利用单调有界准则的解题步骤

利用单调有界准则的解题步骤

（1）由数列{}n u 的通项确定递推关系式：1()n n u f u +=

（2）利用递推关系式证明该数列单调增加（或减少）有上界（或下界）；再设 lim n n u A →∞

=（3）在递推关系式两边取极限得到关于未知数A 的方程1()n u f u +=n ()A f A =

（4）解此方程求出符合题意的A 的值

（5）可先猜出（求出）数列的极限值，再用数列极限的N ε−定义证明该值即为的极限（对不单调的题，上面方法失效，但该法仍可行）

n u n u

数列有界性和单调性的证明方法：

（1）一般关于单调性和有界性可以尝试利用数学归纳法来证明

（2）判定数列单调性主要有三种方法

①计算，若，则数列1n u u +−n 10n n u u +−≥{}n u 单调增加

若，则数列10n n u u +−≤{}n u 单调减少

②当时，计算0n u >1n n u u +，若11n n

u u +≥，则{}n u 单调增加 若

11n n u u +≤，则{}n u 单调减少 ③利用导数证明的单调性，则()(1)f x x ≥()n u f n =与()f x 有相同的单调性

（3）有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时调整证明次序（证明单调性时需用有界性，从而必先证明数列有界；或证明有界性时需用单调性，从而必先证明数列的单调性）

例 设数列{}n x 满足110,sin (1,2,n n x x x n )π+<<=="

①证明lim n n x →∞存在，并求该极限；②计算极限2

1

1lim n x n n n x x +→∞⎛⎞⎜⎟⎝⎠

。 证明①用归纳法证明{}n x 单调减少且有下界：

由10x π<<得2110sin x x x π<=<<

设0n x π<<，则10sin n n n x x x π+<=<<

所以数列{}n x 单调减少且有下界。故由单调有界准则知0n x >lim n n x →∞存在，记为A 。 在1sin n n x x +=两边取极限，得

sin 0A A A =⇒=②11

1sin lim lim n n x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠n ，记x x =，可用罗必达法则求2

10sin lim x x x x →⎛⎞⎜⎟⎝⎠。