空间向量及其运算

空间向量及其运算

最新考纲考情考向分析

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.

1.空间向量的有关概念

名称概念表示

零向量模为0的向量0

单位向量长度(模)为1的向量

相等向量方向相同且模相等的向量a＝b

相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直

线互相平行或重合的向量

a∥b

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫作空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π

2，则称a 与b 互相垂直，

记作a ⊥b . ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).

向量表示 坐标表示 数量积 a·b

a 1

b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R )

a 1＝λ

b 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0 (a ≠0，b ≠0)

a 1

b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0

模 |a | a 21＋a 22＋a 23

夹角

〈a ，b 〉 (a ≠0，b ≠0)

cos 〈a ，b 〉＝

a 1

b 1＋a 2b 2＋a 3b 3

a 21＋a 22＋a 23·

b 21＋b 22＋b 2

3

概念方法微思考

1.共线向量与共面向量相同吗？

提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？

提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.

3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？

提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × )

(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.( √ ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( × ) 题组二 教材改编

2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是( )

A.－12a ＋1

2b ＋c

B.12a ＋1

2b ＋c C.－12a －1

2b ＋c

D.12a －1

2

b ＋

c 答案 A

解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)

＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1

2

b ＋

c .

3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案

2

解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →

)2

＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，

∴|EF →

|＝2，∴EF 的长为 2.