§4.3 周期信号的频谱

举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
▲
■
第 16 页
周期矩形脉冲信号的功率
例4.3-1
P 1
T
以τ 1 s,T 1s为例，取前 5
T f 2 (t)dt
0
次谐波
Fn
n
2
5
P5n F02 F1 2 F2 2 F3 2 F4 2 F1 2 F2 2 F3 2 F4 2
T
t
▲
■
第 11 页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
(3)离散谱
（4)第一个零点坐标：2π T
（5当）ωFn是nΩ实时函取数值，幅度/令相n位 2
n＝ 2π
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频
谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
图示
▲
■
第2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~
或
Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
离散谱，谱线
相位频谱
n ~ 曲线
O 3
n
O 3
■
第9页
双边频谱图
f (t) 1
1
e j1t e j1t
2 e j1t e j1t
1
2 e
j1t
π 4
2
e
jn1t
π 4
wk.baidu.com
2j
2
2
整理 f
(t)
1
1
1 2j
e
j1t
1
1 2j
e
j1t
1 2
j π e4
e
j21t
1 2
e
j
π 4
e
j
21t
2
F0
1
Fn
n2
F2
e jn1t
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第 12 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有离散性。谱线位置是基频Ω的整 数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 ➢T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
■
第6页
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
3
1 4
cos
3
t
2
3
1 cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
1 cos
4 3
t
2
3
是f(t)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
0.1806 而总功率 P 1 T f 2 (t)dt 0.2
T0
二者比值 P5n 90.3% P
▲
■
第 17 页
➢ 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。
▲
■
第 13 页
三．频带宽度
1.问题提出
Fn
T
2π
O 2
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）
由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
2 4 3 4 3 6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。
■
第5页
单边频谱图例1
例：周期信号 f(t) = 1 1 cos t 2 1 sin t
2 4 3 4 3 6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。
解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
f (t) 1 1 cos t 2 1 cos t
2 4 3 4 3 6 2
显然1是该信号的直流分量。
1 2
cos
4
t
3
的周期T1
=
8
1 4
cos
3
2
3
的周期T2
=
6
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点 • 频带宽度
•周期信号的功率
■
第1页
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变
化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信
号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、
相位随频率的变化关系，即
将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
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■
第 15 页
四、周期信号的功率
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
P 1
T
T 0
f
2 (t)dt
(
A0 2
)2
n1
1 2
An2
| Fn
n
|2
4.3-11/12
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。
n≥0时， |Fn| = An/2。
这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
■
第3页
频谱概念
对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物
理意义。为什么引入负频率？
f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和 e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
例1
例2
▲
■
第4页
单边频谱图例1
例：周期信号 f(t) = 1 1 cos t 2 1 sin t
▲
■
第 14 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。
一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：
B
2π
或B f
1，带宽与脉宽成反比。
对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
1
e
j
π 4
2
F1 F2
1
1 2j
1
e
j
π 4
2
1.12e j0.15π
F1
1
1 2j
1.12e
j0.15π
n
Fn
0.15 π
0.25 π
0.5 1.12 1 1.12 0.5
2 1 1 O 1 21
21 1
0.25π
1
O
21
0.15π
▲
■
第 10 页
二、周期信号频谱的特点
o
12
6
4
3
ω
(a)
P 1 1 1 2 1 1 2 37 2 2 2 4 32
o
ω
12 6 4
3
2 3
(b)
▲
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第7页
例2
已知f
(t
)
1
s
in
1t
2
cos
1t
cos
21t
π 4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
■
第8页
已知f
(t
)
1
sin1t
2
cos
1t
cos
21t
π 4
，
例2 请画出其幅度谱和相位谱。
解：化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15π
)
cos
21t
π 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
单边频谱图
An
A1 2.24
A0
A2
21
1
O 1 21
n
0.25π
1
O
2 1
0.15π
A0 1 2 A1 5 2.236 A2 1
0 0 1 0.15π 2 0.25π