河南省平顶山市舞钢市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题

河南省平顶山市舞钢市2019-2020学年九年级上学期期末数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．2230x x += B ．5x y += C ．
1
123
x x =+-
D ．20ax bx c ++=
2．cos60︒的值等于（ ）
A ．
12
B C ．
2
D ．
3
3．对于反比例函数3
2y x
=
，下列说法错误的是（ ） A ．它的图像在第一、三象限 B ．它的函数值y 随x 的增大而减小
C ．点P 为图像上的任意一点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ．POA ∆的面积是34
．
D ．若点()11,A y -和点()
2B y 在这个函数图像上，则12y y < 4．关于抛物线：23(1)2y x =-++，下列说法正确的是（ ） A ．它的开口方向向上
B ．它的顶点坐标是(1,2)
C ．当1x <-时，y 随x 的增大而增大
D ．对称轴是直线1x =
5．如图，点P 是ABC ∆的边AB 上的一点，若添加一个条件，使ABC ∆与CBP ∆相似，则下列所添加的条件错误的是（ ）
A ．BPC AC
B ∠=∠ B ．A BCP ∠=∠
C ．::AB BC BC PB
=
D ．::AC CP AB BC =
6．如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，CE AD ⊥，且CB CE =，连接BE 交对角
线AC 于F ．则AFB ∠的度数是（ ）
A ．100°
B ．105°
C ．120°
D ．135°
7．抛物线2y ax bx c =++如图所示，给出以下结论：①0ab <，②0c <，③
0a b c -+=，④0a b c ++<，⑤240b ac ->，其中正确的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
8．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是（ ）
A ．4860π+
B ．4840π+
C ．4830π+
D ．4836π+
9．如图，在平直角坐标系中，过x 轴正半轴上任意一点P 作y 轴的平行线，分别交函数()30y x x =
>、()6
0y x x
=->的图象于点A 、点B .若C 是y 轴上任意一点，则ABC ∆的面积为( )
A ．9
B ．6
C ．
92
D ．3
10．如图，在ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1,0)-．以点
C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC 的位似图形A B C ''，使得A B C ''的边长是ABC 的边长的2倍．设点B 的坐标是13,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，则点B '的坐标是（ ）
A ．(3,1)-
B ．(4,)1-
C ．(5,2)-
D ．(6,1)-
11．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝2．
12．反比例函数3
m y x
-=的图像的两支曲线分别位于第二、四象限内，则应满足的条件是_________． 13．把抛物线2
112
y x =-+沿着x 轴向左平移3个单位得到的抛物线关系式是_________．
14．某校有一块长方形的空地ABCD ，其中长16AB =米，宽10AD =米，准备在这块空地上修3条小路，路宽都一样为x 米，并且有一条路与AB 平行，2条小路与AD 平行，其余地方植上草坪，所种植的草坪面积为110米．根据题意可列方程_________．
15．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题快闪活动，他们准备从报名参加的3男2女共5名同学中，随机选出2名同学进行领唱，选出的这2名同学刚好是一男一女的概率是：_________．
16．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，B α∠=，ADC β∠=，用含α和β的代数
式表示
AD
AB
的值为：_________．
17．如图，有一张直径()BC 为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A 距地面2米，圆桌在水平地面上的影子是DE ，DE ∥BC ，AD 和AE 是光线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D 的坐标是(2,0)．那么点E 的坐标是_________．
18．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC ∆沿着AD 方向平移，得到A B C '''，当两个三角形重叠部分的面积为3时，则AA '的长为_________．
19．解方程： （1）2261x x =- （2）3(1)22x x x -=-
20．在一次篮球拓展课上，A ，B ，C 三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：每一次传球由三人中的一位将球随机地传给另外两人中的某一人．例如：第一次由A 传球，则A 将球随机地传给B ，C 两人中的某一人．
（1）若第一次由A 传球，求两次传球后，球恰好回到A 手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）
（2）从A ，B ，C 三人中随机选择一人开始进行传球，求两次传球后，球恰好在A 手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）
21．如图，斜坡BC 的坡度是1：2.2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），这个斜坡的水平宽度是22米，在坡顶C 处的同一水平面上（//CD BE ）有一座古塔AD ．在坡底B 处看塔顶A 的仰角是45°，在坡顶C 处看塔顶A 的仰角是60°，求塔高AD 的
长．（结果保留根号）
22．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，每件销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）当销售价格上涨时，请写出每天的销售量y （件）与销售价格（元/件）之间的函数关系式．
（2）如果要求每天的销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为18元，间当销售价格定为多少时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为多少？ 23．如图，双曲线1
1k y x
=（0x >）与直线22y k x b =+交于点(2,4)A 和(,2)B a ，连接OA 和OB ．
（1）求双曲线和直线的函数关系式．
（2）观察图像直接写出：当12y y >时，x 的取值范围． （3）求AOB ∆的面积．
24．如图，在ABC 中，点D 在BC 边上，3BC CD =，分别过点B ，D 作AD ，AB 的平行线，并交于点E ，且ED 的延长线交AC 于点F ，3AD DF =．
（1）求证：CFD CAB △∽△． （2）求证：四边形ABED 为菱形．
（3）若5
3
DF =，9BC =，求四边形ABED 的面积．
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
本题根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）仅含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】
解：A 选项：22x 3x=0 符合一元二次方程定义，故该选项正确； B 选项：x+y=5含有两个未知数，故本选项不符合一元二次方程定义； C 选项：
1
=x+12x-3
是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合一元二次方程定义； D 选项：2ax +bx+c=0，该方程二次项系数可能为0，故本选项不符合一元二次方程定义， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2． 2．A 【解析】 【分析】
根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】 解：cos60°=1
2
. 故选A. 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值. 3．B 【解析】 【分析】
对反比例函数32y x =化简得3
2y x
=，所以k=3
2
＞0，当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第
一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】 解：A 、∵k=
3
2
＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确； B 、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y 随x 的增大而减小，故本选项错误； C 、∵k=32，根据反比例函数中k 的几何意义可得POA ∆的面积为1
2k ⨯=34
，故本选项正确；
D 、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x 1=﹣1＜0，
x 2=﹣
0，且x 1＞x 2，∴12y y <，故本选项正确．
故选：B ． 【点睛】
题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=k
x
（k≠0）中，当k ＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键． 4．C 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象与性质逐项判断即得答案． 【详解】
解：A 、∵﹣3＜0，∴抛物线2
3(1)2y x =-++的开口向下，所以本选项说法错误，不符
合题意；
B 、抛物线2
3(1)2y x =-++的顶点坐标是（﹣1，2），所以本选项说法错误，不符合题意；
C 、对抛物线23(1)2y x =-++，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，所以本选项说法正确，符合题意；
D 、抛物线23(1)2y x =-++的对称轴是直线1x =-，所以本选项说法错误，不符合题意．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 5．D 【解析】 【分析】
在ABC ∆与CBP ∆中，已知有一对公共角∠B ，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误． 【详解】
A ．已知∠B=∠B, 若BPC AC
B ∠=∠，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； B ．已知∠B=∠B, 若A BCP ∠=∠，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
C ．已知∠B=∠B, 若::AB BC BC PB =，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
D ．若::AC CP AB BC =，但夹的角不是公共等角∠B ，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意， 故选：D ． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键． 6．B 【解析】 【分析】
由菱形及菱形一个内角为60°，易得△ABC 与△ACD 为等边三角形．由三线合一的性质求得∠ACE 的度数．证得△BCE 是等腰直角三角形，可求出∠CBE 度数，用三角形外角的性质即可求得∠AFB ． 【详解】
∵菱形ABCD 中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD ，∠ADC=∠ABC=60°， ∴△ABC 、△ACD 是等边三角形， ∵CE ⊥AD ，
∴∠ACE=
1
2
∠ACD=30°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90° ∵CE=BC ，
∴△BCE 是等腰直角三角形， ∴∠E=∠CBE=45°
∴∠AFB=∠CBE +∠ACB=45°+60°=105°， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．证得△BCE 是等腰直角三角形是解题的关键． 7．D 【解析】 【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y 轴的交点位置可判断a 、b 、c 的符号，再根据与x 轴的交点坐标代入分析即可得到结果； 【详解】
∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，
∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴b ＜0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方， ∴c ＜0，
∴ab ＜0，故①②正确；
当x=-1时，0a b c -+=，故③正确；
当x=1时，根据图象可得0a b c ++<，故④正确；
根据函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故⑤正确； 故答案选D ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析每一个数据是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】 首先根据题目所给出的三视图，判断出该几何体为34
个圆柱体，该圆柱体的底部圆的半径为4，高为6，之后根据每个面分别求出表面积，再将面积进行求和，即可求出答案．
【详解】 解：∵根据题目所给出的三视图，判断出该几何体为
34个圆柱体，该圆柱体的底部圆的半径为4，高为6， ∴该几何体的上、下表面积为：22
13
3
S =2πr =2π4=24π44⨯⨯⨯⨯⨯， 该几何体的侧面积为：233S =2462πr h=48+2π46=48+36π44
⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯， ∴总表面积为：12S=S +S =4860π+，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了几何体的表面积，解题的关键在于根据三视图判断出几何体的形状，并把每个面的面积分别计算出来，掌握圆、长方体等面积的计算公式也是很重要的．
9．C
【解析】
【分析】
连接OA 、OB ，利用k 的几何意义即得答案.
【详解】
解：连接OA 、OB ，如图，因为AB ⊥x 轴，则AB ∥y 轴，
32OAP S ∆=，3BOP S ∆=，ABC AOB S S ∆∆= ，所以39322
ABC S ∆=
+=. 故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，属于常考题型，熟知k 的几何意义是关键. 10．A
【解析】
【分析】
作BD ⊥x 轴于D ，B′E ⊥x 轴于E ，根据相似三角形的性质求出CE ，B′E 的长，得到点B′的坐标．
【详解】
作BD ⊥x 轴于D ，B′E ⊥x 轴于E ，
∵点C 的坐标是(1,0)-,点B 的坐标是13,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭， ∴CD=2，BD=12
， 由题意得：ABC C ∽△A B C '',相似比为1:2， ∴''12
BD CD BC B E CE B C ===， ∴CE=4，B′E=1，
∴点B′的坐标为（3，-1），
故选：A ．
【点睛】
本题考查了位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键． 11．24
【解析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=12ab=12
×6×8=24cm 2， 故答案为24．
12．3m <
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象所在的象限求得30m -<，然后得到m 的取值范围即可．
【详解】 ∵反比例函数3m y x -=
的图象位于第二、四象限内， ∴30m -<，
则3m <．
故答案是：3m <．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象的性质，重点是比例系数k 的符号．
13．21(3)12y x =-
++ 【解析】
【分析】
先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式，写出抛物线解析式，即可．
【详解】 由题意知：抛物线2112
y x =-+的顶点坐标是（0，1）． ∵抛物线向左平移3个单位
∴顶点坐标变为（-3，1）． ∴得到的抛物线关系式是21(3)12
y x =-++．
故答案为21(3)12
y x =-
++． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握二次函数图像与几何变换是解题的关键． 14．(10)(162)110x x --=
【解析】
【分析】
根据题意算出草坪的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可．
【详解】
∵长方形长16AB =米，宽10AD =米，路宽为x 米，
∴草坪的长为(162)x -，宽为(10)x -，
∴草坪的面积为(10)(162)110x x --=．
故答案为(10)(162)110x x --=．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意准确列式是解题的关键．
15．35
【解析】
【分析】
先画出树状图求出所有可能出现的结果数，再找出选出的2名同学刚好是一男一女的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】
解：设报名的3名男生分别为A 、B 、C ，2名女生分别为M 、N ，则所有可能出现的结果如图所示：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选出的2名同学刚好是一男一女的结果有12种，
所以选出的2名同学刚好是一男一女的概率=123 205
=．
故答案为：3
5
．
【点睛】
本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．
16．sin sin
α
β
【解析】
【分析】
分别在Rt△ABC和Rt△ADC中用AC和,αβ的三角函数表示出AB和AD，进一步即可求出结果．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵sin
AC
AB
α=，∴
sin
AC
AB
α
=，
在Rt△ADC中，∵sin
AC
AD
β=，∴
sin
AC
AD
β
=，
∴
sin
sin sin sin
AC
AD
AC AB
β
ααβ
==．
故答案为：sin
sin
α
β．
【点睛】
本题考查了三角函数的知识，属于常考题型，熟练掌握正弦的定义是解题的关键．17．(4,0)
【解析】
【分析】
先证明△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可．
【详解】
解：∵BC ∥DE ，
∴△ABC ∽△ADE ， ∴20.8=2
BC DE -， ∵BC=1.2，
∴DE=2，
∴E （4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
18．1或3
【解析】
【分析】
设AC 、A B ''交于点E ，DC 、A C ''交于点F ，且设AA x '=，则A E AA x ''==，4A D x '=-，列出方程即可解决问题．
【详解】
设AC 、A B ''交于点E ，DC 、A C ''交于点F ，且设AA x '=，则A E AA x ''==，4A D x '=-，
重叠部分的面积为()4x x -
， 由()4=3x x -，
解得1x =或3．
即1AA '=或3．
故答案是1或3．
【点睛】
本题考查了平移的性质、菱形的判定和正方形的性质综合，准确分析题意是解题的关键．
19．（1）1x =，2x =（2）11x =，223x =- 【解析】
【分析】
（1）先移项，然后利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；
（2）先整理，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：（1）原方程可化为：22610x x -+=
∴622x ±=⨯64±=64
±=；
∴1x =，2x = （2）3(1)22x x x -=-
3(1)2(1)x x x -=-
3(1)2(1)0x x x -+-=
(1)(32)0x x -+=
∴10x -=或320x +=
∴11x =，223x =-
； 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法和因式分解法解一元二次方程． 20．（1）
12，树状图见解析；（2）13
，树状图见解析 【解析】
【分析】
（1）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可．
（2）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可．
【详解】
解：（1）画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在A 手中的只有2种情况，
∴两次传球后，球恰在A 手中的概率为
2142
=． （2）根据题意画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，第二次传球后，球恰好在A 手中的有4种情况，
∴第二次传球后，球恰好在A 手中的概率是
41123=． 【分析】
本题主要考查了树状图求概率的方法，正确掌握树状图求概率的方法是解题的关键．
21．18+
【解析】
【分析】
分别过点C 和D 作BE 的垂线，垂足为P 和Q ，设AD=x ，根据坡度求出DQ ，根据正切定义用x 表示出PQ ，再由等腰直角三角形的性质列出x 的方程，解之即可解答．
【详解】
解：分别过点C 和D 作BE 的垂线，垂足为P 和Q ，
设AD 的长是x 米
∵ADC ∆中，60ACD ∠=︒ ∴
CD PQ ==
∵BC 的坡比是1：2．2，水平长度22米 ∴1tan 2.2CP CBP BP
∠== ∴10CP DQ ==
在ABQ ∆中，45ABQ ∠=︒
∴AQ BQ =，即：1022
x +=+
∴18x =+
答：AD 的长是18+
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．（1）10500y x =-+；（2）当销售价格定为38元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为2160元
【解析】
【分析】
（1）根据实际销售量等于25010(25)--x ，化简即可；
（2）利用二次函数的性质及题中对销售量及每件文具利润的约束条件，可求得答案．
【详解】
解：（1）25010(25)y x =--
10500x =-+
∴每天的销售量y （件）与销售价格x （元/件）之间的函数关系式为：
10500y x =-+；
（2）设销售利润为w 元，由题意得：
(20)(10500)w x x =--+
21070010000x x =-+-
210(35)2250x =--+
∵10500102018x x -+≥⎧⎨-≥⎩
，解得：3849x ≤≤ ∵100-<，抛物线的对称轴为直线35x =
∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，w 随x 的增大而减小
∴当38x =时，w 取最大值为2160．
答：当销售价格定为38元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为2160元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，准确列式是解题的关键． 23．（1）18y x =
，26y x =-+；（2）02x <<或4x >；（3）6 【解析】
【分析】
（1）把点A 坐标代入11k y x
=可求出双曲线的关系式，进而可得点B 坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）找出图象上双曲线比直线高的部分对应的x 的取值范围即可；
（3）过点A 作x 轴平行线交y 轴于点C ，过点B 作y 轴平行线交x 轴于点D ，所作两直线相交于E ，如图，利用AOB ODEC AOC BOD ABE S
S S S S =---代入数据计算即可． 【详解】
解（1）∵点()2,4A 在双曲线上11k y x =
上， ∴1248k =⨯=， ∴18y x
=， ∵点(),2B a 也在双曲线18y x =
， ∴4a =，
∵点()2,4A 和点()4,2B 在直线22y k x b =+上，
∴222442
k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线关系式为26y x =-+；
（2）当12y y >时，x 的取值范围是：02x <<或4x >；
（3）过点A 作x 轴平行线，交y 轴于点C ，过点B 作y 轴平行线，交x 轴于点D ，所作 两直线相交于E ，如图，则点E （4，4），
∴AOB ODEC AOC BOD ABE S S S S S =---111442424226222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题的关键． 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；
（2）先证明四边形ABED 是平行四边形，再证出AD=AB ，即可得出四边形ABED 为菱形； （3）连接AE 交BD 于O ，由菱形的性质得出BD ⊥AE ，OB=OD ，由相似三角形的性质得
出AB=3DF=5，求出OB=3，由勾股定理求出OA=4，AE=8，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵//EF AB ，
∴CFD CAB ∠=∠；
又∵C C ∠=∠，
∴CFD CAB ∆∆∽；
（2）证明：∵//EF AB ，//BE AD ，
∴四边形ABED 是平行四边形，
∵3BC CD =，
∴:3:1BC CD =，
∵CFD CAB ∆∆∽，
∴::3:1AB DF BC CD ==，
∴3AB DF =，
∵3AD DF =，
∴AD AB =，
∴四边形ABED 为菱形；
（3）解：连接AE 交BD 于O ，如图所示：
∵四边形ABED 为菱形，
∴BD AE ⊥，OB OD =，
∴90AOB ∠=︒，
∵CFD CAB ∆∆∽，
∴::3:1AB DF BC CD ==，
∴35AB DF ==，
∵39BC CD ==，
∴3CD =，6BD =，
∴3OB =，
由勾股定理得：4OA =
= ∴8AE =，
∴四边形ABED 的面积11862422
AE BD =
⨯=⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．。