届高考数学第一轮复习教案：第四章三角函数

2010届高三数学一轮复习精品教案一一三角函数
、本章知识结构:
ji
•壬意垢的三垢函数
诱导公式二I
二、重点知识回顾
1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边
a 相同的角，都可以表示成 k • 360°+a 的形
式，特例，终边在 X 轴上的角集合｛ a |a =k • 1800，k € Z ｝，终边在y 轴上的角集合｛ a |a =k • 1800+900, k € Z ｝，终边在坐标轴上的角的集合 ｛ a |a =k • 90°, k € Z ｝。

在已知三角函 数值的大小求角的
大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；
i
180
⑴角度制与弧度制的互化：
二弧度工180 , 1
弧度，1弧度工(
)'-57 18'
180
兀
代
1 2
1 ⑵弧长公式：I = vR ；扇形面积公式：S
R 2 RI 。

2 2
2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角 函数的关系式、诱导公
式：
(1)三角函数定义：角:中边上任意一点 P 为(x, y)，设|OP|=r 则：
y x 丄
y sin , cos , tan .：:
r r
x
(2)三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
(3)
特殊角的三角函数值
a
0 Jt
6 31
4
3
JI
2
JI
3兀 2
2兀
sin a
1 2
也
2
厂
<3
2
1
0 -1
COS a
1
v3 2
住
2
1
2
0 -1 0 1
同角三角隨数 的挂本关系式
—哇再卑三週函竺町丐义
层导公式五 *
导公
衣IESI
卡导公武三旁导©武二
（3）同角三角函数的基本关系：
sin 2x • cos 2x =1;
tanx
cosx
（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限 ）
sin （二-? ） = sin a ,cos （二cos a ta n （二tan a
sin （，亠黒）=—sin a ,cos （，亠很）=—cos a tan （，亠很）=tan a sin （ v ）=— sin a ,cos （ -: ） = cos «,tan （ ） = — tan a
sin （2二-:）=—sin a ,cos （2二）=cos a ta n （2二-:）=—tan a
sin （2k 兀 +o （ ）= sin a cos （2k 兀 ）= cos a ta n （2k 兀 ） = tan a, （k Z ）
JI
JI
sin （ ） = cos a ,cos （
） = sin a 2
2
JI
31
sin （
） = cosa,cos （
） = -sin a
2
2
3、两角和与差的三角函数
（1 ）和（差）角公式
① sin （卅二『■） = sin ： cosl-：,
二cos ： sin :;
（2）二倍角公式
二倍角公式：① sin 2〉=2 sin 〉cos> ； （3 ）经常使用的公式
2
1 cos2： 1 .小 cos 、sin ：
cos sin 2：；
2 2
③正切公式的变形：
tan 二■ ta n - - ta n （二】“）（1-ta n tan ：）.
4、三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数 y 二si nx , y =cosx , y 二ta nx 的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义•会求
y =Asin （「x •「）的周期，或者经过简单的恒
②辅助角公式：
asint 亠 bcos 〉= a 2 ■ b 2 sin （黒亠"）（‘由 a,b 具体的值确定）；
② cos （二 I ） =cos t cos L'sin 「sin
:;③ tan （、丄二 l ：,）=
② cos2 ：二 cos
2
-sin 2 ： = 2 cos 2
「1
2
2ta n ot
二 1「2sin :;③ tan2
—
1 - ta n 2ot
①升（降）幕公式：
sin
2
〉二 一
cos2
2
等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；
⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
y=si nx的对称轴是x=k二•一（k，Z），对称中心是（k二,0）（k • Z）；
2
3T
y = cosx 的对称轴是x = k 二（k • Z ），对称中心是（k ；亠，0） （k • Z ）
2
, k 兀
y = ta nx 的对称中心是（E~,O ）（k ・Z ）
注意加了绝对值后的情况变化 • ⑷写单调区间注意 -0.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
y =Asin （「x •「）的简图，并能由图象写出解析式.
⑴“五点法”作图的列表方式;
⑵求解析式y =Asin （「X •「）时处相「的确定方法：代（最高、低）点法、公式
x 1
二--
co
（三）正弦型函数 y =Asin （「x • J 的图象变换方法如下: 先平移后伸缩
向左（40）或向右（申史）
y =sinx 的图象
平移〔个单位长度 _
横坐标伸长（0<防1）或缩短（国>1）
得 y =sin （x 亠仃）的图象 --------------- 1 -------------------
到原来的2（纵坐标不变）
©
纵坐标伸长（A?）或缩短（0< A<1）
得y 二sin （ ）的图象
为原来的A 倍（横坐标不变） 亠
向上（k£）或向下（k <0）
得y =Asin （・・x ■「）的图象 --- 平移凶个单位长度’一； 得 y =Asin （x • k 的图象.
先伸缩后平移
纵坐标伸长（AM ）或缩短（0
y =sinx 的图象 -------- 为原来的A 咅（横坐标不变）
一
一
横坐标伸长（0©£）或缩短（灼/）
得y-Asinx 的图象
到原来的和纵坐标不变）'
o
5、解三角形
注：① a : b : c = sin A : sin B : sin C :② a = 2Rsn b =
— 。

sin A sin B sinC sin A sinB sinC
得y = As in (•・x)的图象
向左（■' 0）或向右（・：0）、
平移I 个单位
得y =Asinx （，，x 亠「）的图象
向上（k 0）或向下
（k ：：0）
平移k|个单位长度
r 得 y = Asin （，‘X 亠「）• k 的图象.
a I.正、余弦定理⑴正弦定理 -------------
sin A
b _ c
sin B sin C
=2R （ 2R 是 ABC 外接圆直径） A, b = 2Rsn B,c = 2Rsin C :③
明强化记忆，在解题时要注意
sin 2〉• cos 2 = 1，这是一个隐含条件，在解题时要经常能
n 。

几个公式：
⑴三角形面积公式:
川•已知a,b,A 时三角形解的个数的判定: 其中 h=bsinA, ⑴A 为锐角时： ① avh 时，无解；
② a=h 时，一解（直角）；③ hvavb 时，两解（一锐角，一钝角）；④ a - b 时，一解（一锐角）。

⑵A 为直角或钝角时：①a 乞b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

三、考点剖析
考点一：三角函数的概念
【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，
任意三角函数（正弦、余弦、
正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，
会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数
值。

在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法， 终边相同角的表示方法，由三角函数的 定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。

在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角
度制下计算更为方便、简洁。

【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选 择题和填空题为主。

例1、 （ 2008北京文）若角a 的终边经过点P （1,-2）,则tan2a 的值为 ______________________ .
2
2 tan -二 4
解：* tan
2, tan 2
2
1
1 -tan 口 3
点评：一个角的终边经过某一点，
在平面直角坐标系中画出图形，
用三角函数的定义来
求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。

考点二：同角三角函数的关系
【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，
用同角三角函数定义反复证
⑵余弦定理：a
2
=b 2
・c 2
_2bccosA 等三个；注:
,2 2 2
cosA=
b C
"等三个。

2bc
ah
absin C -；J p(p -a)(p -b)(p -c),(p
(a b c))
⑵内切圆半径r=
2S
ABC
；外接圆直径
a +
b +c
2R=H 」
sinA sinB sinC
⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法："
ABC 中，A • B ：= si nA si nB
想到它。

利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。

【命题规律】在高考中， 同角的三角函数的关系， 一般以选择题和填空题为主，结合坐 标系分类讨论是关
键。

例 2、 ( 2 0 0 8 浙江理) 若 cos.羔川2sin
-5,则 tan =(
)
1 1 o
(A )
( B ) 2 ( C )
( D ) - 2
2
2
解：由 cos
：：亠2sin 「- - 5可得：由 cos, -
5-2sin ,
2
2
2
又由 sin t "cos 1，可得：si n t +
可得sin ：■
所以，tan ：=空 =2。

cos «
点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，
要能想到隐含条件：sin 2二^cos 2二=1 ,
sin 2 二 1 cos 2
=1
5
解得：sin ：■
13
点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式:
能想到隐含条件：sin 2 •二^cos 2〉=1 o
考点三：诱导公式
【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，
记忆方法可以概括为“奇变偶不变，
符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，
si n a 与cos a 对偶，“奇”、
n
n
“偶”是对诱导公式中 k + a 的整数k 来讲的，象限指 k +a 中，将a 看作锐角时,
2
2
31
3 二 31
k
+ a 所在象限， 如将
cos(
+ a )写成 cos ( 3 * 一 a )
，因为3是奇数，则“ cos
2
2
2
例3、 (2007全国卷
1 理 1):- 是第四象限角，
5
tan
，贝U sin
12
1 1
5
5 A.-
B .
C. ——
D
— - 5
5
13
13
X s in :- 5
5
1
—— -
解：由
tan ：
所以，有
cos ： 12 ,:是第四象限角,
与它联系成方程组，解方程组来求解。

(
-5 - 2sin ：)2 = 1
sin « tan
，同样要
cos-
变为对偶函数符号“sin ,又B
-+ a看作第四象限角，cos(
3
二
+ a )为"+ ” ,所以有cos(
3 二
+ 222
a )=sin a o
【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数
值，也有些大题用到诱导公式。

例4、（2008陕西文）sin 330等于（
解：sin330 =si n（360 -30）= - sin 30—-1
2
点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。

答案：-—
25
— 3
例5、（2008 浙江文）若sin（）,则cos2^ - .
2 5
- 3 3 2 3 2 7 解：由sin「）可知，cos ；而cos2v - 2cos v-1=2 （）-仁
2 5 5 5 25
点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌
握公式就能求解。

考点四：三角函数的图象和性质
【内容解读】理解正、余弦函数在］0 , 2 n ］，正切函数在（-二，丄）的性质，如单调
2 2
性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数y=Asin（‘x •x- R
的图象，并理解它的性质：
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离
为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半
个周期；
（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的 -个周期。

4
注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。

【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。

5n 例6、（2008天津文）设a = sin -, . 2兀
b = cos , c
2
兀，则（）
777
A. a < b < c B . a ：： c ::: C. b :: c :: a D. b:::a ■ c
2兀兀2兀It 2 二2- 亠
解：a - sin ，因为，所以sin 1 ：，选D
7 4 72777
JI JI JI
点评：掌握正弦函数与余弦函数在］0,—],[—,-: 的大小的比较, 画出它们
4 42
的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］,也要掌握。

: n n
例7、（2008山东文、理）函数y =|n cosx x 的图象是（）
I 2 2丿
因此本题应选A.
点评：本小题主要考查复合函数的图像识别， 充分掌握偶函数的性质， 余弦函数的图象 及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。

例8、（2008天津文）把函数y = sin x （x 三R ）的图象上所有的点向左平行移动
一个单位
3
1
长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 -倍（纵坐标不变），得到的图象所 2
表示的函数是（
）
i'x
兀)
B . y =sin , x R
12 6丿
y 二sin （2x —），故选（C ）。

点评：三角函数图象的平移、 伸缩变换是高考的热门试题之一， 牢固变换的方法，按照
变换的步骤来求解即可。

x 3兀
例9、（ 2 0 0 8浙江理）在同一平面直角坐标系中，
函数y = COS （ ）（x ・
［0,2二］）
2 2
1
的图象和直线y = 2的交点个数是（
）
（A ） 0 （ B ） 1
（C ） 2
（ D ） 4
解：原函数可化为：
x 3二 x
y =cos （ ）（x ・ ［0,2「：］）=sin — ,x ，［0, 2订 作出原函数图像，
2 2 2
1
截取x ［0,2二］部分，其与直线y 的交点个数是2个.
2
点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，
学会五点法画图， 取特殊角的三角函 数值画图。

解： y = In COSX(―
y =sin
JI
2
^3， C . y=sin 2x 匸,x R
I 3丿
D . y=sin 2x 二,x R
I 3丿
解：
向左平移—个单位
3 \ y=
sin x
------------- ° -------- *
y 二 sin( x —)
3
横坐标缩短到原来的-倍
------------------------------------- 2 >
D .
由COSX 的值域可以确定
考点五：三角恒等变换
【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方
法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内
容。

【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。

题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。

例10、(2008 惠州三模)已知函数f(x)二-3sin2x sinxcosx
一71 "I
(I)求函数f (x)的最小正周期；(II)求函数f (x)在x- 0, 的值域.
1 2」
j 一. . *- . 9 - 1 -cos2x
-..3 -
21
sin 2x 2
解：f(x) = -.3s in x sin xcosx =
1.3 , 3..3 2 二
sin 2x cos2x -=sin (2x —)(I) T ：- —JI
2 2 2322
4 二
2x
3 3 3
点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函
数值域的求法。

- 3 3 x x 例11、(2008 广东六校联考) 已知向量a = (cos—x, si n — x), b = (-cos— , si n ), 2 2 2 2
TT
且x € [0 , ].
2
(1 )求a +b
= 2sin x cos 3
^cos- -sin 空sin 仝二2sin x cos2x
2 2 2 2
(2)设函数f (x) = a +b + a b，求函数 f (x)的最值及相应的x的值。

n 解：(I)由已知条件：0乞x空
2
s空+ cos^,sin 空-s")
2 2 2 2
(sin 3x
-sin
x
)
2 2
=2 — 2co2x=2sirx
(2) f(x)
所以f (x)的值域为:
2
1 2 3
TL
=-2 s in x 2sirx1--2(six-)
,因为：O M x 乞 ,所以：
2 2 2
O _sin x - 1
1 3
所以，只有当：X 二二时，f max (X )二；,X =：0，或 X ^
1
时，
f
min (
x
) = 1
2
2
点评：本题是三角函数与向量结合的综合题， 考查向量的知识，三角恒等变换、函数图
象等知识。

例 12、(2008 北京文、理)已知函数 f(x) =sin 2 x < 3sin 「xsin(「x )(〉0) 2 的最小正周期为n .
(I)求3的值；
(n)求函数f(x)在区间［0,—］上的取值范围.
3
解：(I) f(x)
J Y°s2 x
in2，x 2 2
3 1
1 =sin ，x -一 cos
2 x - 2 2
2
兀 1
=si n( 2 x ) .
6 2 2兀 因为函数f(x)的最小正周期为n ，且3 >0,所以 二二
2⑷
解得3 =1.
― 1
4）由（I ）得 f （X ）二sin （2x - ）
.
6 2
因为0w x <
3
所以 1 JI 7 二
w 2x - w
2 6 6 所以
1 w 2
(2「) w 1.
兀 1 3
3 因此0w sin(2 x ) w ,即f(x)的取值范围为［0,］
6 2 2
2
点评：熟练掌握三角函数的降幕，由 2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幕或升幕，
在训练时，要注意公式的推导过程。

考点六：解三角形
【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运
用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。

解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还 要检验是否符合题意。

【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，
考题灵活多
样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。

例13、( 2008广东五校联考)在"ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且
2
26
⑵由⑴知C 为钝角，C 是最大角，最大边为c=1,
7 tanC 二- 1, C =135 , sinC
2
2
丄二亠得
b =
CSinB
sin B sinC sin C
点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角 函数的知识。

在做练
tan A = ,cosB
3,10 10
(1 )求tanC 的值;
（2）若"ABC 最长的边为1,求b o
解:
；
COSB
普 0,
B 锐角'
且前—话耳晋
tan B 二
sin B cosB
tanC
二 tan 匕-(A B) I - - tan(A B)=-
tan A tanB
1 - ta n A *ta n B 1 1
1
1一丄」
2 3
d 10
1 *-
10 3T
2
所以 cos / CBE 二 cos(45： -30)二 (H)在△ ABE 中，AB =2 , 由正弦定理 AE
2_
sin(45 "-15“) sin(90 "+15、
故AE = 2sin
30； cos15 —2—2=八6-2 .60 由正弦定理
2
26
习，训练时要注意加强知识间的联系。

例14、（2008海南、宁夏文）如图，△ ACD 是等边三角形，△ ABC 是等腰直角三角形, / ACB=90 ° ,
BD 交 AC 于 E , AB=2。

（ 1）求 cos / CBE 的值；（2）求 AE 。

解：（1）因为/ BCD =90： 60'】 =150° , CB 二 AC 二 CD ,
所以 / CBE =15：.
4
点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角
45度，30度，60度，推导15度，75度的
三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。

例15、（2008湖南理）在一个特定时段内，以点
E 为中心的7海里以内海域被设为警戒
水域•点E 正北55海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东45；且与点A 相距40、2海里的位置B ,经过40分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏
东45%+二（其中si n^=
26
, 0'：：八：：90：）且与点A 相距10 53海里的位置 C.
3.证明三角不等式的方法：
比较法、配方法、反证法、分析法，禾U 用函数的单调性，利
(I) 求该船的行驶速度(单位：海里 /小时)；
(II)
若该船不改变航行方向继续行驶 •判断它是否会进入警戒水域，并
说明理由
解：(I )如图，AB=40、一 2，AC=10 ,13，
26
由于 0 ：：： v ::: 90”，所以
cos )=
由余弦定理得 BC= . AB 2—AC 2匚2AB ・ACL COS ； -10.5.
所以船的行驶速度为 呼忙5 (海里/小时).
3
(II )如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系， 设点B 、C 的坐标分别是 B (捲，y 2),
C ( X !, y 2) BC 与x 轴的交点为D.
由题设有，X !=y !=
AB=40,
2
X 2=ACCOS • CAD = 10 .. 13cos(45 - 巧=30, y 2=ACsin . CAD =10 .T3sin(45 -皆20.
所以过点B 、C 的直线l 的斜率k= 2,直线l 的方程为y=2x-40.
10
又点 E ( 0，-55)到直线 l 的距离 d= |0
二
55
…
40 1
= 3、一 5 ：：： 7.
Ji +4
所以船会进入警戒水域.
点评：三角函数在实际问题中有很多的应用， 随着课改的深入，联系实际，注重数学在
实际问题的应用将分是一个热点。

四、方法总结与2010年高考预测
1. 三角函数恒等变形的基本策略。

(1 )注意隐含条件的应用：1 = cos 2x + sin 2x 。

宀，
a + p a _ p
(2) 角的配凑。

a=( a+ 3) 一 3, 3= -------------------------------- 等。

2 2
(3) 升幕与降幕。

主要用 2倍角的余弦。

(4) 化弦(切)法，用正弦定理或余弦定理。

(5)
弓|入辅助角。

asin 0 + bcos 0 = a 2 b 2 sin( 0+
),这里辅助角「所在象限由
K
a 、
b 的符号确定，「角的值由tan ：=-确定。

a
2. 证明三角等式的思路和方法。

(1 )思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

(2) 证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

5、26 26
用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4. 解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

5. 高考考点分析
近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。

主要考察内容按综合难度
分，我认为有以下几个层次：
第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。

如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。

如辅助角公式、平方公式逆用、
切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有
界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。

如分段函数值，求复合函数值域等。

五、复习建议
1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。

2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，如三角函数与向量等。

3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。