谓词逻辑习题及答案教学内容
谓词逻辑练习及答案讲课稿
谓词逻辑练习及答案第二章谓词逻辑练习一1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：（1）∀x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元）（2）∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)（3）∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))（4）P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))解（1）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，∀x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
（2）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中 x为约束变元。
存在量词∃，辖域 S(x) ，其中 x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)不是命题。
（3）全称量词∀，辖域 P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中 x为约束变元，T(y)中y为自由变元。
存在量词∃，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。
∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
（4）全称量词∀，辖域∃x(P(x)∧B(x,y))，其中 y为约束变元。
存在量词∃，辖域P(x)∧B(x,y)，其中 x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”：（1）∀x(E(x)→┐x=1)（2）∀x(E(x)∧┐x=1)（3）∃x(E(x)∧x=1)（4）∃x(E(x)→x=1)再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
解（1）∀x(E(x)→┐x=1) 真∀x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。
谓词逻辑-习题与答案
1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。
答： 析取范式：)()()()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨=2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为答： ∀x ∀y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y))3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ B ）。
A 、)),()((y x A x L x →∀；B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ ；C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 。
4．下列各式中哪个不成立（ A ）。
A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。
5．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是))()((,)(,))()((,)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效结论。
离散数学习题课-谓词逻辑
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
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练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
19
练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
谓词逻辑复习题答案
谓词逻辑复习题答案
1. 谓词逻辑中的谓词是用来表示什么？
答案：谓词逻辑中的谓词是用来表示一个或多个对象之间关系的符号。
2. 什么是量词？
答案：量词是用来表示某个属性或关系在一定范围内的普遍性或存在
性的逻辑符号。
3. 存在量词和全称量词的区别是什么？
答案：存在量词表示在某个范围内至少存在一个对象满足某种属性或
关系，而全称量词表示在某个范围内的所有对象都满足某种属性或关系。
4. 谓词逻辑中的等价关系有哪些？
答案：谓词逻辑中的等价关系包括逻辑等价、逻辑蕴含和逻辑逆否。
5. 如何使用谓词逻辑表达“所有学生都爱学习”？
答案：可以使用全称量词表达为：∀x(S(x) → L(x))，其中S(x)表示
x是学生，L(x)表示x爱学习。
6. 如何使用谓词逻辑表达“存在一个学生不爱学习”？
答案：可以使用存在量词表达为：∃x(S(x) ∧ ¬L(x))，其中S(x)表示x是学生，L(x)表示x爱学习，¬L(x)表示x不爱学习。
7. 谓词逻辑中的合取、析取和否定如何表示？
答案：合取用符号∧表示，析取用符号∨表示，否定用符号¬表示。
8. 谓词逻辑中的蕴含和等价如何表示？
答案：蕴含用符号→表示，等价用符号↔表示。
9. 谓词逻辑中的量词可以嵌套使用吗？
答案：可以，量词可以嵌套使用，但需要注意量词的作用域。
10. 如何使用谓词逻辑表达“每个学生都有一个朋友”？
答案：可以使用全称量词和存在量词嵌套表达为：∀x(S(x) →
∃y(F(x, y) ∧ P(y)))，其中S(x)表示x是学生，F(x, y)表示x和y是朋友，P(y)表示y是人。
逻辑学导论(第3版) 练习题及详细答案-第4章 谓词逻辑
逻辑学导论（第3版）练习题及其答案第四章课后习题详细答案解析一、请用谓词逻辑的语言把下述命题或推理符号化：1.没有最大的自然数。
2.一个好的专家胜过任何业余人士。
3.每一个时刻都在有的时刻之后。
4.神帮助所有自助的人，并且只帮助自助的人。
5.如果所有的人都尊重每一个人，则每一个人都会很快乐。
6.有一本书，全班同学都喜欢它并且轮流读过它，而它为王军所拥有。
7.所有教逻辑的教师，其思维一定非常合乎逻辑，这一说法是假的。
8.对于任意的自然数x、y来说，x+5=y当且仅当x=y 5。
9.如果天堂的门将只对穷人敞开，而约翰是一位大富翁，那么，约翰将进不了天堂。
10.或者所有的学生喜欢所有老师讲课，或者有的学生不喜欢有的老师讲课。
11所有的马都是动物，所以，所有的马头都是动物头。
12.有的人得到所有人的尊敬，有的人得到某些人的尊敬，但一个人至少应该自己尊敬自己。
13.如果有的自然数小于所有自然数，那么肯定有自然数自己小于自己，而后一说法肯定是假的，所以，前一说法也是假的。
14.如果牛郎不爱所有爱织女的男人，那么，如果孙悟空爱织女，则牛郎不爱孙悟空或者大白菜是云彩。
15.仅当大学生爱好数学时才爱好逻辑。
16.如果张三有罪，则没有一个证人说谎，除非他害怕。
有证人害怕。
因此，张三无罪。
17.最大的行星是木星。
18.至少有三个碳同素体。
19.双子座恰有两颗明亮的星星。
20.每位丈夫有恰好一位妻子。
二、用解释方法证明下面前五个公式不普遍有效，后五个公式可满足：1.∃xA(x)∧∃xB(x)→∃x(A(x)∧B(x))2.∀x(A(x)∨B(x))→∀x A(x)∨∀xB(x)3.(∃xA(x)→∃xB(x))→∀x(A(x)→B(x))4.∃xA(x)∧∀xB(x)→∀x(A(x)∧B(x))5.∀z(∀x(R(x，z)→R(z，z))∧∀y(R(y，z)→R(z，z))→∀x(R(y，z)→R(x，z)))6.(∀xA(x)→∀xB(x))→∀x(A(x)→B(x))7.∀x(Px→Mx)∧∃x(Sx∧Mx)→∀x(Sx→Px)8.∃y∀xR(x，y)→∀x∃yR(x，y)9.∀x(M(x)→∃y(D(y)∧R(x，y)))10.∃x(D(x)∧∀y(M(y)→⌝R(x，y)))三、请用树形图判定下述公式是否普遍有效式：1.∀x∀yR(x，y)↔∀y∀xR(x，y)2.∃x∃yR(x，y)↔∃y∃xR(x，y)3.∃x∀yR(x，y)→∀y∃xR(x，y)4.∀x(A(x)→B(x))∧∀x(B(x)→C(x))→∀x(A(x)→C(x))5.∀x(A(x)→C(x))∧∀x(B(x)→C(x))∧∃x(A(x)∨B(x))→∃xC(x)6.∀x(A(x)→B(x))∧∃x(C(x)∧⌝B(x))→∃x(C(x)∧⌝A(x))7.∃x(A(x)∧⌝B(x))→∃xA(x)∧∃x⌝B(x)8.∀xA(x)∨∀xB(x)→∀x(A(x)∨B(x))9.∀x(M(x)→∃y(D(y)∧R(x，y)))10.∃x(Dx∧∀y(My→⌝R(x，y)))→∀y(My→∃x(Dx∧⌝R(x，y)))四、证明下述公式是Q N定理：1.∃x(A(x)→B(x))↔(∀xA(x)→∃xB(x))2.(∃xA(x)→∀xB(x))→∀x(A(x)→B(x))3.∀x(A(x)→B(x))→(∃xA(x)→∃xB(x))4.∀x(A(x)↔B(x))→(∀xA(x)↔∀xB(x))5.∀x(A(x)↔B(x))→(∃xA(x)↔∃xB(x))6.∀x(A∧B(x))↔A∧∀xB(x)，若x在A中不自由7.∃x(A∧B(x))↔A∧∃xB(x)，若x在A中不自由8.∀x(A∨B(x))↔A∨∀xB(x)，若x在A中不自由9.∃x(A∨B(x))↔A∨∃xB(x)，若x在A中不自由10.∃x(A(x)∧∀y(B(y)→C(x，y)))→∀y(B(y)→∃x(A(x)∧C(x，y)))五、为下述推理构造Q N证明：1.Aα，∀x(A(x)→∀yB(y)) /∴∀xB(x)2.∀x(A(x)→B(x))，∃x⌝B(x)，∀x (⌝A(x)→C(x)) /∴∃xC(x)3.∀x(A(x)∨B(x)→⌝C(x))，∃x⌝(⌝A(x)∧⌝B(x)) /∴⌝∀xC(x)4.∃x(A(x)∧B(x))⌝∀yC(y)，⌝C(α) /∴∀x(A(x)→⌝B(x))5.∀x(A(x)∨B(x)→C(x))，∀x(C(x)∨D(x)→E(x)) /∴∀x (A(x)→E(x))6.∃xA(x)→∃xB(x)，∀x (C(x)→A(x)) /∴∃xC(x)→∃xB(x)7.∀x(A(x)→B(x))，∃x(C(x)∧⌝B(x))，∀x (⌝D(x)∨A(x)) /∴∃x(C(x)∧⌝D(x))8.∃xA(x)→∃x(B(x)∧C(x))，∃x(C(x)∨D(x))→∀xE(x) /∴∀x (A(x)→E(x))9.∀x(A(x)∧B(x)→C(x))，∃x(D(x)∧B(x))，∀x(⌝A(x)→⌝D(x))/∴∃x(C(x)∧D(x))10.∀x(A(x)∨B(x)→C(x)∧D(x)) /∴∃x(A(x)∨C(x))→∃xC(x)11.∃xA(x)→∃yB(y)，∃x(A(x)∧∀y(B(y)→R(x，y))) /∴∃x∃yR(x，y)12.∀x(A(x)→∃y(A(y)∧B(x，y)))，∃x(A(x)∧∀y(A(y)∧B(x，y)→C(x，y))) /∴∃x∃y(A(x)∧A(y)→C(x，y))13.∀x(A(x)→B(x)) /∴∀x (∃y(A(y)∧C(x，y))→∃z(B(z)∧C(x，z)))14.∃xA(x)→⌝∃xB(x) /∴∀x(∃yA(y)→⌝B(x))15.∃xA(x)→∃xB(x) /∴∃y∀x (A(x)→B(y))六、先用谓词逻辑的语言把下述推理符号化，再为其构造Q N证明：1.所有的科学家都是理性主义者，没有宗教狂热者是理性主义者，所以，所有的宗教狂热者都不是科学家。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目与参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。
12. R⌝))((的主合取式∧RQ∨Pwff→为。
13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。
14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。
谓词逻辑试题讲解及答案
谓词逻辑试题讲解及答案1. 定义谓词逻辑中的量词。
谓词逻辑中的量词用来表示对某个集合中所有元素或某些元素的断言。
主要有两种量词：全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示对所有对象都成立的断言，而存在量词表示至少有一个对象满足断言。
2. 解释谓词逻辑中的谓词。
谓词逻辑中的谓词是对一个或多个对象的属性或关系的描述。
例如，谓词“P(x)”可以表示“x是偶数”。
谓词可以是一元的（一个参数），二元的（两个参数），或者多元的（多个参数）。
3. 给出一个谓词逻辑表达式，并解释其含义。
表达式：∀x∈N, ∃y∈N, x=2y含义：对于所有自然数x，都存在一个自然数y，使得x等于2y的倍数。
4. 判断下列命题是否为真，并给出理由。
命题：∀x∈R, x^2 ≥ 0答案：真。
理由：对于所有实数x，x的平方都是非负的。
5. 将下列自然语言命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：所有人都是聪明的。
表达式：∀x(P(x) → C(x))解释：对于所有个体x，如果x是人（P(x)），那么x是聪明的（C(x)）。
6. 证明：如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数。
证明：设x为任意整数，如果x是偶数，即存在一个整数k使得x=2k。
那么x^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)，由于2k^2是整数，所以x^2是偶数。
7. 判断下列命题是否为假，并给出理由。
命题：存在一个实数x，使得x^2 < 0。
答案：假。
理由：实数的平方不可能是负数，因为任何实数的平方都是非负的。
8. 将下列命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：没有比2大的偶数。
表达式：∀x∈N, (x > 2 ∧ x是偶数) → 假解释：对于所有自然数x，如果x大于2并且是偶数，则该命题为假。
9. 证明：如果一个数是奇数，那么它的平方也是奇数。
证明：设x为任意整数，如果x是奇数，即存在一个整数k使得x=2k+1。
那么x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1，由于2k^2 + 2k是整数，所以x^2是奇数。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案上课讲义
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束范式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取范式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。
12. R⌝))((的主合取范式∧RQ∨Pwff→为。
13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。
14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u范式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。
谓词逻辑(一)PPT上习题及答案
谓词逻辑（一）PPT上习题及答案1、所有的企业家都是MBA.所以，并非所有的企业家都不是MBA。
SAP→﹁SEP2、所有的客观规律都不是以人的意志为转移的，所以，并非所有的客观规律都是以人的意志为转移的。
SEP→﹁SAP3、并非有的有限责任公司是上市公司，所以，有的有限责任公司不是上市公司。
﹁SIP→SOP4、在库存的产品中，并非有的产品不是劣质产品，所以，在库存的产品中，有的产品是劣质产品。
﹁SOP→SIP5、所有的人都有保护环境的义务，所以，并非有些人没有保护环境的义务。
SAP→﹁SOP6、凡放火罪都不是过失犯罪，所以，并非有的放火罪是过失犯罪。
SEP→﹁SIP7、有的兼职律师是教师，所以，并非所有的兼职律师都不是教师。
SIP→﹁SEP8、有的克里特岛人不说谎，所以，并非所有的克里特岛人都说谎。
SOP→﹁SAP9、并非所有的公民都偷税漏税，所以，有的公民不偷税漏税。
﹁SAP→SIP10、并非所有国家都没有发生疯牛病，所以，有些国家发生了疯牛病。
﹁SEP→SIP11、并非有的正当防卫是负刑事责任的，所以，所有的正当防卫都不是负刑事责任的。
﹁SIP→SEP12、并非有的醉酒的人犯罪不负刑事责任，所以，所有醉酒的人犯罪都要负刑事责任。
﹁SOP→SAP13、所有作案者都有作案时间，所以，有的作案者有作案时间。
SAP→SIP14、并非有些未满18 岁的青少年有选举权，所以，并非所有未满18 岁的青少年都有选举权。
﹁SIP→﹁SAP15、凡不能正确表达意志的人不能作证，所以，有些不能正确表达意志的人不能作。
SEP→SOP16、并非有些花朵不是美丽的，所以，并非所有花朵都不是美丽的。
﹁SOP→﹁SEP通过调查得知，并非所有个体商贩都有偷税、逃税行为。
如果上述调杏的结论是真实的，那么以下哪项一定为真?A. 所有的个体商贩都没有偷税、逃税行为。
B. 多数个体商贩都有偷税、逃税行为。
C. 并非有的个体商贩没有偷税、逃税行为。
谓词逻辑习题课答案
3.讨论在给定解释下谓词(wèi cí)公式的真值 （1） x(P→Q(x))∨R(a)
D={-2,3,6} , P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5 x(P→Q(x))∨R(a) (P→ xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨F F∨F F
D= {1,2} P(1) P(2) Q(1) Q(2)
FTFT 在该解释(jiěshì)下 xP(x) 为T， xQ(x)为F，所以
xP(x) → xQ(x)为F；而(P(1) →Q(1))为T， (P(2) →Q(2))为T，所以 x(P(x) →Q(x))为T；综上该公式不 是永真式 （2） x y(P(x) →Q(y)) →( xP(x) → y Q(y)) 解：是永真式。 证明：法1，形式证明
（2） x y(P(x)∧Q(x,y)) D= {1,2}， P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) FT T T F F 真值为F
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4.判断下列公式是不是永真式，并加以说明 （1）( xP(x) → xQ(x)) ↔ x(P(x) →Q(x)) 解：不是永真式，取解释(jiěshì)如下
设 A(x):x是人, B(x):x是喜欢(xǐ huan)步行, C(x):x喜欢(xǐ huan)乘汽车，D(x):x喜欢(xǐ huan)骑 自行车 x(A(x)→(B(x)→ C(x))), x(A(x)→(C(x)∨D(x))), x(A(x)∧ D(x)) x(A(x)∧ B(x))
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⑴ x(A(x)∧D(x)) ⑵ A(a)∧D(a))
⑶ A(a)
谓词逻辑-习题参考解答(2)
谓词逻辑习题参考答案与提示1.（1）设W(x)：x是工人；c：小张。
原命题可符号化为：⌝W(c)。
（2）设S(x)：x是田径运动员；B(x)：x是球类运动员；h：他。
原命题可符号化为：S(h)∨B(h)。
（3）设C(x)：x是聪明的；B(x)：x是美丽的；l：小莉。
原命题可符号化为：C(l)∧B(l)。
（4）设O(x)：x是奇数。
原命题可符号化为：O(m)→⌝O(2m)（5）设P(x，y)：直线x平行于直线y；G(x，y)：直线x相交于直线y。
原命题可符号化为：P(x，y)→⌝G(x，y)。
（6）设O(x)：x是老的；V(x)：x是健壮的；j：王教练。
原命题可符号化为：⌝O(j)∧⌝V(j)。
（7）设L(x, y)：x大于y。
原命题可符号化为：L(5,4)→L(4,6)。
2.（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1；a)0 b)0 c)0 d)0（2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1；a)0 b)0 c)0 d)1（3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0；a)1 b)1 c)0 d)0（4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1；a)1 b)1 c)0 d)0（5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x；a)1 b)1 c)1 d)1（6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x；a)1 b)1 c)0 d)0（7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。
a)1 b)1 c)0 d)03.（1）⌝∃xL(x,0)（2）∀x∀y∀z((L(x,y)∧L(y,z))→L(x,z))（3）∀x∀y((L(x,y)→∃z(L(z,0)∧G(xz,yz)))（4）∃x∀yM(x,y,y)（5）∀x∃yA(x,y,x)4. ∃!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示∃x(P(x)∧∀y(P(y)→E(y,x)))E(y,x)表示y等于x5. 设R(x)：x是兔子；T(x)：x是乌龟。
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案1. 请解释谓词逻辑中的量词“∀”和“∃”分别代表什么含义？答案：在谓词逻辑中，“∀”代表全称量词，意为“对于所有的”；“∃”代表存在量词，意为“存在”。
2. 描述谓词逻辑中命题逻辑与谓词逻辑的主要区别。
答案：命题逻辑主要处理简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和谓词，能够处理更为复杂的结构，如个体之间的关系和属性。
3. 如何用谓词逻辑表达“所有的人都是会死的”？答案：可以用谓词逻辑表达为：∀x(P(x) → Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会死”。
4. 请解释谓词逻辑中的逻辑等价和逻辑蕴涵。
答案：逻辑等价指的是两个公式在所有可能的解释下都具有相同的真值，而逻辑蕴涵指的是一个公式的真值能够保证另一个公式的真值。
5. 给定以下谓词逻辑表达式：∀x(P(x) → Q(x))，如果P(a)为真，那么Q(a)的真值如何？答案：如果P(a)为真，根据全称量词的定义，Q(a)也必须为真，否则表达式∀x(P(x) → Q(x))将不成立。
6. 请解释谓词逻辑中的析取和合取。
答案：析取（∨）表示逻辑或，即至少有一个命题为真时整个表达式为真；合取（∧）表示逻辑与，即所有命题都为真时整个表达式才为真。
7. 用谓词逻辑表达“存在一个学生，他既聪明又勤奋”。
答案：∃x(S(x) ∧ W(x) ∧ D(x))，其中S(x)表示“x是学生”，W(x)表示“x聪明”，D(x)表示“x勤奋”。
8. 描述谓词逻辑中的否定和双重否定。
答案：否定（¬）表示对一个命题的真值取反，即如果P为真，则¬P 为假；双重否定（¬¬P）则表示对否定的否定，逻辑上等同于原命题P。
9. 请解释谓词逻辑中的蕴含和逆蕴含。
答案：蕴含（→）表示如果前件为真，则后件也为真；逆蕴含（←）则表示如果后件为真，则前件也为真。
10. 用谓词逻辑表达“所有人都是动物，但并非所有动物都是人”。
离散数学习题解答-第3章谓词逻辑
3
(3)不是闭公式， H ( x, y) 中的 y 是自由变元。
习 题 3.3
1. 在谓词逻辑系统中将下列命题符号化。 (1) 没有不需要吃饭的人。 (2) 所有无理数都是实数。 (3) 大牛与小马是同学。 (4) 高山和刘水都是大学生。 (5) 并不是所有的人都喜欢跳舞。 (6) 所有火车都比某些汽车跑得快。 解：(1) x(M ( x) P( x)) . 其中， P( x) 表示： x 需要吃饭； M ( x) 表示： x 是人。 (2) x( P( x) R( x)) . 其中， P( x) 表示： x 是无理数； R( x) 表示： x 是实数。 (3) P(a, b) . 其中， P( x, y ) 表示： x 与 y 是同学； a 表示：大牛； b 表示：小马。 (4) S (a) S (b) . 其中， S ( x) 表示： x 是大学生； a 表示：高山； b 表示：刘水。 (5) x(M ( x) D( x)) . 其中， M ( x) 表示： x 是人； D( x) 表示： x 喜欢跳舞。 (6) x(T ( x) y(C ( y) F ( x, y))) . 其中，T ( x) 表示：x 是火车；C ( y ) 表示： y 是 汽车； F ( x, y ) 表示： x 比 y 跑得快。
P( x) 表示： x 是质数； D( x) 表示： x 是偶数； G( x, y) 表示： x 整除 y .
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案谓词逻辑是数理逻辑中的一个重要分支，它用于表达和推理关于对象和它们之间关系的命题。
以下是一些谓词逻辑的复习题及答案：题目一：定义谓词1. 定义谓词“L(x, y)”表示“x 爱y”。
2. 定义谓词“S(x, y)”表示“x 是 y 的学生”。
答案一：1. 谓词“L(x, y)”是一个二元谓词，它描述了两个对象x和y之间的关系，即x对y有爱的情感。
2. 谓词“S(x, y)”也是一个二元谓词，它描述了x和y之间的师生关系，即x是y的学生。
题目二：写出以下命题的谓词逻辑表达式1. 张三爱李四。
2. 每个学生都是老师的学生。
答案二：1. 命题“张三爱李四”的谓词逻辑表达式为：L(张三, 李四)。
2. 命题“每个学生都是老师的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x∃y(S(x, y) ∧ T(y))，其中T(y)表示y是老师。
题目三：转换命题为谓词逻辑表达式1. 如果张三爱李四，那么李四也爱张三。
2. 没有学生是他自己的学生。
答案三：1. 命题“如果张三爱李四，那么李四也爱张三”的谓词逻辑表达式为：(L(张三, 李四) → L(李四, 张三))。
2. 命题“没有学生是他自己的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x¬(S(x, x))。
题目四：谓词逻辑中的量词1. 写出“所有”的逻辑表达式。
2. 写出“存在”的逻辑表达式。
答案四：1. “所有”的逻辑表达式使用全称量词，表示为：∀x。
2. “存在”的逻辑表达式使用存在量词，表示为：∃x。
题目五：谓词逻辑中的逻辑连接词1. 写出“并且”的逻辑表达式。
2. 写出“或者”的逻辑表达式。
3. 写出“非”的逻辑表达式。
答案五：1. “并且”的逻辑表达式使用逻辑与，表示为：A ∧ B。
2. “或者”的逻辑表达式使用逻辑或，表示为：A ∨ B。
3. “非”的逻辑表达式使用否定，表示为：¬A。
题目六：谓词逻辑推理给定以下命题：1. ∀x (L(x, y) → L(y, x))。
集合谓词逻辑习题课
一、选择题
1.谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中量词x的辖域是（ ）C A. x(P(x)yR(y)) B.P(x) C.(P(x)yR(y)) D.P(x),Q(x)
2.谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中变元x是（ A.自由变量 B.约束变量 C.既不是自由变量也不是约束变量 D.既是自由变量也是约束变量
23
谓词逻辑习题课 5). (1)x(F(x)G(x)) (2)y(H(y)R(y)) (3)F(c)G(c) (4)F(c) (5)H(c)R(c) (6)H(c) (7)F(c)H(c) (8)x(F(x)H(x))
5
谓词逻辑习题课 11.公式xP(x)xQ(x) 的前束范式为（ C ）。 A. xy(P(x)Q(y)) B. xy(P(x)Q(y)) C. xy(P(x)Q(y)) D. xy(P(x)Q(y)) 12.在谓词演算中，P(a)是xP(x)的有效结论，其理论根据 是（ A ） A. 全称指定规则（US） B.全称推广规则（UG） C. 存在指定规则（ES） D.存在推广规则（EG）
B
)．
15．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( ． A．{a，{a}}A B．{2}A C．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( C )． A．{{1}, {a}} B．{ ,{1}, {a}} C．{,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 17．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为 （ A ）． A．1024 B．10 C．100 D．1
7.下列谓词公式中，（ (1),(3) ）是等价的。
(1) (xA(x))与xA(x) (2) x(A(x)B(x))与 xA(x)xB(x) (3) x(A(x)B(x))与 xA(x)xB(x) (4) xyD(x,y) 与yxD(x,y)
(完整word版)谓词逻辑习题解
数理逻辑习题解二1.设个体域是整数集合，请利用给出的谓词将下列命题符号化。
N(e):e是自然数（不包括0）.P（e):e是素数。
Q（e):e是偶数.E(e1,e2）:e1=e2。
L（e1,e2）：e1e2。
D(e1，e2)：e1｜e2。
(即e1整除e2）a)凡素数均为自然数.b)没有最大的素数。
c)有些自然数不是素数.d)并非所有的素数都不是偶数.e)偶素数只有2.f)一个自然数是素数的充要条件是除1之外，该数不能被其它任何小于它的自然数整除。
[解]a)"x(P（x)→N（x））。
b）x（P(x）Ù"y（P（y)→L(y,x）））。
c)＄x（N(x）ÙØP(x)）。
d）Ø”x(P(x)→ØQ（x））。
e)"x（P（x)ÙQ(x)→E（x,2）).f)”x(N(x)→(P（x)Ø$y(N(y)ÙØE（y，1)ÙØE（y，x)ÙL（y,x)ÙD（y，x））））。
2.利用上题给出的各谓词，用自然语言表达下述命题.a)"x(Q(x)→D(2，x))b)$x(N（x）ÙD(x,9））c)"x"y（N(x）ÙN（y)ÙD（x,y）ÙD（y,x）→E（x,y)）d)Ø$x(N（x）Ù”y(N（y)→L(y，x））e)”x(P（x）→"y(N（y)ÙD（y，x)→E（y,x)ÚE(y,1）))f)"x（N（x)ÙØP（x）→＄y(ØE(y，x）ÙØE(y,1)ÙD(y，x)）)［解］a)凡偶数都能被2整除.b)存在着能整除9的自然数.c）两个能互相整除的自然数相等。
d）没有最大的自然数。
谓词逻辑作业参考答案
谓词逻辑作业参考答案
(2) 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者 喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。 解：设 R(x)：x 是人；B(x)：x 喜欢步行；Q(x)：x 喜欢坐汽车； P(x)：x 喜欢骑自行车，则符号化为： 前提：x(R(x)(B(x)¬Q(x))) 或x(R(x)∧B(x)¬Q(x)), x(R(x)(Q(x)∨P(x))), x(R(x)∧¬P(x)) 结论：x(R(x)∧¬B(x)) 证明：(1) x(R(x)∧¬P(x)) (2) R(a)∧¬P(a) (3) x(R(x)(B(x)¬Q(x))) (4) R(a)(B(a)¬Q(a)) (5) R(a) (6) B(a)¬Q(a) (7) x(R(x)(Q(x)∨P(x))) (8) R(a)(Q(a)∨P(a)) (9) Q(a)∨P(a) (10) ¬P(a) (11) Q(a) (12) ¬B(a) (13) R(a)∧¬B(a) (14) x(R(x)∧¬B(x)) P 规则 ES (1) P 规则 US (3) (2)化简 (4)(5)假言推理 P 规则 US(7) (5)(8)假言推理 (2)化简 (9)(10)析取三段论 (6)(11)拒取式 (5)(12)合取引入 EG (13)
1、将下列公式符号化： (1) 每列火车都比某些汽车快； (2) 有的汽车比所有的火车慢。 解：设 Q(x)：x 是汽车；H(x)：x 是火车；P(x,y)：x 比 y 快，则 (1) x(H(x)y(Q(y)∧H(x,y))) (2) x(Q(x)∧y(H(y)H(y,x))) 2、用一阶逻辑构造下列推理的证明： (1) 每个学术会的成员都是工人并且是专家。有些成员是青年人。所 以有的成员是青年专家。 解：设 P(x)：x 是学术会成员；G(x)：x 是工人； J(x)：x 是专家；Q(x)：x：是青年人，则符号化为： 前提：x(P(x)G(x)∧J(x)), x(P(x)∧Q(x)) 结论：x(P(x)∧Q(x)∧J(x)) 证明：(1) x(P(x)∧Q(x)) (2) P(a)∧Q(a) (3) x(P(x)G(x)∧J(x)) (4) P(a)G(a)∧J(a) (5) P(a) (6) G(a)∧J(a) (7) J(a) (8) P(a)∧Q(a)∧J(a) (9) x(P(x)∧Q(x)∧J(x)) P 规则 ES (1) P 规则 US (3) (2)化简 (4)(5)假言推理 (6)化简 (2)(7)合取引入 EG (8)
离散数学谓词逻辑练习题
离散数学谓词逻辑练习题1. 定义谓词逻辑中的谓词和量词，并给出一个包含谓词和量词的逻辑表达式的例子。
2. 写出以下命题的逻辑表达式：- 所有人都是学生。
- 有些学生不是书呆子。
- 如果今天是星期三，那么明天是星期四。
- 所有人都是学生，并且所有人都是书呆子。
3. 将以下逻辑表达式转换为等价的谓词逻辑表达式：- ∀x (P(x) → Q(x))- ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))- ∀x (P(x) ∨ Q(x))- ∃x (P(x) → Q(x))4. 判断以下命题的真值，并解释你的推理：- 存在一个整数x，使得x的平方加1等于x的立方。
- 对于所有实数x，如果x大于0，则x的平方也大于0。
5. 使用逻辑推理证明以下命题的等价性：- (P → Q) ≡ ¬P ∨ Q- (P ∧ Q) → R ≡ P → (Q → R)6. 给定以下谓词：- P(x): x是偶数- Q(x): x是素数- R(x): x是奇数- S(x): x是合数使用这些谓词构造逻辑表达式，描述以下情况：- 存在一个数x，它是偶数且是素数。
- 对于所有数x，如果x是偶数，则x不是素数。
- 所有数x，如果x是奇数，则x不是合数。
7. 将以下逻辑表达式转换为前束范式：- (P(x) ∧ Q(x)) → R(x)- ¬(P(x) ∨ Q(x)) → R(x)- (P(x) → Q(x)) ∧ (Q(x) → R(x)) → (P(x) → R(x))8. 给定以下逻辑表达式：- P(x): x是人- Q(x): x是学生- R(x): x是教师- S(x): x是学生或者教师使用这些谓词，构造一个逻辑表达式，描述“所有人要么是学生要么是教师”。
9. 使用谓词逻辑表达以下条件语句：- 如果x是偶数，那么x是合数。
- 如果x是素数，那么x不是偶数。
10. 给定以下逻辑表达式：- ∀x (P(x) → Q(x))- ∃x P(x)- ¬Q(a)使用这些表达式，证明以下结论：- ∃x ¬Q(x)。
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谓词逻辑习题及答案收集于网络，如有侵权请联系管理员删除谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀ （3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀α（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀α （3）略 （4）略 3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
求下列各式的真值。
（1）)3(，x xP ∃（2）)1(y yP ，∀（3）)(y x yP x ，∀∀（4）)(y x yP x ，∃∃收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（5）)(y x yP x ，∀∃ （6）)(y x xP y ，∃∀解：(2) 当3=x 时可使式子成立，所以为Ture 。
(3) 当1≠y 时就不成立，所以为False 。
(4) 任意的x,y 使得y x =，显然有y x ≠的情况出现，所以为False 。
(4)存在x,y 使得y x =，显然当1,1==y x 时是一种情况，所以为Ture 。
(5)存在x ，任意的y 使得y x =成立，显然不成立，所以为False 。
(6)任意的y ，存在x ，使得y x =成立，显然不成立，所以为False 。
4. 令谓词)(x P 表示“x 说德语”，)(x Q 表示“x 了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。
用)(x P 、)(x Q 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。
（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。
（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。
（4）杭电没有学生会说德语或了解C++。
假设个体域为全总个体域，谓词)(x M 表示“x 是杭电学生”。
用)(x P 、)(x Q 、)(x M 、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。
解：（ⅰ）个体域为杭电全体学生的集合时：（1）))()((x Q x P x ∧∃ （2）))()((x Q x P x ⌝∧∃ （3）))()((x Q x P x ∨∀ （4）))()((x Q x P x ∨⌝∀（ⅱ）假设个体域为全总个体域，谓词)(x M 表示“x 是杭电学生”时：（1）))()()((x Q x P x M x ∧∧∃ （2）))()()((x Q x P x M x ⌝∧∧∃ （3）)))()(()((x Q x P x M x ∨∧∀ （4）)))()(()((x Q x P x M x ∨⌝∧∀5. 令谓词)(y x P ，表示“x 爱y ”，其中x 和y 的个体域都是全世界所有人的集合。
用)(y x P ，、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）每个人都爱王平。
（2）每个人都爱某个人。
（3）有个人人都爱的人。
（4）没有人爱所有的人。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（5）有个张键不爱的人。
（6）有个人人都不爱的人。
（7）恰有一个人人都爱的人。
（8）成龙爱的人恰有两个。
（9）每个人都爱自己。
（10）有人除自己以外谁都不爱。
解：a ：王平 b ：张键 c ：张龙(1) ）a x xP ,(∀ (2)),(y x yP x ∃∀ (3)),(y x xP y ∀∃ (4)),(y x P y x ⌝∃∀ (5))(x b P x ，⌝∃ (6)),(y x P y x ⌝∀∃ (7))))),(((),((x z z P z x y yP x =→∀∀∧∀∃ωω(8))))()(()(),((y z x z z c P z c P x c P y x y x =∨=→∀∧∧∧≠∃∃， (9)),(x x xP ∀ (10))),((y x y x P y x =↔∀∃ §2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀ （2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀（3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解： （1）x 是指导变元，x ∀的辖域是),()(y x Q x P →，对于x ∀的辖域而言，x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x,y 都为指导变元，x ∀的辖域是)()(y x yQ y x P ，，∃→，y ∃的辖域是)(y x Q ，；对于x ∀的辖域而言，x,y 都为约束变元，对于y ∃的辖域而言，x 是自由变元，y 是约束变元。
（3）x,y 为指导变元，x ∀的辖域是)())()((z y x xR z y Q y x P y ，，，，∃∨∧∃，y ∃的辖域是)())()((z y x xR z y Q y x P ，，，，∃∨∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；对于x ∀的辖域而言，x,y 为约束变元，z 为自由变元，对于y ∃的辖域而言，z 为自由变元，y 为约束变元，x 即为约束变元也为自由变元，对于x ∃的辖域而言，x 为约束变元，y,z 是自由变元。
在整个公式中，x,y 即为约束变元又为自由变元，z 为自由变元。
2. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∧∀→∧∀ （2）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀ （3）)())()((y yQ y yQ x xP ∃∧∃→∀⌝ （4）))()(())()((x xQ y P x Q y P x ∀→→→∀ （5）))()(())()((x xQ x P x Q x P x ∀→→→∀ （6）)))()(()((x P y x yQ x P →∀→⌝， （7）))()(()(y x P y x Q y x P ，，，→→解：（1）易知公式是)()(q p q p ∧→∧的代换实例，而 1)()()()(=∧∨∧⌝=∧→∧q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（2）易知公式是)()(q p q p ∨→∨的代换实例，而 1)()()()(=∨∨∨⌝=∨→∨q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（3）易知公式是q q p ∧→⌝)(的代换实例，而 0)()(=∧⌝∧=∧∨⌝⌝=∧→⌝q q p q q p q q p 是永假式，所以公式是永假式。
（4）易知公式是)()(q p q p →→→的代换实例，而 1)()()()(=→∨→⌝=→→→q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（5）易知公式是)()(q p q p →→→的代换实例，而 1)()()()(=→∨→⌝=→→→q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（6）易知公式是))((p q p →→⌝的代换实例，而 0))(())((=⌝∧∧=∨⌝∨⌝⌝=→→⌝p q p p q p p q p 是永假式，所以公式是永假式。
（7）易知公式是p q p →→的代换实例，而 p q p p q p p q p ∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→)()( 是可满足式，所以公式是可满足式。
§2.3 谓词公式的等价演算与范式习题2.31. 将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）没有小于负数的正数。
（2）相等的两个角未必都是对顶角。
解：（1）)(x P ：x 为负数，)(x Q ：x 是正数，),(y x R ：x 小于y ，命题可符号化为：)))(),(((y Q x P R y x ∀∀或)))(),(((y Q x P R y x ⌝⌝∃∃（2）略2.设)(x P 、)(x Q 和)(y x R ，都是谓词，证明下列各等价式（1）))()(())()((x Q x P x x Q x P x ⌝→∀=∧⌝∃ （2）))()(())()((x Q x P x x Q x P x ⌝∧∃=→⌝∀（3）))()()(())()()((y x R y Q x P y x y x R y Q x P y x ，，⌝∧∧∃∃=→∧∀⌝∀ （4）))()()(())()()((y x R y Q x P y x y x R y Q x P y x ，，⌝→∧∀∀=∧∧∃⌝∃ 证明：（1）左边＝))()((x Q x P x ∧⌝∀＝))()((x Q x P x ⌝∨⌝∀ ＝))()((x Q x P x ⌝→∀＝右边（2）左边 ＝))()((x Q x P x →⌝∃＝))()((x Q x P x ∨⌝⌝∃＝))()((x Q x P x ⌝∧∃＝右边（3）左边＝)),()()((y x R y Q x P y x →∧⌝∃∃ ＝)),())()(((y x R y Q x P y x ∨∧⌝⌝∃∃ ＝))()()((y x R y Q x P y x ，⌝∧∧∃∃＝右边 （4）左边＝),()()((y x R y Q x P y x ∧∧⌝∀∀ ＝),())()((y x R y Q x P y x ⌝∨∧⌝∀∀ ＝))()()((y x R y Q x P y x ，⌝→∧∀∀＝右边 3. 求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。