三角函数知识点整理

1.角的有关概念(1)角的概念：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。

射线的端点叫做角的顶点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转终止时的射线叫做角的终边。

(2)正角、负角和零角按逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角. (3)象限角在平面直角坐标系下,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限.(4)各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 分别指第一、二、三、四象限角的半角范围； (5)终边相同的角与α角终边相同的角所组成的集合:S={2,}k k z ββαπ=+∈2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S角a 的弧度数公式 2π×(a /360°)角度与弧度的换算①360°=2π rad ②1°=π/180rad③1rad=180°/π=57°18′≈57.3°弧长公式 R a l =扇形的面积公式lR S 21=3.任意角的三角函数三角函数（6个）表示：a 为任意角，角a 的终边上任意点P 的坐标为),(y x ，它与原点的距离为220r x y =+>（r ＞0,当点P 在单位圆上时，r=1）那么角a 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是： r y a =sin ，r x a =cos ，x y a =tan ，y x a =cot ，xra =sec ，y r a =csc .4.同角三角函数关系式③ 倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， aaa sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a5.三角函数符号规律6. l 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角比的值7.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k ·π/2+a 所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性 公式 三角函数sin αcos αtan α诱导公式一 απαsin )2sin(=⋅+k απαcos )2cos(=⋅+k απαtan )2tan(=⋅+k 诱导公式二 ααπsin )sin(-=+ααπcos )cos(-=+诱导公式三 ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- 诱导公式四 ααsin )sin(-=-ααcos )cos(=-诱导公式五诱导公式六注：sin αcos αtan α8. 两角和与差的三角函数： （1） 两角和与差公式：sin()sin cos cos sin ,sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin ,cos()cos cos sin sin tan tan tan tan tan(),tan()1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+-=-+=--=++-+=-=-+ （2） 二倍角公式：()22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα==-=-=-=-升幂公式22221cos 2sin 1cos 22sin 2(1cos 21cos 22cos cos 2αααααααα-⎫=⎪⎧-=⎪⎪⇒⎬⎨++=⎪⎩⎪=⎪⎭降幂公式） （3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos 12sinaa -±=，2cos 12cos a a +±= ，a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= （4）辅助角公式（5）三角函数的积化和差，可得：（6）三角函数的和差化积公式9.三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）三角函数 x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 R R 2ππ+≠k x值域 [-1,1][-1,1]R最小正周期 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性 奇偶奇单调性]22,22[ππππ+-k k 单调递增]232,22[ππππ++k k 单调递减]2,)12[(ππk k - 单调递增 ])12(,2[(ππ+k k 单调递减)2,2(ππππ+-k k 单调递增对称性2ππ+=k x （对称轴）)0,(πk （对称中心）πk x =（对称轴）)0,2(ππ+k （对称中心）)0,2(πk （对称中心）零值点 πk x =2ππ+=k xπk x =最值点2ππ+=k x ,1max =y2ππ-=k x ,1min-=yπk x 2=，1max =y ；π)12(+=k x ，1min -=y无10.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） （1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T（3） 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

X2ππ32π 2πtϕϖ-2πϕϖ-πϕϖ- 32πϕϖ-2πϕϖ-sin()A x ϖϕ+0 AA（4） sin y x =经过变换变为sin y x ϖϕ=+A （）的步骤： 方法1：先平移后伸缩1sin sin sin sin y x y x y x y x ϖϕϖϖϖϕϖϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍纵坐标不变向左或向右平移个单位纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变（）A （）方法2：先伸缩后平移1sin sin sin()sin y x y x y x y x ϕϖϕϖϕϖϕ=−−−−−→=+−−−−−−−→=+−−−−−−−→=+向左或向右平移个单位横坐标变为原来的倍纵坐标不变纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变（）A （）（5） 函数的平移变换：①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）函数的伸缩变换：①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1>w 缩短， 10<<w 伸长）②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10<<A 缩短）函数的对称变换：① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）③ )()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④ )()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）11.正、余弦定理： ①正弦定理： 在ABC ∆中有:2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===②余弦定理： 在三角形ABC ∆中有:2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩5.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。

（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形 （2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。

采用公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos ba b ba a +=+=ϕϕ（3） 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”。

（4） 幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：a cos 1+常用升幂化为有理式。

（5） 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。

（6） 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。

在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。

（7） 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（8） 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。

（9） 利用方程思想解三角函数。

如对于以下三个式子：a a cos sin + ，a a cos sin a a cos sin -，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。

6.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束 ④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。