(完整)北师大版八年级下册《三角形的证明》培优

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2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》解答题优生辅导训练(附答案)

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》解答题优生辅导训练（附答案）1．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC 交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO ﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．2．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD＝AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD＝AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）3．如图1，Rt△ABC中AB＝AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD＝EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF 的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．4．如图是一个三角形金属轨道ABC，其周长99cm，AB＝AC，甲、乙、丙三个小球分别从A、B、C出发以相同的速度向B、C、A运动，当运动了6s时，分别到达P、Q、R三点处，AP＝AB，BQ＝BC．求：（1）三角形三条边的长度；（2）小球的运动速度；（3）出发多少秒后，哪两个球首次同时在同一条边上运动它们在同一条边上运动多长时间？5．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？7．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．8．如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分别为AB、BD中点．（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系．9．已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM 及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．（1）已知：如图RT△ABC中，∠ACB＝90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：DA ＝DB＝DC．（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？请说明理由．12．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝10，BC上的高为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，设运动的时间为t秒；（1）是否存在某一时刻使得MN垂直平分AC？若存在，请求出t；若不存在，说明理由．（2）直接写出t为何值时，△MNC为等腰三角形？13．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB＝OC．（1）如图，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；（2）如图，若点O在△ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）若点O在△ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示．14．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）直接写出∠ABC的度数；（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线．①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．15．在△ABC中，AB＝AC，AC⊥BA，M为BC边中点，一等腰直角三角尺的直角顶点P 在BC边上移动，两直角边分别与AB，AC交于E，F两点且斜边与BC平行．（1）在图1中，当三角尺的直角顶点P恰好移动到M点时，请你通过观察、测量，猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺的直角顶点P沿BC方向移动到图2所示的位置时，请你通过观察、测量、猜想并写出ME与MF满足的数量关系及位置关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿BC方向继续向右平移到图3所示的位置（点P在线段BC的延长线上，三角尺两直角边所在直线与△ABC的两边BA，AC的延长线分别交于点E，F，且点P与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）16．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（D在BC边上），BE⊥AC，垂足为点E，M为AB 的中点，联结ME、MD、ED．（1）当点AC边上时（如图），容易证明∠EMD＝2∠DAC；当点E在CA的延长线上，请在图中画出相应的图形，并说明“∠EMD＝2∠DAC”是否还成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；（2）如果△MDE为正三角形，BD＝4，且AE＝1，求△MDE的周长．17．如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点F；（1）求证：PD+PE＝CF；（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．18．运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是；（直接写出结论不必证明）（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．19．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，CD平分∠ACB，点E 为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠P AC+∠PBC＝°（直接写出结论，不需证明）．（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E 为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．20．如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC＝PB，则称点P为△ABC的准外心．（1）观察并思考，△ABC的准外心有个．（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD＝，在图中画出点P点，求∠APB的度数．（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求P A的长．21．如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰△AOB顶点A的坐标是（2，1），AO＝AB．（1）求点B的坐标．（2）过点B作BC⊥OA，交OA的延长线于点C，一等腰直角三角尺如图2摆放，它的直角顶点为D，一条直角边与AB边重合，另一条直角边恰好过点O．①请你通过观察，猜想OD与BC满足的数量关系，并证明你的猜想．②当三角尺沿AB方向平移到图3所示的位置时，一条直角边仍与AB重合，另一条直角边交OB于点E，过E点作EF⊥OA于点F．请你猜想并证明EF，ED与BC之间满足的数量关系．22．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．（1）如图1，若∠DAC＝2∠ABC，△ACB≌△DAC，则∠ABC＝°；（2）如图2，若∠ABC＝30°，△ACD是等边三角形，AB＝3，BC＝4．求BD的长．参考答案1．（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，答：OC＝2，BC＝2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP＝2﹣t，CQ＝t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP＝60°，∠HPC＝30°，∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t），∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t），即S＝﹣t2+t；②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO＝2，∠NOC＝60°，∴CZ＝，CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，∠NOC＝60°，∴∠GPO＝30°，∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），即S＝t2﹣t+；④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，∴CM＝BC＝1，有勾股定理得：BM＝，∵OB＝2，∴OM＝2﹣＝＝CK，∴S＝PQ×CK＝×2×＝；综合上述：S与t的函数关系式是：S＝；．（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．2．证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D，∴∠B＝∠D＝90°，∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，∴AB＝AC，AD＝．∴AB+AD＝．（2）由（1）知，AE+AF＝AC，∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CE＝CF．而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D＝∠CBE．∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF＝BE．∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AF＝AC．3．解：△DEF是等腰三角形．证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P，∵Rt△ABC中AB＝AC，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠PCN＝∠ACB，∠BAD＝∠ACP，∵AM⊥BD，∴∠ABD+∠BAM＝∠BAM+∠CAP＝90°，∴∠ABD＝∠CAP，∴△BAD≌△ACP（AAS），∴AD＝CP，∠ADB＝∠P，∵AD＝CE，∴CE＝CP，∵CN＝CN，∴△CPN≌△CEN（ASA），∴∠P＝∠CEN，∴∠CEN＝∠ADB，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形．附加题：△DEF为等腰三角形，证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，∵Rt△ABC中AB＝AC，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠PCN＝∠ACB＝∠ECN，∵AM⊥BD，∴∠ABD+∠BAM＝∠BAM+∠CAP＝90°，∴∠ABD＝∠CAP，∴△BAD≌△ACP（AAS），∴AD＝CP，∠D＝∠P，∵AD＝EC，CE＝CP，又∵CN＝CN，∴△CPN≌△CEN（SAS），∴∠P＝∠E，∴∠D＝∠E，∴△DEF为等腰三角形．4．解：（1）设AP＝xcm，则AB＝4xcm，BC＝3xcm，据题意得：4x+4x+3x＝99，x＝9，所以AB＝AC＝36cm，BC＝27cm；（2）∵AP＝9cm，∴运动速度为9÷6＝1.5cm/s；（3）出发后3×6＝18s后，乙丙两球首次同时在同一条边上运动．它们在同一条边上运动的时间为（36﹣27）÷1.5＝6（s）．5．（1）证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，（1分）∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°∴∠3＝∠1+∠A＝72°，∴∠1＝∠A，∠3＝∠C，∴AD＝BD，BD＝BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角边不等）；特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A＝2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；6．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴有勾股定理得PB＝2cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；（2）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴P A＝PC ∴P A＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或10.8s时△BCP为等腰三角形；（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP＝8﹣t，AQ＝16﹣2t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴8﹣t+16﹣2t＝12，∴t＝4；当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣8，AQ＝2t﹣16，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣8+2t﹣16＝12，∴t＝12，∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．7．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．8．解：（1）CM＝EM′．证明：根据线段中点的概念和已知的AB＝BD，得BM＝DM′；在△BCM与△DEM′中，∴Rt△BCM≌Rt△DEM′（SAS），∴CM＝EM′；（2）CK＝KE．理由如下：如图2，延长MK至L，使KL＝MM'，连接LE，则KL+KM′＝MM'+KM′，即KM＝LM′，由（1）可知CM＝EM′，∵BD＝AB，M是AB的中点，M'是BD的中点，∴BM＝BM′，∴∠BMM′＝∠BM′M，由（1）知Rt△BCM≌Rt△DEM′，∴∠BMC＝∠EM′D，∴∠CMK＝∠KM′E，在△CMK和△EM′L中∴△CMK≌△EM′L（SAS），∴CK＝EL，又∵∠CKM＝∠LKE＝∠KLE，∴KE＝LE，∴CK＝KE．9．解：（1）结论：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD．理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，∴BM＝DM＝CE；又∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；同理可得∠DME＝2∠DCM；∴∠BME+∠DME＝2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD＝2∠BCD．（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝EC＝MC，又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴DM＝EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠EMB﹣∠EMD＝2∠BCM﹣2∠DCM＝2（∠BCM﹣∠DCM）＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝EC＝ME；又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝ME，DM＝MC，∴∠BEC＝∠EBM，∠MCD＝∠MDC，∴∠BEM+∠MCD＝∠BAC＝90°﹣∠BCD，∴∠BMD＝180°﹣（∠BMC+∠DME），＝180°﹣2（∠BEM+∠MCD）＝180°﹣2（90°﹣∠BCD）＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD．（3）所画图形如图所示：图1中有BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM＝DM；图3中有BM＝DM，∠BMD＝360°﹣2∠BCD．解法同（2）．10．解：①相等，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°，∴∠NFE＝15°，∴∠NEF＝75°＝∠MDF，在△DMF和△ENF中，，∴△DMF≌△ENF（AAS），∴FE＝FD；②成立．过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∴四边形BNFM是圆内接四边形，∵∠ABC＝60°，∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，∵∠CF A＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠DFE＝∠CF A＝∠MFN＝120°．又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，∴∠DFM＝∠NFE，在△DMF和△ENF中，∴△DMF≌△ENF（ASA），∴FE＝FD．11．解：（1）∵ED垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴DA＝DB＝DC；（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，∵PM⊥FH，PN⊥FG，∴△MPF和△NPF都是直角三角形；作线段MF的垂直平分线交FP于点O，由（1）中所证可知OF＝OP＝OM；作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O；∴OM＝OP＝OF＝ON，又∵MN⊥FP，∴∠OKM＝∠OKN＝90°，∵OK＝OK；∴Rt△OKM≌Rt△OKN；∴MK＝NK；∴△FKM≌△FKN；∴∠MFK＝∠NFK，即FP平分∠HFG．12．解：（1）不存在．过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝4，∵AC＝5，∴CD＝＝3，∵∠C是公共角，∠ADC＝∠MNC，∵BM＝2t，CN＝t，∴MC＝BC﹣BM＝10﹣2t，∴，解得：t＝，∴当t＝时，MN垂直AC但不平分；（2）若①CM＝CN，则10﹣2t＝t，解得：t＝；②若CN＝MN，过点N作NE⊥BC于点E，则CE＝CM＝（10﹣2t）＝5﹣t，∵t＝；③若MN＝CM，同理可得：t＝．综上可得：t＝或或．13．（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠BEO＝∠CFO＝90°．∵在Rt△OBE和Rt△OCF中，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．（2）解：成立．证明：过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，则∠BEO＝∠CFO＝90°，∵在Rt△OBE和Rt△OCF中，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠EBO＝∠FCO．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠EBO+∠OBC＝∠FCO+∠OCB．即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．（3）解：不一定成立，如右图．14．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝＝＝72°；（2）①如图（2），△ADB、△BCD是等腰三角形．说明△ADB是等腰三角形，理由：由（1）得：∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°，又∵∠A＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，即△ADB是等腰三角形．说明△BCD是等腰三角形，理由：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣36°）＝72°又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠C＝∠BDC，∴BD＝BC，即△BCD是等腰三角形．②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD＝72°；当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P：一点在线段BC延长线上，此时∠CPD＝36°；一点在线段BC上，此时∠CPD＝＝54°．15．解：（1）ME＝MF，ME⊥MF．∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵BM＝CM，∠BME＝CMF∴△BEM≌△CFM∴ME＝MF∵∠EMA+∠AMF＝∠FMC+∠AMF＝∠AMC＝90°∴ME⊥MF（2）ME＝MF，ME⊥MF；证明：连接AM∵△ABC是等腰直角三角形，M为斜边BC的中点∴AM＝BC＝CM，AM⊥BC，∠EAM＝∠C＝45°∴∠AMC＝90°∵两个三角形是等腰直角三角形，且斜边平行，直角顶点P在斜边BC上移动∴四边形AEPF为长方形，∴AE＝PF，∵∠C＝45°，∠PFC＝90°，∴∠FPC＝∠C＝45°，∴AE＝PF＝CF，∴△AEM≌△CFM∴ME＝MF，∠AME＝∠CMF∴∠EMA+∠AMF＝∠FMC+∠AMF＝∠AMC＝90°∴ME⊥MF（3）ME＝MF，ME⊥MF仍然成立．16．（1）解：如图，“∠EMD＝2∠DAC”成立．理由：∵BE⊥CA，AD⊥BC，∴∠BEA＝∠ADB＝90°，∵BM＝AM，∴EM＝BM＝AM＝DM，∴B、D、A、E四点共圆，∴∠DAC＝∠EBD，∵∠EMD＝2∠EBD，∴∠EMD＝2∠DAC．（2）解：①当点E在CA的延长线上，∵△EMD是等边三角形，∴∠EMD＝60°，∴∠DAC＝∠EBC＝30°，设DC＝a，则AC＝2a，AD＝a，在Rt△BEC中，BC＝2EC，∴4+a＝2（1+2a），∴a＝，∴AD＝，在Rt△ADB中，AB＝＝，∴DM＝AB＝，∴△EDM的周长为．②如图当点E在线段AC上时，∵△EMD是等边三角形，∴∠EMD＝60°，∴∠DAC＝∠EBC＝30°，设DC＝a，则AC＝2a，AD＝a，在Rt△BEC中，BC＝2EC，∴4+a＝2（2a﹣1），∴a＝2∴AD＝2，在Rt△ADB中，AB＝＝2，∴DM＝AB＝，∴△EDM的周长为3．综上所述，△EDM的周长为或3．17．（1）证明：作PM⊥CF，∵PD⊥AB，CF⊥AB，∴∠FDP＝∠DFM＝∠FMP＝90°，∴四边形PDFM是矩形，∴PD＝FM．∵PE⊥AC，且PM⊥CF，∴∠PMC＝∠CEP＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AB⊥FC，PM⊥FC，∴AB∥PM，∴∠MPC＝∠B，∴∠MPC＝∠ECP，在△PCM和△CPE中，∵，∴△PCM≌△CPE（AAS），∴CM＝PE，∴PD+PE＝FM+MC＝CF；（2）PD﹣PE＝CF；证明如下：作CM⊥PD于M，同（1）得四边形CMDF是矩形，则CF＝DM，∴CM∥AB，∴∠MCP＝∠B，又∠ACB＝∠ECP（对顶角相等），且AB＝AC得到∠B＝∠ACB，∴∠MCP＝∠ECP，又PE⊥AC，CM⊥PD，∴∠PMC＝∠PEC＝90°，在△PCM和△PCE中，∵，∴△PCM≌△PCE（AAS），∴PM＝PE，∴PD﹣PE＝PD﹣PM＝DM＝CF．18．解：（1）∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）h1﹣h2＝h．（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，则：A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：1+M y＝OB，M y＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，∴M（，2）；②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣1＝OB，M y＝3+1＝4，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，∴M（﹣，4），∴点M的坐标为（，2）或（，4）．19．解：（1）猜想：∠P AC+∠PBC＝180°；（2）结论：依然成立．证明：连接CE．∵E为AB中点，∴AE＝EB＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DCE＝∠ECA﹣∠DCA＝∠EAC﹣45°，又∵∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣45°＝135°﹣∠PDE，∴∠DCE＝135°﹣∠PDE﹣45°＝90°﹣∠PDE＝∠DPE，∴PE＝EC＝AE，∴△P AE与△PBE为等腰直角三角形，∠APB＝90°，∴∠P AC+∠PBC＝360°﹣∠APB﹣∠ACB＝360°﹣90°﹣90°＝180°．20．解：（1）∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，∴△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．∴△ABC的准外心有无数个．故答案为：无数；（2）①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝DB＝AB，与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC，②若P A＝PC，连接P A，同理可得P A≠PC，③若P A＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°；（3）∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4，①若PB＝PC，设P A＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，∴x＝，即P A＝，②若P A＝PC，则P A＝2，③若P A＝PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．故P A＝2或．21．解：（1）过A作AM⊥OB于M．∵A的坐标是（2，1），∴OM＝2．又∵AO＝AB，∴OB＝4．（2分）∴B的坐标是（4，0）．（3分）（2）①OD＝BC．（4分）证明：在△ODA与△BCA中，，∴△ODA≌△BCA．（AAS）∴OD＝BC．（7分）②DE+EF＝BC．（8分）方法一：连接AE．S△ABO＝OA．BC，S△ABO＝S△ABE+S△AEO＝AB．DE+OA．EF，＝OA（DE+EF），∴DE+EF＝BC．（10分）方法二：过点E作EG⊥BC，G为垂足，交AB于点H．再利用△DEH≌△GBH得到DE＝BG．22．解：（1）∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∵△ACB≌△DAC，∴∠DAC＝∠ACB，∠B＝∠BAC，∵∠DAC＝2∠ABC，∴∠ACB＝2∠ABC，∴∠ABC＝45°；（2）如图，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE＝60°，并在AE上取AE＝AB，连接BE和CE．∵△ACD是等边三角形，∴AD＝AC，∠DAC＝60°．∵∠BAE＝60°，∴∠DAC+∠BAC＝∠BAE+∠BAC．即∠EAC＝∠BAD．∴△EAC≌△BAD．∴EC＝BD．∵∠BAE＝60°，AE＝AB＝3，∴△AEB是等边三角形，∴∠EBA＝60°，EB＝3．∵∠ABC＝30°，∴∠EBC＝90°．∵∠EBC＝90°，EB＝3，BC＝4，∴EC＝5∴BD＝5．。

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练( 含答案)

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练（含答案）一、单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．16C ．24D ．32 2．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别为R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，则下列四个结论：①PA 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△CSP ，其中结论正确的的序号为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 3．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（）A ．()20182(3),0-⨯B ．()20180,2(3)-⨯B ．C ．()20192(3),0⨯D ．()20190,2(3)-⨯4．如图，直线l ：y =，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…按此作法继续下去，则点A 2015的坐标为( )A ．（0，42015）B ．（0，42014）C ．（0，32015）D ．（0，32014） 5．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（）A ．3B ．23C ．4D ．32 6．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（）A ．5B ．8C ．254D ．2587．如图, 在△DAE 中, ∠DAE ＝40°, B 、C 两点在直线DE 上，且∠BAE ＝∠BEA ，∠CAD ＝∠CDA ，则∠BAC 的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．49．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）A．203B．253C．303D．40310．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝_____°．12．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．14．已知：四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =90°，三角形ABC 的面积为1，则线段AC 的长度是___________.15．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________ 16．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是AB 的中点，点M 在CB 的延长线上，点N 在AC 上，且满足∠MPN=120º．已知△ABC 的周长为12，设m=2AC-CM-CN ，若关于x 的方程53mx m x n -=-的解是正数，则n 的取值范围是__________17．已知在△ABC 中,两边AB 、AC 的中垂线，分别交BC 于E 、G ．若BC ＝12，EG ＝2，则△AEG 的周长是________．18．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．19．已知等边三角形ABC 的边长为6，有从点A 出发每秒1个单位且垂直于AC 的直线m 交三角形的边于P 和Q 两点且由A 向C 平移，点G 从点C 出发每秒4个单位沿C →B →P →Q →C 路线运动，如果直线m 和点G 同时出发，则点G 回到点C 的时间为_________．20．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.三、解答题21．如图，在已知ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE CF =．求证：DE DF =．22．如图所示，点O 是线段AC 的中点，OB AC ⊥，9OA =.（1）如图1，若30ABO ∠=︒，求证ABC ∆是等边三角形；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D 在射线AC 上，点D 在点C 右侧，且BDQ ∆是等边三角形，QC 的延长线交直线OB 于点P ，求PC 的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M 在线段BC 上，OMN ∆是等边三角形，且点M 沿着线段BC 从点B 运动到点C ，点N 随之运动，求点N 的运动路径的长度. 23．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).24．已知：点A 在射线CE 上，C D ∠=∠．（1）如图1，若//,AC BD 求证：//AD BC ．（2）如图2，若,BD BC BD ⊥与CE 交于点,G 请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作//DF BC 交射线CE 于点,F 当8,DFE DAE ∠=∠BAC BAD ∠=∠时，直接写出BAD ∠的度数为25．如图，ABC ∆中，90,5,4ACB AB BC ︒∠===，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A C B A －－－运动（回到点A 停止运动），设运动时间为t 秒．（1）当点P 在BC 上时，且满足PA PB =时，求出此时t 的值；（2）当点P 在AB 上时，求出t 为何值时，ACP ∆为以AC 为腰的等腰三角形．26．如图1，在平面直角坐标系中，已知A （a ，b ），且a 、b 满足22+1b a a =-+-，（1）求A 点的坐标及线段OA 的长度；（2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点的坐标；（3）如图2，若B （1，0），C （0，－3），试确定∠ACO+∠BCO 的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围.27．如图，∠AOB=115°，∠EOF =155°，OA 平分∠EOC ，OB 平分∠DOF ，（1）求∠AOE+∠FOB 度数；（2）求∠COD 度数。

三角形的证明2020-2021年八年级数学下学期培优巩固提升卷(北师大版)(原卷版)

2021八年级数学下册同步课堂培优--三角形的基础证明【能力知识点】1 等腰三角形(1)等腰三角形的有关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

(2)等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。

（简写成“等边对等角”）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）(3)等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简写成“等角对等边”）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形2 等边三角形(1)等边三角形的有关概念在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

(2)等边三角形的性质60。

①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于②等边三角形三边都相等.③还满足等腰三角形的所有性质(3)等边三角形的判定等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的判定2：三边都相等的三角形是等边三角形60的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的判定3：有一个角是(4)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

3 等腰直角三角形(1)在等腰三角形中，还有一种特殊的等腰三角形————等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两直角边相等直角边与斜边的夹角是锐角45度，(2)斜边上中线，角平分线，垂线三线合一(3)三边的比值为1：1:24.直角三角形直角三角形的性质与判定：(1)直角三角形两锐角互余；(2)有一个角等于 90°的三角形是直角三角形；(3)含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半(4)勾股定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2②勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足若c2=a2+b2，那么这个三角形是直角三角形。

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章：三角形的证明培优达标卷

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1）若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==，在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线；由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=，由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+，而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==，故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒，又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒．同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=，综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ；（2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ，则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一(含答案)

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一（含答案）1．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，D 为BC 的中点，EF =3，BC =8，则△DEF 的周长是（）A ．7B ．10C ．11D ．142．如下图，已知△ABC （AB<BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PB=BC 。

则下面四种不同方法作图中准确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知OC 平分∠AOB,CD//OB，若OD=3 cm ，则CD 等于：（）A ．1.5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．已知,A,B,C ABC a ∠∠∠中的三边、b 、c 是三角形的三边长，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（）A ．ABC ∠+∠=∠ B ．A B C ∠∠∠：： 1:2:3= C ．222a c b =-D ．a : b : c =4:5:65．一个等腰三角形的一个内角为500，那么这个等腰三角形的一条腰上的高与底边的夹角是（）A ．250 B ．400 C ．250 或400 D ．无法确定6．如图，∠POQ=30°，点A 在OP 边上，且OA=6，试在OQ 边上确定一点B ，使得△AOB 是等腰三角形，则满足条件的点B 个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，那么作法的合理顺序是（）①作射线OC ； ②在射线OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE ；③分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径在∠AOB 内作弧，两弧交于点C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③①②8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是．10．一个角的余角是30º，则这个角的大小是______.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是_____________．12．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________。

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题二(含答案)

A．16cmB．13cmC．19cmD．10cm
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（）
A．BD=ADB．BD=CDC．∠B=∠CD．∠BAD=∠CAD
4．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）
11．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形
解:由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，
而OD=OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC=90°，
所以四边形ABCD为矩形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，试求EF的长．
20．尺规作图：如图，在△ABC中，AB=AC，试作出下列图形：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）△ABC的角平分线AD；
（2）AC边的中点E．
21．为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120cm，后轮半径为24cm，CB=CD=24cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°．求：
14．如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是∠CAB的平分线,CM=1.5cm,若AB=6cm,则S△AMB=________cm2.
15．如图，等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=6，则EP+CP的最小值为_____．
16．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=50°，则∠BOD的度数是__________．

(完整版)北师大版八年级下册《三角形证明》培优提高

(完满版)北师大版八年级下册?三角形证明?培优提高三角形的证明单元检测卷9．以以下图，在△ABC 中，AB=AC ，D、E 是△ABC 内两点， AD 均分∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，假设 BE=6，DE=2，那么 BC 的长度是〔〕A． 6 B． 8 C． 9 D． 10 1．〔4 分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°10．〔4 分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，2．〔4 分〕以下命题的抗命题是真命题的是〔〕以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，A．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．假设 a=6，那么 |a|=|b|再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交3．△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边 BC=4 cm ，最长边 AB 的长是于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，那么以下说法中正确的个A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm数是〔〕4．〔4 分〕如图， AE=CF ，∠AFD= ∠CEB，那么增加下① AD 是∠BAC 的均分线；②∠ADC=60 °；③点 D 在 AB 的列一个条件后，仍无法判断△ADF ≌△CBE 的是〔〕中垂线上；④ S△DAC：S△ABC=1：3．A．∠A=∠C B．A D=CB C．BE=DF D．AD∥BC5．〔4 分〕如图，在△ABC 中，∠B=30 °，BC 的垂直均分线交 AB 于 E，垂足为 D．假设 ED=5，那么 CE 的长为〔〕A．10 B．8 C．5 D．6.如图，D 为△ABC 内一点，CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A= ∠ABE ．假设 AC=5 ，BC=3，那么 BD 的长为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．〔4 分〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A〔0，2〕，B 〔0，6〕，动点 C 在直线 y=x 上．假设以 A、B、C 三点为极点的三角形是等腰三角形，那么点 C 的个数是〔〕A． B． C．2 D．17．〔4 分〕如图， AB=AC ，BE ⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于 A．2 B．3 C．4 D．5点 F，BE、CF 订交于点 D，那么①△ABE ≌△ACF ；13．〔4 分〕如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ，F 是 AB 边上的中点，②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的均分线上．以上点 D，E 分别在 AC，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE，DF，EF．在此运结论正确的选项是〔〕动变化的过程中，以下结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不能能为正方形，A．① B．② C．①② D．①②③③ DE 长度的最小值为 4；8．〔4 分〕以以下图， AB ⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，④四边形 CDFE 的面积保持不变；∠BAE= ∠DEC=60 °，AB=3 ，CE=4，那么 AD 等于〔〕⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是〔〕A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤A．10 B．12 C．24 D．48二、填空题〔每题 4 分，共 24 分〕214．〔4 分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°时〞，第一应假设这个三角形中 ___．15．〔4 分〕假设〔 a﹣1〕2+|b﹣2|=0，那么以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ ．16．〔4 分〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直均分线，交 AC于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20 °，那么∠C= _________ ．24．〔10 分〕如图，把一个直角三角形 ACB 〔∠ACB=90 °〕绕着极点 B 顺时针旋转 60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E的地址． F，G 分别是 BD，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．〔1〕求证： CF=DG ；〔2〕求出∠FHG 的度数．25．〔10 分〕：如图，△ABC 中，∠ABC=45 °，DH垂直均分 BC 交 AB 于点 D，BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC于 E，与 CD 订交于点 F．〔1〕求证： BF=AC ；17．〔4 分〕如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF，DE 过点 I，且DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm，那么 DE 等于 _________ ．〔2〕求证：．18．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿五、解答题〔每题 12 分.共 24 分〕与蚊子相对的点 A 处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m．26．〔12 分〕如图，在△ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，19．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC 边上的点，CD=1 ，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 EDE⊥DF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF．处，假设点 P 是直线 AD 上的动点，那么△PEB 的周长的最小值是．〔1〕求证： BG=CF ；〔2〕求证： EG=EF ；三、解答题〔每题 7 分，共 14 分〕〔3〕请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．20．〔7 分〕如图，C 是 AB 的中点，AD=BE ， 27．〔12 分〕△ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点〔不与 B、C 重合〕，以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ADE ，使 AD=AE ，CD=CE ．求证：∠A=∠B．21．〔7 分〕如图，两条公路 OA 和∠DAE= ∠BAC ，过点 E 作 BC 的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE．〔1〕如图 1，假设∠BAC= ∠DAE=60 °，那么△BEF 是 _________ 三角形；OB 订交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，〔2〕假设∠BAC= ∠DAE ≠60°使货站 P 到两条公路 OA 、OB 的距离相等，且到两工厂 C、①如图 2，当点 D 在线段 BC 上搬动，判断△BEF 的形状并证明；D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的地址．四、解答题〔每②当点 D 在线段 BC 的延长线上搬动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并小题 10 分，共 40 分〕画出相应的图形．22．〔10 分〕在四边形 ABCD 中， AB ∥CD，∠D=90 °，∠DCA=30 °，CA 均分∠DCB ，AD=4cm ，求 AB 的长度？23．〔10 分〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 均分∠CAB ，交 CB 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．〔1〕求证：△ACD ≌△AED ；〔2〕假设∠B=30°，CD=1 ，求 BD 的长．3命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假要点是要熟悉课本中的北师大版八年级下册?第 1 章三角3．〔4 分〕△ABC 中，∠A ：∠B：∠C=1：2：3，最小边 BC=4 cm，最长边 AB形的证明?2021年单元检测卷 A〔一〕的长是〔〕A．5cm B．6cm C．7cm D．参照答案与试题解析考点：含 30 度角的直角三角形．解析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角一、选择题〔每题 4 分，共 48 分〕的一半．1．〔4 分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕解答：解：依照三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°边是斜边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即 8，应选 D．谈论：此题主若是运用了直角三角形中角 30°所对的直角边是斜边的一半．考点：等腰三角形的性质．专题：分类谈论． 4．〔4 分〕〔2021?安顺〕如图， AE=CF ，∠AFD= ∠CEB，那么增加以下一个解析：分 80°角是顶角与底角两种情况谈论求解．条件后，仍无法判断△ADF ≌△CBE 的是〔〕解答：解：① 80°角是顶角时，三角形的顶角为 80°，② 80°角是底角时，顶角为 180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80°或 20°．应选 B．谈论：此题观察了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况谈论求解．A．∠A=∠C B．A D=CB C．BE=DF D．2．〔4 分〕以下命题的抗命题是真命题的是〔〕A．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．假设 a=6，那么 |a|=|b|考点：全等三角形的判断．解析：求出 AF=CE ，再依照全等三角形的判判定理判断即可．考点：命题与定理．解答：解：∵AE=CF ，解析：先写出每个命题的抗命题，再进行判断即可．∴AE+EF=CF+EF ，解答：解；A ．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0：若是 a+b＞0，那么 a＞0，b＞0，是假命题；∴AF=CE ，B．直角都相等的抗命题是相等的角是直角，是假命题； A、∵在△ADF 和△CBE 中C．两直线平行，同位角相等的抗命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．假设 a=6，那么|a|=|b|的抗命题是假设 |a|=|b|，那么 a=6，是假命题．应选： C．谈论：此题观察了命题与定理，两个命题中，若是第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕，正确，故本选项错误；又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互抗命题．其中一个命题称为另一个命题的抗命题．正确的B、依照 AD=CB ，AF=CE ，∠AFD= ∠CEB 不能够推出△ADF ≌△CBE，错误，故4C、∵在△ADF 和△CBE 中6．〔4 分〕〔2021?邯郸一模〕如图，D 为△ABC 内一点，CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A= ∠ABE ．假设 AC=5 ，BC=3 ，那么 BD 的长为〔〕∴△ADF ≌△CBE 〔SAS〕，正确，故本选项错误；D、∵AD ∥BC，∴∠A= ∠C，∵在△ADF 和△CBE 中A． B． C．2 D．考点：等腰三角形的判断与性质．∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕，正确，故本选项错误；应选 B．解析：由条件判断△BEC 的等腰三角形，且 BC=CE ；由等角同等边判断 AE=BE ，那么易谈论：此题观察了平行线性质，全等三角形的判断的应用，注意：全等三角形的判判定理有 SAS，﹣AB SC A〕．，AAS ，解答：解：如图，∵CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，SSS．∴BC=CE ．又∵∠A= ∠ABE ，5．〔4 分〕〔2021?河池〕如图，在△ABC 中，∠B=30 °，BC 的垂直均分线交 AB 于E，垂足为 D．假设 ED=5，那么 CE 的长为〔〕∴AE=BE ．∴BD= BE= AE= 〔AC﹣BC〕．∵AC=5，BC=3，∴BD= 〔5﹣3〕=1．A．10 B．8 C．5 D．应选 D．考点：线段垂直均分线的性质；含 30 度角的直角三角形．谈论：此题观察了等腰三角形的判断与性质．注意等腰三角形“三合一〞性质的运用．解析：依照线段垂直均分线性质得出 BE=CE，依照含 30 度角的直角三角形性质求出 BE 的长，即可求出 CE 长．解答：解：∵DE 是线段 BC 的垂直均分线，7．〔4 分〕如图，AB=AC ，BE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，BE、CF 订交于点 D，那么①△ABE ≌△ACF ；②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的均分线上．以上∴BE=CE，∠BDE=90 °〔线段垂直均分线的性质〕，∵∠B=30 °，结论正确的选项是〔〕∴BE=2DE=2 ×5=10〔直角三角形的性质〕，∴CE=BE=10 ．应选 A ．谈论：此题观察了含 30 度角的直角三角形性质和线段垂直均分线性质的应用，要点是获取 BE=CE 和求出 BE 长，题目比较典型，难度适中．5A．① B．② C．①② D．①②③考点：全等三角形的判断与性质；角均分线的性质．专题：老例题型．解析：从条件进行解析，第一可得△ABE ≌△ACF 获取角相等和边相等，运用这些结论，进而获取更多的结论，最好运用消除法对各个选项进行考据进而确定最后答案．解答：解：∵BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F∴∠AEB= ∠AFC=90 °，∵AB=AC ，∠A=∠A，A．10 B．12 C．24 D．∴△ABE ≌△ACF 〔①正确〕∴AE=AF ，∴BF=CE，考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形．∵BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，∠BDF= ∠CDE，解析：此题主要观察勾股定理运用，解答时要灵便运用直角三角形的性质．解答：解：∵AB ⊥BC，DC⊥BC，∠BAE= ∠DEC=60 °∴△BDF ≌△CDE〔②正确〕∴DF=DE ，∴∠AEB= ∠CDE=30 °连接 AD ，∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE=6 ，DE=8又∵∠AED=90 °依照勾股定理∴AD=10 ．应选 A ．∵AE=AF ，DE=DF ，AD=AD ，谈论：解决此类题目的要点是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余， 30°所对的直角边∴△AED ≌△AFD ，的性质．∴∠FAD= ∠EAD ，即点 D 在∠BAC 的均分线上〔③正确〕9．〔4 分〕以以下图，在△ABC 中，AB=AC ，D、E 是△ABC 内两点， AD 均分应选 D．∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，假设 BE=6，DE=2，那么 BC 的长度是〔〕谈论：此题观察了角均分线的性质及全等三角形的判断方法等知识点，要修业生要灵便运用，做题时要由易到难，不重不漏．8．〔4 分〕以以下图， AB ⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，∠BAE= ∠DEC=60 °，AB=3 ，CE=4，那么 AD 等于〔〕A．6 B．8 C．9 D．6的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，那么以下说法中正考点：等边三角形的判断与性质；等腰三角形的性质．确的个数是〔〕解析：作出辅助线后依照等腰三角形的性质得出 BE=6，DE=2 ，进而得出△BEM 为等边三角形，△EFD 为等边三① AD 是∠BAC 的均分线；②∠ADC=60 °；③点 D 在 AB 的中垂线上；④ S△DAC：角形，进而得出 BN 的长，进而求出答案．S=1：3．△ABC解答：解：延长 ED 交 BC 于 M ，延长 AD 交 BC 于 N，作 DF∥BC，∵AB=AC ，AD 均分∠BAC ，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC= ∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，A．1 B．2 C．3 D．∵BE=6，DE=2，∴DM=4 ，∵△BEM 为等边三角形，考点：角均分线的性质；线段垂直均分线的性质；作图—根本作图．∴∠EMB=60 °，专题：压轴题．解析：①依照作图的过程能够判断 AD 是∠BAC 的角均分线；∵AN⊥BC，∴∠DNM=90 °，②利用角均分线的定义能够推知∠CAD=30 °，那么由直角三角形的性质来求∠ADC∴∠NDM=30 °，③利用等角同等边能够证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一〞的性∴NM=2 ，中垂线上；∴BN=4，④利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答：解：①依照作图的过程可知， AD 是∠BAC 的均分线．∴BC=2BN=8 ，应选 B．故①正确；②如图，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30 °，∴∠CAB=60 °．又∵AD 是∠BAC 的均分线，∴∠1=∠2= ∠CAB=30 °，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60 °．谈论：此题主要观察了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出 MN 的长是解决问题的要点．故②正确；10．〔4 分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC 中，∠C=90 °，∠B=30°，以 A 为圆心，③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD ，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN∴点 D 在 AB 的中垂线上．故③正确；7④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，考点：等腰三角形的判断；坐标与图形性质．专题：压轴题．∴CD= AD ，解析：依照线段垂直均分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB 的垂直均分线与直求出 AB 的长，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为点∴BC=CD+BD= AD+AD= AD ，S△DAC = AC ?CD= AC ?AD．的距离可知以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图， AB 的垂直均分线与直线 y=x 订交于点 C1，∴S△ABC= AC ?BC= AC? AD= AC ?AD ，∵A〔0，2〕，B〔0，6〕，∴AB=6 ﹣2=4，∴S△DAC：S△ABC= AC ?AD ： AC ?AD=1 ：3．以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为 C2，C3，故④正确．∵OB=6，综上所述，正确的结论是：①②③④，共有 4 个．∴点 B 到直线 y=x 的距离为 6× =3 ，应选 D．∵3 ＞4，∴以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 没有交点，因此，点 C 的个数是 1+2=3 ．应选 B．谈论：此题观察了角均分线的性质、线段垂直均分线的性质以及作图﹣根本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判断与性质．12．〔4 分〕〔2021?龙岩〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A〔0，2〕，B〔0，6〕，动点 C 在直线 y=x 上．假设以 A、B、C 三点为极点的三角形是等腰三角形，那么点 C的个数是〔〕谈论：此题观察了等腰三角形的判断，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思13．〔4 分〕〔2021?重庆〕如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ，F 是 AB边上的中点，点 D，E 分别在 AC ，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，以下结论：A．2 B．3 C．4 D．5①△DFE 是等腰直角三角形；8②四边形 CDFE 不能能为正方形，因此④正确．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时， DF 也最小；③ DE 长度的最小值为 4；④四边形 CDFE 的面积保持不变；即当 DF⊥AC 时， DE 最小，此时 DF= BC=4．⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是〔〕∴DE= DF=4 ；因此③错误．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小．此时 S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．应选 B．A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤考点：正方形的判断；全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．解析：解此题的要点在于判断△DEF 可否为等腰直角三角形，作老例辅助线连接 CF，由 SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，进而可证∠DFE=90 °，DF=EF．因此△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；谈论：此题观察知识点很多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采判断③，⑤比较麻烦，由于△DEF 是等腰直角三角形 DE= DF，当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， DE此题难度稍稍降低一些．取最小值 4 ，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形 CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．二、填空题〔每题 4 分，共 24 分〕解答：解：连接 CF；14．〔4 分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°时〞，第一应∵△ABC 是等腰直角三角形，假设这个三角形中每一个内角都大于 60°．∴∠FCB=∠A=45 °，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，考点：反证法．∴△ADF ≌△CEF；解析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．∴EF=DF，∠CFE=∠AFD ；解答：解：依照反证法的步骤，第一步应假设结论的反面建立，即三角形的每一个内角∵∠AFD+ ∠CFD=90 °，故答案为：每一个内角都大于 60°．谈论：此题主要观察了反证法，反证法的步骤是：〔1〕假设结论不能立；〔2〕从假设出∴∠CFE+∠CFD= ∠EFD=90 °，∴△EDF 是等腰直角三角形．建立，那么结论建立．在假设结论不能马上要注意考虑结论的反面所有可能的情况因此①正确．定一种就可以了，若是有多种情况，那么必定一一否认．当 D、E 分别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形．因此②错误． 215．〔4 分〕〔2021?雅安〕假设〔 a﹣1〕 +|b﹣2|=0，那么以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为5 ．∵△ADF ≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF ∴S 四边形CEFD=S△AFC，9考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类谈论． 17．〔4 分〕如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF，DE 过点 I，且解析：先依照非负数的性质列式求出 a、b 再分情况谈论求解即可．DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm，那么 DE 等于 3cm ．解答：解：依照题意得， a﹣1=0，b﹣2=0，解得 a=1，b=2，①假设 a=1 是腰长，那么底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2，∵1+1=2，∴不能够组成三角形，②假设 a=2 是腰长，那么底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1，能组成三角形，考点：等腰三角形的判断与性质；平行线的性质．周长=2+2+1=5 ．解析：由 BI、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点 I，且 DE∥BC，易得△BDI 与△E故答案为： 5．得答案．谈论：此题观察了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要谈论求．解答：解：∵BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ABI= ∠CBI ，∠ECI=∠ICF，16．〔4 分〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直均分线，交 AC ∵DE∥BC，于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20 °，那么∠C= 35°．∴∠DIB= ∠CBI ，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI= ∠DIB ，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm ，EI=CE=5cm ，∴DE=DI ﹣EI=3 〔cm〕．故答案为： 3cm．谈论：此题观察了等腰三角形的性质与判断以及平行线的性质．注意由角均分线与平行考点：线段垂直均分线的性质． 18．〔4 分〕〔2021?东营〕如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为 1m，在容解析：由 DE 是 AC 的垂直均分线，依照线段垂直均分线的性质，可得 AE=CE ，又由在 Rt器△内AB壁C离中容，器∠底部A B C =09. 30m°，的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点 A 处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m〔容器∠BAE=20 °，即可求得∠C 的度数．解答：解：∵DE 是 AC 的垂直均分线，厚度忽略不计〕．∴AE=CE ，∴∠C=∠CAE ，∵在 Rt△ABE 中，∠ABC=90 °，∠BAE=20 °，∴∠AEC=70 °，∴∠C+∠CAE=70 °，∴∠C=35°．故答案为： 35°．谈论：此题观察了线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10考点：平面张开 -最短路径问题．专题：压轴题．解析：将容器侧面张开，建立 A 关于 EF 的对称点 A ′，依照两点之间线段最短可知 A′B 的长度即为所求．解答：解：如图：∵高为，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点 A 处，∴A′，，考点：轴对称 -最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换〔折叠问题〕．∴将容器侧面张开，作 A 关于 EF 的对称点 A ′，连接 A ′B，那么 A′B 即为最短距离，专题：压轴题．解析：连接 CE，交 AD 于 M ，依照折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP A′B=的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 和 BE 长，解答：=〔m〕．故答案为：．解：连接 CE，交 AD 于 M ，∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，∴∠ACD= ∠AED=90 °，AC=AE ，∠CAD= ∠EAD ，∴AD 垂直均分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称， CD=DE=1 ，∴当P和D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+∵∠DEA=90 °，谈论：此题观察了平面张开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形张开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题∴的∠DEB=90 °，要点．同时也观察了同学们的创立性思想能力．∵∠B=60 °，DE=1 ，∴BE= ，BD= ， 19．〔4分〕〔2021?资阳〕如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC边上的点， CD=1 ，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，假设即 BC=1+ ，点 P 是直线 AD 上的动点，那么△PEB 的周长的最小值是 1+ ．∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+ + =1+ ，故答案为： 1+ ．11谈论：此题观察了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，要点是求出 P 点的地址，题目比较好，难度适中．三、解答题〔每题 7 分，共 14 分〕20．〔7 分〕〔2021?常州〕如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ，CD=CE ．求证：∠A= ∠B．考点：作图—应用与设计作图．解析：依照点 P 到∠AOB 两边距离相等，到点 C、D 的距离也相等，点 P 既在∠AOB 的直均分线上，即∠AOB 的角均分线和 CD 垂直均分线的交点处即为点 P．解答：解：以以下图：作 CD 的垂直均分线，∠AOB 的角均分线的交点 P 即为所求．考点：全等三角形的判断与性质．专题：证明题；压轴题．解析：依照中点定义求出 AC=BC ，尔后利用“SSS〞证明△ACD 和△BCE 全等，再依照全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C 是 AB 的中点，∴AC=BC ，谈论：此题主要观察了线段的垂直均分线和角均分线的作法．这些根本作图要熟练掌握在△ACD 和△BCE 中，，四、解答题〔每题 10 分，共 40 分〕22．〔10 分〕〔2021 ?攀枝花模拟〕在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90 °，∠DCA=30 °，∴△ACD ≌△BCE〔SSS〕， CA 均分∠DCB ，AD=4cm ，∴∠A= ∠B．求 AB 的长度？谈论：此题观察了全等三角形的判断与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．21．〔7 分〕〔2021?兰州〕如图，两条公路 OA 和 OB 订交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的地址．〔要求：不写作法，保存作图印迹，写出结论〕考点：勾股定理；等腰三角形的判断与性质；含 30 度角的直角三角形．专题：压轴题．解析：过 B 作 BE⊥AC ，由 AD=4m 和∠D=90 °，∠DCA=30 °，能够求出 AC 的长，依照12以及等腰三角形的性质即可求出 AD 的长．解析：〔1〕依照角均分线性质求出 CD=DE ，依照 HL 定理求出另三角形全等即可；解答：解：∵∠D=90 °，∠DCA=30 °，AD=4cm ，〔2〕求出∠DEB=90 °，DE=1 ，依照含 30 度角的直角三角形性质求出即可．解答：〔1〕证明：∵AD 均分∠CAB ，DE⊥AB ，∠C=90°，∴AC=2AD=8cm ，∵CA 均分∠DCB ，AB ∥CD，∴CD=ED ，∠DEA= ∠C=90°，∴∠CAB= ∠ACB=30 °，∵在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中∴AB=BC ，过 B 作 BE⊥AC ，∴Rt△ACD ≌Rt△AED 〔HL 〕；∴AE= AC=4cm ，〔2〕解：∵DC=DE=1 ，DE⊥AB ，∴cos∠EAB= = ，∴∠DEB=90 °，∵∠B=30 °，∴ cm．∴BD=2DE=2 ．谈论：此题观察了全等三角形的判断，角均分线性质，含 30 度角的直角三角形性质的应点到角两边的距离相等．24．〔10 分〕〔2021?大庆〕如图，把一个直角三角形 ACB 〔∠ACB=90 °〕绕着极点B 顺时针旋转 60°，使得点C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的地址．F，G 分别是 BD ，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．谈论：此题观察了平行线的性质、角均分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的要点是作高线构造〔直1〕角求三证角：形，CF=DG ；利用锐角三角函数求出 AB 的长．〔2〕求出∠FHG 的度数．23．〔10 分〕〔2021?温州〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 均分∠CAB ，交 CB于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．〔1〕求证：△ACD ≌△AED ；〔2〕假设∠B=30°，CD=1 ，求 BD 的长．考点：全等三角形的判断与性质．解析：〔1〕在△CBF 和△DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角〔2〕依照全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF= ∠CBF=60 °，进而求解．考点：全等三角形的判断与性质；角均分线的性质；含 30 度角的直角三角形．解答：〔1〕证明：∵在△CBF 和△DBG 中，13∴△BDF ≌△CDA ，，∴BF=AC ．〔2〕由〔 1〕得 BF=AC ，∴△CBF≌△DBG 〔SAS〕，∴CF=DG ；∵BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC ，〔2〕解：∵△CBF≌△DBG ，∴在△ABE 和△CBE 中，，∴∠BCF= ∠BDG ，又∵∠CFB= ∠DFH，∴△ABE ≌△CBE 〔ASA 〕，∴∠DHF= ∠CBF=60 °，∴CE=AE= AC= BF．∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180 °﹣60°=120°．谈论：此题观察了全等三角形的判断与性质，正确证明三角形全等是要点．谈论：此题主要观察了全等三角形的判断及性质以及线段垂直均分线的性质等问题，应五、解答题〔每题 12 分.共 24 分〕25．〔10 分〕：如图，△ABC 中，∠ABC=45 °，DH 垂直均分 BC 交 AB 于点D，BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 订交于点 F． 26．〔12 分〕如图，在△ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点〔1〕求证： BF=AC ；F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，DE⊥DF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF．〔1〕求证： BG=CF ；〔2〕求证：．〔2〕求证： EG=EF；〔3〕请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判断与性质；线段垂直均分线的性质．专题：证明题．解析：〔1〕由 ASA 证△BDF ≌△CDA ，进而可得出第〔 1〕问的结论；考点：全等三角形的判断与性质；等腰三角形的判断与性质．〔2〕在△ABC 中由垂直均分线可得 AB=BC ，即点 E 是 AC 的中点，再结合第一问的分结析论：即可〔求1解〕．求出∠C=∠GBD ，BD=DC ，依照 ASA 证出△CFD ≌△BGD 即可．解答：证明：〔1〕∵DH 垂直均分 BC，且∠ABC=45 °，〔2〕依照全等得出 GD=DF ，依照线段垂直均分线性质得出即可．∴BD=DC ，且∠BDC=90 °，〔3〕依照全等得出 BG=CF ，依照三角形三边关系定理求出即可．解答：〔1〕证明：∵BG∥AC，∵∠A+ ∠ABF=90 °，∠A+ ∠ACD=90 °，∴∠ABF= ∠ACD ，∴∠C=∠GBD ，14∵D 是 BC 是中点，∴BD=DC ，在△CFD 和△BGD 中∴△CFD≌△BGD ，∴BG=CF ．〔2〕证明：∵△CFD≌△BGD ，考点：等腰三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的判断．解析：〔1〕依照题意推出△AED 和△ABC 为等边三角形，尔后经过求证△EAB ≌△DA∴DG=DF ，∵DE⊥GF，即可推出△EFB 为等边三角形，〔2〕①依照〔 1〕的推理依照，即可推出△EFB意画出图形，尔后依照平行线的性质，经过求证△EAB ≌△DAC ，推出等量关系∴EG=EF．三角形．〔3〕BE+CF ＞EF，解答：解：〔1〕∵AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE=60 °，证明：∵△CFD≌△BGD ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴CF=BG ，∴∠C=∠ABC=60 °，∠EAB= ∠DAC ，在△BGE 中，BG+BE ＞EG，∴△EAB ≌△DAC ，∵EF=EG，∴∠EBA= ∠C=60°，∴BG+CF ＞EF．∵EF∥BC，谈论：此题观察了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，线段垂直均分线性质，三角形三边关系定理的应∴用∠，EFB=∠ABC=60 °，主要观察学生的推理能力．∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA=60 °，∴△EFB 为等边三角形，27．〔12 分〕△ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点〔不与 B、C 重合〕，以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ADE ，使 AD=AE ，∠DAE= ∠BAC ，过点 E 作 BC 〔2〕①△BEF 为等腰三角形，的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE．∵AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE ，〔1〕如图 1，假设∠BAC= ∠DAE=60 °，那么△BEF 是等边三角形；∴△AED 和△ABC 为等腰三角形，〔2〕假设∠BAC= ∠DAE ≠60°∴∠C=∠ABC ，∠EAB= ∠DAC ，①如图 2，当点 D 在线段 BC 上搬动，判断△BEF 的形状并证明；∴△EAB ≌△DAC ，②当点 D 在线段 BC 的延长线上搬动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并∴∠EBA= ∠C，画出相应的图形．∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC ，∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA ，∴△EFB 为等腰三角形，。

(完整版)北师大版八年级三角形证明课后题汇总

1.1 等腰三角形1、将下面证明中每一步的理由写在括号内：已知：如图，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C．证明：连接BD．在△BAD和△DCB中，∵AB＝CD( )AD＝CB( )BD＝DB( )∴△BAD≌△DCB( )∴∠A＝∠C( )2、已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．3、如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D，求∠BAD的度数。

4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，连接BE,CE,请找出图中所有相等的角。

5、如图，在△ABC中，AB=BC,点D,E都在BC上，且AD=AE,证明BD=CE.1、如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.若BD=BC,则∠A等于多少度？2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，点E,F分别在AB和AC尚，并且AE=AF.求证：DE=DF3、已知：如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点，且AD=CE。

求证：CD=BE4、如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC⑴分别在AB,AD的中点E,F处拉两根彩线EC,FC.证明:这两根彩线的长度相等。

⑵如果AE=1/3AB,AF=1/3AD,那麼彩线的长度相等吗?如果AE=1/4AB,AF=1/4AD呢?由此你能得到什麼结论?1、已知：如图，∠CEA是△ABC的外角，AD平行BC，且∠1=∠2.求证：AB=AC.2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP垂直于BC，垂足为P，EP交AB于点F。

求证：△AEF是等腰三角形。

3、如图，一艘船从A处出发，以18kn的速度向北航行，经过10h到处B处。

分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从B处到灯塔C 的距离．1、已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E, 求证：△ADE是等边三角形。

(完整版)三角形的证明培优习题解析

三角形的证明培优习题解析1、如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：BF=2AE ；（2）若CD= 2，求AD 的长．（1）证：∵AD ⊥BC,∠BAD=45°，∴⊿ADB 是等腰直角三角形，∠ABD=∠BAD∴AD=BD ；∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠CBE=90°,∴∠DAC=∠CBE,又∵∠ADC=∠BDF=90°,∴△ADC ≌△BDF(ASA),∴AC=BF,∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴AE=EC ，即AC=2AE ，∴BF=AC=2AE 。

（2）∵△ABF ≌△CBF∴DF=CD=2∴在Rt △CDF 中，CF=22CD DF +=22)2()2(+=4=2∵BE ⊥AC ，AE=EC,∴AF=FC,∴AD=AF+DF=2+2 。

2、如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（Ⅰ）若设AP=x ，则PC=__________ ，QC=___________ ；（用含x 的代数式表示）（Ⅱ）当∠BQD=30°时，求AP 的长；（Ⅲ）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．2．解: (1)(6分)解法一：过P 作PE ∥QC则△AFP 是等边三角形，∵P 、Q 同时出发、速度相同，即BQ =AP∴BQ =PF∴△DBQ ≌△DFP ,∴BD =DF∵∠=BQD ∠BDQ =∠FDP =∠FPD =30°,∴BD =DF =FA =31AB =631 =2, ∴AP =2. 解法二： ∵P 、Q 同时同速出发，∴AQ =BQ设AP =BQ =x ，则PC =6-x ，QC =6+x在Rt △QCP 中，∠CQP =30°,∠C =60° ∴∠CQP =90°∴QC =2PC ,即6+x =2（6-x ）∴x =2∴AP =2（2）由（1）知BD =DF而△APF 是等边三角形，PE ⊥AF ,∵AE =EF又DE +(BD +AE )=AB =6,∴DE +(DF +EF )=6，即DE +DE =6∵DE =3为定值，即 DE 的长不变3．（3分）（2013•临沂）如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是 3 ．解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠B=∠D=60°，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD∴AB •AE=CD •AF ，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF ，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF ，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=2，∴EF=AE=2，过A 作AM ⊥EF ，∴AM=AE •cos60°=3，∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3．故答案为：3．4．（3分）（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=25°．解答：解：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°，∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．故答案为：25°．5．（11分）（2013•威海）【操作发现】：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF 的长直角边DE重合．【问题解决】：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．解答：（1）由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD，∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°，∵∠ACB=45°，∴∠DOC=30°+45°=75°，∴∠DOC=∠BDC，∴△CDO是等腰三角形；（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴3，HF=4，在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴3BF=16，∴3，∵AG⊥BC，∠ABC=45°，∴BG=AG=43， ∴AG=DH ， ∵AG ∥DH ，∴四边形AGHD 为矩形，∴AD=GH=BF ﹣BG ﹣HF=16﹣43﹣4=12﹣43．6.（本题满分10分）如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边B D 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC.⑴求证：△BAD ≌△AEC ； ⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积.解析：（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.又 ∵四边形ABDE 是平行四边形∴AE ∥BD ， AE=BD ，∴∠ACB=∠CAE=∠B ，∴⊿DBA ≌⊿AEC(SAS) ………………4分（2）过A 作AG ⊥BC,垂足为G.设AG=x ，在Rt △AGD 中，∵∠ADC=450，∴AG=DG=x ，在Rt △AGB 中，∵∠B=300，∴BG=x 3，………………6分又∵BD=10.∴BG-DG=BD,即103=-x x ，解得AG=x=5351310+=-.…………………8分∴S 平行四边形ABDE =BD·AG=10×（535+）=50350+.………………10分7．（4分）（2013•淄博）如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则DE 的长为（）解答： ∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD ﹣BC=6，8．（2013聊城）如图，在等边△ABC 中，AB=6，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为．解：如图，∵在等边△ABC 中，∠B=60°，AB=6，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BD ，∠BAD=∠CAD=30°，∴BD=21AB =621 =3 AD= ==3．根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE ，∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°，∴△ADE 的等边三角形，∴DE=AD=3，即线段DE 的长度为3．9. (2013•内江）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE ．证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD ，∴∠ACE=∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴BD=AE ．10.（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt △ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO ⊥AC ，于点O ，点P 、D 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE ⊥AC 于点E ，求证：△BPO ≌△PDE ．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO和△PDE中∴△BPO≌△PDE（AAS）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，在△ABP和△CPD中∴△ABP≌△CPD（AAS），∴AP=CD．（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，则AP=2x+x=3x，由（2）知BO=PE，PE=2x，CE=2x﹣x=x，∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，即AP=3x，CD=x，∴CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′11．（2013菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．①证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；②解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°﹣∠BCD=90°﹣15°=75°；12．（4分）（2013•莱芜）如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．解：连接EF ，∵点E 、点F 是AD 、DC 的中点，∴AE=ED ，CD=DF=CD=AB=，由折叠的性质可得AE=A'E ，∴A'E=DE ，在Rt △EA'F 和Rt △EDF 中， ∵，∴Rt △EA'F ≌Rt △EDF （HL ），∴A'F=DF=， BF=BA'+A'F=AB+DF=1+=，在Rt △BCF 中，BC==．∴AD=BC=． 13．(7分) (2013北京)在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。

2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》单元综合培优训练(附答案)

2020-2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优训练（附答案）1．在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．7对3．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．64．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°5．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5B．6C．7D．86．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条7．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．10B．8C．6D．48．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．16D．329．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．有一直角三角板，30°角所对直角边长是6cm，则斜边的长是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm12．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形13．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．14．如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝10，则DF等于．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝cm．16．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝．17．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．18．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝10，则线段MN的长为．19．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝．20．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于度．21．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝cm．22．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．23．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF．25．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，DE＝1cm，求BD 的长．26．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．27．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AB ＝AC．28．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．29．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？30．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD＝DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF ⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．31．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．参考答案1．解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．2．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴△AOD≌△AOE；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．∵∠ABO＝∠ACO，AB＝AC，∠AOB＝∠AOC，∴△AOB≌△AOC，共7对，故选：D．3．解：∵在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．∴到三角形三边所在直线距离相等的点有4个．故选：B．4．解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝40°，∴∠BAE＝∠BAE﹣∠CAE＝60°．故选：D．5．解：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选：D．6．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．7．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．8．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝，∴A2B1＝，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝2，A4B4＝8B1A2＝4，A5B5＝16B1A2＝8，…∴△A n B n A n+1的边长为×2n﹣1，∴△A6B6A7的边长为×26﹣1＝×25＝16．故选：C．9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．10．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°，故选：D．11．解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，∴斜边长为12cm．故选：D．12．解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：，，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．13．解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC．14．解：过D作DM⊥AC，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DEC＝30°，AE＝DE，∵AE＝10，∴DE＝10，∴DM＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝15°，∴∠BAD＝∠DAC，∵DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM＝5．故答案为：5．15．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4（cm），∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，∴BD＝2AD＝8（cm），∴BC＝BD+CD＝12（cm）．故答案为：12．16．解：∵△ABC为锐角三角形，∴高AD和BE在三角形内．∵高AD和BE交于点H，∴∠ADC＝∠BEC＝90°．∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE，∴∠EAD＝∠EBD，又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD＝AD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案为45°17．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°18．解：∵MN∥BC∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE∴ME＝MB，NE＝NC∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝10故答案为：1019．解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．20．解：连接BC．设正方体的边长为1，则AB＝AC＝BC＝，所以△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°．故答案是60．21．解：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD＝∠CAD．又∵AB＝AC，∴BE＝EC＝3cm．∴BC＝6cm．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝6cm．故答案为：6．22．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当P A⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．23．证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．24．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D为BC中点，∴DB＝DC，∴在△DBE和△DCF中，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE＝DF．25．解：如图，连接AD，∵等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CDE中，∵DE＝1cm，∴CD＝2DE＝2cm，在Rt△ABD中，BD＝2AD＝2CD＝2×2＝4cm．26．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°27．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，又∵BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．28．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，∴△ABE≌△DBE（SAS），∴AB＝BD，∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；∵∠C＝45°，ED⊥DC，∴△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；（2）AD与BE垂直．证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），∴BA＝BD，EA＝EC，∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE，在Rt△ABE和Rt△DBE中∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），∴AB＝BD，又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，又ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC，即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．29．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t＝，∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，y﹣10＝30﹣2y，解得：y＝．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．30．（1）证明：∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC，又∵AD＝BC，∴AD＝DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，∴△DEF为等边三角形．31．（1）证明：如图1所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，BC＝．∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．∴DA＝DB．∵DE⊥AB于点E．∴AE＝BE＝．∴BC＝BE．∴△EBC是等边三角形；（2）结论：AD＝DG+DM．证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，又∵DM＝DW，∴△WDM是等边三角形，∴MW＝DM，在△WGM和△DBM中，∵∴△WGM≌△DBM，∴BD＝WG＝DG+DM，∴AD＝DG+DM．（3）结论：AD＝DG﹣DN．证明：延长BD至H，使得DH＝DN．由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．。

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷【附答案】

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。

北师大版八年级数学下册-第一章-三角形的证明(提高)

第一章三角形的证明一、八条基本事实1.两点确定一条直线；2.两点之间直线最短；3.同一平面内, 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4、同位角相等, 两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；8、三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；二、平行线的判定和性质判定: 内错角相等, 两直线平行；同旁内角互补, 两直线平行；性质：两直线平行, 同位角相等；两直线平行, 内错角相等；两直线平行, 同旁内角互补.三、全等三角形判定定理:1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)性质:全等三角形对应边相等, 对应角相等。

三角形全等常用来证明线段或角相等。

例: 如图, △ABC中, AC=BC, ∠ACB=90º, 点D在AC上, 点E在BC延长线上, CD=CE, BD的延长线交AE于点F, 连CF.（1）证明: ；（2）证明: .练习:1.在四边形ABCD中, AC=AB, DC=DB, ∠CAB=60°, ∠CDB=120°, E是AC上一点, F是AB延长线上一点, 且CE=BF．（1）求证: DE=DF；（2）若G在AB上且∠EDG=60°, 求证CE+BG=EG；2.如图, 在△ABC中, AB=AC.D是AB上一点, E是AC延长线上一点, 且CE=BD, 连结DE交BC 于F。

猜想DF与EF的大小关系并请证明你的猜想。

3.如图, RT△ABC中, ∠ACB=90º, △ABC的角平分线AD.BE相交于点P, 过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F, 交AC于点H.的度数；（1）求APB（2）证明: .四、等腰三角形1.性质定理: 等腰三角形有两边相等；(定义)定理: 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明单元培优测试题2(附答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明单元培优测试题2（附答案） 1．已知45AOB ∠=o ，点P 在AOB ∠内部，点1P 与点P 关于OA 对称，点2P 与点P 关于OB 对称，则12POP ∆是（）A ．含30o 角的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．顶角是30o 的等腰三角形2．如图，在等腰ABC ∆中，,AB AC AB =的垂直平分线MN 交AC 于点,15D DBC ∠=o ，则A ∠的度数是（）．A ．35oB ．40oC ．50oD ．55o3．若等腰ABC ∆的周长是50cm ，一腰长为xcm ，底边长为ycm ，则y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围是( )A ．502(050)y x x =-<<B ．1(502)(050)2y x x =-<< C ．25502(25)2y x x =-<< D ．125(502)(25)22y x x =-<< 4．如图,OP 平分∠MON, PA ⊥ON 于点A,点Q 是射线OM 上的一个动点,若PA=2，OA=3，则PQ 长的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，EG ⊥BC 于点G ，连接AG 、FG ．下列结论：①AE ＝CE ；②△ABF ≌△GBF ；③BE ⊥AG ；④△AEF 为等腰三角形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E.以下四个结论：(1)∠EAD＝∠EDA；(2)DF∥AC；(3)∠FDE=90°；(4)∠B＝∠CAE.恒成立的结论有（）A．(1)(2) B．(2)(3)(4) C．(1)(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)7．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=8，DE=3，则△BCE的面积等于A．11 B．8 C．12 D．38．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB9．△ABC中，AB=20cm，AC=15cm，高AD=12cm，则BC的长为____________.10．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．11．如图,等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,当EF+CF取得最小值时,则∠ECF=_________12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD=2，BD=4，则AE的长是_____．13．如图，等腰△ABC底边上的高AD＝12BC，AB＝22，那么△ABC的周长为_____．14．如图，在平面直角坐标系中，点M(6，0)，N(0，6)，一点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线O-N-M运动. 设点P运动时间为t，当652t=+时，直线12x=上有一个动点C和y轴上有一个动点D，则PD＋DC＋OC的最小值是_____.15．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝15，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，连结BD ，若△DBC 的周长为23，则BC=_______________________17．如图，ABC △是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点,E A 在直线DC 的同侧，连结AE .(1)求证：//AE BC .(2)点D 在AB 的延长线上，仍以CD 为边作等边三角形CDE ，使得,E A 在直线DC 的同侧，那么AE 和BC 还平行吗？画图证明你的判断.18．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 边上一点，CD =CB ，∠A =50°，求∠ACD 的度数．19．如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,8A ，()6,8B ，()6,0C .点P 同时满足下面两个条件:①点P 到AOC ∠两边的距离相等; ②PA PB =.(1)用直尺(没有刻度)和圆规作出点P (保留作图痕迹，不写作法);(2)点P 的坐标为 .20．如图①，在等腰直角ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，CAB ∠，ACB ∠的平分线交于点P .（1）求证：AB CP BC =+.（2）如图②，若CAB ∠的外角平分线以及ACB ∠的平分线交于点P ，（1）中结论是否仍成立？写出结论，并说明理由.21．如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，B ，C ，D 在一条直线上，连结B ，E 两点交AC 于点M ，连结A ，D 两点交CE 于N 点．（1）AD 与BE 有什么数量关系，并证明你的结论．（2）求证：△MNC 是等边三角形．22．已知：如图，∠AOB=2∠BOC=60°，OD 是∠AOC 的平分线，求∠BOD 的度数.23．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，在△ABC 内一点P ，已知∠1＝∠2＝∠3，将△BCP 以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连结AD ，将△APD 的面积记为S 1，将△BPE 的面积记为S 2，则21S S 的值为_____．24．已知直角三角形的两边长x y ，满足221690x y -+-=，求这个直角三角形第三边的长．参考答案1．B【解析】【分析】由P ，P 1关于直线OA 对称，P 、P 2关于直线OB 对称，推出OP ＝OP 1＝OP 2，∠AOP ＝∠AOP 1，∠BOP ＝∠BOP 2，推出∠P 1OP 2＝90°，由此即可判断．【详解】解：∵P 1与点P 关于OA 对称，∴OP 1＝OP ，∠P 1OA ＝∠POA ，∵点P 2与点P 关于OB 对称∴OP 2＝OP ，∠P 2OB ＝∠POB∴OP 2＝OP 1，Q 45AOB ∠=o∴∠P 1OP 2＝∠P 1OP ＋∠P 2OP ＝2（∠POA ＋∠POB ）＝90°∴12POP ∆是等腰直角三角形故选：B ．【点睛】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题，属于中考常考题型．2．C【解析】【分析】设A α∠=，根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得()152180a a ++︒⨯=︒.【详解】设A α∠=，由MN AB ⊥且平分AB 知，ABD α∠=，又15DBC ∠=︒，且AB AC =，∴15ABC C α∠=∠=+︒.由180A ABC C ∠+∠+∠=︒知()152180a a ++︒⨯=︒，∴50α=︒.即50A ∠=︒.故选C【点睛】考核知识点：线段垂直平分线性质.理解运用性质是关键. 3．C【解析】【分析】根据题意，等腰三角形的两腰长相等，即可列出关系式. 【详解】依题意，y502x=-，根据三角形的三边关系得，x x y502x +>=-，得25 x2 >，x x y502x-<=-，得x25<，得，25x25 2<<，故y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是：25y502x(x25)2=-<<，故选C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，做此类题型要注意利用三角形的三边关系要确定边长的取值范围．4．B【解析】【分析】依据角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答即可．【详解】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，当PQ⊥MO时，PQ有最小值，所以PQ的最小值＝PA＝2．故选：B．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．5．C【解析】【分析】利用全等三角形的性质以及角平分线的性质定理一一判断即可．【详解】∵BF平分∠ABC，∠BAC＝90°，EG⊥BC∴AE＝EG，∵EC＞EG，∴EC＞AE，故①错误，∵AE＝EG，BE＝BE∴Rt△ABE≌Rt△GBE（HL）∴AB＝BG，∴点B在AG的垂直平分线上，∵AE＝EG∴点E在AG的垂直平分线上∴BE是AG的垂直平分线∴BE⊥AG，故③正确，∵BA＝BG，∠ABF＝∠GBF，BF＝BF，∴△ABF≌△GBF（SAS），故②正确，∵BE是AG的垂直平分线∴AF＝FG，EF⊥AG∴∠AFE＝∠EFG∵AD⊥BC，EG⊥BC∴AD∥EG∴∠AFE＝∠FEG∴∠EFG＝∠FEG∴FG＝EG∴AF＝FG＝EG＝AE，故④正确，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质,线段垂直平分线的判定和性质、角平分线的性质等知识点,关键在于熟悉各知识点.6．C【解析】【分析】由中垂线的性质知，DE=AE，由等边对等角知，∠EAD=∠EDA，故可判断(1)由中垂线的性质知，FD=FA⇒∠FDA=∠FAD，由AD平分∠BAC⇒∠FAD=∠DAC，∠FDA=∠DAC⇒DF∥AC，故可判断(2)由三角形的外角与内角的关系知，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，而∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠DAC，故有∠EAC=∠B．故可判断(4)【详解】(1)∵EF是AD的中垂线，∴DE=AE.∴∠EAD=∠EDA.故(1)正确∵EF为中垂线，∴FD=FA.∴∠FDA=∠FAD.∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAC，所以∠FDA=∠DAC.∴DF∥AC.故(2)正确∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD，∵∠FAD=∠DAC，∴∠EAC=∠B.故(4)正确故选：C【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于由中垂线的性质得到，DE=AE，由等边对等角得到，∠EAD=∠EDA7．C【解析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE=3，∴EF=DE=3，∴△BCE的面积S=12×BC×EF=12×8×3＝12，故选C．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能求出BC边上的高是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．8．D【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质解答即可．【详解】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD，A正确，不符合题意；BD=CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA=∠BAD．∵∠EAD=∠BAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．25cm或7cm【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部．依此即可求解．【详解】如图（1）AB=20cm ，AC=15cm ，AD ⊥BC ，则BD=22AB AD -=16cm ，CD=22AC AD -=9cm ，则BC=25cm ；如图（2），由（1）得BD=16cm ，CD=9cm ，则BC=7cm ．则BC 的长为25cm 或7cm ．故答案为：25cm 或7cm ．【点睛】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论．10．3014 【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC ＝12AC ，∠ABD ＝30°，根据"SAS"可证△ABD ≌△ACE ，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝14故答案为：30，1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.11．30°【解析】【分析】作E关于AD的对称点G，从而可知EF+FC=GF+FC，点G是AB的中点，根据三线合一可知CG平分∠ACB进而可知答案.【详解】如图，作E关于AD的对称点G，∵AD是等边△ABC的BC边上的中线∴AD垂直平分BD∴AG=AE=2，GF=EF∴点G是AB的中点，EF+FC=GF+FC∴当点G，F，C三点共线时，EF+FC的值最小等于CG ∵△ABC是等边三角形，G是AB的中点，∴CG平分∠ACB，∴11==60=3022ECF ACB∠=⨯o o∠故答案为30°.【点睛】本题考查的是轴对称的应用和等边三角形的性质，能够推出EF+FC=GF+FC是解题的关键. 12．23【解析】【分析】先证明AE=AC，利用勾股定理求出BE长，在Rt△ABC中利用勾股定理可求AE长．【详解】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD=ED．又AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）∴AE=AC．在Rt△BDE中，22BD DE-3设AE=x，则AC=x，3+x，在Rt△ABC中，利用勾股定理得（3）2=62+x2，解得3．所以AE长为故答案为【点睛】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助勾股定理构造方程求解．13．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，根据题意得到AD＝BD＝DC，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【详解】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∠ADB=∠ADC=90°，∵AD＝12 BC，∴AD＝BD＝DC，∴∠B=∠BAD=45°，∠C=∠CAD=45°，∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°，∴AB2=BD2+AD2，∴BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝，故答案为【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．14【解析】【分析】先根据当652t =+时，ON+NP=652t =+，NP=52，PM=2，求得点P 的坐标为（5，1），再作点P 关于y 轴对称的点P'，作点O 关于直线x=12的对称点O'，则P'（-5，1），O'（1，0），连接O'P'，交y 轴于点D ，交直线x=12于点C ，则此时PD+DC+OC 值最小，等于线段O'P'的长，然后运用勾股定理求解即可.【详解】∵ON=6，∴当t=6+52时，ON+NP=6+52，NP=52，PM=2，作PH ⊥x 轴与点H ，则△MPH 是等腰直角三角形,∵PM=2，∴PH=HM=1,∴OH=5,∴P(5,1),作点P 关于y 轴对称的点P'，作点O 关于直线x=12的对称点O'，则P'（-5，1），O'（1，0），连接O'P'，交y 轴于点D ，交直线x=12于点C ，则此时PD+DC+OC 值最小，等于线段O'P'的长.∵P'（-5，1），O'（1，0），∴PD+DC+OC=O'P'=()2251137--+=∴PD+DC+OC 37.37.【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了轴对称最短，等腰直角三角形的判定与性质，及勾股定理的综合应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．15．①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵AB DBABE DBC BE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵AEB DCB EB CBMBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，则△BMN为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD，∴MN//AB，故②正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．16．8【解析】【分析】先根据AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D得出AD=BD，再根据△DBC的周长为23，AC=15即可求出BC的长．【详解】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为23，AC=15，∴BC=23-15=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．17．（1）证明见详解，（2）同样有AE∥BC，作图证明见详解.【解析】【分析】(1) 先证明△ACE≌△BCD，继而可得∠EAC=∠B=60°=∠ACB，问题得证；(2)画图并观察作图猜想AE∥BC，证明△ACE≌△BCD，继而推导出∠EAC+∠BCA=180°，即可得结论.【详解】（1）∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠ECD，∴∠BCA–∠DCA=∠ECD–∠DCA，即∠BCD=∠ACE，∵在△ACE和△BCD中AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∵∠B=60°，∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB，∴AE∥BC.（2）同样有AE∥BC，∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠ECD=60 ，∵∠BCA–∠DCA=∠ECD–∠DCA，∴∠BCD=∠ACE，∵在△ACE和△BCD中AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠EAC=∠DBC=120°，∠EAC+∠BCA=180°，∴AE∥BC.【点睛】本题结合等边三角形考查平行线判定，运用SAS证得△ACE≌△BCD，即可找出对应角相等，从而利于平行线判定定理证明.18．15°【解析】【分析】利用等腰三角形性质得出∠B=∠ACB=65°以及∠B=∠CDB，从而得出∠BCD度数，最后进一步得出答案即可.【详解】∵AB=AC，∠A=50°，∴∠B=∠ACB=（180°-50°）÷2=65°，∵CD=CB，∴∠B=∠CDB，∴∠BCD=180°-65°×2=50°，∴∠ACD=65°-50°=15°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.19．（1）详见解析；（2）（3，3）.【解析】【分析】（1）作∠AOC 的角平分线和AB 的垂直平分线，它们相交于点P ，点P 即为所求；（2）由于P 点在AB 的垂直平分线上，而AB ∥x 轴，则P 点的横坐标为3，加上点P 在第一象限的角平分线上，则P 点的横纵坐标相等，于是得到P （3，3）．【详解】（1）如图，点P 为所作；（2）P 点坐标为（3，3）．故答案为（3，3）．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．（1）详见解析；（2）第（1）小题中结论不成立，理由详见解析【解析】【分析】（1）在AB 上截取BG BC =，连接PG ，证得PBC PBG ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质即可求证；（2）延长AB 至点G ，使BG CB =，连接CG ，证得ACG CBP ∆≅∆，得到PC AG AB BG AB BC ==+=+，故结论不成立.【详解】（1）如图①，在AB 上截取BG BC =，连接PG ，∵PB 平分∠CBA ，∴∠PBC=∠PBG ，∴()PBC PBG SAS ∆≅∆，∴45BCP BGP ∠=∠=︒.又22.5PAG ∠=︒，∴22.5APG ∠=︒.∴AG PG PC ==.∴AB AG GB CP BC =+=+.（2）第（1）小题中结论不成立.理由如下：如图②，延长AB 至点G ，使BG CB =，连接CG .∴BCG BGC ∠=∠.∵45CAB ABC ∠=∠=︒，∴135CBG ∠=︒，22.5BCG BGC ∠=∠=︒.∴112.5ACG ∠=︒，45PCB ∠=︒，112.5PBC ∠=︒.故∠ACG=∠CBP=112.5°，∴(ASA)ACG CBP ∆≅∆.∴PC AG AB BG AB BC ==+=+.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质,角平分线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明全等三角形.21．（1）BE=AD ，见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）依据等边三角形的性质可得到BE=AD，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后可证明∠ACD=∠BCE=120°，依据SAS可证明△BCE≌△ACD，最后依据全等三角形的性质可得到BE=AD；（2）证明△BCM≌△ACN，从而得到MC=CN，然后证明∠MCN=60°即可．【详解】（1）BE=AD．理由如下：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．在△BCE和△ACD中，∵BC ACBCE ACDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBM=∠CAN．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACN=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN中，∵CBM CANBC ACBCM ACN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCM≌△ACN（ASA），∴CM=CN．∵∠ACN=60°，∴△CMN是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，证得△BCM≌△ACN是解题的关键．22．∠BOD=15°【解析】【分析】求出∠AOC,根据角平分线定义求出∠DOC,代入∠BOD=∠DOC-∠BOC求出即可.【详解】∵∠AOB=2∠BOC=60°，∴∠BOC=30°, ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+30°=90°,∵OD是∠AOC的平分线, ∴∠DOC=12∠AOC=45°, ∴∠BOD=∠DOC-∠BOC=45°-30°=15°.【点睛】本题考查了角的平分线定义和角的有关计算的应用,主要考查学生的计算能力.23．1 2【解析】【分析】首先证明∠APC＝90°，∠BPC＝∠APB＝∠ADB＝135°，再证明△PDB，△ADP都是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】如图，连接BD．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠1＝∠2，∠2+∠ACP＝90°，∴∠1+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∵∠2＝∠3，∠3+∠PBC＝45°，∴∠2+∠PBC＝45°，∴∠BPC＝∠DPC＝135°，∴∠APD＝45°，∠DPB＝90°，∵PD＝PB，∴△PDB是等腰直角三角形，同法可知：∠APB＝135°，∴∠APD＝45°，∵CA ＝CD ＝CB ，∴∠CAD ＝∠CDA ，∠CDB ＝∠CBD ，∵∠ACD+2∠CDA ＝180°，∠DCB+2∠CDB ＝180°，∠ACD+∠DCB ＝90°，∴2∠ADC+2∠CDB ＝270°，∴∠ADP ＝∠ADC+∠CDB ＝135°，∵∠PDB ＝45°，∴∠ADP ＝90°，∵∠APD ＝45°，∴△APD 是等腰直角三角形，∴AD ＝PD ＝PB ，∵∠ADP ＝∠DPB ＝90°，∴AD ∥PB ，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴PE ＝DE ，∴S 2＝12S △DPB 12S △ADP ＝12S 1． ∴21S S ＝12，故答案为12．【点睛】此题考查等腰直角三角形，平行四边形的判定，解题关键在于作辅助线24或5.【解析】【分析】首先根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值;然后由x 、y 是直角三角形的两边,结合实际,进一步确定出x 、y 的值;再利用勾股定理求得第三边即可,注意分析较长边是否为斜边【详解】根据题意，得2216090x y －＝，－＝，所以43x y =±=±，.因为三角形的边长是正数，所以43x y ==，.5=；若第三边为直角边，则第=或5.。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练

2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练（附答案）1．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°2．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．三角形的高线B．边的中垂线C．三角形的中线D．三角形的角平分线3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD4．如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（）A．60°B．75°C．90°D．105°5．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A．αB．αC．αD．α7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为．10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA全等．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）求证：△BDF是等边三角形；（2）若移动点D使EF∥AB时，求AD的长．12．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．13．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD 交AC于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）求证：AD∥BC．14．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．15．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．17．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE 交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．18．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．21．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．参考答案1．解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．2．解：三角形的中线平分三角形的面积，故选：C．3．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD＝∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF＝∠CHE，∴∠CEH＝∠CHE∴CH＝CE＝EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE＝∠BAE，又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D．4．解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴AC＝2DE＝，∵AB＝2，AC＝1，∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴∠DCE＝60°，∵DE＝CE，∴∠CDE＝60°，∴∠CDE+∠BCD＝90°，故选：C．5．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，解得x＝17，此时三边长7cm、7cm、17cm，∵7+7＜17∴此三角形不成立；若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得7+x+x＝31，解得x＝12，此时三边长7cm、12cm、12cm．答：该等腰三角形的腰长为12cm．故选：D．6．解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC化简可得：∠α＝2∠EDC∴∠EDC＝α．故选：A．7．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；BD＝CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∵∠EAD＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．8．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．9．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．10．解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：0，2，6，8．11．（1）证明：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝90°，∵∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°＝∠B，∴DF＝BF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵EF∥AB，DE⊥AB，∴EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∵∠EDF＝30°，∴DF＝2EF，DE＝EF，设EF＝x，则DE＝x，DF＝2x，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵△BDF是等边三角形，∴DF＝BF＝BD＝2x，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣2x，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴AD＝DE，即2﹣2x＝•x，解得：x＝，∴AD＝2﹣2×＝．12．证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．13．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，∴DM＝DN＝DK，∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠GAD＝∠DAC，∴AD平分∠GAC．（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC．14．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．15．解：（1）成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF＝BF，由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AE．16．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．18．（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵M是BC的中点，∴DM＝BC，同理可得EM＝BC，∴DM＝EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵BC＝10，ED＝6，∴DM＝BC＝5，DN＝DE＝3，由（1）可知∠MND＝90°，∴MN＝＝＝4，∴S△MDE＝DE•MN＝×6×4＝12．19．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．20．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．21．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．。

(完整版)北师大版八年级下第一章三角形证明练习题培优训练

--WORD格式-- 可编写 --第一章培优训练1．在△ ABC 中，∠ BAC=130 °，假设 PM 、QN 分别垂直平分 AB 和 AC，那么∠ PAQ= 度．A AN MFEB CCP QB D(1 题图 ) (2 题图 )2．在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=5 ，BC=6，D 是 BC 上一点，作 DE⊥AB，DF⊥AC，那么 DE+DF= ．3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使 A 与 B 重合，∠ B=30 °， AC= 3 ，那么折痕DE 等于．4．如图，△ ABC ≌△ ADE ， BC 的延长线交DE 于 F，∠ B= ∠D=25 °，∠ ACB= ∠E=105 °∠ DAC=10 °那么∠ DFB= ．BDAE FD F DE CB E G CC A (B) A B(3 题图 ) (4 题图 ) (5 题图 )DE0，D、 F 分别为 AB 、AC 的中点，5.以以下图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=120AB， FG AC，E、 G 在 BC 上， BC=15cm ，求 EG 的长度6、如图，∠ AOB 是一钢架，且∠ AOB=10 °，为了使钢架更加牢固，需在其内部增加一些钢管 EF、FG、GH,,增加的钢管长度都与 OE 相等，那么最多能增加这样的钢管根。

7．两个三角形若是拥有以下条件：①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中必然全等的有 ( ) 个A． 2 B ．3 C ． 4 D ． 51-----WORD格式-- 可编写 --8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠ B= ∠ C=90 °， M 是 BC 的中点， DM均分∠ ADC ，∠ CMD=35 °，那么∠ MAB 是多少度？〞大家经过了一翻热忱的谈论交流此后，毛毛雨第一个得出D C了正确结论，你知道他说的是 ( )A． 20° B． 35° C． 55° D． 70°MA B9．从边长为 1 的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为 ( )A．3B ．2 3C ．2D ．2 2 A2D10．如图，在等边三角形 ABC 的三边上有三点 D、 E、 F，且△ DEF 也是等边三角 F形，其中 BD=3 ， CF=1 ，那么△ ABC 的高等于 ( ) B CEA． 3 B ． 2 3 C．10 D ． 4 (10 题图 )111．在四边形ABCD 中， AC 均分∠ BAD，过 C 作 CE⊥AB 于 E，且 AE＝〔 AB＋ AD〕，求∠ ABC＋∠ADC 的度2数．DCA BE〔 11 题图〕12. 如图 1、图 2，△ AOB ，△ COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠ COD ＝ 90o，〔 1〕在图 1 中， AC 与 BD 相等吗？请说明原由〔 4 分〕〔2〕假设△ COD 绕点 O 顺时针旋转必然角度后，到达力 2 的地址，请问 AC 与 BD 还相等吗？为什么？〔8 分〕B BC DDA C O A O图1 图 22-----WORD格式-- 可编写 --13.在⊿ ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点O 作直线 M N ∥ BC ，与∠ ACB 的角均分线交于点 E，与∠ ACB 的外角均分线交于点 F，求证： OE=OFAOM E F NB C14. 如图 2-5 所示．在等边三角形ABC 中， AE=CD ， AD ，BE 交于 P 点， BQ⊥ AD 于 Q．求证：BP=2PQ ．15．如图，在△ABC 中， AD 是高， CE 是中线， DC=BE ， DG ⊥ CE 于 G．求证：① G 是 CE 的中点．②∠ B=2 ∠ BCE ．AEGC BD〔 15 题图〕3 -----WORD格式-- 可编写 --16.如图，美伊战争中，特种兵在 C 处发现 E，F 处各有一股伊军，电传 A， B 两处的美军，此时，△ABC为等边三角形， F， E 点恰幸好 BA ， BC 的延长线上，由于伊军分布情况， A 股美军抵 F 后分化一局部向 CE 中点 D 行军，经测量， AF=BE, 试判断 FD 能为 F 到 CE 的近来距离吗？并说明原由。

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三角形的证明单元检测卷（提高）
1等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）
A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
2．下列命题的逆命题是真命题的是（）
A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
4．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个
条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）
A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC 5．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB
于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）
A．10 B．8C．5D．2.5
6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，
垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，
则BD的长为（）
A．2.5 B．1.5 C．2D．1
7．如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，
BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；
②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上
结论正确的是（）
A．①B．②C．①②D．①②③
8．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，
∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）
A．10 B．12 C．24 D．48 9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分
∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．10
10．（如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，
任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、
N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结
AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的
中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1B．2C．3D．4
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），
动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形
是等腰三角形，则点C的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E 分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
二、填空题
14．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．
15．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=_________．
17．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且
DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于_________．
18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m
与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的
点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E
处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．
三、解答题
20．如图，C是AB的中点，AD=BE，
CD=CE．求证：∠A=∠B．
21．如图，两条公路OA和OB相交
于O点，在∠AOB的内部有工厂C
和D，现要修建一个货站P，使货站
P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距
离相等，用尺规作出货站P的位置．
22．（在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
24．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B
顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转
到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长
CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
25．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分
BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与
CD相交于点F．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证：．
26．如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直
线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF
交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；
（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结
论．
27．△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD 为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是_________三角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．。

(完整)北师大版八年级下册《三角形的证明》培优

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