH ＝2sin θ，BC ⊥AC ，所以在Rt △OBC 中，∠COB ＝π－∠AOB ＝π－2π3＝π3，CO ＝OBcos ∠BOC ＝2cosπ3＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(2MH ＋AO ＋OC)＝sin θ(4cos θ＋3)，(4分)② 当θ∈(0，π3]时，因为BC ⊥AC ，OD ⊥OC ，MN ⊥OD ，所以四边形OCNH 为矩形，故NH ＝OC ＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(MH ＋NH ＋AO ＋OC)＝2sin θ(cos θ＋2)．(6分)综上，S(θ)＝⎩⎨⎧2sin θ（cos θ＋2），θ∈（0，π3]，sin θ（4cos θ＋3），θ∈（π3，π2）.(7分)(2) ① 当θ∈(π3，π2)时，S(θ)＝sin θ(4cos θ＋3)，S ′(θ)＝cos θ(4cos θ＋3)＋sin θ(－4sin θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4.因为θ∈(π3，π2)时，cos θ∈(0，12)，cos 2θ＜14，所以S′(θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4＜8×14＋3×12－4＝－12＜0，故S(θ)在(π3，π2)上单调递减，S(θ)＜S(π3)＝sin π3·(4cos π3＋3)＝532.(10分)② 当θ∈(0，π3]时，S(θ)＝2sin θ(cos θ＋2)，S ′(θ)＝2cos θ(cos θ＋2)＋2sin θ(－sin θ)＝4cos 2θ＋4cos θ－2.因为θ∈(0，π3]时，cos θ∈[12，1)，cos 2θ≥14，。

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期六月押题数学试卷含附加题

江苏省南师附中2021届高三模拟测试试卷(2021. 6)数学(总分值160分,测试时间120分钟)参考公式：― .1完样本数据 X i , X2,…,X n 的方差 S 2= n -i|(X i —X )2,其中 X = - =| X i .锥体的体积V = ；Sh,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 球体的外表积 S= 4兀「2,其中r 是球体的半径. 填空题：本大题共14小题,每题5分,共70分.1 .集合 A={X ||X |W1, X C Z} , B = {X |-1, 0, 1 , 6},那么 AAB =.2 .复数z= (1 —2i)(a + i),其中i 是虚数单位.假设 z 的实部为0,那么实数a 的值为3 .样本数据6, 7, 10, 14, 8, 9的方差是.4 .右图是一个算法流程图,假设输入的 X 的值为1,那么输出S 的值为.5 .将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具) 先后抛郑2次,那么出现向上的点数之和为 6的倍数的概率是 .6 .函数 y=sin(2x+()))(-())<.)的图象关于点(等,0)对称,那么 <f )的值是2 2 37 .P-ABC 是正三棱锥,其外接球 O 的外表积为16兀,且/ APO = / BPO = / CPO = 30° ,那么该三棱锥的体积为 .心 ... x 2 y 2 -、一、, 8 .右双曲线 C: 02—b2=1(a>0, b>0)的离心率为 C 的渐近线距离为.9 .函数f(x) = sin * + 2* + *3.假设阳―6) 十/202产0,那么实数a 的取值范围是 .10 .设等差数列{an}的前n 项和为Sn.a1+a2+%=47, a3+a4= 28.假设存在正整数 k, 使得对任意的门6力都有$口忘Sk 恒成立,那么k 的值为.11 .圆O ： X 2+y 2= m(m >0),直线l: X +2y= 10与X 轴,y 轴分别交于 A,B 两点.假设25圆O 上存在点P 使得△ PAB 的面积为25,那么实数m 的最小值为 .12 .点G 为4ABC 的重心,点 D, E, F 分别为AB , BC , CA 的中点.假设 m • GD............ 1c ...................................3,那么抛物线y = 4x 2的焦点到双曲线=6, AC• GF=3,那么BC • GE =2 ------------In x, x>0,13.函数f(x) = aJ|x|, g(x)= 1—X + G的实数根,那么实数a的取值集合为.14.在锐角三角形ABC 中, 假设关于x的方程f(x)=g(x)有3个不同x< 0.cos2B + cos2Asin 2B = 4cos2Acos2B , 那么sin 2Asin 2B的取值范围是4cos2C+2sin 2Asin 2B二、解做题：本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证实过程或演算步骤.15 .(本小题总分值14分)如图,在^ ABC 中, sin2A—V2sin A - sin C = sin2(A + C) — sin2C.兀(1)求cos(B+万)的值;(2)假设D 是BC 边上一点,AD = 5, AC = 7, DC=3,求AB 的长.16 .(本小题总分值14分)在三^^柱ABCA I B I C I中,侧面AA1C1C为菱形,且AB = BC1,点E, F分别为BB I,A1C1的中点.求证：(1)平面AA I C I C,平面A I BC;(2) EF //平面A I BC.某处有一块闲置用地,如下图,它的边界由圆O的一段圆弧AB和两条线段AC, BC 构成.圆心O在线段AC上,现测得圆O半径为2百米,/ AOB=\, BC^AC.现规3划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设, 该梯形区域的下底为AC,上底为MN,点M在圆弧AD (点D在圆弧AB上,且ODLOA)上,点N在圆弧BD上或线段BC上.设/ AOM =0 .(1)将梯形ACNM的面积表示为.的函数；(2)当.为何值时,梯形ACNM的面积最大？求出最大面积.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆r：a2+b2=1(a>b>0),其右焦点F到其右准线的距离为1,离心率为手,A, B分别为椭圆r的上、下顶点,过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆r交于C, D两点,与y轴交于点P,直线AC与BD交于点Q.(1)求椭圆r的标准方程；(2)当CD=8J2时,求直线l的方程；(3)求证：O P - OQ为定值.1设f(x) = a(x—1)2—ex+ex, g(x) = e x(x- l) + 2ax2- (a+ e)x, aC R,其中e 为自然对数的底数(e=2.718 2…).(1)当a= e时,求g(x)在(1, g(1))处的切线方程；(2)设F(x) = f(x) +g(x),求F(x)的单调区间；(3)当＞1时,f(x)W0恒成立,求a的取值范围.｛a n｝是各项均为正数的无穷数列,且满足ai=a, 3n+ 1 — an=〈d_( 3n + l + 3n).⑴假设d= 1, a3=6,求a的值；(2)设数列｛b n｝满足b n=a n+i—a n,其前n项的和为S n.①求证：｛b n｝是等差数列；② 假设对于任意的nCN*,都存在mCN*,使得S n=b m成立.求证：S n<(2n-1)b i.江苏省南师附中2021届高三模拟测试试卷数学附加题(总分值40分,测试时间30分钟)21 .【选做题】在A, B, C三小题中只能选做两题,每题10分,共20分.假设多做, 那么按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证实过程或演算步骤.A.(选彳42:矩阵与变换)矩阵A= 2 a,点P(3, — 1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P' (3 5).2 b(1)求a和b的值；(2)求矩阵A的特征值.B.(选彳44:坐标系与参数方程)兀在极坐标系中,直线l的方程为p sin( 9--6-)=a,曲线C的方程为与曲线C相切,求实数a的值.p= 4cos 0 .假设直线lC.(选彳45:不等式选讲) a,b, c为正实数,求+c+ a2c—a+ b 的最小值.【必做题】第22, 23题,每题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22 .某校举办的体育节设有投篮工程.该工程规定：每位同学仅有三次投篮时机,其中前两次投篮每投中一次得1分,第三次投篮投中得2分,假设不中不得分,投完三次后累计总分.2(1)假设甲同学每次投篮命中的概率为5,且相互不影响,记甲同学投完二次后的总分为X,求随机变量X的概率分布列；1(2)假设(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮工程, 乙同学每次投篮命中的概率为2,且相互不影响,甲、乙两人之间互不干扰.求甲同学的总分低于乙同学的总分的概率.23 .在空间直角坐标系中, 有一只电子蜜蜂从坐标原点O出发,规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进,每一步只能行进1个单位长度,假设设定该电子蜜蜂从坐标原点O出发行进到点P(x, y, z)(x , y, zC N)经过最短路径的不同走法的总数为f(x , y, z).(1)求f(1, 1, 1), f(2, 2, 2)和f(n, n, n)(n C N*);* 一.,、, (4n+1)2n,,, ,(2)当nC N ,试比拟f(n, n, n)与4n .(记)2的大小,并说明理由.江苏省南师附中2021届高三模拟测试试卷数学参考答案及评分标准I. {-1,0,1} 2.-2 3. 20 4.100 5. 1 6.一卷7. 9/3 8. 1 9. -2, 310.3 6 34 3 N10II. 5 12. -9 13. 1, 2 14.尚,1〕2 2 e 13 215 .解：〔1〕由于A+B+C=TT, sin2A —V2sin A • sin C= sin2〔A + C〕— sin2C,所以由正弦定理可知BC2-^2BC - AB =AC2-AB2, BC2+AB 2—AC2=/BC • AB , 〔2分〕BC2+AB2—AC2 2cos B = ---- T IT;;—— ------- =毛.2BC ♦ AB 2一,, •~ .兀由于在△ ABC中,B e 〔0,兀〕,所以B = —.〔5分〕所以cos〔B + g〕 = cos Bcos sin Bsin 高=好>< 1-当又当=血.〔7 分〕3 3 3 2 2 2 2 4DC2+AC2—AD2 32+ 72— 52 11 、〔2〕由余弦定理可知,在^ ACD中,cos C=—-= "7" =丁,〔9分〕 2AC , DC 2X7X3 4由于CC〔0,兀〕,所以sin C>0, sin C=11 — 8光=[1 —耳2=等.〔11 分〕由正弦定理可知,在^ ABC中,空=上之,所以绊=三,所以AB=5^.〔14分〕sin C sin B 5^3 _2 2 ' '74316 .证实：〔1〕连结AC1交A I C于.点,连结BO.在^ABC I中,由于AB =BC I,所以BO,AC1.〔2 分〕由于侧面AA 1C1C为菱形,所以对角线ACAC I.〔4分〕由于BO A A I C=O, BO, A1C?平面A I BC,所以AC」平面A I BC.〔6分〕由于AC I?平面AA I C I C,所以平面AA I C I C,平面A I BC.〔7分〕〔2〕连结FO,由于侧面AA1C1C为菱形,所以对角线互相平分,点.为A I C的中点.1由于点F为A I C I的中点,所以在^ A I CC I中,FO//CC1, FO触2CC1, 〔9分〕在三^^柱ABCA1B1C1中,侧棱BB I触CC I,又点E为BB I的中点,-, 一1所以BE触2CC1.1 .................又FO触2CC1,所以BE触FO,四边形BEFO是平行四边形,〔12分〕所以EF // BO.由于EF?平面A1BC, BO?平面A I BC,所以EF//平面A I BC.〔14分〕17.解：〔1〕由于点M在圆弧AD上,OD ± OA ,当点M分别与点A, D重合时,梯形不存在,兀所以0€ 〔0,—〕.过点B作BB' // CA ,且BB'交圆弧AD于点B',连ZB' 0,由于OD,OA ,所以BB' XOD.由垂径定理可知OD垂直平分BB',一,.,,_ ,一 ,一 ,一2兀兀兀 ,一, ,一 ,,_因此/ B.氏 / BOD = Z AOB -Z AOD =7一万=0,/ AOB =/ AOD -Z B OD--3=义2 6 3兀行x-x 兀因此,当长〔万,2〕时,点N在圆弧BD上,当长〔0, §］上时,点N在线段BC上. 设ODA MN = H,① 当长〔2〕时,由于MN 11 CA,所以/ HMO = / AOM =..又ODLOA,所以MNLOD.由垂径定理可知HM = HN,在RtAOHM 中,HM = OMcos / OMH = 2cos 0 ,HO = OMsin / OMH = 2sin 0 , BCXAC,所以在RtAOBC 中,/COB=TT—/ AOB =兀一等=5,CO=OBcos/BOC = 2cos =1,1 1所以梯形ACNM 的面积S〔.羊20H • 〔MN +AC〕=2OH • 〔2MH+AO+OC〕=sin 0 〔4cos 0 + 3〕, 〔4 分〕② 当长〔0,可］时,由于BCXAC , ODXOC, MN XOD,所以四边形OCNH为矩形,故NH=OC=1,所以梯形ACNM的面积7 1 3c 1 1 1八 ~S(.学/OH • (MN+AC)=/OH (MH +NH + AO+OC) =2sin 0 (cos 0 + 2). (6 分)2sin 0 ( cos 0 + 2) , 0 €综上,S (./sin 0 ( 4cos 0 + 3) , 0 €(2)①当长(1, 2)时,S(.今 sin 0 (4cos 0 +3),S' ( 04 cos 0 (4cos 0 + 3)+sin 0 ( —4sin 0 ) = 8cos 2 9 + 3cos 0 - 4. 由于 ℃ (—, j 时,cos 0 e (0, 2), cos 2e <4,所以 S' ( # 8cos 2 0 + 3cos 0 - 4<8X 1+3X--4=--<0,4 2 2一一,一一,兀兀, ....... 兀兀,. 兀 _、 5/3…故 S(.在(―,2)上单倜递减,S(.4 S(_3)= sin -3 • (4cos —+ 3) = —2-(10 分) ②当长(0,万]时,S(妗 2sin 0 (cos 0 + 2),S' ( 04 2cos 0 (cos 0+2)+ 2sin 0(—sin 0 ) = 4cos 2 9 + 4cos 0 — 2. 由于 0€ (0,可]时,cos 0 C [；, 1), cos 2 0 3 2 41 1 _ _所以 S ( #4cos 2 0 + 4cos 0 - 2>4X 4+4X2—2=1 >0,~ 一 4 一兀, ______ 兀兀, 兀.~5(3.. 故 S (.在(0, 3]上单倜递增,S(.今 S("3)=2sin y ' (cos "3+2) = -2-(13 分)a !—c=c 18.(1)解：由题意可知&_虚所以a =42, c=1,所以b 2= a 2- c2= 1,a =-2~,a>0,x 2所以椭圆的标准方程为万+y 2=1.(4分)(2)解：由于直线l 不与x 轴重合,所以斜率不为 0. 由于l 过点F(1, 0),所以设直线l 的方程为x=my+1.x= my + 1,由 x 2 得(m 2 + 2)y 2 + 2my — 1 = 0.xr + y 2=1,、口八一2m — 1 f r — o o o设 C(x 1,y 1),D(x 2, y 2),那么 y 1 + y 2 = m^72, y 1y 2= .2+ 2,那么 CD 2= (m 2+1)6 —y 2)2 =2 22 一 2m 2 - 1 8 (m 2 +1) 2(m +1)[(y i+y2)-4y i y2]=(m +1)[(m^)— 4(E )]= ( m 2+2) 2 .ma8 不 #匕1、18( m 2+ 1)2 128 /日 2 c rr-iM, rz由于 CD = 5\2,所以(m 2_1_ 2) 2 = 25 5 付 m = 3,所以 m =占/3, 所以直线l 的方程为x= ±V3y+1.(8分)(3)证实：在 x = my+ 1 中令 x= 0 得 y= - m,所以 P(0,一、). 而直线AD 的方程为y —1 = y2二1 x,直线CB 的方程为¥+1 = "^x.x 2x 1兀 (0, y], 〔7分〕兀兀 3,万〕.综上,当且仅当9=W 时,梯形ACNM 的面积取得取大值 3(14 分)1,(my2+1) y1+ (my2+1) + (my 〔 + 1) y2— (my1+1) 2my1y 2 + y I II III +y 2+m (y 2—y1)(*)(10 分)m (y 〔 + y2)+ ( y1一y2)+ 22 ;2 ... m 2 1 所以 y 1-y2= m2+2 将①②③代入(*)式,得—4mE —m (y 1-y2)e .i .当a< 5时,即x>1时,4 ' (x)w .,所以4 (x 弹■倜递减,所以.仅产.(1)=0,即「(河0, 所以f(x)单调递4=— m,以下不变］E + (y 1-y2)II19.解：(1)当 a=e 时,g (X) = e X (X —D + ^X 2 —2eX, g (X ) = e X (X —1)+e X +eX —2e, e 3eg (1) = e+ e —2e=0, g(1) = 2—2e=— 2,所以g(x)在(1, g(1))处的切线方程为y+3e=0,即y= —3e(2分) (2) F '钠'(X)g' (x)2a(x —1) —e X +e+ex+ax —(a + e) = (x —1)(e x +3a). ① 当 a>0 时,e x +3a>0,所以当 x>1 时,F' (X )>0;当 x<1 时,F' (X )<0; ②当 a<0 时,令 F' (X )0 得 x=1, x=ln(-3a).i .假设ln(-3a)= 1,即a= - e 时,那么F'份0恒成立,3所以F(X )单调增区间为(一8, +OO ). (6分)III .假设 ln( — 3a)v 1,即一§< av0 时,F' (X ) > 0 即 x> 1 或 xv ln( — 3a); F' (X )V 0 即 ln( —3a)vxv1,所以F(X )单调增区间方 (―00, ln(—3a))和(1, +°°),单调减区间为(ln(—3a), 1).iii.假设 ln(—3a)>1,即 a< — e 时,F' (X ) >0 即 x>ln( —3a)或 X < 1, F' (X )0 即 1 VXV ln(-3a),所以F(X )单调增区间为(一,1)和(ln( —3a),十^),单调减区间为(1, ln(-3a)). (8 分) (3) f ' =(X)a(x —1)—e X +e.① 假设aw .时,那么f' (X ) 0在X >1时恒成立,所以f(x)在［1 , +°°)上单调递减,所以当 X>1 时,f(x) Wf(1) =0,所以 X>1 时,f(X )W0 恒成立.(10 分)② 假设a>0时,令4 (x) = f' (X )那么旷区)2a — e X ,y QX 2y 1 + X 2+ X 1y 2— X 1 X 2y 1 + X 2— X 1y 2+ X 1不妨设yi>y 2,那么yi = m 2 m 2 1m 2 2 m2、; m 2 + 1 m 2 2—2m2mE )+mr? -m2 3\/m 2 + 1 m 2+ 2 — 4m — 2^/2m M m 2+1 —2m m )2v24m 2+1 2V2、m 2+ 1 +4=—m, (14 分)m 2 + 2所以 O P - O )Q =(0, 1 y Q _—m ) ・ Qx yQ ) = - m- ［另解：从〔*〕式开始,将根与系数关系代入2my 〔y 2 +y 1 + y 2+m (y 2—y 1)m (y 1 + y 2)+ (y 1一y 2)+2—Im 、 ., ——m=1为定值.(16分)m (*)式,得—1 —2m 2mK +门 +m (y 〞〞—2mmmqr2 + 2+ (y 1 —y 2)减,所以当x>1时,f(x)wf(l)=0恒成立.(12分)ii .当a>机寸,令4' (x)0,那么x=ln(2a)>1,当x>ln(2a)时,(()’(x)<0, (()(x)单调递减；当xvln(2a)时,(()’(x)>0,(f)(x)单调递增.由于(f)(x庇(一8, ln(2a))上单调递增且H1)= 0,所以力(ln(2a))> [ (1)=0,所以在(1, ln(2a))上[(x)> 0,所以f' (x) 0,所以f(x)单调递增,所以当x€(1, ln(2a))时,f(x) >f(1) = 0,不满足条件.e所以a的取值范围是(一8, 2]. (16分)20.(1)解：由于a n+1 —a n =>a n+1 + a, 03= 6,所以令n = 2,得83—a2= ->J a3+ a2,即 6 — a2=,6 + a(a2<6),平方整理得(02-10)(02-3)=0.由于a2<6,所以a2=3；同理令n = 1,得a2 —a1=4巾+ a1,即3 — a1=43 + a〔(a〔<3),平方整理得(a1一1)(a[一7)=0.由于a1<3,所以a1 = 1,因此a= 1.(4 分)(2)证实：①由题意,得d>0.当d=0时,a n+1 —a n=0,所以｛b n｝是公差为0的等差数列.(5分)当 d w 0 时,由于an+1— an=也(an + 1 + an),所以(a n+1—an)2 = d(a n+1 + an) ①,从而有(a n—a n-1)2= d(a n+a n-1) ②.①一②,得(a n+ 1 - a n)2—(a n 一a n —1)2= d[(a n + 1 + a n) —(a n 一a n- 1)],化简得[(a n+1 —a n) —(a n+ a n— 1)](a n+ 1 ― a n 1) = d(a n+ 1 —a n 1).由于an+1—an = I d_( an+1 + an)-,且数列｛an｝的各项均为正数,d>0,所以an + 1 — a n > 0 ,从而a n+1—a n-1>0,因此(a n+1 —a n) —(a n + a n-1) = d.由于b n = a n+1 —a n,所以b n—bn 1 = d.综上,｛b n｝是公差为d的等差数列.(8分)② 由于｛b n｝是公差为d的等差数列,所以S n=nb1+n(n21)d.由于对于任意的nCN*,者B存在mCN*,使得S n= b m,_ __ , n (n — 1)所以有nb1 + 2 d=b1 + (m—1)d,士匕/n n (n— 1)整理得(m — 1)d = (n — 1)b1 + 2 d.i.假设d=0,那么b1 = 0,结论成立.(10分)..什b1 n ( n— 1)ii.假设d>0, (m- 1)=(n-1)1d-+ 2 .当n = 1 时,m = 1;b1当n>2时,器必为整数,即b1 = kd.由于an + 1 - a n > 0 ,所以b n>0, d>0,所以kC N*,iii C n (n— 1) n- 1从而S n= nb1 + -------------- 2 ------ d = nd(k + 2 ) •下证nkd + n(n j 1)dw(2n—1)kd,即证n(门：1)< (2n- n- 1)k ,从而只要证n(n： 1)w 2n-n-1,因此要证2n+1—n2—n —2>0.(13 分)记f(n) = 2n+1 —n2—n—2,那么f(n + 1) — f(n) = 2[2n—(n+1)].记g(n) = 2"—(n+1),那么g(n+ 1)-g(n) = 2n- 1 >0, 所以g(n) = 2n- (n+ 1)>g(1) = 0,从而f(n + 1) — f(n) > 0,所以f(n) =2^1 —n2—n — 2gf(1) = 0.(16 分)2021届高三模拟测试试卷(二十三)(南师附中)数学附加题参考答案及评分标准2 a 321. A.解：⑴由题意,得,2 b - 1 所以 a= 3, b= 1.(4 分)所以矩阵A 的特征值为 1,入2 = 4.(10分)B.解：以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立平面直角坐标系. 一 ,,,,,,、一I , 兀L由于直线l 的万程为psi n(T3)=a,所以其直角坐标方程为 x — ^/3y + 2a= 0.由于曲线C 的方程为p= 4cos 0 ,所以p 2= 4 p cos 0 , (4分)所以曲线C 的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4,是圆心为(2, 0),半径为2的圆.由于直线l 与圆C 相切,所以圆心到直线 l 的距离d 为2, = 2?|a+ 1|=2,所以 a=1, a= — 3.(10 分)a b , 2c a , . , b , . , 2c , _ / a+ b+ c , a+ b + c ,b+c -c+a + a+b -b + c + + c+ a + + a+b + — — b+c c+a112 1 1 , 13 6—a 3 6—a= 3, 5 ? 6- b 5 ? 6—b=5a= 3, b=1,2(2)由(1)可知A= 2 一,,,,, 入一2 特征行列式为-231 -3入一 1=(k 2)(也 1) — (—3)( —2)=岸一3 入一4=(4)(升 1)=0,|2+2a|5 + 3 C.解: 2 (a+ b+c) a+ b所以 p (A )= p (x = 0) • P(Y0)+P(X= 1) ♦ P(Y1)+P(X = 2) ♦ P(Y2) + P(X = 3) ♦ P(Y>3)=—2)…(n + 2) • (n 1),其中3n • (3n1) • (3n2)…(n+2) • (n 1)是2n 个连续的自然数相乘, 对于任意的kCN *,且k<n,都有(2n + k) + (2n —k+1) 2 (4n+1)2n+kw2n —k+1,所以取不到等号, (4n+1) 2n f(n ,n,nJ. (n! ) 2 .(10 分)—4=(a +b +c)(Q + 3 + 不)一4=5[(b + c) + (c +a)+(a + b)](bT ；+二,2+orp-4.由于a, b, c 为正实数,所以由柯西不等式可知 bh+dh+缶=2[(匹)2+ (户)2+(屈)2][(y^^c )2+(^1^)2+)* 1 2]- 4>2(乒- ^ + 斤 )2一 4=1x (1 +1+<2)2-4=272-1 ,当且仅当 q b i c = 'c i a = 'a i b ,即 b+ c= c+ a=乎(a + b),即 a= b 且 c=(寸2 —1; 1 ；1 2 2 -b+c 'c+aa+ b1)a 时取等号,此时原式的最小值为2寸2— 1.(10分)22.解：(1)随机变量X 可能的取值为0, 1,2, 3, 4, 3 3 27 1 2 3 236P(X = 0)=(5)3=—; P (X = 1) = C 2.4(p 2=诟；2 9 33 9 2 30〜 23 24P(X= 2)=(5)2 . 5+(5)2 . 5=位；P(X = 3)=C2 . (5)2 .-=-；P(X = 4) =(|)3= 185.(5 分) (2)设乙同学投完后的总分为Y,那么随机变量 Y 可能的取值为0, 1, 2, 3, 4,P(Y = 0)=(2)3=8； P(Y = 1)=C2 . (2)3=1； P(Y=2) = (；)3+(2)3 = ： “ 1 c 1 1 c 1 P(Y = 3) = C2 • (2)3=4； P(Y = 4)=(2)3=1.记“最终甲同学的总分低于乙同学的总分〞为事件 A,由四种情况组成,且相互独立, 四种情况分别为甲得 0分且乙得分超过0分,甲得1分且乙得分超过1分,甲得2分且乙得分超过2分,甲得3分且乙得分超过 3分.27X (1_131 1_1 125 ( 8) 十 125 ( 8答：事件A 的概率为 1 R 3 1 000. 30 —1 । 1 125X(4+8) + 24、,1 483 —x-=—— 125 8 1 000. (10 分)23.解: (1)f (1 , 1, 1)= C1 . C 2=6, f(2 , 2,6X 5 2)=C6C 4=~2— 4X390, f(n , n,(2) f(n , (3n) !n)= C 3n . C 2n = ( n ! ) 3 .(3 分) (3n) ! n , n)= C3n ' C 2n= (.!)~3=一(3n) !(n! ) 2 n!1(n! ) 2- 3n • (3n — 1) ♦ (3n (2n + k) - (2nk+1)< 所以3n ♦ (3n 1) • (3n2)…(n+2) • (n 1)< (4n+ 1) 2 n (4n+ 1) 2n4n ,2 -恒成并且因此。

江苏省南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级第二学期自主检测(2)数学试题 (1)

南师大附属扬子中学2020届高三年级第二学期自主检测卷（2）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2A=，{}2,3B a a=+，若A B={1}⋂，则实数a的值为________2．设复数z＝(1＋2i)2（i为虚数单位），则z的共轭复数为．3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为．6．已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S，且1294SS=，体积分别为12,V V，若它们的侧面积相等，则12VV=．7．已知{na}是等差数列，nS是其前n项和．若2123a a+=-，5S=10，则9a的值是．8．已知函数221()log(1)1xaxf xx x⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f=，则实数a的值是．9．已知圆C：22(1)()16x y a-+-=，若直线20ax y+-=与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，则实数a的值为．10．已知实数a ，b ∈(0，2)，且满足2244242ab a b b --=--，则a ＋b 的值为． 11．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的标准方程为22221(0,0)x ya b a b+=>>，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点B ．设原点到直线BF 的距离为1d ，F 点到l 的距离为2d ．若21d ，则椭圆C 的离心率为．12．已知菱形ABCD 中，对角线ACBD ＝1，P 是AD 边上的动点（包括端点），则PB PC ⋅的取值范围为． 13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A （0a >），P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的正实数a 的值为．14．若⊥ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知向量，，．（1）若，求证：；（2）设，若，求的值．)sin ,(cos αα=a )sin ,(cos ββ=b παβ<<<02||=-⊥)1,0(==+βα、16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE⊥平面A 1C 1F ．17．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =，且经过点13,)2，A ，B ，C ，D 为椭圆的四个顶点（如图），直线l 过右顶点A 且垂直于x 轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）P为l上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若2PCD PEFS S∆∆=，求点P的坐标．18．（本小题满分16分）南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1．5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A EF'处，点A'落在牛皮纸上，沿A E'，A F'裁剪并展开，得到风筝面AEA F'，如图1．（1）若点E恰好与点B重合，且点A'在BD上，如图2，求风筝面ABA F'的面积；（2）当风筝面AEA F'的面积为23m时，求点A '到AB距离的最大值．（图1）A BCDFE（图2）A B（E）CDF19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足11(2)(21)n n n n na a a a ---=-（2n ≥），1n n b n a =-（n *∈N ）．（1）若1=3a ，证明：{}n b 是等比数列；（2）若存在k *∈N ，使得1k a ，11k a +，21k a +成等差数列．⊥求数列{}n a 的通项公式；⊥证明：111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-．20．（本小题满分16分）已知函数f(x)=ax +lnx (a ∈R )．（1）讨论f(x)的单调性；（2）设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1 ， x2．⊥求实数a的取值范围；⊥证明：x1f′(x1)+x2f′(x2)>2lna+2．数学附加题21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b c d∈，，，R，矩阵2ab-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A的逆矩阵111cd-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A．若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线21y x=+，求曲线C的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π4，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10分）文章学习积分 12345概率视频学习积分 2 4 6概率表1表2设202(1)i nn i i n P C =-=∑，212(1)j nn jj n jQ C =-⋅=∑．（1）求222P Q -的值；（2）化简n n nP Q -．南师大附属扬子中学2020届高三年级第二学期自主检测卷（2）参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．1 2．－3－4i 3．48 4．8 5．0.4 6．327．20 89．－1 10．211．3 12．13[,]2213．1a =-；或a = 14．4 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）（1）证明：⊥，⊥，即．2||=-b a 2||2=-22)(222=+⋅-=-b b a a b a⊥，，⊥，⊥，⊥．（2）解：⊥，⊥，即，两边分别平方再相加得：，⊥，⊥．⊥，⊥，． 16．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DEAC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F ．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以11A C ⊥平面11ABB A ．因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥．1sin cos ||2222=+==ααa a 1sin cos ||2222=+==ββb b 222=⋅-b a 0=⋅b a ⊥)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβαb a ⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos βsin 221-=21sin =β21sin =απαβ<<<065πα=6πβ=又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以111B D AC F ⊥平面．因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面 17．（本小题满分14分）（1）因为22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12⎫⎪⎭，所以222,211,4c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =．所以椭圆标准方程为2214x y +=．（2）由（1）知椭圆方程为2214x y +=，所以直线l 方程为2x =，()0,1C ，()0,1D -．设()2,P m ，0m >，则直线PC 的方程为112m y x -=+，联立方程组2211,21,4m y x x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得()()2222410m m x m x -++-=，所以E 点的横坐标为()24122E m x m m --=-+；又直线PD 的方程为112m y x +=- 联立方程组2211,21,4m y x x y +⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得()()2222410m m x m x ++-+=，所以F 点的横坐标为()24122F m x m m +=++．由2PCD PEF S S ∆∆=得11sin 2sin 22PC PD DPC PE PF EPF ⋅∠=⨯⋅∠，则有2PC PDPE PF⋅=⋅，则()()22202024141222222m m m m m m --⋅=-++--+++，化简得4442m m+=，解得22m =，因为0m >，所以2m =，所以点P 的坐标为()2,2． 18．（本小题满分16分）（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．则()20B ，，()302D ，，直线BD 的方程为3460x y +-=．…… 2分设()0F b ，（0b >），因为点F 到AB 与BD 的距离相等，所以465b b -=，解得23b =或6b =-（舍去）． …… 4分所以⊥ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．答：风筝面ABA F '的面积为24m 3． …… 6分方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角⊥ABD 中，3tan 24AD AB θ==，…… 2分所以22tan 341tan θθ=-， ACDFB （E ） xyACDFB （E ）解得1tan 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2tan 3AF AB θ==． …… 4分所以⊥ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．答：风筝面ABA F '的面积为24m 3． …… 6分（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系．设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax bbx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+． …… 10分因为四边形AEA F '的面积为3，所以3ab =，所以3043232333a y a a a ==++．因为02a <≤，302b <≤，所以2323a ≤≤． …… 12分设33()f a a a =+，2323a ≤≤． 244(3)(3)(3)9()1a a a f a a a ++-'=-=，令()0f a '=，得3a =或3a =-（舍去）．A B CDFE xy列表如下：当3a =时，()f a 取得极小值，即最小值433，所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD 上，3a =，1b =．答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2． …… 16分方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面积为3，所以3AE AF ⋅=，即2tan 3a θ=，所以23tan a θ=．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则sin2sin2sin2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅= …… 10分 22224332232sin cos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a a θθθθθθ⨯=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤，所以2323a ≤≤． …… 12分（下同方法一）备注：第（2）小题中“2323a ≤≤”与“3a =”必须有一个，若没有则扣两分。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(带答案解析)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 3．24log 4log 2+=________.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．6．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知CP =u u u v 4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =. （1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围；（3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．21．已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 【解析】【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．-1 【解析】【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部．【详解】由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．52【解析】【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4．56【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形 6．-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．32【解析】【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 8．49【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．3 【解析】【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．【详解】抛物线x 2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3，故答案为3．【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题. 10．②④ 【解析】【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案．【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键． 11．9 【解析】【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】：因为a r∥b r，所以4x+（1﹣x ）y=0，又x ＞0，y ＞0，所以1x +4y=1，故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9．当y x=4x y ，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y ）min =9．故答案为9．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12．6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．√5−22【解析】【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2，借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2，=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，AB =，1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ．【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．（1）4A π= （2）1BC =【解析】【分析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =.得sin 10C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式；（2）解不等式2080y ≤可得；（3）由函数单调性可得最小值．【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元．【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．（1）222x y +=（2）y x y x ==+【解析】【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程．【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．19．（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+，令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<；所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-，所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-，其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 20．（1）见解析；（2）n a n =；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式，则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ，两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21．（1）0a =（2）1 【解析】【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．65AB = 【解析】【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 23．证明见解析【解析】【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭，所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．（1）2λ=；（2）5. 【解析】【详解】（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+，所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷参考答案

答：2 和 4 不相邻的概率为 3 ． 5
………………4 页）
2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷
（2）的所有可能取值为0,1, 2，
P(
2)
A22 A22 A33 A55
1
，
5
P(
1)
2 A22 A22 A32 A55
C．[选修 4－5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）已知 a ， b ， c 为正实数，满足 a b c 3 ，求 1 4 9 的最小值． abc
数学Ⅱ（附加题）第 1页（共 4 页）
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）
写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3．作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它
位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
21．【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．
…… 3 分
…… 5 分 ……9 分 ……10 分
数学Ⅱ（附加题）第 4页（共 4 页） 2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷
23．解：（1）若 a1 3 ，则1 3≤2 a2 ，故 a2 2 ，则 a3 1 ；若 a2 3 ，则 2 a2≤3 a3 ，则 a3≥2 ，故 a3 2 ，则 a1 1 ；若 a3 3 ，则 a1 1, a2 2 或 a1 2, a2 3 所以当 n 3 时，满足条件的数列 T 为 3, 2,1;1,3, 2;1, 2,3; 2,1,3

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三6月押题卷数学试题含附加题

C 的渐近线距离为________．
9. 已知函数 f(x)＝sin x＋2x＋x3.若 f(a－6)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________．
10. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＋a2＋a5＝47，a3＋a4＝28.若存在正整数 k，
使得对任意的 n∈N*都有 Sn≤ Sk 恒成立，则 k 的值为________． 11. 已知圆 O：x2＋y2＝m(m＞0)，直线 l：x＋2y＝10 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点．若
6
江苏省南师附中 2020 届高三模拟考试试卷
︵
︵
︵
点 M 在圆弧 AD(点 D 在圆弧 AB上，且 OD⊥OA)上，点 N 在圆弧 BD上或线段 BC 上．设∠AOM
＝θ.
(1) 将梯形 ACNM 的面积表示为 θ 的函数；
(2) 当 θ 为何值时，梯形 ACNM 的面积最大？求出最大面积．
3
18. (本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 Γ：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)，其右焦点 F 到其右准线的距离为 1，离心率为 22，A，B 分别为椭圆 Γ 的上、下顶点，过点 F 且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 Γ 交于 C，D 两点，与 y 轴交于点 P，直线 AC 与 BD 交于点 Q. (1) 求椭圆 Γ 的标准方程； (2) 当 CD＝85 2时，求直线 l 的方程； (3) 求证：O→P·O→Q为定值．
5
20. (本小题满分 16 分) 已知{an}是各项均为正数的无穷数列，且满足 a1＝a，an＋1－an＝ d（an＋1＋an）. (1) 若 d＝1，a3＝6，求 a 的值； (2) 设数列{bn}满足 bn＝an＋1－an，其前 n 项的和为 Sn. ① 求证：{bn}是等差数列；

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 【答案】0【解析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______．【答案】-1【解析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部．【详解】由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．24log 4log 2+=________.【答案】52【解析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.【答案】56【解析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．【答案】1【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=【考点】正余弦定理解三角形6．已知函数()sin()3)f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．【答案】-1【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．【答案】32+ 【解析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥+【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭2b aa b=，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．【答案】49【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．【答案】3【解析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．【详解】抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c ==， ∴e ca==3，故答案为3．【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题.10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______. 【答案】②④【解析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案．【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．【答案】9【解析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】：因为a r ∥b r ，所以4x+（1﹣x ）y=0，又x ＞0，y ＞0，所以1x +4y=1，故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x+4x y ≥9．当y x =4x y，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y ）min =9．故答案为9．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =u u u v ，4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】6【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．已知正数a ，b ，c 满足，则的最大值为_____________．【答案】【解析】利用求根公式得到，表示目标，借助均值不等式求最值. 【详解】 ∵∴，∴，，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】若0m>,则当x→+∞时211m xmx->+,所以0m<,从而221114m mm⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或21114m mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m-<<-或112m m≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD-中，已知底面ABCD为矩形，且2AB=，1BC=，E，F分别是AB，PC的中点，PA DE⊥.(1)求证：//EF平面PAD；(2)求证：平面PAC⊥平面PDE．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）取PD中点G，连AG，FG，根据G，E，F分别是PD，AB，PC 的中点，可知道四边形AEFG为平行四边形，即可说明//EF平面PAD（2）要证明平面PAC⊥平面PDE．由题意已知PA DE⊥，即只需证明DE AC⊥,根据矩形ABCD中，E为AB的中点，2AB=1BC=，即可说明DE AC⊥，即平面PAC⊥平面PDE．【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点得12AH AE CH CD == 又2AB =Q ，1BC =3AC ∴=，133AH AC ==23AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos 10C =-. （1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 【答案】（1）4A π=（2）1BC =【解析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos 10C =-.得sin C =tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：2a AB ⨯==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅21332551010a a a =⨯⨯⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围；（3）求总造价y 的最小值．【答案】（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式；（2）解不等式2080y ≤可得；（3）由函数单调性可得最小值．【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x=++， ∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元．【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.【答案】（1）222x y +=（2）663,3y x y x =+=+【解析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线2x = （2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得00223,33x y N ⎛+⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程．【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210k x xkb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛+ ⎝⎭.代入椭圆和圆得22002201,6322,3x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点Q ⎛ ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =. 【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会． 19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e+-<<-【解析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+，令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<；所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-，所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； ③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-，其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n kc a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）n a n =；（3）见解析.【解析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式，则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ，两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可21．已知矩阵1A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 【答案】（1）0a =（2）1【解析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=-- 令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.【答案】65AB =【解析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.【考点】参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 【答案】证明见解析【解析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭，所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号. 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）2λ=；（2）105. 【解析】【详解】（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由15cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=.（2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故10cos ,PB n PB n PB n〈〉=-⋅⋅=u u u r u u u r r ru u u r r ，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为10.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x ++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．【答案】（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析.【解析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n kn n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n knn C +=+，所以()()()121210212121nnnn k n kn n kn n k k k T k ak Ck C -++-++====+=+=+∑∑∑()()()()111212121021212121nnnn kn k n kn n n k k k n k n Cn k Cn C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()1221221201122121221221222nnn kn kn nn nn n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221nn n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除. 【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

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