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高等数学第七章无穷级数.ppt
推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论 级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论,可以直接判别某此级数的敛散性。例如:
例如:
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节 正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理 二、比较审敛法 三、比值审敛法 四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点:部分和序列 单调递增。
当
无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立:
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例:判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解:lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例:判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解:上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解:部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例:判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解:上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
数学分析级数课件ppt
就是该区间上的一个函数。
幂级数的求和公式
幂级数的求和公式
对于形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的幂级数,其和可以通过以下公式求得:(S = lim_{n to infty} sum_{k=0}^{n} a_k x^k)
求和公式的应用
求和公式是研究幂级数的重要工具,可以用于计算函数的值、求函数的导数和积分等。
等差级数的求和公式
前n项和公式
S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。
任意项和公式
S=n/2*(a_1+a_n)。
无限项和公式
S=a_1/2*d*(n^2+(3*n)/2)。
04
幂级数
幂级数的定义
幂级数:由形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的无穷序列组成的级数,其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数,(x) 是变量。
VS
表示方法
a_n=a_1+(n-1)d,其中a_1是首项,d是 公差,n是项数。
等差级数的性质
递增性
如果公差d>0,则等差级数递增;如果公差 d<0,则等差级数递减;如果公差d=0,则 等差级数为常数。
对称性
等差级数的对称轴是首项和末项的中点,即 (a_1+a_n)/2。
有界性
等差级数的值域为[a_1-d/2, a_1+d/2],即 首项减去公差的一半和首项加上公差的一半 之间的所有实数。
THANKS
感谢观看
等比级数的求和公式
当公比$q$不等于1时,等比 级数的和为$frac{a(1q^n)}{1-q}$。
高教社2024高等数学第五版教学课件-8.3 任意项级数
注意:上述定理的逆定理不成立。即不能由级数 σ∞
=1 收敛得出级
数σ∞
=1 收敛。
例4
∞
判定级数σ=1
2
解
考 虑 级 数 σ∞
=1
σ∞
=1
(为常数)的敛散性。
2
,因为
2
=
2
1
∞
σ
收敛,由比较判别法可知,级数 =1
−1
= 0,由定理1知级数σ∞
(−1)
=1
2
<1
2
2
收敛。
2
2
= ,
二、绝对收敛与条件收敛
为了判定任意项级数 σ∞
=1 的敛散性,通常先考察其各项的绝对值组
成的正项级数σ∞
=1 的收敛性。
定义2
∞
σ
如果级数σ∞
收敛,则称级数
=1
=1 绝对收敛;如果级数
=1
或
∞
(−1) = −1 + 2 − 3 + 4 + ⋯ + (−1) + ⋯
=1
其中 > 0 (n=1,2,3,…)
−1 或级数σ∞ (−1) 为交错级数。
则称级数σ∞
=1(−1)
=1
= − σ∞ (−1)−1 ,所以在后面的讨论中,
第八章 无穷级数
第三节 任意项级数
任意项级数 σ∞
=1 中 (n=1,2,3,…)为任意实数,
本节只讨论某些特殊类型任意项级数的敛散性问题。
一、交错级数
级数的ppt
n1
推论 设级数 un 收敛, vn 发散, (un vn )
n1
n1
n1
发散.
例 10
求级数
n1
1 2n
3 n(n
1)
的和.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响 级数的敛散性.
练习:
级数收敛
lim
n
un
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
2.必要条件但不充分.
例 12 判别级数
un
n1
(1)n1
n1
n n1
的敛散性
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分的总长和剩下部分的总长各是多少?
0 12 1
99 3
27 8 1
39 9
常数项级数的概念
若有数列u1,u2, ,un ,我们把形如
u1 u2 u3 un
的式子叫做常数项无穷
级数 简称常数项级数
一般项
记作 un n1
常数项级数的概念
记sn u1 u2 u3 un,称为级数的 前n项部分和,简称为前n项和.
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推论 设级数 un 收敛, vn 发散, (un vn )
n1
n1
n1
发散.
例 10
求级数
n1
1 2n
3 n(n
1)
的和.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响 级数的敛散性.
练习:
级数收敛
lim
n
un
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
2.必要条件但不充分.
例 12 判别级数
un
n1
(1)n1
n1
n n1
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分的总长和剩下部分的总长各是多少?
0 12 1
99 3
27 8 1
39 9
常数项级数的概念
若有数列u1,u2, ,un ,我们把形如
u1 u2 u3 un
的式子叫做常数项无穷
级数 简称常数项级数
一般项
记作 un n1
常数项级数的概念
记sn u1 u2 u3 un,称为级数的 前n项部分和,简称为前n项和.
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数学分析级数PPT课件
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极
限来判别收敛性.
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*推论2设 un 为正项级数.
(i)若 lim u n 1q1,则 级 数 收 敛 ; u n
n
(ii)若 lim u n1q1,则 级 数 发 散 ; u n n
*例8 研究级数 1 b b c b 2 c b 2 c 2 b n c n 1 b n c n ( 8 )
( i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un1q, un
(5)
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则级数 un 收敛.
( i i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un11, un
(6)
则 级 数 u n 发 散 .
证 ( i ) 不 妨 设 不 等 式 ( 5 ) 对 一 切 n 1 成 立 , 于 是 有
则 级 数 u n发 散 .
( 1 0 )
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证 由(9)式有un l n , 因为等比级数 ln当 1l1 时收敛, 故由比较原则, 这时级数 un 也收敛, 对
于情形(ii), 由(10)式可得 un 1n 1.
显 然 当 n 时 ,u n 不可能以零为极限, 因而由级数
§2 正项级数
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.
一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法
*四、拉贝判别法
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一、正项级数收敛性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同, 则称它为同号级数.
对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以
解析函数的级数表示PPT课件
k 0
k 0
数学物理方法
性质 3
若级数 wk (z)在区域D(边界 L)上一致收敛,且各项wk (z) k 0
在区域 D 上解析,则
(1)级数和S(z) wk (z)在 D 内解析 k 0
(2)在 D 内级数可逐项求导任意多次:
S (m) (z) w(m)k (z) k 0
数学物理方法
证明:(1).设:z——边界 L 上任意一点,z ——D 中任意
若 zk 收敛而 zk 发散,则称 zk 为条件收敛级数。
k 0
k 0
k 0
数学物理方法
例1 下列级数是否收敛?是否绝对收敛?
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
n1
1 n
发散,
n1
1 n2
收敛,
n1
1 n
数学物理方法
四、一致收敛级数的性质
性质 1
若级数 wk (z)在 D 内一致收敛于S(z),且其各项均为 D k 0
内的连续函数,则S(z)也是 D 内的连续函数。
性质 2
若级数 wk (z)在曲线 L 上一致收敛于S(z),且各项均为 L k 0
上的连续函数,则级数可沿 L 逐项积分:
L s(z)dz L wk (z)dz L wk (z)dz
实质:1.找一个收敛的正项级数 mk(收敛性比较容易判断) k 0
2.将 wk (z) 与mk 比较
(在 D 上所有点)
数学物理方法
判别法 2
已知u(z)在 D(或 L)上是个有界函数,若 wk (z)在 D(或 k 0
高等数学级数教学ppt
的敛散性.
a (1 q n ) , 当q 1时 2 n 1 解: Sn a aq aq aq 1 q . a na, 当q 1时 lim S , 当q 1时, n n
故级数 aq
n 1
n 1
a 且和为 . 收敛, 1 q
n 1
则 lim S S , 其中Sn为部分和. n n lim S2 n S, lim ( S2 n Sn ) S S 0. n n
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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件: 设级数 un收敛, 则 lim un 0. n
n 1 n
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三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件: 设级数 un收敛, 则 lim un 0. n
证:设级数 un的部分和为Sn, 且 lim S S , n n
n 1
因为 un Sn Sn1, S lim S 所以lim un lim( Sn Sn1 ) lim n n 1 n n
n 1 n 1
设级数 un收敛, 则称 5、 余项:
n 1
rn S Sn un1 un 2
为级数 un的余项.
n 1
k n1
uk
这时用Sn代替和S产生的误差为rn , 且
lim r lim ( S S ) S S 0 . n n n n
n 1
上页
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返回
三、 级数收敛的必要条件
1、 必要条件: 设级数 un收敛, 则 lim un 0. n
简明微积分(第三版)级数的概念与性质-PPT文档资料
它的前 n 项和 1 1 1 1 S n 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 )
1 1 1 n ( n 1 ) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 S ( 1 ) ( ) ( ) ( ) n 2 2 3 3 4 n n 1 1 1 n 1
称为级数的余项,
r n 为 s n代替s所产生的误差 .
例 1 判定级数
1 1 1 1 1 的敛散 . n ( n 1 ) 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1
1 1 1 解: u n n ( n 1 ) nn 1
1 1 1 1 s n 1 2 2 3 ( n 1 )n ( n 1 )n 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 n n 1 n 1
1 而 lim sn lim ( 1 ) 1 n n n1 此级数收敛,和为 1 .
二、收敛级数的基本性质 性质1 若级数
n 1
s,则它的各项同 un 收敛于和
n 1
乘以一个常数k所得的级数
ku n 也收敛,
且其和为ks.
性质2 如果级数 、 un n 1 收敛于 s 和
即
n1
n 1
分别 vn
un u1 u2 un s vn v1 v2 vn
n1
则级数 (u u u n v n) ( 1 v 1) ( 2 v 2)
n 1
其和为 s
(u 也收敛, n v n)
性质3 在级数前面加上或去掉有限项,不影响 级数的敛散性. 性质4 如果级数 收敛,则对这级数的项任 un 意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.
1 1 1 n ( n 1 ) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 S ( 1 ) ( ) ( ) ( ) n 2 2 3 3 4 n n 1 1 1 n 1
称为级数的余项,
r n 为 s n代替s所产生的误差 .
例 1 判定级数
1 1 1 1 1 的敛散 . n ( n 1 ) 1 2 2 3 3 4 n ( n 1 ) n 1
1 1 1 解: u n n ( n 1 ) nn 1
1 1 1 1 s n 1 2 2 3 ( n 1 )n ( n 1 )n 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 n n 1 n 1
1 而 lim sn lim ( 1 ) 1 n n n1 此级数收敛,和为 1 .
二、收敛级数的基本性质 性质1 若级数
n 1
s,则它的各项同 un 收敛于和
n 1
乘以一个常数k所得的级数
ku n 也收敛,
且其和为ks.
性质2 如果级数 、 un n 1 收敛于 s 和
即
n1
n 1
分别 vn
un u1 u2 un s vn v1 v2 vn
n1
则级数 (u u u n v n) ( 1 v 1) ( 2 v 2)
n 1
其和为 s
(u 也收敛, n v n)
性质3 在级数前面加上或去掉有限项,不影响 级数的敛散性. 性质4 如果级数 收敛,则对这级数的项任 un 意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.
高等数学无穷级数 PPT
P时 1收敛、
注意 P 级数在判断正项级数得敛散性方面经常用到,因
此有关 P级数敛散性得结论必须牢记、
例3判定级数
1 25
1 36
n
1
1n
4
得敛散性、
解
因为级数得一般项
1
un n 1n 4
满足
0
n
1
1n
4
1 n2
而级数就是p=2得P 级数,它就是收敛得,所以原级数
也就是收敛得、
定理3 比较判别法得极限形式:
判别级数
1
n
1
nn
就是否绝对收敛、
n 1
n!
解 因为
n 1n1
lim un1 u n
n
lim n
n 1!
nn
n 1n
lim
n n
n
lim1 n
1 n
n
e
1
n!
故由比值判别法可知级数
un
n 1
n
n
n1 n!
数
1 n 1
n不n 就是绝对收敛、
n 1
n!
发散,从而原级
例10
证明级数
例8
判别级数
n 1
1 n 1
n 3 n 1
得敛散性,说明就是否绝对收
敛、
解 因为
n 1
lim un1 lim 3n lim n 1 1 1
u n n
n n
n 3n 3
3n1
故由比值判别法可知级数
u
n
n 1
n
3 n 1
n 1
数
绝对收敛、 1 n1 n
n 1
3 n 1
高等数学 课件 PPT 第十一章 无穷级数
第二节 正项级数及其审敛法
定 理3
(比较审敛法的极限形式)设有两个正项级数
(1)如果
级数
收敛.
,且级数 收敛,则
(2)如果
,且级数
发散,则级数
发散.
第二节 正项级数及其审敛法
证 因为 n>N时
对任给ε>0,存在正整数N,当
(1)当n>N时
因为 收敛,由比较审敛法的推论可知
也收敛.
第二节 正项级数及其审敛法
则 (1)当ρ<1时,级数 (2)当ρ>1时,级数 (3)当ρ=1时,级数
收敛. 发散(包括ρ=∞). 可能收敛也可能发散.
第二节 正项级数及其审敛法
证 由极限的定义可知,对任给ε>0,存在正整数N, 当n>N时,不等式
成立. (1)当ρ<1时,取ε使得ρ+ε=q<1,于是当n>N时,
即
第二节 正项级数及其审敛法
二、收敛级数的基本性质
性质1
设k为非零常数,若级数 敛,且其和为ks.
收敛于和s,则级数
也收
证明
设级数
,
的部分和分别为sn,τn,则
二、收敛级数的基本性质
于是
因此,级数
也收敛,且其和为ks.
二、收敛级数的基本性质
性质2
若级数
与
分别收敛于s与τ,则级数
也收敛,其和为 s±τ.
二、收敛级数的基本性质
第二节 正项级数及其审敛法
容易看出,上式各项小于下面级数所对应的各项,即
因为后一个级数是公比为
的等比级数,并且由
得知r<1.所以该级数收敛.再根据比较审敛法推得前 一个级数也收敛.又因为收敛的正项级数去掉括号后仍收敛,所以 原级数收敛.
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无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
计算圆的面积
a1 正十二边形的面积 a1 a2 正 3 2 n 形的面积 a1 a2 an 即 A a1 a2 an
正六边形的面积
1
R
一般项
cos
2
n
lim cos
2
n
1 0 , 级数发散。
12
2、必要条件不充分:
若 lim un 0 , 级数却不一定收敛.
1 1 1 ) 0 ( n ) , 但级数发散。 如 ln( 1 ) : ln( n n n 1
再举一个重要例子:
n
1000 10000 1 1111 , 1 9 9 1 10
7
1000 10000 1 1111 , 1 9 9 1 10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜;如果赛程恰好 等于这个距离,则双方平分秋色; 否则,阿基里斯就要在距离起点
1 1111 处追上并超过乌龟 . 9
8
n1 n1 n1
n
收敛;
(2) 若
un 收敛,而 vn
n 1 n 1
发散,则
(u
n1
vn ) 必发散.
证 假设
而已知
(u
n1
n
vn ) 收敛 , 由 vn (un vn ) un ,
由上述性质得
un 收敛 ,
n 1
n n
vn 收敛, 矛盾.
1000 100 100 100 米, 的时间为 ,在这段时间里,乌龟又爬了v 10v v v 100 10 阿基里斯为跑完这段路又花费时间 ,此时乌龟又在他前面 10v v
10 米处 , …… , 依次类推 , 阿基里斯需要追赶的全部路程为
1000 100 10
1 1 的几何级数 , 易求得它的和为 这是一个公比为 q 10
n1
(2) 如果级数
un 、 vn 都收敛,则 (un vn )
n 1 n 1 n 1
n1
也收敛,且有
(un vn ) un vn .
n1 n1 n1
由级数收敛的定义,以及极限的性质,不难证明。
15
注:
(1) 不能由
(un vn ) 收敛推出 un 、 vn
n 1
所以
(u v )
n1
发散 .
16
性质3 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
证略。
例如,若级数
un 收敛, 则级数
n 1
n1
(u
n 1
2 n 1
u2 n ) 、 (u3 n 2 u3n1 u3n ) 均收敛,
且和不变. 注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如 (1 1) (1 1) 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.
n 1
3
例1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性. 解
a aq Sn a aq aq aq , 1 q a n 收敛 当q 1时, lim q 0 limS n n n 1 q
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 1 (1 ) (n ) , 2 2 2n 1 1 级数收敛 , 且和为 . 2
9
1 例3 讨论级数 ln(1 ) 的敛散性. n n 1
假设调和级数收敛 , 其和为 S.
(S 2 n S n) SS0, 于是 lim n
1 便有 0 ( n ) , 矛盾, 级数发散 . 2
14
性质2 线性运算性质
(1) 如果级数
u
n 1
n 收敛 , 则
kun 亦收敛,且有 n 1
kun k un .
1 1 1 例2 讨论无穷级数 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1) 的收敛性. 1 1 1 1 u ( ), 解 n ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 Sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
49 . 1 1 6 1 1 3 4
21
1Leabharlann 5例5判断下列级数的敛散性:
100
2. 1 2 3 10
1 n n 1 5
收敛;
1 1 1 1 3. 2 4 6 2n
1 1 2 n 1 n
发散。
22
2 n1
如 果q 1,
n
当q 1时, lim q
n n
lim S n
n
4
发散
如果q 1,
当q 1时,
Sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim S n不 存 在, 发散
n
综上所述,
2
当 n 时 , 如果级数
S un 的部分和数列
n 1
n
有极限 S ,
即 lim S n S , 则称无穷级数
n
un 收敛,
n 1
这时极限 S 叫做级数
un 的和,并写成
n 1
u
n 1
n
S
如果数列{ S n } 没有极限,则称无穷级数
un 发散.
17
性质4 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响
它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变). 证略。
18
例4 已知
n 1 ( 1 ) un 2 , n 1
u
n1
2 n1
5 , 求 un .
n1
解
由性质3, ( 1)n1 un 2
n 1
(u
如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远
也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理 在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢?
6
如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论 就会不攻自破.
设乌龟的速度为 v,则阿基里斯的速度为 10 v,他跑完 1000 米所化
1 解 u n ln(1 ) ln(n 1) ln n , 所以 n
S n ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln(n 1) ln n
ln(n 1) n
所以级数发散.
10
性质1 (级数收敛的必要条件)
若级数
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和
— (常数项)无穷级数
n
S n u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
S1 u1 ,
S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 ,,
Sn u1 u2 un ,
n 1
2 n 1
u2 n ) 2 ,
由性质2,
u
n 1
2n
[u2 n1 ( u2 n1 u2 n )]
n 1
u2 n1 ( u2 n1 u2 n ) 5 2 3 ,
n 1 n 1
所以
(u
n 1
2 n 1
n 0
a 时, 收敛 n 当 | q | 1 1 q aq
当 | q | 1时, 发散
5
公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论:
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌 龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定 阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理 论依据是:当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟 仍然前于他100米;当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然 前于他10米,…,
n
于是
u
n 1
n
limSn 8 .
n
20
例5
判断下列级数的敛散性:
1 5 1. ( n n ) 4 n0 3
1 解 因为 n , n 0 3
1 n 都收敛, 故原级数收敛, n 0 4
1 5 1 1 且和为 ( n n ) n 5 n 4 n 0 3 n 0 3 n 0 4
u
n1
n
收敛,则必有lim un 0 .
n
证明
un Sn Sn1 ,
n
lim S n S ,
lim un lim( S n S n1 ) lim S n lim S n 1
n n
n n
SS 0.
11
若级数
1 1 1 1 调和级数 1 , 2 3 n n 1 n
1 l i m 0 , 但级数是否收敛 ? n n
一、级数的基本概念
计算圆的面积
a1 正十二边形的面积 a1 a2 正 3 2 n 形的面积 a1 a2 an 即 A a1 a2 an
正六边形的面积
1
R
一般项
cos
2
n
lim cos
2
n
1 0 , 级数发散。
12
2、必要条件不充分:
若 lim un 0 , 级数却不一定收敛.
1 1 1 ) 0 ( n ) , 但级数发散。 如 ln( 1 ) : ln( n n n 1
再举一个重要例子:
n
1000 10000 1 1111 , 1 9 9 1 10
7
1000 10000 1 1111 , 1 9 9 1 10
也就是说,如果赛程比这个距离短,则乌龟胜;如果赛程恰好 等于这个距离,则双方平分秋色; 否则,阿基里斯就要在距离起点
1 1111 处追上并超过乌龟 . 9
8
n1 n1 n1
n
收敛;
(2) 若
un 收敛,而 vn
n 1 n 1
发散,则
(u
n1
vn ) 必发散.
证 假设
而已知
(u
n1
n
vn ) 收敛 , 由 vn (un vn ) un ,
由上述性质得
un 收敛 ,
n 1
n n
vn 收敛, 矛盾.
1000 100 100 100 米, 的时间为 ,在这段时间里,乌龟又爬了v 10v v v 100 10 阿基里斯为跑完这段路又花费时间 ,此时乌龟又在他前面 10v v
10 米处 , …… , 依次类推 , 阿基里斯需要追赶的全部路程为
1000 100 10
1 1 的几何级数 , 易求得它的和为 这是一个公比为 q 10
n1
(2) 如果级数
un 、 vn 都收敛,则 (un vn )
n 1 n 1 n 1
n1
也收敛,且有
(un vn ) un vn .
n1 n1 n1
由级数收敛的定义,以及极限的性质,不难证明。
15
注:
(1) 不能由
(un vn ) 收敛推出 un 、 vn
n 1
所以
(u v )
n1
发散 .
16
性质3 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
证略。
例如,若级数
un 收敛, 则级数
n 1
n1
(u
n 1
2 n 1
u2 n ) 、 (u3 n 2 u3n1 u3n ) 均收敛,
且和不变. 注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如 (1 1) (1 1) 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.
n 1
3
例1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性. 解
a aq Sn a aq aq aq , 1 q a n 收敛 当q 1时, lim q 0 limS n n n 1 q
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 1 (1 ) (n ) , 2 2 2n 1 1 级数收敛 , 且和为 . 2
9
1 例3 讨论级数 ln(1 ) 的敛散性. n n 1
假设调和级数收敛 , 其和为 S.
(S 2 n S n) SS0, 于是 lim n
1 便有 0 ( n ) , 矛盾, 级数发散 . 2
14
性质2 线性运算性质
(1) 如果级数
u
n 1
n 收敛 , 则
kun 亦收敛,且有 n 1
kun k un .
1 1 1 例2 讨论无穷级数 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1) 的收敛性. 1 1 1 1 u ( ), 解 n ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 Sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
49 . 1 1 6 1 1 3 4
21
1Leabharlann 5例5判断下列级数的敛散性:
100
2. 1 2 3 10
1 n n 1 5
收敛;
1 1 1 1 3. 2 4 6 2n
1 1 2 n 1 n
发散。
22
2 n1
如 果q 1,
n
当q 1时, lim q
n n
lim S n
n
4
发散
如果q 1,
当q 1时,
Sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim S n不 存 在, 发散
n
综上所述,
2
当 n 时 , 如果级数
S un 的部分和数列
n 1
n
有极限 S ,
即 lim S n S , 则称无穷级数
n
un 收敛,
n 1
这时极限 S 叫做级数
un 的和,并写成
n 1
u
n 1
n
S
如果数列{ S n } 没有极限,则称无穷级数
un 发散.
17
性质4 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响
它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变). 证略。
18
例4 已知
n 1 ( 1 ) un 2 , n 1
u
n1
2 n1
5 , 求 un .
n1
解
由性质3, ( 1)n1 un 2
n 1
(u
如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远
也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理 在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢?
6
如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论 就会不攻自破.
设乌龟的速度为 v,则阿基里斯的速度为 10 v,他跑完 1000 米所化
1 解 u n ln(1 ) ln(n 1) ln n , 所以 n
S n ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln(n 1) ln n
ln(n 1) n
所以级数发散.
10
性质1 (级数收敛的必要条件)
若级数
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和
— (常数项)无穷级数
n
S n u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
S1 u1 ,
S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 ,,
Sn u1 u2 un ,
n 1
2 n 1
u2 n ) 2 ,
由性质2,
u
n 1
2n
[u2 n1 ( u2 n1 u2 n )]
n 1
u2 n1 ( u2 n1 u2 n ) 5 2 3 ,
n 1 n 1
所以
(u
n 1
2 n 1
n 0
a 时, 收敛 n 当 | q | 1 1 q aq
当 | q | 1时, 发散
5
公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论:
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌 龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定 阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理 论依据是:当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟 仍然前于他100米;当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然 前于他10米,…,
n
于是
u
n 1
n
limSn 8 .
n
20
例5
判断下列级数的敛散性:
1 5 1. ( n n ) 4 n0 3
1 解 因为 n , n 0 3
1 n 都收敛, 故原级数收敛, n 0 4
1 5 1 1 且和为 ( n n ) n 5 n 4 n 0 3 n 0 3 n 0 4
u
n1
n
收敛,则必有lim un 0 .
n
证明
un Sn Sn1 ,
n
lim S n S ,
lim un lim( S n S n1 ) lim S n lim S n 1
n n
n n
SS 0.
11
若级数
1 1 1 1 调和级数 1 , 2 3 n n 1 n
1 l i m 0 , 但级数是否收敛 ? n n