《集合与集合之间的关系》知识点复习+练习

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集合间的基本关系练习题含答案

集合间的基本关系练习题（1）1. 如图，已知全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{3, 4}B.{−2, −1, 0}C.{1, 2}D.{2, 3, 4}2. 已知集合A＝{−1, 0, 1}，则含有元素0的A的子集的个数为（）A.2B.4C.6D.83. 设集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，则B=()A.{−1}B.{2}C.{−1, 2}D.{1, 2}4. 已知A={−2, 2011, x2−1}，B={0, 2011, x2+3x}，且A=B，则x的值为（）A.1或−1B.0C.−2D.−15. 定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0, +∞)中a与b是“和谐关系”，则下列等中a与b是“和谐关系”的是（）A.b=sin aa ，a∈(0,π2) B.b=a3+52a2+2a+1，a∈(−2,−23)C.(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]D.|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]6. 已知集合：①{0}；②{⌀}；③{x|3m<x<m}；④{x|a+2<x<a}；⑤{x|x2+ 2x+5＝0, x∈R}．其中，一定表示空集的是________（填序号）．7. 当a满足________时，集合A＝{x|3x−a<0, x∈N+}表示集合{1}．8. 已知集合M＝{1, 2, 3, ..., n}(n>1, n∈N∗)，则M的所有非空子集的元素和为________（只需写出数学表达式）=a+2}，B={(x,y)|(a2−4)x+(a−2)y=7}，若A∩9. 已知集合A={(x,y)|y−2x−1B=⌀，则实数a=________．10. 集合A={1, 2}共有________子集．11. 已知集合A={1,2,3,4}.(1)若M⊆A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M有多少个？(2)若B={x|ax−3=0}，且B⊆A，求实数a的取值集合.12. 已知集合A={x|2m−10<x<m−1}，B={x|2<x<6}.(1)若m=4，求A∩B；(2)若A⊆B，求m的取值范围．参考答案与试题解析集合间的基本关系练习题（1）一、选择题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）1.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由阴影部分可知对应的集合为B∩∁U A，即可得到结论．【解答】解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，∴B∩(∁U A)={3, 4}，故选A.2.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合子集的定义找出集合A的所有子集可得答案，【解答】已知集合A＝{−1, 0, 3}，则由集合的子集定义可得A集合的所有子集为：⌀，{−1}，{1}，8}，1}，1}，4，1}，则含有元素0的A的子集为{6}，{−1，{0，{−2，0，个数为4个，3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题的关键是认清集合B的研究对象，利用列举法写出集合B的元素即可．【解答】解：∵集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，−1∈A，且2−(−1)=3∉A，故1∈B；1∈A，但2−1=1∈A，不满足题意；2∈A，且2−2=0∉A，故2∈B；故B={−1, 2}.故选C．4.【答案】D【考点】集合的相等【解析】直接应用集合相等则集合中的元素完全相同来解决问题．【解答】解：∵A=B，即A和B中的元素完全相同，∴有{x2−1=0x2+3x=−2，解得：x=−1．故选D．5.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】只要判断所给出的函数单调即可．【解答】解：A．∵a∈(0,π2)，则a>sin a，∴b′=a cos a−sin aa2=cos a(a−sin a)a2>0，因此函数b在a∈(0,π2)上单调递增，正确；B．∵a∈(−2,−23)，b′=3a2+5a+2=(3a+2)(a+1)，∴a∈(−2, −1)时单调递增；a∈(−1, −23)时单调递减，因此不符合题意；C．∵(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]，∴b=±√1−(a−2)2，b不是a的函数，舍去；D．∵|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]，∴b=±(1−|a|)，b不是a的函数，舍去．故选：A．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）6.【答案】④⑤【考点】空集的定义、性质及运算【解析】利用单元素集、空集的定义直接求解．【解答】①{0}是单元素集；②{⌀}是单元素集；③当m<0时，{x|8m<x<m}不是空集；④{x|a+2<x<a}是空集；⑤{x|x2+7x+5＝0, x∈R}是空集．∴一定表示空集的是④⑤．7.【答案】【考点】集合的含义与表示【解析】先解不等式3x−a<0，得，根据已知条件需限制a为：1<≤2，解不等式即得a满足的条件．【解答】解3x−a<0得．根据已知条件知：x＝1，∴1<．解得3<a≤6．8.【答案】(n2+n)⋅2n−2【考点】子集与真子集【解析】由题意可知，集合中的元素出现的次数都是相等的，从而确定每个元素出现的次数，从而利用等差数列求和公式求和．【解答】若M＝{1, 2, 3, ...n}，则集合M的所有非空子集中，集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的；考查1出现的次数，可看成集合{2, 3, 4, ...n}的子集个数，故共有2n−1个1，故M的所有非空子集的元素和为2n−1(1+2+3+4+...+n)＝(n2+n)⋅2n−29.【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】4【考点】子集与真子集【解析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：集合A有2个元素，故有22=4个子集．故答案为：4．三、解答题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）11.【答案】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.(2)因为B ⊆A ,所以集合B 有两种可能：B =⌀,B ≠⌀.当B =⌀时，显然a =0,当B ≠⌀时，则a ≠0，得x =3a ,则有3a =1或3a =2或3a =3或3a =4, 解得a =3或a =32或a =1或a =34.综上，实数a 的取值集合是{0,34,1,32,3}.【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.12.【答案】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）当m =3时，化简A ={x 2−3x −10≤0}=[−2, 5]，B =(2, 7)；从而求交集．（2）讨论当B ≠⌀时，{m −1<2m +1m −1≥−22m +1≤5；当B =⌀时，m −1≥2m +1，从而解得．【解答】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．。

高考数学专项：集合间的基本关系(习题作业)解析版

1.2集合间的基本关系一、单选题1．已知集合 |21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ，则（）A ．A B B ．B AC ．A BD ．AB【答案】C【分析】由 |21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ，知集合A 与集合B 都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果.【详解】因为集合 |21,Z A x x k k ，集合 |21,Z B x x k k ，所以集合A 与集合B 都是奇数集，所以A B ，故选：C.2．下列与集合 2023,1表示同一集合的是（）A ．2023,1B ． ,2023,1x y x y ∣C ．2202420230xx x ∣D ．2023,1x y 【答案】C.【详解】由2202420230x x 解得2023x 或1x ，所以22024202302023,1x x x ∣，C 正确；选项A 不是集合，选项D 是两条直线构成的集合，选项B 表示点集，故选：C3．下列各式：① 10,1,2 ，② 10,1,2 ，③ 0,1,20,1,2 ，④ 0,1,2 ，⑤ 2,1,00,1,2 ，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知 10,1,2 ，故①错误；由集合与集合的关系可知 10,1,2 ，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B ．4．给出下列关系式:① 10,1,2 ；② ⊆ 1,2,3；③ 11,2,3 ；④ 0,1,21,2,0 ，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据元素与集合的关系的定义，可知①正确；根据空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，可判断②正确；集合与集合间的关系：与，而不是与，可判断③错误；根据集合中元素满足：互异性，无序性，确定性，可判断④正确.【详解】对于①，根据元素与集合的关系知， 10,1,2 ，所以①正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以②正确；对于③，集合与集合间的关系是包含与不包含的关系，所以 11,2,3 是错误的，故③错误；对于④，根据集合中元素的无序性和集合相等的定义知， 0,1,21,2,0 ，所以④正确.故选：A.5．有下列四个命题：① 0 ；② ③若N a ，则N a ；④2R210A x x x ∣集合有两个元素；⑤集合6N N B x x∣是有限集.；其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出 1A ，得到④错误；求出 1,2,3,6B ，判断⑤正确.【详解】①因为是任何集合的子集，所以 0 ，①正确；② 是的一个元素，故，②正确；③若0a ，满足N a ，N a ，故③错误；④ 1A ，集合有1个元素，故④错误；⑤集合 1,2,3,6B ，故是有限集，⑤正确.故选：C6．若集合 N ,P x x a 则（）A ．a PB ． a PC ． a PD ．a P【答案】D【分析】根据集合P ,判断元素a 是否在集合P 内即可选出结果.【详解】解:因为 N ,N P x x a ,所以a P .故选：D7．已知非空集合M满足:对任意x M ，总有2x M ，M .若{0,1,2,3,4,5}M ，则满足条件的M 的个数是（）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】A【分析】由题意得，集合M 是集合 2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.【详解】当M 中有元素0时，200M M ，当M 中有元素1时，2111M M ，所以0,1M M ，所以集合M 是集合 2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合M 有 2352,32,53,43,52,3,5,,4,,,,,,4,5,， 3,4,5共11个.故选：A.8．若一个集合含有n 个元素，则称该集合为“n 元集合”.已知集合12,,3,42A，则其“2元子集”的个数为（）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】集合12,,3,42A的所有“2元子集”为12,2 ，{2,3} ，{2,4} ，1,32 ，1,42，3,4共6个.故选：A.9．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B10．已知非空集合M ⊆{1，2，3，4，5}，若a ∈M ，则6-a ∈M ，那么集合M 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由条件知集合M 的元素性质,分类讨论验证即可.【详解】∵a ∈M ，6-a ∈M ，M ⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M 中可单独出现，1和5，2和4M 元素个数：一个元素时，为{3}；两个元素时，为{1，5}，{2，4}；三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；四个元素时，为{1，5，2，4}；五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.故选：C11．已知集合 0,4,M x ，20,N x ，若N M ，则实数x 组成的集合为（）A ． 0B ． 2,2C ． 2,1,2D ．2,0,1,2【答案】C【分析】根据集合的包含关系得集合之间元素的关系，列方程求解即可.【详解】N M ∵， 0,4,M x ，20,N x ，2404x x x 或204x x x x，解得2x 或2x 或1x ，故实数x 组成的集合为 2,1,2 .故选：C.12．集合70,N A x x x，则*6{|N ,}B y y A y的子集的个数为（）A ．4B ．8C ．15D ．16【答案】D【分析】先求出A ，再找出A 中6的正约数，可确定集合B ，进而得到答案．【详解】集合{|70A x x ，**N }|7,N {1,2,3,4,5,6x x x x ,*6{|N ,}1,2,3,6B y y A y，故B 有4216 个子集.故选：D ．13．已知集合260A xx x ∣， 10B x mx ∣，且B A ，则实数m 的取值构成的集合为（）A ．110,,23B ．11,23C ．11,23D ．110,,23【答案】D【分析】先解出集合A ，根据B A ，分类讨论求出实数m .【详解】2603,2A xx x ∣.因为B A ，所以B ， 3B ， 2B .当B 时，关于x 的方程10mx 无解，所以0m ；当 3B 时，3x 是关于x 的方程10mx 的根，所以13m；当 2B 时，=2x 是关于x 的方程10mx 的根，所以12m .故实数m 的取值构成的集合为110,,23.故选：D14．设集合 21|10P x x ax ， 22|20P x x ax ，21|0Q x x x b ，22|20Q x x x b ，其中a ，b R ，下列说法正确的是（）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的真子集，对任意的b ，1Q 是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.【详解】解：对于集合21|10P x x ax ，22|20P x x ax 可得当1m P ，即210m am ，可得220m am ，即有2m P ，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；当5b 时，2150R Q x x x ，22250R Q x x x ，可得1Q 是2Q 的子集；当1b 时，2110R Q x x x ，22210{|1Q x x x x x 且R}x ，可得1Q 不是2Q 的子集；综上有，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集.故选：B.15．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S ，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k 再求和，例如{2,3,8}A ，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87 ，对S A ．508B ．512C ．1020D ．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是72(12345678)512 .【详解】因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现72次，则对S 的所有非空子集中元素k 执行乘以(1)k 再求和操作,则这些和的总和是7123456782[(1)1(1)2(1)3(1)4(1)5(1)6(1)7(1)8] 72(12345678)512 .故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.二、多选题16．下列关系式正确的为（）A ． 00B ． 0C ． ,,a b b aD ．0 【答案】CD【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A 错误；对于B.{0}含有一个元素0，不是空集，故B 错误；对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C 正确；对于D.空集是任何集合的子集，故D 正确.故选：CD ．17．已知集合*{|2}N M x x ，则以下关系正确的是（）A ．0MB ．2MC ． 0,1,2MD ．0,1,2M 【答案】AD【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.【详解】因为*{|2}N {1,2}M x x ，所以，0M ，故A 正确；2M ，故B 错误；M {0,1,2}，故C 错误，D 正确.故选：AD.18．下列说法正确的有（）A ．集合 1,2,4,5有16个真子集B ．对于任意集合A ，AC ．任何集合都有子集，但不一定有真子集D ．若A ，则A【答案】BCD【分析】根据集合的真子集个数公式判断A ；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B 、C 、D.【详解】集合 1,2,4,5有4个元素，故其有42115 个真子集，故A 错误；空集是任何集合的子集，则A ，故B 正确；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C 正确；空集是任何非空集合的真子集，若 A ，则A，故D 正确.故选：BCD.19．下列各组中,M P 表示相同集合的是（）A ．3,1,1,3M P B ． 2,Z ,21,Z M xx n n P x x n n ∣∣C ．221,R ,1,R M yy x x P x x t t ∣∣D ．221,R ,,1,R M yy x x P x y y xx ∣∣【答案】ABC【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A ，集合M ，P 含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A 是；对于B ，因为Z n ，则1Z n ，因此集合M ，P 都表示所有偶数组成的集合，B 是；对于C ，221,R 1,,1,R 1,M y y x x P x x t t ∣∣，即M P ，C 是；对于D ，因为集合M 的元素是实数，集合P 中元素是有序实数对，因此集合M ，P 是不同集合，D 不是.故选：ABC20．已知集合 1,3,0A ，23,B m ，若B A ，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1 D【答案】ABC【分析】由集合B 与集合A 的关系，对选项依次辨析即可.【详解】对于A ，0m 时， 3,0B ，有B A ，故选项A 正确；对于B ，1m 时， 3,1B ，有B A ，故选项B 正确；对于C ，1m 时， 3,1B ，有B A ，故选项C 正确；对于D ，m 时，23m ，集合B 不满足集合元素的互异性，故选项D 不正确.故选：ABC.21．给出下列四个结论，其中正确的结论有（）A ． 0B ．若a Z ，则a ZC ．集合 2,y y x x Q 是无限集D ．集合 12,x x x N 的子集共有4个【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及Z ，Q 的含义，即可求解．【详解】对于A ：是指不含任何元素的集合，故A 错误；对于B ：若Z a ，则Z a ，故B 正确；对于C ：有理数有无数个，则集合 2,y y x x Q 是无限集，故C 正确；对于D ：集合 12,0,1x x x N 元素个数为2个，故集合 12,x x x N 的子集共有224 个，故D 正确．故选：BCD ．22．已知集合 1,1A ，非空集合320B x x ax bx c ，下列条件能够使得B A 的是（）A ．3,3,1a b cB ．3,3,1a b c C ．1,1,1a b c D ．10a b c 且2(1)40a c 【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B ，然后利用集合关系即可判断.【详解】对于选项A ，方程323310x x x ，因式分解得3(1)0x ，解得1x ，所以 1B ，满足B A ，所以选项A 正确；对于选项B ，方程323310x x x ，因式分解得2(1)(41)0x x x ，解得=1x 或2 x 所以 1,22B ，不满足B A ，所以选项B 错误；对于选项C ，方程3210x x x ，因式分解得2(1)(1)0x x ，解得1x ，所以 1,1B ，满足B A ，所以选项C 正确；对于选项D ，因为10a b c ，所以1x 是方程320x ax bx c 的解，所以方程320x ax bx c 变形为2(1)[(1)]0x x a x c ，因为2(1)40a c ，所以方程2(1)0x a x c 无解，所以方程2(1)[(1)]0x x a x c 有唯一解1x ，所以 1B ，满足B A ，所以选项D 正确；故选：ACD.23．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-ÎZ ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41nC ．42nD ．43n 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n 分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M +Ï.【详解】∵224(1)(1)n n n =+--，∴4n M Î.∵2241(21)(2)n n n +=+-，∴41n M +Î.∵2243(22)(21)n n n +=+-+，∴43n M +Î.若42n M +Î，则存在,Z x y Î使得2242x y n -=+，则42()(),n x y x y x y +=+-+和x y 的奇偶性相同.若x y 和x y 都是奇数，则()()x y x y 为奇数，而42n 是偶数，不成立；若x y 和x y 都是偶数，则()()x y x y 能被4整除，而42n 不能被4整除，不成立，∴42n M +Ï.故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.三、填空题24．满足 ,,,a M a b c d Ü的集合M 共有___________个.【答案】7【分析】根据集合的基本关系，可得集合M 包含 a ，且集合M 是 ,,,a b c d 的真子集，即可得出集合M 的个数.【详解】由题意可得， ,,,a M a b c d Ü,所以集合M 包含 a ，且集合M 是 ,,,a b c d 的真子集，所以 M a 或 ,M a b 或 ,M a c 或 ,M a d 或 ,,M a b c 或 ,,M a b d 或,,M a c d ,即集合M 共有7个.故答案为：725．已知集合21,20,R A B x x x a x ，且A B ，则实数a 的值是_________．【答案】-3【分析】根据A B 得出1x 是方程220x x a 的解，将1x 代入方程220x x a 中进行计算，即可得出结果.【详解】因为 1A ，220B x x x a ，A B ，所以1x 是方程220x x a 的解，即21210a ，解得3a .经检验，3a 符合题意，所以3a .故答案为：3 .26．设,a b R ， 1,P a ， 23,Q a b ，若P Q ，则a b ______．【答案】0或4【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.【详解】当231a a b时，1,1a b ，满足P Q ，则0a b ；当231a a b时，3,1a b ，满足P Q ，则4a b ；故答案为：0或427．已知 2230M x x x ， 210,R N x x ax a ，且N M ，则a 的取值范围为_________．【答案】{|22}a a 【分析】求得集合 1,3M ，根据NM ，分N 和N 两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，集合 22301,3M xx x ∣，当N 时，即240a ，解得22a ，此时满足NM ，当N 时，要使得N M ，则1N 或3N ，当1N 时，可得2(1)10a ，即2a ，此时{1}N ，满足NM ；当3N 时，可得23310a ，即103a ，此时1{3,}3N ，不满足N M ，综上可知，实数a 的取值范围为{|22}a a .故答案为：{|22}a a .28．给定集合 1,2,3,4,5,6,7,8S ，对于x S ，如果11x S x S ,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【分析】根据题意，要使S 的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有 1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故答案为：6．四、解答题29．设集合{|16}A x x ，{|121}B x m x m ，且B A ．(1)求实数m 的取值范围；(2)当x N 时，求集合A 的子集的个数．【答案】(1){|2m m 或502m}(2)128【分析】（1）按照集合B 是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合A 中元素（个数），然后可得子集个数．（1）当121m m 即2m 时，B ，符合题意；当B 时，有12111216m m m m ，解得502m ．综上实数m 的取值范围是{|2m m 或50}2m ；（2）当x N 时，{0,1,2,3,4,5,6}A ，所以集合A 的子集个数为72128 个．30．已知{|15},{|1},RA x xB x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．31．设集合 |25A x x ， |121B x m x m .（1）若B A ，求实数m 的取值范围；（2）当x Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x R 时，不存在元素x 使x A 与x B 同时成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1） 3|m m （2）254（3）|24m m m 或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x Z 时， 2,1,0,1,2,3,4,5A ，再求A 的非空真子集个数；（3）分B 和B 两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m ，即2m 时，B ，满足B A .当121m m ，即2m 时，要使B A 成立，只需12,215,m m即23m .综上，当B A 时，m 的取值范围是 3|m m .（2）当x Z 时， 2,1,0,1,2,3,4,5A ，∴集合A 的非空真子集个数为822254 .（3）∵x R ，且 |25A x x ， |121B x m x m ，又不存在元素x 使x A 与x B 同时成立，∴当B ，即121m m ，得2m 时，符合题意；当B ，即121m m ，得2m 时，2,15,m m 或2,212,m m解得4m .综上，所求m 的取值范围是 |24m m m 或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．已知2|3100A x x x ，{|121}B x m x m ，B A ，求m 的取值范围.【答案】,3 【解析】先求解出集合A ，然后根据B A 分别考虑B 和B 的情况，由此求解出m 的取值范围.【详解】因为23100x x ，所以25x ，所以 25A x x ，当B 时，B A 满足，此时211m m ，所以2m ；当B 时，若B A ，则有21112215m m m m，所以23m ，综上可知：3m ，即 ,3m .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据集合的包含关系求解参数范围时，一定要注意分析集合为空集的情况.33．（1）已知集合 222,133A a a a a ,，当1A ，求2020a 的值；（2）已知集合2202020190A x x x ， B x x a ，若A B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1；（2） 2019, .【解析】（1）分21a ， 211a ，2331a a 三种情况，分别求得a 的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；（2）先求得集合A ，借助数轴可得a 的取值范围．【详解】（1）若21a ，则1a ， 1,0,1A ，不合题意；若 211a ，则0a 或-2，当0a 时， 2,1,3A ，当2a 时， 0,1,1A ，不合题意；若2331a a ，则1a 或-2，都不合题意；因此0a ，所以020201 ．（2） 12019A x x ，A B ∵，∴借助数轴可得2019a，a 的取值范围为 2019, ．【点睛】易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.34．已知集合 2|8120A x x x ， 21,23B a a ，2|60C x ax x (1)若集合=A B ，求实数a 的值；(2)若集合C A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)=5a (2)124a 或=0a 【分析】（1）先化简集合2|8120A x x x ，然后根据条件=A B 即可确定实数a 的值；（2）由条件集合C A 知，集合中至多有2个元素，对集合2|60C x ax x 中的元素个数进行分类讨论即可.（1）易知集合2|8120A x x x 2,6，由=A B 得：212236a a 或216232a a ，解得：=5a .（2）（1）当=0a 时 6C 满足C A ；（2）当0a 时①当Δ1240a 即124a时，C 满足C A ，124a .②当Δ1240a 即124a 时， 21601224C x x x∣，不满足C A .③当Δ1240a 即124a 时，满足C A ，只能=C A ，18612a a无解.综上所述：124a 或=0a .35．已知集合A 为非空数集，定义： ,,,,,S xx a b a b A T x x a b a b A ∣∣(1)若集合 1,3A ，请直接写出集合,S T ：(2)若集合 12341234,,,,A x x x x x x x x ，且T A ，求证：1423x x x x ；【答案】(1)2,4,6,0,2S T (2)见解析【分析】（1）根据题目中的定义直接写出两个集合即可；（2）由 12341234,,,,A x x x x x x x x ，可得4131210x x x x x x ，写出a b 的所有可能取值，再根据集合相等的定义即可得证.（1）解：因为 1,3A ，,,,,,S x x a b a b A T x x a b a b A ∣∣，所以 2,4,6,0,2S T ；（2）证明：由 12341234,,,,,A x x x x x x x x ,,T x x a b a b A ∣，得4131210x x x x x x ，则a b 可取2132433141420,,,,,,x x x x x x x x x x x x ，又因为T A ，所以 2131410,,,T x x x x x x ，剩下的元素满足3243214231x x x x x x x x x x ，所以1423x x x x .36．已知集合22,,Z A x x m n m n .(1)判断8，9，10是否属于集合A ；(2)集合 |21,Z B x x k k ,证明：B 是A 的真子集.【答案】(1)8A ，9A ，10A .(2)证明见解析【分析】（1）根据集合A 的定义即可判断；（2）由 22211k k k 即可证明.【详解】（1）∵22831 ，22954 ，∴8A ，9A ，假设2210m n ，m ，Z n ，则 10m n m n ，且0m n m n ，∵1011025 ，||+||=10||||=1m n m n 或||+||=5||||=2m n m n ，显然均无整数解，∴10A ，∴8A ，9A ，10A .（2）∵集合 |21,Z B x x k k ，则恒有 22211k k k ，∴21k A ，∴即一切奇数都属于A ，故B 是A 的子集.又∵8A ，8B ，所以B 是A 的真子集.37．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22|120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .38．已知集合 2,6A .(1)若集合 2+123B a a ，，且A B ，求a 的值；(2)若集合260C x ax x ，且A 与C 有包含关系，求a 的取值范围.【答案】(1)5(2)1024a a a或【分析】（1）利用集合相等的条件求a 的值；（2）由A 与C 有包含关系得C A ，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.【详解】（1）因为 2,6A ，且A B ，所以212236a a 或223216a a ，解得1a a或55a a ，故5a .（2）因为A 与C 有包含关系， 2,6A ，260C x ax x 至多只有两个元素，所以C A .当0a 时， 6C ，满足题意；当0a 时，当C 时，1460a ，解得124a ，满足题意；当 2C 时，1460a 且22260a ，此时无解；当 6C 时，1460a 且26660a ，此时无解；当 2,6C 时，1460a 且2266602260a a，此时无解；综上，a 的取值范围为1024a a a或.。

(完整版)集合间的基本关系试题(含答案),推荐文档

一、选择题1．对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是( )A ．B 是A 的子集B ．A 中的元素都不是B 的元素C ．A 中至少有一个元素不属于BD ．B 中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A ⊆B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C.2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( )A ．P MB ．M PC ．M ＝PD ．M P [答案] C[解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0∴x 与y 同为负数∴⎩⎨⎧ x ＋y <0xy >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ⊆C ，B ⊆C ，则集合C 中元素最少有( )A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个[答案] C[解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}，∵A ⊆C ，B ⊆C ，∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素．4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]∵B⊆A，∴x2∈A，又x2≠1∴x2＝3或x2＝x，∴x＝±3或x＝0.故选C.5．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是()A．M P B．P MC．M＝P D．M、P互不包含[答案] D[解析]由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，故选D.6．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}；集合A满足A⊆B，A⊆C.则满足条件的集合A的个数是()A．8 B．2C．4 D．1[答案] C[解析]∵A⊆B，A⊆C，∴集合A中的元素只能由a或b构成．∴这样的集合共有22＝4个．即：A＝∅，或A＝{a}，或A＝{b}或A＝{a，b}．7．设集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，则()A．M＝N B．M NC．M N D．M与N的关系不确定[答案] B[解析]解法1：用列举法，令k＝－2，－1,0,1,2…可得M＝{…－34，－14，14，34，54…}，N＝{…0，14，12，34，1…}，∴M N，故选B.解法2：集合M的元素为：x＝k2＋14＝2k＋14(k∈Z)，集合N的元素为：x＝k4＋1 2＝k＋24(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴M N，故选B.[点评]本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．8．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是()A．16 B．8C．7 D．4[答案] C[解析]因为0≤x<3，x∈N，∴x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集个数为23－1＝7.9．(09·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()[答案] B[解析]由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}得，N M，选B.10．如果集合A满足{0,2}A⊆{－1,0,1,2}，则这样的集合A个数为() A．5 B．4C．3 D．2[答案] C[解析] 集合A 里必含有元素0和2，且至少含有－1和1中的一个元素，故A ＝{0,2,1}，{0,2，－1}或{0,2,1，－1}．二、填空题11．设A ＝{正方形}，B ＝{平行四边形}，C ＝{四边形}，D ＝{矩形}，E ＝{多边形}，则A 、B 、C 、D 、E 之间的关系是________．[答案] A D B C E[解析] 由各种图形的定义可得．12．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则集合M 与集合P 的关系为________．[答案] M P[解析] P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈N *}∵a ∈N * ∴a －2≥－1，且a －2∈Z ，即a －2∈{－1,0,1,2，…}，而M ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈N *}，∴M P .13．用适当的符号填空．(∈，∉，⊆，⊇，，，＝) a ________{b ，a }；a ________{(a ，b )}；{a ，b ，c }________{a ，b }；{2,4}________{2,3,4}；∅________{a }．[答案] ∈，∉，，， *14.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝a ＋16，a ∈Z ， B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }．则集合A ，B ，C 满足的关系是________(用⊆，，＝，∈，∉，⃘中的符号连接A ，B ，C )．[答案] A B ＝C[解析] 由b 2－13＝c 2＋16得b ＝c ＋1，∴对任意c ∈Z 有b ＝c ＋1∈Z .对任意b ∈Z ，有c ＝b －1∈Z ，∴B ＝C ，又当c ＝2a 时，有c 2＋16＝a ＋16，a ∈Z .∴A C .也可以用列举法观察它们之间的关系．15．(09·北京文)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．[答案] 6[解析] 由题意，要使k 为非“孤立元”，则对k ∈A 有k －1∈A .∴k 最小取2.k －1∈A ，k ∈A ，又A 中共有三个元素，要使另一元素非“孤立元”，则其必为k ＋1.所以这三个元素为相邻的三个数．∴共有6个这样的集合．三、解答题16．已知A ＝{x ∈R |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x ∈R |a ≤x ＜a ＋4}，若AB ，求实数a 的取值范围．[解析] 如图∵A B ，∴a ＋4≤－1或者a ＞5.即a ≤－5或a ＞5.17．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4}，∵A ⊇B ，∴－a 4≤－1，即a ≥4，所以a 的取值范围是a ≥4.18．A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，a 、x ∈R ，求：(1)使A ＝{2,3,4}的x 的值；(2)使2∈B ，B A 成立的a 、x 的值；(3)使B ＝C 成立的a 、x 的值．[解析] (1)∵A ＝{2,3,4} ∴x 2－5x ＋9＝3解得x ＝2或3(2)若2∈B ，则x 2＋ax ＋a ＝2又B A ，所以x 2－5x ＋9＝3得x ＝2或3，将x ＝2或3分别代入x 2＋ax ＋a＝2中得a ＝－23或－74(3)若B ＝C ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ＝1①x 2＋(a ＋1)x －3＝3② ①－②得：x ＝a ＋5 代入①解得a ＝－2或－6此时x ＝3或－1.*19.已知集合A ＝{2,4,6,8,9}，B ＝{1,2,3,5,8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集，若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C .[解析] 由题设条件知C ⊆{0,2,4,6,7}，C ⊆{3,4,5,7,10}，∴C ⊆{4,7}，∵C ≠∅，∴C ＝{4}，{7}或{4,7}．。

集合与集合间的基本关系习题

1.集合M＝(x，y)|x＋y<0，xy>0}，P＝{(x，y)|x<0，y<0}那么( )A. P⊆MB. M⊇P C . M＝P D. M⫋P2.若集合A＝{1,3，x}，B＝{x²,1}且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是()A．1B．2C．3D．43.若集合M={a,b,c},M中元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()4. 锐角三角形B.直角三角形C .钝角三角形D.等腰三角形5. 已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a⫋R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A . 1B . －1C . 0 , 1D . －1 , 0 , 16. 设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⫋B,则实数a的取值范围( )A. {a|a≥2}B. {a|a>2}C. {a|a≥1}D. {a|a≤1}8. 集合P={x|x=2k，k∈Z}，M={x|x=2k+1，k∈Z}，S={x|x=4k+1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c=a+b，则有（）A．c∈P B．c∈M C．c∈S D．以上都不对9.用适当的符号填空(∈,∉,⊆,⊇,＝)a____{(a,b)}; {a,b,c}___{a,b}；{2,4}___{2,3,4}; ∅___{a}.10.集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是________．11.已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.12.集合{x|x²-2x+m=0}含有两个元素,则实数m满足的条件为＿.13.已知集合A=x|ax2-3x+2=0a∈R若集合A中只有一个元素则实数a取值为＿＿＿.14.已知⫋{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是＿＿＿.15.已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m2}．若B∈A，则16.已知∅⊊{x|x2-x+a=0}，则实数a的取值范围是___．17.下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？18.已知A＝{x∈R|5＜x＜－1}，B＝{x∈R|a≤x＜a＋4}，若B⫋A，求实数a的取值范围．19.已知A＝{x|2＜x＜－1}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围．20.已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合.21.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x²}，若A＝B，求实数x.y22.若集合M＝{x|x²＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．23.设集合A＝{x|x²－5x＋6＝0}，B＝{x|x²－(2a＋1)x＋a²＋a＝0}，若B⊆A,求a的值.24.已知集合P={x|4＜x<-1｝,Q={x|a+1≤x≤2a-1}.若Q⫋P,求a的取值范围.。

集合间的基本关系经典练习及答案详解

[基础巩固]1．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{3,4,5，x}，若B⊆A，则x可以取的值为()A．1,2,3,4,5,6B．1,2,3,4,6C．1,2,3,6 D．1,2,6解析由B⊆A和集合元素的互异性可知，x可以取的值为1,2,6.答案 D2．下列集合与集合A＝{1,3}相等的是()A．(1,3)B．{(1,3)}C．{x|x2－4x＋3＝0}D．{(x，y)|x＝1，y＝3}解析A项不是集合，B项与D项中的集合是由点坐标组成，C项：x2－4x＋3＝0，即(x－3)(x－1)＝0，解得x＝3或x＝1，集合{x|x2－4x＋3＝0}，即集合{1,3}，因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，所以与集合A＝{1,3}相等的是集合{x|x2－4x＋3＝0}，故选C.答案 C3．(多选)下列表述不正确的有()A．空集没有子集B．任何集合都有至少两个子集C．空集是任何集合的真子集D．若∅A，则A≠∅.解析∅⊆∅，故A错；∅只有一个子集，即它本身．所以B错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以C错；而D正确，故选A、B、C.答案ABC4．已知集合A＝{－1,0,1}，则A的子集中，含有元素0的子集共有________个．解析由题意得，含有元素0的集合A的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个．答案 45．已知{0,1}A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________.解析由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，所以A＝{－1，0,1}．答案{－1,0,1}6．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且B ⊆A ，求实数a 组成的集合C . 解析由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：①若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.②若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．[能力提升]7．(2022·长春模拟)已知集合A ＝{}x ∈Z | x 2<4，B ＝{}1，a ，B ⊆A ，则实数a 的取值集合为( )A ．{}－2，－1，0B ．{}－2，－1C ．{－1,0}D ．{}－1解析由题意得，A ＝{x ∈Z |－2<x <2}＝{}－1，0，1，∵B ＝{}1，a ，B ⊆A ， ∴实数a 的取值集合为{}－1，0，故选C.答案 C8．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是________．解析 P ＝{－1,1}，Q ⊆P ，所以(1)当Q ＝∅时，a ＝0.(2)当Q ≠∅时，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，所以1a ＝1或1a＝－1，解之得a ＝±1.综上知a 的值为0，±1.答案 0，±19．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为____________ .解析 ∵xy >0，∴x ，y 同号，又x ＋y <0，∴x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 表示第三象限内的点，故M ＝P .答案 M ＝P10．(2022·怀仁模拟)已知集合A ＝{} |x －3≤x ≤4，B ＝{} |x 2m －1<x <m ＋1.(1)若m ＝－3，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解析 (1)m ＝－3时B ＝{}x |－7<x <－2，故A ∩B ＝{} |x －3≤x <－2.(2)因为A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，若2m －1≥m ＋1即m ≥2时，B ＝∅，符合；若m <2，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥－3，m ＋1≤4，m <2，解得－1≤m <2，综上，m ≥－1.[探索创新]11．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．解析 ①当A 无真子集时，A ＝∅，即方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4－4a <0，所以a >1. ②当A 只有一个真子集时，A 为单元素集，这时有两种情况：当a ＝0时，方程化为2x ＋1＝0，解得x ＝－12；当a ≠0时，由Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1.综上，当集合A 至多有一个真子集时，a 的取值范围是a ＝0或a ≥1.。

集合间的基本关系练习题及答案

1．集合{a，b}的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选D.2．下列各式中，正确的是()A．23∈{x|x≤3} B．23∉{x|x≤3} C．23⊆{x|x≤3} D．{23≤3【解析】23表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23∉{x|x≤3}，A、C不正确，又集合{23{x|x≤3}，故D不正确．3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是________．【解析】若A＝Ø，则满足A⊆B，A⊆C；若A≠Ø，由A⊆B，A⊆C知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．4．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合．【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()A．5 B．6 C．7 D．8【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.2．在下列各式中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}A．1 B．2 C．3 D．4【解析】①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；④正确．两个集合的元素完全一样．故选A.3．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．C．．A⊆B【解析】如图所示，，由图可知，故选C.4．下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则A ≠Ø.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵2－x ＋a ＝0}，∴方程x2－x ＋a ＝0有实根，∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，a ≤14.6．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.【解析】 ∵B ⊆A ，∴m2＝2m －1，即(m －1)2＝0∴m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}满足B ⊆A.【答案】 1三、解答题(每小题10分，共20分)7．设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y.【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.8．若集合M ＝{x|x2＋x －6＝0}，N ＝{x|(x －2)(x －a)＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．【解析】由x2＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3.因此，M ＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时；若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a}，此时N 不是M 的子集，故所求实数a 的值为2或－3.9．(10分)已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系．【解析】 M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x|x ＝6m ＋16，m ∈Z }．N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z } ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝3n －26，n ∈Z P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z } ＝{x|x ＝3p ＋16，p ∈Z }．∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z .∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P.而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1， ∴＝P .。

集合间的基本关系(经典练习及答案详解)

集合间的基本关系1．(2020年福建高一期中)现有四个判断：2⊆{1,2}；∅∈{0}；{ 5 }⊆Q ；∅{0}．其中正确的个数是( )A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】B 【解析】元素与集合之间不能用包含关系，故2⊆{1,2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈”，故∅∈{0}错误；因为 5 ∉Q ，所以{5}⊆Q 错误；空集是任何非空集合的真子集，故∅{0}正确．故选B ．2．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅【答案】B 【解析】因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，a ＋2≥5.所以3≤a ≤4. 3．(2021年北京期末)下列正确表示集合M ＝{x |x 2－x ＝0}和N ＝{－1,0,1}关系的Venn 图是( )A BC D 【答案】D 【解析】由x 2－x ＝0，解得x ＝0或1，所以M N .故选D ．4．(2020年铜仁高一期中)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ，则集合B 的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】根据题意，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ＝{－1,0,1,4}，有4个元素，其子集有24＝16个．故选D ．5．(2021年昆明期中)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,2,4}；②{0,2,4}⊆{4,2,0}；③∅⊆{0,2,4}；④∅＝{0}；⑤{0,2}＝{(0,2)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,2,4}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,2}是含有两个元素0与2的集合，而{(0,2)}是以有序数组(0,2)为元素的单元素集合，所以{0,2}与{(0,2)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③正确．6．用符号“∈”或“⊆”填空：若A＝{2,4,6}，则4______A，{2,6}______A．【答案】∈⊆【解析】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A,6∈A，所以{2,6}⊆A．故答案为∈，⊆.7．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．【答案】6【解析】集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．【答案】m≥3【解析】将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.9．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求a的值．解：因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.B级——能力提升练10．(多选)图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则()A．A为小说B．B为文学作品C ．C 为散文D ．D 为叙事散文【答案】AB 【解析】由Venn 图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．11．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ＝BC ．A BD ．A B【答案】D 【解析】对于x ＝3k (k ∈Z )，当k ＝2m (m ∈Z )时，x ＝6m (m ∈Z )；当k ＝2m －1(m ∈Z )时，x ＝6m －3(m ∈Z )．由此可知A B ．12．(2020年太原高一期中)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，若A ⊆B ，则a －b ＝( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．0【答案】C 【解析】因为集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，且A ⊆B ，易知a ≠0且b ≠0.当 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝－b 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝2；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－b 2，b ＝a 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝－2.综上所求，a －b ＝2或－2.故选C ．13．(2020年宁波高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |y ＝12x ＋3∈Z ，则列举法表示集合A ＝________，集合A 的真子集有________个．【答案】{0,1,3,9} 15 【解析】因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ y ＝12x ＋3∈Z ，所以列举法表示集合A ＝{0,1,3,9}，集合A 的真子集有24－1＝15个．故答案为{0,1,3,9},15.14．(2020年安康高一期中)定义集合运算：A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊗B 的真子集的个数为________．【答案】7 【解析】因为A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，所以集合A ⊗B ＝{2,3,4}，所以集合A ⊗B 的真子集的个数为23－1＝7.15．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知a >2.故a 的取值范围为{a |a >2}．(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.故a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．C 级——探究创新练16．已知集合P ＝{x |x 2－3x ＋b ＝0}，Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}．(1)若b ＝4，是否存在集合M 使得PM ⊆Q ？若存在，求出所有符合题意的集合M ，若不存在，请说明理由；(2)P 能否成为Q 的一个子集？若能，求出b 的值或取值范围，若不能，请说明理由．解：(1)因为集合Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{x |(x ＋1)(x ＋4)(x －1)＝0}＝{－1,1，－4}，当b ＝4时，集合P ＝∅，再由 P M ⊆Q 可得，M 是Q 的非空子集，共有 23－1＝7 个，分别为{－1}，{1}，{－4}，{－1,1}，{－1,4}，{1,4}，{－1，1，－4}．(2)因为P ⊆Q ，对于方程x 2－3x ＋b ＝0，当P ＝∅，Δ＝9－4b ＜0时，有b ＞94. 当P ≠∅，Δ＝9－4b ≥0时，方程x 2－3x ＋b ＝0有实数根，且实数根是－1,1，－4中的数，若－1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－4，此时P ＝{－1,4}，不满足P ⊆Q ，故舍去；若1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝2，此时P ＝{1,2}，不满足P ⊆Q ，故舍去；若－4是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－28，此时P ＝{－4,7}，不满足P ⊆Q ，故舍去．综上可得，实数b 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ⎪⎪b ＞94.。

集合之间的关系例题习题解答(二)

例题3讲解
例题3：已知集合P={x/x＜-1或x＞4} , Q={x/a+1≤x≤2a-1},若Q⊊P，求a的取值。解： ①当Q=Ø 时，显然有Q⊊P，此时有a+1＞2a-1 解得：a ＜2. a+1≤ 2a-1 a+1 ≤2a-1 ②当Q≠Ø 时，需或 2a-1 ＜-1
a+1 ＞4
解得：a ＞3
所以，若Q⊊P，则a的取值是： a ＜2或a ＞3
例题4、含三个实数的集合可表示为｛a，b/a， 1}，也可以表示为｛a2，a+b，0}，则 a2010+b2010的值是？解：因为b/a成立，则a不为0，则b/a为0，则b 为0。若a的平方=a则a=1或a=0(舍) 若a的平方=1 则a=-1或a=1 所以a的集合为{-1 ，1} 所以原式为1
例题5、含有三个实数的集合可表示为{a，ba， 1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2009+b2009 的值为（）A．0；B．-1；C．1； D．±1 解：根据题意，对于{a，ba，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则有a=0或ba=0；又由a≠0；故b=0；代入集合中．可得{a，1，0}={a2，a，0}，必有a2=1，又由a≠1，则a=-1；则a2009+b2009=-1，选B．
例题6、已知集合A={x/x＜-1或x＞2},B={x+k＜ 0},若B⊆A，则实数k的取值范围是（）。解：A={x/x<-1, 或 x>2}, A为两个区间 B={x/ x<-k}， B为一个区间 B⊆A, 则只能是x<-k位于区间x<-1内，即- k≤-1, 得k≥1

1.2集合间的基本关系基础练习题

1.2集合间的基本关系基础练习题一、单选题1．在①{}10,1,2⊆；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④{}0∅⊆ 上述四个关系中，错误的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．集合{}1,2,3A =的非空真子集的个数是（）A ．5B ．6C ．7D ．83．已知全集，集合A {|2x x =<或}4x >，B {}|21x x =-<<，则（）． A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．A B = D ．B A ⊄ 4．已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =（）A ．0B ．2C ．0或2D ．1或2 5．设a ，b ∈R ，P ＝{1，a }， Q ＝{−1，−b }，若P =Q ，求a +b 的值（） A ．− 2B ．0C ．1D ．26．下列命题中正确的是（）A ．空集没有子集B ．空集是任何一个集合的真子集C ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D ．设集合B A ⊆，那么，若x A ∉，则x B ∉7．若集合{}|23A x N x =∈-<<，则集合A 的真子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 8．已知集合{}2320A x ax x =-+=的子集只有两个，则实数a 的值为（） A ．98 B ．0 C ．98或0 D ．无解9．已知集合2{|320R}A x x x x =-+=∈，，{|06N}B x x x =<<∈，，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．3B ．4C ．8D ．16 10．下列表示正确的是（）A ．{0}∅⊆B ．{}a a ⊆C ．{}{,}a a b ∈D ．{0}=∅二、填空题11．已知集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，则集合A 有__________个.12．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________.13．满足{}1234,,,A a a a a ∅⊂⊆的集合A 有__________个.14．集合{}1,2的非空．．子集个数是_____．三、解答题15．集合{1,}M y =，{}2,N x x =，若M N ，求x ，y 的值.16．已知函数2()48f x x kx =+-在区间[5,20]上是减少的，记实数k 的取值集合为A ，集合{|B x y ==.若R A B ，求实数a 的取值范围.17．已知集合{}220A x x x a =+-=．（1）若∅是A 的真子集，求a 的范围；（2）若{}20B x x x =+=，且A 是B 的子集，求实数a 的取值范围．18．设,a b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，求20202020a b +的值.参考答案1．B【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及表示符号，及规定空集是任何非空集合的真子集，即可找出错误的个数．【详解】解： “⊆”表示集合与集合间的关系，所以①错误；集合{}0,1,2中元素是数，{1}不是集合{}0,1,2元素，所以②错误；根据子集的定义，{0，1，2}是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；所表示的关系中，错误的个数是2．故选：B ．2．B【分析】根据真子集的定义，写出集合A 所有的非空真子集即可求解.【详解】非空真子集分别是{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，；故选：B.3．B【分析】由集合间的关系即可得解.【详解】因为集合A {|2x x =<或}4x >，{}|21B x x =-<<，所以B A ⊆. 故选：B.4．C【分析】分2m =或2m m =求得m ，并检验即可得答案.【详解】解：因为{}21,2,A m =，{}1,B m =，且B A ⊆，所以2m =或2m m =，解得2m =，0m =，1m =，检验得1m =不成立，故2m =，0m =，故选：C.5．A【分析】根据两集合相等，所有元素对应相等，即可求出a ，b 的值，即可得答案.【详解】因为P =Q ，所以11b a =-⎧⎨=-⎩，解得11b a =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-，故选：A6．D【分析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果【详解】A 选项，空集是其本身的子集，A 错；B 选项，空集是任一非空集合的真子集，B 错；C 选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C 错；D 选项，若B A ⊆，则B 中元素都在A 中，A 中没有的元素，则B 中也没有；故D 正确. 故选：D.7．C【分析】先求解集合{0,1,2}A =，再由子集个数公式求解即可.【详解】集合{}|23{0,1,2}A x N x =∈-<<=，所以集合A 的真子集有3217-=个.故选：C.8．C【分析】根据集合A 的子集有两个，则集合A 有一个元素，即方程2320ax x -+=有一解，分0a =，0a ≠ 两种情况讨论，即可得解.【详解】由集合A 的子集有两个，则集合A 有一个元素，当0a =时，{}{}223203203A x ax x x x ⎧⎫=-+==-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意，当0a ≠时，2320ax x -+=有一解，则980a ∆=-=，解得：98a =，综上可得：0a =或98a =，故选：C.9．C【分析】先求出集合A,B ，根据A C B ⊆⊆可得集合C 的个数.【详解】 {}2{|320}1,2A x x x x R =-+=∈=，{}{|06}1,2,3,4,5B x x x N =<<∈=，由A C B ⊆⊆，则集合C 中必有元素1,2，而元素3,4,5可以没有，可以有1个，或2个，或3个.即满足条件的集合C 为：{}1,2，{}1,23，，{}1,24，，{}1,25，，{}1,234，，， {}1,245，，，{}1,25，3，，{}1,25，4,3，共8个故选： C10．A【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解.【详解】解：对于选项A ，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即{0}∅⊆，即A 正确，对于选项B ，{}a a ∈，即B 错误，对于选项C ，{}{,}a a b ⊆，即C 错误，对于选项D ，{0}≠∅，即D 错误，故选：A.【点睛】本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题. 11．8【分析】由题意可得集合A 中必含1,2，还可以有3,4,5，即可求解.【详解】因为集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以集合A 中必含1,2，还可以有3,4,5，所以{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5A =，共8个，故答案为：8【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆判断出集合A 中必含1,2，还可以有3,4,5，即可求出集合A 的个数.12．14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果.【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-，元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=.故答案为:1413．15【分析】由题意可知集合A 是集合{}1234,,,a a a a 的非空子集，从而可求得集合A 的个数【详解】解：因为{}1234,,,A a a a a ∅⊂⊆，所以集合A 是集合{}1234,,,a a a a 的非空子集，所以集合A 的个数为42115-=，故答案为：1514．3【分析】直接写出集合的非空子集即可.【详解】集合{}1,2的非空子集有：{}{}{}121,2，，，故答案为：3.15．1x =-，1y =-.【分析】根据集合相等的条件列出方程组，解之可求得答案．【详解】解：若M N ，则21x y x ⎧=⎨=⎩或21y x x ⎧=⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=⎩（舍），所以1x =-，1y =-. 16．(20,)-+∞【分析】由()y f x =在区间[5,20]上为单调递减，可得对称轴与区间的关系，解不等式即可得到k 的范围，求出集合B ,由已知A B R ，可求得结果.【详解】函数2()48f x x kx =+-的对称轴为x =2k -， ()y f x =在区间[5,20]上为单调递减，即有220k -≥，解得k ≤-10,(],10A =-∞-,{|{|}2a B x y x x ===≥,{|}2R a B x x =<, A BR ,102a ∴-<,解得：a 的取值范围为(20,)-+∞. 【点睛】本题考查二次函数图象，考查集合的包含关系求解参数问题，属于基础题.17．（1）1a ≥-；（2）1a ≤-.【分析】（1）根据∅是A 的真子集可得0∆≥得解；（2）由A 是B 的子集对集合A 进行讨论可求解.【详解】（1）∵若∅是A 的真子集 ∴{}220A x x x a =+-=≠∅，∴440a ，∴1a ≥-；（2）{}{}200,1B x x x =+==-， ∵A B ⊆，∴A =∅，{}0，{}1-，{}0,1-，A =∅，则440a ∆=+<，∴1a <-；A 是单元素集合，440a ∆=+=，∴1a =-此时{}1A =-，符合题意；{}0,1A =-，0112-=-≠-不符合.综上，1a ≤-．【点睛】本题考查了集合的基本运算，分类讨论集合的包含关系求参数，属于基础题.18．2.【分析】由集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，列出方程组，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，可得0a ≠，1a ≠，由两个集合相等定义可知，若10b a b =⎧⎨+=⎩，得1a =-，经验证，符合题意；若10b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，由于0a ≠，则方程组无解，综上可知，1a =-，1b =，故202020202a b +=.【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，其中解答中熟记集合相等的概念，结合元素的互异性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.。

《集合间的基本关系》专题复习与训练

《1.2 集合间的基本关系》专题复习与训练【新课导入】1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．思考2：{0}与∅相同吗？提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C.(3)若A⊆B，A≠B，则A B.1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N∉MC．N⊇M D．N⊆MD[∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，又2∉N，∴N⊆M.]2．下列四个集合中，是空集的为( )A．{0}B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}B[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]3．集合{0,1}的子集有________个．4[集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．]4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.(1)＝(2)(3)(4)∈[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2} C；(4)2∈C.]【合作探究】集合间关系的判断【例1】判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x 是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．[解] (1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D B A C.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故A B.判断集合关系的方法.(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.提醒：若A⊆B和A B同时成立，则A B更能准确表达集合A，B之间的关系.1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的Venn 图如选项B所示．]子集、真子集的个数问题【例2】已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．1．求集合子集、真子集个数的3个步骤2．与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．[解] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．由集合间的关系求参数[探究问题]集合A＝{x|1<x<b}中一定含有元素吗？当A中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素．提示：不一定．当b≤1时，A＝∅，其不含有任何元素，当b>1时，集合A 中的元素用数轴可表示为：【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．[思路点拨] B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}分B＝∅和B≠∅列不等式组―→求m的取值范围――→结合数轴[解] (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.(2)当B≠∅时，如图所示．∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎨⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3. 综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． [解] 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.1．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．2．数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．1．A⊆B隐含着A＝B和A B两种关系．2．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．【课堂达标】1．思考辨析(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )(2)任何一个集合都有子集．( )(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.( )(4)空集是任何集合的真子集．( )[答案] (1)×(2)√(3)√(4)×2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是( )A．16 B．8C．7 D．4C[易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．] 3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4[由B⊆A可知，m＝4.]4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．[解] (1)若A B ，则集合A 中的元素都在集合B 中，且B 中有不在A 中的元素，则a >2.(2)若B ⊆A ，则集合B 中的元素都在集合A 中，则a ≤2. 因为a ≥1，所以1≤a ≤2.《集合间的基本关系》专题练习[合格基础练]一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8B [根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．]2．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．4C [∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，∴m ＝2或m ＝－1.] 3．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪y x ＝1，则集合A ，B 间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ⊆BB [∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪yx ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴B A .] 4．已知集合B ＝{－1,1,4}，满足条件∅M ⊆B 的集合M 的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．7D ．8C [由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个，选C.]5．①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．上面关系中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a ，b )}含一个元素点(a ，b )，集合{(b ，a )}含一个元素点(b ，a )，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]二、填空题6．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________． {a |a ≥2} [如图，因为A B ，所以a ≥2，即a 的取值范围是{a |a ≥2}．]7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．{(1,2)}，{(－3,4)} [{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．]8．设a ，b ∈R ，集合A ＝{1，a }，B ＝{x |x (x －a )(x －b )＝0}，若A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.0 1 [A ＝{1，a }，解方程x (x －a )(x －b )＝0，得x ＝0或a 或b ，若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1.] 三、解答题9．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .[解] (1)A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{5,3}，a ＝15时，B ＝{5}，元素5是集合A ＝{5,3}中的元素，集合A ＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3在集合B 中没有，所以B A . (2)当a ＝0时，由题意B ＝∅，又A ＝{3,5}，故B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a ，又A ＝{3,5}，B ⊆A ，此时1a ＝3或5，则有a ＝13或a ＝15.所以C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，13，15.10．已知集合A ＝{x |x <－1，或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意． (2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎨⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎨⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4，或a >2}．[等级过关练]1．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1C[∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0，∴b a＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 017＋b 2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.] 2．若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ND ．以上均不对C [M ＝x ⎪⎪⎪x ＝k2＋14，k ∈Z ＝x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋14，k ∈Z .N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 4＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k ＋24，k ∈Z . 又2k ＋1，k ∈Z 为奇数，k ＋2，k ∈Z 为整数，所以M N .]3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．0或±1 [由题意得P ＝{－1,1}，又因为Q ⊆P ，①若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ；②若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1. 综上可知，a 的取值是0或±1.]4．集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则a 的取值为________．1或－18[由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a ＝1时，满足题意．当a ≠1时，由Δ＝9＋8(a －1)＝0可得a ＝－18.] 5．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．[解] 化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254(个)．(2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时， B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎨⎧ m －1≥－2，2m ＋1≤5，即－1≤m ≤2. 综上所述，知m 的取值范围是 {m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。

集合关系练习题及答案

集合关系练习题及答案集合关系是数学中的一个重要概念，它涉及到集合之间的包含、相等、子集等关系。

以下是一些集合关系的练习题及答案，供同学们学习和练习。

# 练习题1：判断下列集合之间的关系设集合 A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，C = {1, 2, 3, 4}。

1. A 是否是 B 的子集？2. B 是否是 A 的子集？3. C 是否是 A 的子集？4. A 和 B 是否相等？# 答案1：1. A 不是 B 的子集，因为 A 中的元素 1 和 2 不在 B 中。

2. B 不是 A 的子集，因为 B 中的元素 4 和 5 不在 A 中。

3. C 是 A 的子集，因为 A 中的所有元素都在 C 中。

4. A 和 B 不相等，因为它们包含不同的元素。

# 练习题2：求集合的交集和并集设集合 D = {1, 2, 5}，E = {2, 3, 5, 7}。

1. 求 D 和 E 的交集。

2. 求 D 和 E 的并集。

# 答案2：1. D 和 E 的交集是 {2, 5}，因为这两个元素同时出现在 D 和 E 中。

2. D 和 E 的并集是 {1, 2, 3, 5, 7}，包含了 D 和 E 中的所有元素。

# 练习题3：使用韦恩图表示集合关系使用韦恩图表示以下集合的关系：集合 F = {1, 3, 5, 7}，G = {2, 4, 6, 8}，H = {3, 4, 5, 6}。

# 答案3：韦恩图是一种图形化表示集合之间关系的工具。

在这个例子中，F、G和 H 没有共同元素，因此它们的韦恩图将显示三个不相交的集合。

# 练习题4：求集合的补集设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，I = {2, 4, 6, 8}。

1. 求 I 在 U 中的补集。

2. 如果 J = {1, 3, 5, 7, 9}，求 J 在 U 中的补集。

# 答案4：1. I 在 U 中的补集是 {1, 3, 5, 7, 9}，因为这些元素在 U 中但不在 I 中。

高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(40)

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5M ≠⊂⊆，则有满足条件的集合M 的个数是（） A ．6B ．7C ．8D ．92．对于下列结论：①已知∅ 2{|40}x x x a ++=，则实数a 的取值范围是(],4-∞； ②若函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则()y f x =的定义域为[)3,0-；③函数2y =(],1-∞；④定义：设集合A 是一个非空集合，若任意x A ∈，总有a x A -∈，就称集合A 为a 的“闭集”，已知集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆，且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个．其中结论正确的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．33．下列五个写法：①{}{}01,2,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}1,2,32,3,1⊆；④0∈∅；⑤{}0∅=∅.其中正确写法的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．44．从集合{},,,,a b c d e 的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合{},,a b c 子集的概率是（） A ．35B ．25C ．14D ．185．下列六个关系式中正确的个数是（）（1）{}0≠∅⊂ （2）{}0∅= （3）0=∅ （4） {}00∈ （5）0∈∅ （6）∅⊆∅ A ．1B ．2C ．3D ．46．设集合{}210A x x =-=，则（）A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{}1,1A ≠-⊂7．全集(){},Z,Z U x y x y =∈∈，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.下列命题： ①若()1,3S ∈，则()1,3S --∈；②若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素； ③若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数；④若(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆，则(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆. 其中正确命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．48．集合{}22A x N x =∈-<<的真子集个数为（） A ．3B ．4C ．7D ．89．集合{}21,2,,31M a a a =--，{}1,3N =-，若3M ∈且NM ，则a 的取值为（）A ．1-B ．4C ．1-或4-D ．4-或1 10．集合{1,0,1}-的非空真子集共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个二、填空题1．已知关于x 的不等式()()()120x x a a -->∈R 的解集为A ，集合{}23B x x =<<．若B A ⊆，则实数a 的取值范围为______．2．已知集合A ={0,1}，B ={x|x 2−ax =0}，且B ⊆A ，则实数a=___________。

高一数学复习知识点专题讲解与训练3---集合间的基本关系

高一数学复习知识点专题讲解与训练集合间的基本关系课标要点课标要点学考要求高考要求1.子集、真子集的概念b b2.空集的概念b b3.Venn图a a知识导图,学法指导,1.注意辨析两大关系：(1)元素与集合的关系；(2)集合与集合的关系．2．本节的学习重点是子集、真子集、空集的概念；难点是集合之间关系的应用．3．学习中要注意集合之间的关系的几种表述方法：自然语言、符号语言、图形语言.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B或B包含A“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A 都能推出x∈B.知识点二集合相等1．自然语言：如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等．2．符号语言：若A⊆B，又B⊆A，则A＝B.(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．知识点三空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．知识点四真子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A是集合B的子集，且在集合B中存在一个元素不是集合A的元素，我们称集合A是集合B的真子集若集合A⊆B，但x∈B，且x∉A，则A B(或B A)(读作“A 真包含于B”或“B真包含A”)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.知识点五子集的性质1．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.2．对于集合A，B，C，(1)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(2)若A B，B C，则A C.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.集合{0,1}的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．答案：D3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D4．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是()解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.答案：B类型一集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.【答案】(1)B(2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B 不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是() A．M T B．M T C．M＝T D．M⃘T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M T.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：(1)A(2)见解析学习完知识点后，我们可以得到B⊆A，C⊆A，D⊆A，D⊆B，D⊆C.类型二子集、真子集的个数问题例2(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A C B 的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为()A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.【答案】(1)B (2)C(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合C.(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．方法归纳求集合子集、真子集个数的三个步骤跟踪训练2(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝() A．1 B．2 C．3 D．4(2)若集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.(2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．答案：(1)B(2)5由A中含有奇数的个数分类：A中含1个奇数，2个奇数．类型三根据集合的包含关系求参数例3已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝0时，①A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <2a. 又∵B ＝{x |－1<x <1}，且A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1.②∴a ≥2. (3) 当a <0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <1a .③ ∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1.∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}.①欲解不等式1<ax<2，需不等号两边同除以a ，而a 的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a 分a ＝0，a>0，a<0进行讨论．②A ⊆B 用数轴表示如图所示：由图易知，1a 和2a 需在－1与1之间．当1a ＝－1，或2a ＝1时，说明A 与B 的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如2a ＝1时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<1，x 取不到1.③a<0时，不等式两端除以a ，不等号的方向改变．方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练3 设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值集合．解析：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝15时，由ax －1＝0得x ＝5.所以B ＝{5}，所以BA .(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a ＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15.综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15,(1)解方程x 2－8x ＋15＝0，求出A ，当a ＝15时，求出B ，由此能判定集合A 与B 的关系．(2)分以下两种情况讨论，求实数a 的取值集合．①B ＝∅，此时a ＝0；②B ≠∅，此时a ≠0.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1解析：由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1. 答案：D2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是( )A ．M >NB ．MN C ．N M D ．M ⊆N解析：因为y ＝(x －1)2－2≥－2，所以M＝{y|y≥－2}，所以N M.答案：C3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是()A．1 B．－1C．±1 D．0解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.答案：C4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2 B．4C．6 D．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．答案：B5．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．m>3 B．m≥3C．m<3 D．m≤3解析：因为A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知集合A ＝{x |x －3>0}，B ＝{x |2x －5≥0}，则这两个集合的关系是________．解析：A ＝{x |x －3>0}＝{x |x >3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥52. 结合数轴知A B .答案：A B7．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a 的值为________．解析：∵A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，∴a 2－a ＋1∈A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .由a 2－a ＋1＝3，得a ＝2或a ＝－1；由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1.经检验，a ＝1时集合A ，B 不满足集合中元素的互异性，舍去．故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或28．已知A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x >a }，A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：在数轴上画出集合A .又因为A ⊆B ，所以a <－3，当a ＝－3时也满足题意，所以a ≤－3.A．A⊆B B．B⊆CC．C⃘A D．B A解析：易知集合B，C是集合A的子集，且是真子集，而B，C之间没有关系，因此只有D选项正确，答案：D12．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．解析：集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：3613．已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{x＋2,1}．是否存在实数x，使得B⊆A？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．解析：假设存在实数x，使B⊆A，则x＋2＝3或x＋2＝x2.(1)当x＋2＝3时，x＝1，此时A＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．故x≠1.(2)当x＋2＝x2时，即x2－x－2＝0，故x＝－1或x＝2.①当x＝－1时，A＝{1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，故x≠－1.②当x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{4,1}，显然有B⊆A.综上所述，存在x＝2，使A＝{1,3,4}，B＝{4,1}满足B⊆A.14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得m ≥－1.即实数m 的取值范围为{m |m ≥－1}．。

高中数学必修一1.2 集合间的基本关系复习专练(人教A版,含解析)(29)

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合(){}(){}22,1,,A x y x y B x y y x =+===，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：A 解析：解方程组221x y y x⎧+=⎨=⎩，根据解的个数求出交集，再得出子集个数．详解：解：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2=(2A B ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭， ∴A B 的子集个数为224=，故选：A ．点睛：本题主要考查集合的交集运算，考查有限集的子集个数，属于基础题． 2．下列与集合{}1,2A =-相等的是（）A ．1,2B ．1,2C ．(){},1,2x y x y =-=D ．{}220x x x --=答案：D解析：集合相等指的是两个集合中元素完全相同，A 为点集，B 不是集合，C 也是点集，D 经过计算后可知元素与集合A 中完全相同，故选D.详解：解：∵{}{}2201,2x x x --==-，∴与集合{}1,2A =-相等的是{}220x x x --=.故选：D3．在下列命题中，不正确的是（）A ．1}∈0，1，2}B ．φ⊆0，1，2}C ．0，1，2}⊆0，1，2}D ．0，1，2}=2，0，1}答案：A详解：对于A ，1}⊆0，1，2}，错误；对于B ，空集是任何集合的子集，正确；对于C ，相等的两个集合互为子集，正确；对于D ，二者显然相等，正确.故选A4．已知全集U =R ，则正确表示集合21|1M y y x ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭和集合{}2|1N x y x ==-关系的韦恩图是A ．B ．C ．D ．答案：D解析：首先解出,M N ，然后判断两个集合的关系.详解：{}01M y y =<≤，210x -≥，解得11x -≤≤ {}11N x x ∴=-≤≤M N ，故选D.点睛：本题考查了判断集合的关系，属于简单题型.5．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =,集合{}1,2,3,5A =,{}2,4B =，则()U C A B ⋃=A ．{}4B ．{}0,2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}1,2,4答案：C详解：{}(){}0,40,2,4U U C A C A B =⇒⋃=,故选C.6．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B ⋂=A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8答案：A详解：{}2,5,8U B =,所以{}2,5U A B ⋂=，故选A.考点：集合的运算.7．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，下列四个集合：①|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭，②{}|0x x ≠，③1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，④整数集Z ．其中以0为聚点的集合有 A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④答案：B详解：试题分析：：①集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足0x a <<的x ，∴0不是集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭的聚点； ②集合{}|0x x ≠，对任意的a ，都存在2a x =（实际上任意比a 小的数都可以），使得02a x a <=<，∴0是集合{}|0x x ≠的聚点； ③集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n <=<，∴0是集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭的聚点； ④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x Z ∈，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．综上可知B 正确.考点：新概念.8．已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63答案：A解析：先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解. 详解：因为集合{|6A x x =<且}{}*N 1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= .故选：A点睛：本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.9．已知集合{}2*2240,M x x x x N =+-=∈，{}6,0,4N =-，则集合M 与N 的关系是（）A ．M NB ．N M ⊂≠C ．N M ⊂≠D ．N M ⊆答案：C解析：首先解方程22240x x +-=，求出M ，根据元素即可判断M 与N 的关系.详解：首先解方程22240x x +-=，由*x ∈N 可得4x =或6x =-（舍）所以{}4M =，可得N M ⊂≠.故选：C.点睛：本题考查了集合间关系，考查了真子集的概念，属于基础题.10．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（） A ．0B ．1-C ．1D ．1或1-答案：B 解析：根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得20192019a b +的值.详解： b a 有意义，则0a ≠，又{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，0b a ∴=，可得0b =，所以，{}{}21,,00,,a a a =，21a ∴=，由集合中元素的互异性可得1a ≠，所以，1a =-，因此，()2019201920192019101a b +=-+=-.故选：B.点睛：本题考查利用集合相等求参数，同时不要忽略了集合中元素互异性的限制，考查计算能力，属于中等题.二、填空题1．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则I C N =___________.答案：{}1-解析：根据N 自然数，所以在全集I 上直接去补集即可得解.详解：{}1I N =-，{}1I C N =-.故答案为：{}1-2．角的集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z 与集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z 之间的关系为________．答案：A B =解析：在集合A 中，分析k 的奇偶，可得出集合A 所表示的角的终边，与集合B 相比较，可得出结果.详解：解：集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z ，当k 为奇数时，假设21k n =-，则{|2,}2A x x n k πππ==-+∈Z ，即{|2,}2A x x n k ππ==-∈Z 表示终边在y 轴非正半轴上的角，当k为偶数时，假设2k n =，集合{|2,}2A x x n k ππ==+∈Z ，表示终边在y 轴非负半轴上的角；集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z ，则集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A B =. 故答案为：A B =.3．已知集合{}3A =，集合{}2|2 0x x x B a -+==，且A 是B 的真子集，则实数a =_________．答案：3-解析：由A 是B 的真子集知，23230a -⨯+=，解得a 的值即可.详解：A 是B 的真子集，∴3B ∈，即23230a -⨯+=，解得：3a =-.故答案为：3-.点睛：本题主要考查真子集的概念，属于基础题.4．集合{(,)|2A x y xy ==且3,,}x y x R y R +=∈∈的所有子集为________．答案：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}解析：先解方程组23xy x y =⎧⎨+=⎩求出集合A ，再用列举法写出子集即可. 详解：由23xy x y =⎧⎨+=⎩得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，所以()(){}1,2,2,1A =，因此其所有的子集为：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}.故答案为：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}.点睛：本题主要考查求集合的子集，属于基础题型.5．使2x,x+y}=7,4}的（x,y ）是_________答案：71(,)22或(2,5)解析：两个集合相等，集合内的元素相等，{274x x y =+=或{247x x y =+=，两种情况依次求解即可. 详解：由题2x,x+y}=7,4}即{274x x y =+=或{247x x y =+=，解得：7212x y ==⎧⎨⎩或{25x y ==，所以（x,y ）是71(,)22或(2,5) 故答案为：71(,)22或(2,5)点睛：此题考查通过两个集合相等，求参数的值，需要注意两个集合相等，集合中的元素相同，分别列方程组求解即可.三、解答题1．已知集合{|()0,}M x f x x x R =-=∈与集合{|[()]0,}N x f f x x x R =-=∈，其中()f x 是一个二次项系数为1的二次函数．（1）判断M 与N 的关系；（2）若M 是单元素集合，求证：M N ．答案：（1）M N ⊆；（2）证明见解析解析：（1）根据集合元素的属性特征，结合复合函数的性质进行求解即；（2）根据题意可以求出函数()f x 的表达式，最后再根据集合N 元素属性特征，结合函数()f x 的解析式进行求解即可.详解：（1）任取0x M ∈，则()00f x x =，故()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，∴0x N ∈．∴M N ⊆；（2）设{}M a =，则2()()f x x x a -=-．∴2()()f x x a x =-+．222222[()]()]()()()()0f f x x x a x a x a x x x a x a x a ⎡⎡⎤-=-+-+-+-=-+-+-=⎣⎣⎦．∴2()0,0x a x a x a x a ⎧-+-=⇒=⎨-=⎩．故[()]0f f x x -=只有一个根a ．∴M N . 点睛：本题考查了集合之间的关系判断，考查了二次复合函数的运算，考查了数学运算能力和推理论证能力.2．已知集合或，,若，求实数的取值范围．答案：或解析：根据可得出，从而可讨论是否为空集列不等式，解出的范围即可．详解：解：，，当时，；当时，或，或，综上所述：或．点睛：本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集和空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．设集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈，集合n P A ⊆，如果对于任意元素x P ∈，都有1x P -∈或1x P +∈，则称集合P 为n A 的自邻集.记(1,)kn k n k N a ≤≤∈为集合n A 的所有自邻集中最大元素为k 的集合的个数. （1）直接判断集合{1,2,3,5}P =和{1,2,4,5}Q =是否为5A 的自邻集；（2）比较610a 和531010a a +的大小，并说明理由；（3）当4n ≥时，求证：121111...n n n n n n a a a a ----≤+++.答案：（1）P 不是5A 的自邻集，Q 是5A 的自邻集；（2）610a >531010a a +，理由见解析；（3）证明见解析解析：（1）利用自邻集的定义直接判断即可；（2）利用自邻集的定义求出10A 的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案；（3）记集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈所有子集中自邻集的个数为n a ，可得1n n n n a a a -=+，然后分：①自邻集中含2,1,n n n --这三个元素，②自邻集中含有1,n n -这两个元素，不含2n -，且不只有1,n n -这两个元素，③自邻集只含有1,n n -这两个元素，三种情况求解即可详解：解：（1）因为{}51,2,3,4,5A =，所以5{1,2,3,5}P A =⊆和5{1,2,4,5}Q A =⊆，因为51,51P P -∉+∉，所以{1,2,3,5}P =不是5A 的自邻集，因为112,21,415,514Q Q Q Q +=∈-∈+=∈-=∈所以{1,2,4,5}Q =是5A 的自邻集，（2）{}101,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有5，6}，4，5，6}，3，4，5，6}，2，3，5，6}，1，2，5，6}，2，3，4，5，6}，1，2，3，5，6}，1，2，4，5，6}，1，2，3，4，5，6}共9个，即6109a =其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有4，5}，3，4，5}，2，3，4，5}，1，2，4，5}，1，2，3，4，5}共5个，5105a =其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有2，3}，1，2，3}共2个，3102a =所以610a >531010a a +（3）证明：记集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈所有子集中自邻集的个数为n a ，由题意可得当4n ≥时，1211111...n n n n n a a a a -----=+++ ，121...n n n n n nn a a a a a -=++++，显然1n n n n a a a -=+ ①自邻集中含2,1,n n n --这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素n 后的集合为D ，因为2,1n n D --∈，所以D 仍是自邻集，且集合D 中的最大元素为1n -，所以含有2,1,n n n --这三个元素的自邻集的个数为1n n a -，②自邻集中含有1,n n -这两个元素，不含2n -，且不只有1,n n -这两个元素，记自邻集除1,n n -之外最大元素为m ，则23m n -≤≤，每个自邻集中去掉1,n n -这两个元素后，仍为自邻集，此时的自邻集的最大元素为m ，可将此时的自邻集分为4n -种情况：含有最大数为2的集合个数为2n a含有最大数为3的集合个数为3n a……，含有最大数为3n -的集合个数为3n n a -则这样的集合共有233n n n n a a a -++⋅⋅⋅+，③自邻集只含有1,n n -这两个元素，这样的自邻集只有1个，综上可得23312331211n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=+++⋅⋅⋅++≤+++⋅⋅⋅+++因为1n n n n a a a -=+，121...n n n n n n n a a a a a -=++++，所以23312331211n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=+++⋅⋅⋅++≤+++⋅⋅⋅+++，所以1n n n a a -≤，所以121111...n n n n n n a a a a ----≤+++点睛：关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合子集的有关知识，考查分析问题的能力，解题的关键是对集合新定义的理解，考查理解能力，属于较难题4．写出下列每对集合之间的关系：（1）{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5}B ；（2）2{|1}C x x ==，{|||1}D x x ==；（3）(,3)E =-∞，(1,2]F =-；（4）{|G x x =是对角线相等且互相平分的四边形}，{|H x x =是有一个内角为直角的平行四边形}．答案：（1）B A ；（2）C D =；（3）F E ；（4）G H =．解析：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，因此只要针对集合中的元素进行分析即可．详解：（1）因为B 的每个元素都属于A ，而4A ∈且4B ∉，所以B A ．（2）不难看出，C 和D 包含的元素都是1和1-，所以C D =．（3）在数轴上表示出区间E 和F ，如图所示．由图可知F E ．（4）如果x G ∈，则x 是对角线相等且互相平分的四边形，所以x 是矩形，从而可知x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x H ∈，因此G H ⊆．反之，如果x H ∈，则x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x 是矩形，从而可知是x 对角线相等且互相平分的四边形，所以x G ∈，因此H G ⊆．综上可知，G H =．点睛：本题主要考查的是集合与集合间的关系同时考查了子集以及集合相等的定义，当A 是B 的子集时，要么A 是B 的真子集，要么A 与B 相等．是基础题.5．已知{|3},{|21},A x x B x x a A B =<=+<⊆，求实数a 的取值范围.答案：[7,)+∞解析：首先求出集合B ，再根据集合的包含关系，得到不等式，解得.详解：解：{|21}B x x a =+<1|2a B x x -⎧⎫∴=<⎨⎬⎩⎭. {|3}A x x =<又A B ⊆, 所以132a -,解得7a ,所以实数a 的取值范围为[7,)+∞ 点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.。

2024年新高一数学初升高衔接《集合间的基本关系》含答案解析

第02讲集合间的基本关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解集合之间的包含与相等的含义;2．能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义;3．能够进行自然语言、图形语言（Venn 图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养;4．掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系．知识点 1 子集与真子集1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．（1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．（2）用Venn 图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显．2、子集定义一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集．记法与读法记作A ⊆B (或B ⊇A )，读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”)图示性质（1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作A A ⊆；（2）传递性：对于集合,,A B C ，如果A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆．【注意】（1）“A 是B 的子集”的含义：集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，即由任意x A ∈，能推出x B ∈．（2）如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么A 不包含于B ，或B 不包含A ．3、真子集定义如果集合A 是集合B 的子集，但存在元素x ∈B ，且x A ∉，就称集合A 是集合B 的真子集．记法与读法记作AB 或(B A )，读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”)图示性质（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合,,A B C ，如果A B Ü，B C Ü，则A C Ü．【注意】（1）真子集也可以叙述为：若集合A B ⊆，存在元素x B ∈且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集．（2）如果集合A 是集合B 的真子集，那么集合A 一定是集合B 的子集，反之不成立．知识点 2 集合相等1、集合相等的概念定义一般地，如果集合A 的任何一个元素都是B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等．记法与读法记作A B =，读作“A 等于B ”图示【注意】（1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。

高中数学必修一1.2 集合间的基本关系巩固练习(人教A版,含解析)(64)

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．若集合A ＝{}1，则下列关系错误的是（） A ．1A ∈B ．A A ⊆C ．A φ⊆D ．A φ∈2．已知集合{}234A x x x =<+，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．4a ≤C ．1a ≥-D ．4a ≥3．若集合|24M x x k k Z ππ⎧⎫==⋅-∈⎨⎬⎩⎭，，|42N x x k k Z ππ⎧⎫==⋅+∈⎨⎬⎩⎭，，则（）A ．M=NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．没有包含关系4．已知集合,2k A x x k Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，4k B x x Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则()A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =D ．A 与B 的关系不确定 5．集合{|04}A x N x =∈<<的真子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 6．已知集合A ＝x||x －4|≤1，x∈Z}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．7 D ．8 7．若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A ⋃=的集合B 可以是（）A ．{}|0x x ≤B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥ 8．已知集合{|13}A x x =-<<，若B A ⊆，则B 可能是（） A ．{1,2} B ．{2,3} C ．[1,3)- D ．(,1)-∞- 9．下列关系式中，正确的是（）A ．π∈QB ．(){}{}0,10,1⊆C ．{}∅∈∅D ．{}{}21,2∈10．已知集合{}{}0,1,3,5,7,(5)0M N x x x ==-<，则M N =（）A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,3,5D ．{}0,1,3,5二、填空题1．集合{}0,1,2A =的真子集的个数是__________.2．已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个．3．设集合A ＝x|1＜x ＜2}，B ＝x|x ＜a}，满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______． 4．已知2()2f x x x =-，()g x x m =+，对任意1[1,2]x ∈-，都存在0[1,2]x ∈-，使10()()g x f x =，则实数m 的取值范围是__________．5．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}11B x m x m =-≤≤+，若B A ⊆,则m 的取值范围为____．三、解答题 1．已知集合，非空集合，若，求的取值范围．2．写出下列每组中集合之间的关系：（1）A=x|-3≤x<5}，B=x|-1<x<2}．（2）A=x|x=2n-1，n∈N *}，B=x|x=2n+1，n∈N *}．（3）A=x|x 是平行四边形}，B=x|x 是菱形}，C=x|x 是四边形}，D=x|x 是正方形}．（4）A=x|-1≤x<3，x∈Z}，B=x|x=y ，y∈A}．3．已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数()22lg 1a xy x a -=-+的定义域为B．（1）若2a =求集合B ；（2）若A B =，求实数a 的值．4．已知集合}{25140A x x x =--≤，}{121B x m x m =+<<-，若A B A ⋃=，求m 的取值范围.5．已知p ：28200x x --≤，q ：()()()1100x m x m m ⎡⎤⎡⎤---+≤>⎣⎦⎣⎦，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题 1．D解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可得答案. 详解：由A ＝{}1，A. 1A ∈，根据元素与集合的属于关系，正确；B. A A ⊆，根据集合与集合的包含关系，正确；C. A φ⊆，根据集合与集合的包含关系，正确D. A φ∈，应为集合与集合的包含关系，即A φ⊆，错误，故选：D. 点睛：本题考查元素与集合属于关系、集合与集合的包含关系，属于基础题. 2．D解析：先求出集合A ，再根据包含关系即可列出不等式求解. 详解：{}{}23414A x x x x x =<+=-<<，A B ⊆，4a ∴≥.故选：D. 点睛：本题考查集合的包含关系求参数范围，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题. 3．B解析：通过分析两个集合的元素来确定正确选项. 详解：()()|21,,|2,44M x x k k Z N x x k k Z ππ⎧⎫⎧⎫==⋅-∈==⋅+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，21k -为奇数，2k +为整数，所以M N ⊆.故选：B4．A解析：对于集合2:,24k kA x k Z ==∈，当分母为4时，分子为2k ，能取遍全体偶数，而对于集合:,4kB x k Z =∈，当分母为4时，分子为k ，能取遍全体整数，显然，“全体偶数”是“全体整数”的子集，即A 是B 的子集（也是真子集），故选A. 5．C解析：{}1,2,3A =，集合有3个元素，所以集合的真子集个数为3217-=，故填：C. 6．C解析：由集合{}{|41,}{|35,}3,4,5A x x x Z x x x Z =-≤∈=≤≤∈=，则集合A 的真子集的个数为3217-=，故选C. 7．A解析：由已知可得B A ⊆，即可得出结论. 详解：若A B A ⋃=，则B A ⊆，又{}0|x x ≤⊆{}|1x x A ≤=. 故选：A. 点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题. 8．A解析：根据子集的定义即可判断. 详解：因为B A ⊆，所以集合B 中所有元素都在集合A 中对于A 选项，{|12}}13{,x x -<<⊆，则A 正确；由于3,1,2,A A A ∉-∉-∉则B ，C ，D 选项错误；故选：A 点睛：本题主要考查了子集的应用，属于基础题. 9．C解析：根据集合的关系，以及元素和集合的关系，逐一分析选项.详解：π是无理数，故π∉Q ，所以A 错误；集合(){}0,1是点集，集合{}0,1是数集，所以(){}{}0,10,1⊆错误，故B 错误；∅是集合{}∅的一个元素，故{}∅∈∅，所以C 正确；集合{}2是集合{}1,2的子集，所以D 错误．故选: C 点睛：本题考查元素和集合的关系，以及集合间的关系，属于基础题型，意在考查基本概念. 10．A解析：先求出集合N ，然后直接求交集. 详解：解：由于{}(5)0N x x x =-<，则{}05N x x =<<，因为{}0,1,3,5,7M =，所以M N ={}1,3，故选：A点睛：此题考查了集合的交集运算，属于基础题.二、填空题 1．7解析：根据具有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个，计算即可得出答案。

集合与集合的关系习题

一、元素与集合、集合与集合的关系1、用恰当的符号填空（1） {1,2,3} {1,2,3,4,5} （2） {1,2,3} {3,2,1}（3） φ {0} （4） {1,6,3} {6,8}（5） φ { φ} （6） 0 {0}2、设集合M={x|x =2k +41，k ∈Z }，N={x|x=4k +21，k ∈Z}，则（）A 、M=NB 、MN C 、N M D 、M N=φ 3、若集合X={x|x>-1}，下列关系式中成立的为（）A 、0⊆XB 、{0}∈XC 、φ∈XD 、{0}⊆X4、判断下列集合A 与B 之间有怎样的关系：①、已知集合A={x|x=2k-1,k ∈Z} B={x|x=2m+1,m ∈Z}②、已知集合A={x|x=2k,k ∈Z} B={x|x=4m,m ∈Z}二、子集、真子集1、写出集合{a ，b}的所有子集，真子集，非空子集，非空真子集2、写出集合{1,2,3}的子集，真子集，非空子集，非空真子集3、某集合含n 个元素，该集合的子集数：真子集数：非空子集数：非空真子集数：4、满足{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 共有多少个？5、满足{a}⊆M ⊆{a ，b ，c ，d}的集合M 共有多少个？三、用子集求集合1、已知集合A={x|-3≤x ≤4} B={x|2m-1≤x ≤m+1}，当B ⊆A 时，求出m 的取值范围。

2、已知集合A={x|-2≤x ≤5} B={x|m+1≤x ≤2m-1}，当B ⊆A 时，求m 的取值范围。

3、已知集合A={x|-3≤x ≤2} B={x|2k-1≤x ≤2k+1}，当A ⊇B 时，则实数k的取值范围。

四、提高练习：1、设集合S={a，b，c，d，e}，则包含{a，b}的S的子集共有（）个A、2B、3C、5D、82、集合A={（x，y）|2x+5=5，x∈N，y∈N}，则A的非空真子集的个数为（）A、4B、5C、6D、73、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，若A={1,3}，B={2,4}，则点集A×B的非空真子集的个数是个。

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《集合与集合之间的关系》
一、复习引入
1、元素与集合之间的关系：
（1）属于：记作：A a ___ （2）不属于：记作：A a ___
2、思考：数之间存在相等与不相等的关系；元素与集合之间存在与的关系那么集合与集合之间呢？
二、概念形成与深化
观察下面实例：
（1）}3,1{=A ,}6,5,3,1{=B (2)}|{是长方形
x x C =，}|{是平行四边形x x D =
（3）}|{P 是菱形
x x =，}|{Q 是正方形x x =
1、子集：一般地，如果集合A 中的一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的记作：我们规定：是任意一个集合的子集。

2、真子集：如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中有一个元素集合A 中，那么集合A 叫做集合B 的；记作：
3、相等的集合：
三、概念应用
例1 写出集合}3,2,1{=A 的所有子集和真子集。

写出集合}3,2,1,0{的所有子集。

例2 说出下列每对集合之间的关系：
（1）}5,4,3,2,1{=A ，}5,3,1{=B
（2）}1|{2==x x P ，}1|||{==x x Q
（3）}|{是奇数x x C =，}|{D 是整数x x =
指出下列各对集合之间的关系。

（1）}|{是等边三角形x x A =，}|{B 是等腰三角形x x =
（2）}1|{>=x x A ，}2|{≥=x x B
（3）}|{C 是等腰直角三角形x x =，}45|{D 的直角三角形是有一个角是 x x =_______ 例3 判定下列集合A 与B 的关系。

（1）}12|{A 的约数是x x =，}36|{B 的约数是x x =
（2）}3|{A >=x x ，}5|{B >=x x
（3）}|{A 是矩形x x =，}|{B 行四边形是有一个角是直角的平x x =
五、达标检测：
1、集合},{b a 的子集有（）
A 、 1个
B 、 2个
C 、 3个
D 、4个
2、有下列结论：
（1）空集没有子集；（2）空集是任何集合的真子集；
（3）任何一个集合必有两个或两个以上的子集；
（4）如果N M ⊆，则不属于集合M 的元素必不属于集合N 。

A 、 0个
B 、 1个
C 、2个
D 、 3个
3、已知集合}0,0|),{(><+=xy y x y x M ，和}0,0|),{(><=x x y x N ,那么
A 、M N ⊄
B 、N M ⊄
C 、M N =
D 、N M ⊄
4、0}0{∅
5、试写出满足},,,{},{d c b a A b a ⊆⊆的集合A。