新教材第五章统计与概率5.3.4 课时22频率与概率

类类类 类类类 电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
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好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第 四类电影的概率； (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影 的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么 哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电 影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，
而该市有两家出租车公司，其中甲公司有 100 辆桑塔纳出租车，3000 辆帕
萨特出租车，乙公司有 3000 辆桑塔纳出租车，100 辆帕萨特出租车．交警
部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )
A．甲公司
B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
一年后公司成功的概率估计为129020＝2245， 失败的概率估计为2800＝215. 所以估计一年后公司收益的平均数为 5×12%×2245－5×50%×215＝0.476.
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三、解答题 9．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
第一 第二 第三 第四 第五 第六 电影类型
答案 公平
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解析 两枚硬币落地共有四种等可能结果：正，正；正，反；反，正； 反，反．由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．
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8．某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收
益 12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%.下表是去年 200 例类似
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3．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴指定品牌，其产品是优等品的
概率为 90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取 10 件进行检验，结果前 9
件产品中有 8 件是优等品，1 件是非优等品，那么第 10 件产品是优等品的
概率为( )
A．90%
B．小于 90%
C．大于 90% D．无法确定
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一、选择题 1．从一批电视机中随机抽出 10 台进行质检，其中有一台次品，下列说 法正确的是( ) A．次品率小于 10% B．次品率大于 10% C．次品率等于 10% D．次品率接近 10% 答案 D
解析 抽出的样本中次品率为110，即 10%，所以总体中次品率大约为 10%.
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4．某理工院校一个班级有 60 人，男生人数为 57，把该班学生学号打 乱，随机指定一个学生，你认为这个学生是男生还是女生？
解 从学号中随机抽出一个， 是男生的可能性为5670＝95%， 要比是女生的可能性630＝5%大得多， 因此随机指定一个，估计应是男生．
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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知识点三 用频率估计概率 5.从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高(单 位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中 任抽一人，估计该生的身高在 155.5～170.5 cm 之间的概率约为 ( )
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解 (1)表中乒乓球为优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，随着抽取的球数 n 的增加，计算得到的频率值虽然不同，但 都在常数 0.950 的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品 的概率约为 0.950.
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2
1
A.5
B.2
2
1
C.3
D.3
答案 A
解析 从已知数据可以看出，在随机抽取的这 20 位学生中，身高在 155.5～170.5 cm 之间的学生有 8 人，频率为25，故可估计在该校高二年级的 所有学生中任抽一人，其身高在 155.5～170.5 cm 之间的概率约为25.
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课时22 频率与概率
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知识点一 频率与概率
1.在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为mn ，当 n 很大时，P(A)
与mn 的关系是(
)
A．P(A)≈mn B．P(A)<mn
C．P(A)>mn 答案 A
D．P(A)＝mn
解析 根据概率的定义，当 n 很大时，频率是概率的近似值．
项目开发的实施结果．
投资成功 投资失败
192 次
8次
则估计该公司一年后可获收益的平均数是________．
答案 0.476
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解析 应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获 收益为 x 万元，如果成功，x 的取值为 5×12%，如果失败，x 的取值为－5×50%.
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知识点二 对概率的正确理解及简单应用 3.围棋盒里放有同样大小的 9 枚白棋子和 1 枚黑棋子，每次从中随机摸 出 1 枚棋子后再放回，一共摸 10 次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？ 说明你的理由．
解 不一定．有放回的摸 10 次棋子相当于做 10 次重复试验，因为每次 试验的结果都是随机的，所以摸 10 次棋子的结果也是随机的．可能有两次或 两次以上摸到黑棋子，也可能没有一次摸到黑棋子．
答案 0.5
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正解 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在 0.5 附近摆动， 故掷一次硬币，正面朝上的概率是 0.5，故填 0.5.
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易错点二 对用频率估计概率的方法理解不透致误 7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法 估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取 整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三 个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下 20 组随机 数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
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易错点一 混淆概率与频率的概念 6.把一枚质地均匀的硬币连续掷了 1000 次，其中有 496 次正面朝上， 504 次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________． 易错分析 由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机 的，而概率是一个确定的常数，与每次试验无关．
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2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有 关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率mn (1)计算表中乒乓球为优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结 果保留到小数点后三位)
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10．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出 60 名学生， 将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图 所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)； (2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩 在 70 分以上(包括 70 分)的概率．
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2．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的 频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间 [15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估 计概率，现从该批产品中随机抽取 1 件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 C．0.25
B．0.20 D．0.45
答案 D
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解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率 为 1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为 0.25＋0.04×5 ＝0.45，故任取 1 件为二等品的概率为 0.45.
答案 4 0.7
解析 样本中数据总个数为 20，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50) 中的数据有 14 个，故所求概率 P＝1240＝0.7.
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7．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手 里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛 2 枚同样的一元硬 币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认 为这个游戏公平吗？答：________.
答案 B 解析 由于甲公司桑塔纳车占的比例为1001＋003000＝311，乙公司桑塔纳车 占的比例为300300＋00100＝3301，可知应选 B.
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二、填空题 6．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2 个； [20,30)3 个；[30,40)x 个；[40,50)5 个；[50,60)4 个；[60,70]2 个．则 x 等于 ________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．
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解 (1)依题意，60 分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率 和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
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A．①②③④ B．①②④
C．③④
D．③
答案 A
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解析 概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定 性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等， 是公平的，因此③错误．
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5．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事
答案 A
解析 概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．
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4．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为 0.5，那么连续两次 抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某 种彩票的中奖概率为110，那么买 10 张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、 排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是 反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数 2 的概率是16，这说明一个骰子掷 6 次会出现一次点数 2.其中不正确的说法是 ()
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易错分析 (1)对随机数表认识不到位，不能准确找出恰有两次命中的 组数；
(2)对用频率估计概率的方法理解不到位，不能求出“运动员三次投篮 恰有两次命中”的概率．
答案
1 4
正解 20 组随机数中，恰有两次命中的有 5 组，用频率估计概率，因此，
该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 P＝250＝41.
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解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200＋800＋ 510＝2000，
获得好评的第四类电影的部数是 200×0.25＝50. 故所求概率为250000＝0.025. (2) 由 题 意 知 ， 样 本 中 获 得 好 评 的 电 影 部 数 是 140×0.4 ＋ 50×0.2 ＋ 300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝ 372. 故所求概率估计为 1－2307020＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．