36第六节 误差分析
试验误差分析ppt课件
1 误差的基本概念
误差
误差：在试验过程中由于实验仪器精度的限制，实验方法的不完善，科 研人员认识能力的不足和科研水平的限制等方面的原因，在试验中获得 的试验值与它的真值并不一致，这种矛盾在数值上表现为误差。
绝对误差 算术平均误差
相对误差 标准误差
绝对误差
误差
试验值与真值之差称为绝对误差，即
绝对误差=试验值－真值
试验误差分析
汇报提纲
1 误差的基本概念 2 文献阅读
1 误差的基本概念
真值
真值：是指在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。
1）理论真值：例如，三角形三内角之和恒为180°，同一量值自身 之差恒为零，自身之比恒为1，等等。 2）约定真值：国际计量大会中所规定的共七种单位的量值，都可认 为是约定真值。 3）相对真值：用高一级仪器检定低一级仪器时，更具体说，当高一 级与低一级仪器的误差之比为（1/3~1/120）时，则可认为前者是后 者的相对真值。
拉伸速率可能对薄膜的力学性能测试结果带来影响；同时 ，若拉伸试验装置上下夹具不在一个平面上，或者样品拉伸方 向有一定的倾斜角度等，都会对力学性能的拉伸带来误差。
误差评估
1.薄膜各向异性带来的误差
由于轧制方向不同，微观上聚合物的分子链排列延伸的方向 不同，沿各方向上的力学性能也可能会有不同。
对未辐照的PI薄膜进行平行拉伸（y方向）和垂直拉伸（x方
绝对误差反映了试验值偏离真值的大小， 这个偏差可正可负。通常所说的误差一般指 绝对误差。
误差
相对误差
绝对误差虽然在一定条件下能反映试验值的准确 程度，但还不全面。所以为了判断试验值的准确性 ，还必须考虑试验值本身的大小，故引出了相对误 差。
误差
误差分析数据的处理 教学PPT课件
例1 实验测得过氧化氢溶液的含量W(H2O2)为0.2898 g，若试样中过氧化氢的真实值W(H2O2)为0.2902 g,， 求绝对误差和相对误差。
解：δ= 0.2898 － 0.2902 = -0.0004 g RE% = -0.0004/0.2902×100% = -0.14%
例2 用分析天平称样，一份0.2034 g，一份0.0020 g， 称量的绝对误差均为 +0.0002 g，问两次称量的RE%？ 解：第一份试样
S
i 1
n 1
6 相对标准偏差 （relative standard deviation）
RSD%
S
100%
x
n
（xi x）2
i 1
n 1
100%
x
例：用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量， 结果为10.48%，10.37%，10.47%，10.43%， 10.40%；计算单次分析结果的平均偏差，相对平均 偏差，标准偏差和相对标准偏差。
即： R = x ＋ y － z δR = δx ＋δy －δz
2 乘除法： 积、商的相对误差等于各 测 量值相对误差的和、差。
即： R = x · y / z
R x y z
R xyz
例：配制 1 L K2Cr2O7标准溶液，称取 4.9033 g基准试剂，溶于 1 L 容量瓶中，稀 释至刻度。称量用减重法进行，减重前的称 量误差是＋0.3 mg，减重后的称量误差是－ 0.2 mg，容量瓶的真实容积为999.75 mL 。 问K2Cr2O7溶液浓度的相对误差、绝对误差 和真实浓度各是多少？
精密度的高低用偏差（deviation）来 表示。偏差的表示方法有以下几种。 1 绝对偏差（absolute deviation）
误差分析
§1.1误差分析物理实验中，绝大多数实验都涉及到物理量的测量和物理规律的研究，要求学生能应用所选择的合适仪器，尽可能获得令人满意的结果。
一个待测物理量，在客观上具有真值。
但由于受到测量仪器、测量方法、测量条件和观察者生理反应能力、操作水平等因素的限制，测得的结果只可能是一个近似值。
测量值与真值之差称为绝对误差，简称误差。
即误差=测量值-真值在实验中进行测量和数据处理时，都应着眼于减少误差，尽可能使实验结果接近真值。
误差产生的原因是多方面的，从误差的性质和来源上可分为系统误差和偶然误差两大类。
一、系统误差系统误差的特点是：在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。
系统误差主要来自以下三个方面：1.仪器误差这是由于测量仪器不完善或有缺陷，以及没有按规定条件使用而造成的误差。
仪器误差常表现在下面三种情况：(1)示值误差。
如米尺由于变形造成刻度不标准；电表的轴承磨损引起示值不准等。
(2)零值误差。
如千分尺由于磨损致使在零位时，读数不为零；电表在使用之前未调整零位等。
(3)仪器机构和附件误差。
如天平两臂不等长；砝码不准；电桥的标准电阻不准等。
2.方法误差这是由于实验理论、实验方法或实验条件不合要求而引起的误差。
如用伏安法测电阻，采用不同的连接方法，电表的内阻会给测量带来误差；在热学实验中，绝热条件的好坏对测量结果的影响等。
3.人员误差这是由于观测者个人生理和心理上的特点所造成的误差。
如在使用停表计时中，有的人失之过长，有的人失之过短；在电表读数时，有人偏左而有人偏右；在估计读数时，有人习惯偏大而有人习惯偏小等。
系统误差常分为两类，即已定系统误差和未定系统误差。
前者指其误差的符号和绝对值均已确定，而后者是指其误差的符号或绝对值尚未确定。
二、偶然误差在同一条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。
实验报告中误差分析
实验报告中误差分析误差分析在科学实验中扮演着非常重要的角色。
通过对实验结果的误差进行分析，我们可以更好地理解实验数据的可靠性和准确性。
本文将逐步介绍误差分析的思考过程，以帮助读者更好地理解和运用误差分析方法。
第一步：定义误差在进行误差分析之前，我们首先需要明确什么是误差。
误差可以简单地定义为实验测量结果与真实值之间的差距。
一般来说，误差分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是由于实验设备、测量方法或操作过程引起的固定偏差。
它可能是由于仪器的校准不准确、实验环境的不稳定或者实验者的技术能力等原因造成的。
系统误差往往会导致测量结果的偏离真实值的方向一致。
随机误差是由于种种随机因素引起的测量结果的不确定性。
随机误差是不可避免的，它会导致多次重复实验的测量结果有所差异。
第二步：分析误差来源在进行误差分析之前，我们需要识别和分析误差的来源。
这需要我们对实验的整个过程进行仔细的回顾和思考。
以下是一些可能导致误差的常见来源：1.仪器误差：实验设备的不准确性或者校准不良可能会导致系统误差。
2.环境误差：实验过程中环境的变化或者干扰可能会导致随机误差。
3.操作误差：实验者的技术能力、注意力或者实验操作方法的不准确性可能会导致系统误差或者随机误差。
4.样本误差：样本的质量或者特性可能会导致实验结果的误差。
5.测量误差：测量方法的不准确性或者误差传递可能会导致系统误差或者随机误差。
第三步：定量评估误差一旦我们确定了误差的来源，我们就可以对误差进行定量评估。
这有助于我们更好地理解误差的大小和影响。
以下是一些常用的误差评估方法：1.绝对误差：计算每个测量结果与真实值之间的差距的绝对值，并对所有差值求平均值。
这可以帮助我们估计实验的整体准确性。
2.相对误差：计算每个测量结果与真实值之间的差距的绝对值，并将其与真实值进行归一化。
这有助于我们评估实验的准确性相对于真实值而言的比例。
3.标准偏差：计算多次重复实验的测量结果之间的差异，并对其进行统计分析。
误差分析
误差分析误差分析是一种常见的数据分析方法，可以帮助我们了解实验或测量结果与理论值之间的差异。
它在科学研究、工程计算和实验设计中具有重要作用。
误差分析可以帮助我们评估数据质量、提高实验精度，并为结果的可靠性提供可靠的依据。
误差分析的基本原理是比较实验或测量结果与理论值之间的差异。
在生活中，我们时常需要对测量数据进行误差分析，例如体重、长度和温度等。
误差分析的过程需要首先收集数据，然后计算数据的平均值和标准偏差，通过比较理论值与数据的差异来确定误差。
误差分析涉及到许多概念和方法。
首先，我们需要确定误差的类型。
误差可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验设备的不准确性或实验者的主观偏差引起的。
随机误差是由于实验条件的不确定性或测量设备的噪声引起的。
理论上，系统误差可以通过校准仪器或改进实验设计来减小，而随机误差可以通过重复实验来减小。
其次，我们需要利用数学方法来计算误差的大小。
常见的误差分析方法包括误差传播法和最小二乘法。
误差传播法是一种逐步分析误差的方法，它可以帮助我们了解每个测量结果对最终结果的影响程度。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与理论值之间的差异来确定最优解的方法。
这两种方法都需要一定的数学基础和计算工具，在误差分析中应用广泛。
误差分析还涉及到数据处理和可视化技术。
在数据处理方面，我们可以利用统计学方法来计算数据的平均值、标准偏差和置信区间。
这些统计量可以帮助我们判断实验结果的可靠性和精确性。
在可视化方面，我们可以利用图表和图形来呈现数据的分布和趋势。
这些可视化技术可以帮助我们更直观地理解数据的特征和误差分布。
误差分析不仅在科学研究中有重要作用，也在实际应用中发挥着重要作用。
例如，在工程设计中，误差分析可以帮助我们评估产品的性能和可靠性。
在医学诊断中，误差分析可以帮助我们判断测试结果的准确性和真实性。
在环境监测中，误差分析可以帮助我们评估污染源的排放和影响程度。
总之，误差分析对于科学研究和实际应用都具有重要意义。
高中数学数理统计误差分析
高中数学数理统计误差分析统计是数学的一个重要分支，它不仅可以帮助我们收集和整理数据，还可以帮助我们分析数据中的误差。
误差分析是统计学中的一个重要环节，它帮助我们评估和理解测量或估计过程中的误差。
在高中数学中，误差分析也是一个重要的概念，本文将深入探讨高中数学数理统计误差分析的相关知识。
一、误差的定义和分类误差是指实际测量值与真实值之间的差别。
在数学中，误差一般分为绝对误差和相对误差。
1. 绝对误差：绝对误差是指实际测量值与真实值之间的差别的绝对值。
绝对误差可以表示为|测量值-真实值|。
2. 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之间的比值。
相对误差可以表示为（|测量值-真实值|）/ |真实值|。
二、误差分析方法误差分析是通过一系列方法和技术来评估测量或估计过程中的误差。
以下是一些常用的误差分析方法。
1. 直接比较法：直接比较法是将多个测量值进行比较，找出它们之间的差异和误差。
通过对比测量值与真实值的差异，我们可以评估测量过程中的误差。
2. 重复测量法：重复测量法是通过多次进行同一测量，然后计算测量值的平均值和标准差来评估误差。
一般情况下，重复测量的结果越接近，误差越小。
3. 误差传递法：误差传递法是在测量中包含多个步骤或计算过程时使用的方法。
通过分析每个步骤或计算过程中的误差，并根据误差的传递规律来评估整个测量或估计过程中的误差。
三、误差的减小和控制误差的减小和控制是统计学中的一个重要目标。
以下是一些常用的方法来减小和控制误差。
1. 提高测量精度：提高测量精度是减小误差的有效方法。
可以通过使用更精确的测量工具、增加测量次数并取平均值、降低环境条件对测量的影响等方式来提高测量精度。
2. 保持实验条件稳定：实验条件的不稳定会导致测量结果的误差。
因此，在测量过程中，需要保持实验条件的稳定，如控制温度、湿度等环境因素。
3. 记录和分析数据：记录和分析数据可以帮助我们找出数据中可能存在的误差和异常值，并采取相应的措施进行修正。
六误差分析.ppt
2020/2/9
第六讲 控制系统的误差分析
15
0型系统在阶跃输入时产生稳态误差－有差系统；I型和II型系 统对阶跃输入不产生误差－无差系统。I型系统－一阶无差系统 （无差度为1）；II型系统－二阶无差系统（无差度为2）。
提高开环增益可减少有差系统的稳态误差；提高无差度（增加积 分环节）可使有差系统成为无差系统。但均会使系统动态性能和 稳定性恶化。系统前向通道中的积分因子一般不宜超过2个。
2020/2/9
第六讲 控制系统的误差分析
3
控制系统的误差
误差定义为希望的输出信号与实际输出信号之差：
e(t) xoi (t) xo (t)
当暂态过程结束后，系统进入稳态后的e(t)即稳态 误差，即误差的稳态分量：
ess
lim e(t)
t
lim[
t
xoi
(t
)
xo (t)]
误差与偏差的不同
2020/2/9
第六讲 控制系统的误差分析
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
偏差ε(t)：
(t) r(t) b(t)
ε（S）
2020/2/9
第六讲 控制系统的误差分析
5
根据P196 图6-1来推导误差与偏差的关系。
控制系统中是用xi(t)去控制xo(t)的，但在许多控制系 统中xo(t)并不等于xi(t)，它们之间的关系为：
当增加前向通道积分环节个数或提高开环增益不能进一 步提高系统的精度时，通常采用复合控制来减少误差。
跟踪输入的复合控制
抗扰动的复合控制
2020/2/9
第六讲 控制系统的误差分析
20
跟随输入的复合控制系统
2020/2/9
误差分析_精品文档
误差分析引言在科学研究、工程和技术领域中，误差是无法避免的。
无论是在测量实验数据、进行数值计算还是进行模型预测，误差都是不可避免的。
误差是指实际值与理论值之间的差异，可以通过误差分析来评估和理解这种差异。
本文将介绍误差分析的重要性、常见的误差类型，以及误差分析的方法。
一、误差的重要性误差分析在科学研究和工程实践中具有重要的作用。
首先，误差分析可以帮助评估实验数据的可靠性。
在科学实验中，精确测量是确保实验结果准确性的关键。
通过对每个测量结果的误差进行分析，可以确定实验结果的误差范围，并判断实验数据的可信度。
其次，误差分析可以帮助确定数据处理方法。
当面临多种数据处理方法时，我们可以通过误差分析来选择最合适的方法。
通过比较不同方法的误差特征，我们可以选择那些产生较小误差的方法，以提高数据处理的准确性和可靠性。
最后，误差分析还可以帮助优化模型和算法。
在模型建立和算法设计过程中，我们需要考虑误差的影响。
通过对误差的分析，我们可以找到最佳的模型参数和算法参数，以减小误差并提高模型和算法的预测能力。
二、常见的误差类型误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
1. 系统误差：系统误差是由实验仪器、测量方法或实验操作造成的。
系统误差通常是由所使用的仪器或测量方法的固有性质引起的，例如仪器的精度限制、测量方法的不准确性等。
系统误差是可重复的，可以通过校正或修正来减小。
2. 随机误差：随机误差是由各种不确定因素引起的，例如环境变化、观察者的经验和技能等。
随机误差通常是无法完全消除的，但可以通过重复测量和统计分析来减小。
三、误差分析的方法误差分析的方法可以根据实际情况和数据类型的不同而有所差异。
下面介绍几种常用的误差分析方法。
1. 绝对误差：绝对误差是实际值与理论值之间的差异。
计算绝对误差的方法是将实际值减去理论值，并取绝对值。
绝对误差可以用来表示实验测量的准确性。
2. 相对误差：相对误差是绝对误差除以理论值的比值。
相对误差可以衡量实验测量的相对准确性。
实验过程中误差的估计与分析
实验过程中误差的估计与分析一、误差的定义与分类1.误差的定义：在实验过程中，由于测量工具不精密、测量方法不科学、估读不准确、环境因素等原因，导致实验数据与真实值之间存在差异，这种差异称为误差。
2.误差的分类：（1）系统误差：由于实验仪器、测量方法等原因导致的误差，具有稳定性、规律性。
（2）偶然误差：由于测量者、测量环境等因素导致的误差，具有随机性、不确定性。
（3）粗大误差：由于操作不当、读数错误等原因导致的明显偏离真实值的误差。
二、误差的估计1.误差估计的方法：（1）通过多次重复实验，计算平均值，减小偶然误差的影响。
（2）采用精密的测量仪器，提高测量的准确性。
（3）分析实验过程中的系统误差，寻找原因并进行修正。
2.误差范围估计：（1）根据实验数据，计算标准偏差、方差等统计量，估计误差的范围。
（2）利用置信区间、置信概率等统计方法，对实验结果的可靠性进行评估。
三、误差分析1.误差来源分析：（1）测量仪器：仪器的精度、稳定性、使用方法等。
（2）测量方法：实验方案的设计、数据采集、处理和分析等。
（3）测量者：操作技能、估读能力、主观判断等。
（4）环境因素：温度、湿度、光照等。
2.误差分析的方法：（1）对比实验：通过对照实验组与实验组的数据，分析误差来源。
（2）因素分析：运用统计方法，分析各个因素对误差的影响程度。
（3）灵敏度分析：研究实验结果对参数变化的敏感程度，确定主要误差来源。
四、减小误差的方法1.选用精密的测量仪器，提高测量准确性。
2.改进实验方法，减小系统误差。
3.多次重复实验，计算平均值，减小偶然误差。
4.控制实验环境，减小环境因素对实验结果的影响。
5.提高测量者的操作技能和估读能力，减小粗大误差。
五、实验结果的评价1.评价指标：相对误差、绝对误差、精度等。
2.评价方法：（1）比较实验结果与真实值的差距，判断实验数据的准确性。
（2）分析误差来源和影响因素，评价实验方法的可靠性。
（3）结合实验目的和条件，评价实验结果的实用价值。
误差分析
夏天钟摆变慢的原因？
夏天使钟摆热胀而变长,摆长影响 摆速,使摆速变慢;调短摆长。
2014-1-21
9
二、随机误差
1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，误差的 大小和符号是无规律变化的误差。
2.产生的原因：是由测量过程中互相独立的、微小 的 偶然因素引起的。
4.特点：不能消除，也不能修正，值是随机的。多次 重复测量时，总体服从统计规律，故可以了解它的分 布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出估计， 是误差理论的依据。
2014-1-21 10
随机误差的正态分布规律
2014-1-21
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随机事例的几个例子
彩票摇奖
2014-1-21
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三、粗大误差
1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时， 明显偏离了结果的误差。 2.产生的原因：疏忽大意或不正确的观测、测 量条件的突然变化、仪器故障等。 3.特点：通常数值比较大。遵循一定的规则。 测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差 的测量值称为坏值。判断某一测量值是否为坏 值，可用统计方法或遵循一些准则。
2014-1-21 14
三种误差的关系：
三种误差可以互相转化。如尺子的分划误 差，在制造尺子时为随机误差，因为可长可短， 无规律，但用它测量时，该误差使测量结果始 终大些或小些，变成为系统误差。
还可根据误差产生的原因将其分成设备误差、人员误 差、环境误差、方法误差及测量对象变化的误差等。 正确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消 除，因此误差分析只是随机误差的分析。
2014-1-21 13
产生粗大误差的一个例子
明显偏离真值的误差称为粗大误差，也 叫过失误差。粗大误差主要是由于测量人员 的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强大 的干扰所引起的。如测错、读错、记错、外 界过电压尖峰干扰等造成的误差。就数值大 小而言，粗大误差明显超过正常条件下的误 差。当发现粗大误差时，应予以剔除。
第六章误差分析PPT学习教案
测量误差
仪
影
方人
器
响
法身
误差来源、 分类及测量 结果评定
系随 疏 统机 失
准精可 确密取 度度性
精确度
测量结果评定
第11页/共85页
（1）系统误差
在相同的测量条件下，多次测量同一物理量，误 差不变或按一定规律变化着，这样的误差称为系统误差。
系统误差等于误差减去随机误差，是具有确定性规律 的误差，可以用非统计的函数来描述。
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6. 2 异常数据的取舍
6. 2. 3 格拉布斯(Grubbs)准则
格拉布斯准则是以小样本测量数据，以t分布为基础用数理统计方法推导得出的。理论上比
较严谨，具有明确的概率意义，通常被认为实际工程应用中判定异常数据比较好的准则。 设测定值服从正态分布，即L一N(X,б)，根据贝塞尔方法，分布函数б可用测定值的残差予
第六章误差分析
会计学
1
测试技术基础
学习目的
1. 正确认识误差的性质、分析产生原因、清除或减小误 差
2. 正确处理测量和实验数据，合理计算取得结果，以便 在一定条件下得到真实值的数据
3. 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量 方法，得到理想结果
4. 提出更加完善的评价和确定真值的有效方法 5. 找出有效的检测手段和误差补偿方法 6. 为精确设计与实验数据处理打基础
次 数 统 计
分布密度
f ( )
性质：
正 对称 态性 分 单峰 布性
绝对值相等的正负误差出现的次数相等 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多 偶然误差绝对值不会超过一定程度 当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于0
误差分析与数据处理ppt课件.ppt
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
误差分析与数据处理PPT课件
n
(xi x)2
i1
n 1
（6—10）
式中： n 为有限次， x 为算式平均值，代替真值 T ，
x
n
xi n
i 1
2021
( sj )
T
100%
( bc )
x
100%
（6—3） （6—4）
之所以要采用相对误差来评价被测值的精度，是因为对不同的被测 值，绝对误差难以评定测量精度的高低。
2021
13
例如，采用两种方法来测量h1 100mm的尺寸，分别获得测量误
差为 L1 10m和 L2 8m，很明显后一种方法测量结果的
冲击或振动）等所造成的误差。
2021
9
过失误差的数值远远大于系统误差，已经不属于误差范围，必须 剔除掉。过失误差无规律可循，只要多加警惕，细心操作，一般都可 以避免。应当指出，上述误差可以在一定条件下相互转化。对于某一 具体误差，在一条件下是系统误差，在另一条件下可能是随机误差， 反之亦然。例如：按一定公称尺寸制造的量块，存在着制造误差，其 中就某一块量块制造的误差的数值来说，若用以进行标定或测量，所 造成的误差是系统误差；但是，就此量块整批而言，则该量块的制造
x T 测量某一参数所得的测量值 与该参数的真值 之差 为绝对误
差。即：
xT
它与被测参数有相同的单位。
测量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。然而在某些特定
的情况下，其真值是可知的。例如：三角形的内角和为 1 8 0 ，一个整 的圆周角为 3 6 0 。为了使用上的方便和要求，在有些情况下，可以采用
四、随机误差的评定指标
任何测试与观察总是不可避免的存在误差，这种误差具有随机性。
误差分析—误差的基本概念(试验设计与数据处理课件)
样本个数n越大，标准误越小，表明所抽取的样本能够较好地代表总体样本
绝对误差
绝对误差（absolute error）
定义：绝对误差＝试验值知
绝对误差的范围：
x x xt x max
6
或
xt x x max
绝对误差限或
绝对误差上界
算术平均误差
算术平均误差 (Average discrepancy)
1）绝对误差/偏差
di
xi
=
xi
_
试验值
x
x
算术平均值
2）算术平均误差 (Average discrepancy)
n
x
i 1
i
n
n
x
d
i 1
i
n
算术平均误差反映一组试验数据的误差大小。
相对误差
相对误差（relative error）
绝对误差估算方法：
➢ 最小刻度的一半为绝对误差；
➢ 最小刻度为最大绝对误差；
➢ 根据仪表精度等级计算：
绝对误差=量程×精度等级%
绝对误差估算方法
例(p6)：压强表最大量程0.4MPa，精度等级1.5。
解：压强表的绝对误差：0.4 MPa×1.5%=0.006 MPa；
天平的最小刻度0.1mg；
解： 最大绝对误差为0.1mg，绝对误差估计值为0.1 mg/2=0.05 mg。
定义：
绝对误差
相对误差
真值
即
x x xt
ER
xt
xt
注：真值未知，绝对误差未知，相对误差也未知。
相对误差（Relative error）
常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
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通常使用的条件数, 有
(1) cond∞(A)=||A-1||||A||;
(2) A的谱条件数;
cond2 ( A)
A1 2
A 2
max ( AT A) . min ( AT A)
当A为对称矩阵时
cond2 ( A)
1 n
.
其中1, n为A的绝对值最大和绝对值最小的特征值.
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对于这样的方程组，不管用什么样的数值方法， 我们总难(甚至不可能)算出合理的(与真正精确解相差 不大的)解，像这样的方程组称为病态方程组.
定义1 如果矩阵A或常数项b 的微小变化(小扰动), 引起方程组Ax=b解的巨大变化, 则称此方程组为“病 态”方程组, 其系数矩阵 A 称为“病态”矩阵(相对于 方程组而言), 否则称方程组为“良态”方程组, A称为 “良态”矩阵.
3
13
A
max
1 i 3
j 1
aij
, 12
A1 1860
从而 cond ( A)
A
A1 2015,
所以A是病态的.
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||A-1||·||A||倍.
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(3) 现设x为Ax=b的精确解，当A有微小误差(小扰
动)A, 而b同时也有微小误差b(小扰动)时, 受扰解为
x+x, 则还可以推出相对误差估计式为
x
A A1
A b
x
1 A
A1
A
A
b
A
A
A1
A
A
b
b
.
A
1
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cond2(AB) =cond2(BA) =cond2(B).
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例2 求矩阵A的条件数，其中
A
1 2
1 3
1 3
1 4
1 4
1
5
1 4
1 5
1 6
解
由
A
1 2
1
3
1 3
1 4
1 4
1
5
得
A1
72
240
240 900
180
720
1 4
1 5
1 6
180 720 600
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第六节、误差分析
对线性方程组 Ax=b, 其中设A为非奇异矩阵, x为 方程组的精确解.
由于A和b元素是实验测量得到的, 或者是计算的
结果, 因此实际是A+A和b+b, 方程组变成了 (A+A)(x+x)=(b+b)
下面我们来研究A或b与x的关系，即误差分析.
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条件数的性质:
(1). 对任何非奇异矩阵, 都有condv(A) ≥1. 事实上
condv ( A)
A1 v
A v
A1 A v
I 1. v
(2). 设A为非奇异矩阵且c≠0(常数), 则
condv(cA) =condv(A).
(3). 如果A为正交矩阵, 则cond2(A) =1; 如果B为 非奇异矩阵, A为正交矩阵, 则
总之, 量||A-1||·||A||越小, 由A(或b或两者)的相对误 差引起的解的相对误差就越小; 量||A-1||·||A||越大, 解 的相对误差就可能越大. 所以量||A-1||·||A||事实上刻画 了解对原始数据变化的灵敏程度, 即刻画了方程组的 “病态”程度, 于是引进下述定义:
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(1) 现设A是精确的, x为Ax=b的精确解，当方程
组右端有误差b, 受扰解为 x+x, 则
A(x+x)=b+b, Ax=b, x=A-1b,
||x||≤||A-1||·||b||.
（1）
由Ax=b有 ||b||≤||A|| ||x||.
于是得
x A1
A
b
.
x
b
1 A (b 0).（2） xb
对两组不同的常数项
b (b1 , b2 , b3 )T , b% (b1 , b2 , b3 )T 它们的差只有 b b% b ( , , )T
但所得解的误差却是
x x% x (492 , 1860 , 1500 )T 即两组不同的常数项分量误差不过是 ,
可是解的分量误差却高达 1860 .
定义2 设A是非奇异矩阵, 称数
condv(A) =||A-1||v||A||v (v=1,2或)
为矩阵A的条件数 . 由此看出矩阵的条件数与范数有关.
矩阵的条件数是一个十分重要的概念. 由上面讨论知,当A 的条件数相对的大, 即cond(A)>>1时,则方程组是“病态”的 (即A是“病态”矩阵, 或者说A是坏条件的, 相对于方程组), 当 A的条件数相对的小, 则方程组是“良态”的(或者说A是好条 件的). 注意, 方程组病态性质是方程组本身的特性. A的条件数 越大, 方程组的病态程度越严重, 也就越难用一般的计算方法 求得比较准确的解.
x= -(I+A-1A)-1A-1((A)
（P65定理7）
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设||A-1||·||A||<1, 即得
A1
A
A
x
A A1
x
1 A1
A
A
A
A
A. A
A 1
如果A充分小, 且在条件||A-1||·||A||<1下, 那么此 式说明矩阵A的相对误差||A||/||A||在解x中也可能放大
首先考察一个例子.
例1 设有方程组Ax=b，其中
A
1 2
1 3
1 3
1 4
1 4
1
5
1 4
1 5
1 6
b1
b
b2
b3
求的精确解(无任何误差)为
x1 72b1 240b2 180b3
x2
240b1
900b2
720b3
x3
180b1
720b2
600b3
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应该注意, 矩阵的“病态”性质是矩阵本身的特 性,下面我们希望找出刻画矩阵“病态”性质的量. 设 有方程组
Ax=b,
其中A为非奇异矩阵, x为方程组的精确解. 以下我们
分别研究方程组的常数项b (和A)(即先假设A＝0，再 假设b＝0)的微小误差(小扰动)时对解的影响.
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即解x的相对误
差的上界是b的相对
误差的||A-1|| ||A||倍.
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(2) 现设b是精确的, x为Ax=b的精确解，当A有微
小误差(小扰动)A, 受扰解为 x+x, 则
(A+A)(x+x)=b, 有(A+A)x= -(A)x.
而 (A+A)=A(I+A-1A).
由3.6节定理7知, ||A-1A||<1时, (I+A-1A)-1存在. 有