2.2.1对数与对数运算(一)

2.2.1对数与对数运算（一）

（一）教学目标

1．知识技能：

①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；

②理解和掌握对数的性质；

③掌握对数式与指数式的关系.

2.过程与方法：

通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.

3．情感、态度、价值观

（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.

（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.

（3）在学习过程中培养学生探究的意识.

（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点

（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质

（2）难点：推导对数性质的

（三）教学方法

启发式

启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数

与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是

指数运算的逆运算.

引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节

学习对数的运算性质打好基础.

（四）教学过程

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

提出问题

1．提出问题

（P

72

思考题）13 1.01x

y=⨯中，哪一

年的人口数要达到10亿、20亿、30

亿……，该如何解决？

即：

182030

1.01, 1.01, 1.01,

131313

x x x

===

在个式子中，x分别等于多少？

象上面的式子，已知底数和幂的值，

求指数，这就是我们这节课所要学习的

对数（引出对数的概念）.

老师提出问题，

学生思考回答.

启发学生从指数运算

的需求中，提出本节的研

究对象——对数，

由实际

问题引入，激

发学生的学

习积极性.

概念形成

合作探究：若1.01x=

13

18，则x称作

是以1.01为底的

13

18的对数.你能否据此

给出一个一般性的结论？

一般地，如果a x=N（a＞0，且a≠1），

那么数x叫做以a为底N的对数，记作

x=log

a

N，其中a叫做对数的底数，N叫

做真数.

举例：如：2

4

416,2log16

==

则，读

作2是以4为底，16的对数.

1

2

42

=，则

4

1

log2

2

=，读作

1

2

是以

4为底2的对数.

合作探究

师：适时归纳总结，引

出对数的定义并板书.

让学生

经历从“特

殊一一般”，

培养学生

“合情推

理”能力，

有利于培养

学生的创造

能力．

概念深化1. 对数式与指数式的互化

在对数的概念中，要注意：

（1）底数的限制a＞0，且a≠1

（2）log

x

a

a N N x

=⇔=

指数式⇔对数式

掌握指数式与对数式

的互化、而且要明确对数

运算是指数运算的逆运

算.

通过本

环节的教

学，培养学

生的用联系

的关点观察

幂底数←a →对数底数指 数←x →对数幂 ←N→真数

说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程x a N =（a ＞0，且

a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即

已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.

2. 对数的性质：

提问：因为a ＞0，a ≠1时，

log x N a a N x =⇔=

则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式

②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a N a =？ （以上三题由学生先独立思考，再

问题.

② ∵a＞0，且

备选例题

例1 将下列指数式与对数式进行互化.

（1）64)4

1

(=x

（2）5

15

2

1=

-

（3）327log 3

1-= （4）664log -=x

【分析】利用a x = N ⇔x = log a N ，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.

【解析】（1）∵64)4

1(=x ，∴x =4

1log 64

（2）∵5

15

2

1

=

-

，∴2

15

1log 5

-

= （3）∵327log 3

1-=，∴27)3

1(3=-

（4）∵log x 64 = –6，∴x －6 = 64.

【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义a b =

N ⇔b = log a N 进行转换即可.

例2 求下列各式中的x . （1）3

2log 8-=x ； （2）4

327log =x ； （3）0)(log log 52=x ； 【解析】（1）由3

2log 8-=x 得3

23

3

2

)

2(8

-

-==x = 2–2，即4

1=x .