25信号讲义流图与梅森公式
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
1
2
C (s) R (s)
G 1G 3 G 2 G 3 G 1G 4 1 G1H G 2 H
L a --所有回路的回路增益之和 L b L c --两两互不接触回路的回
路增益乘积之和
L d L e L f --三三互不接触……
Pk --第k条前向通路的总增益
k -- 第k 条前向通道的余因子式，在特征式中，将与第k条前向
通道相接触的回路除去后所剩下的部分。
2.4.2 梅逊增益公式
1 1
2 1 d
C (s) R (s)
P1 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
242梅逊增益公式?nkkkpsgp11?????????fedcballllll124信号流图与梅森公式?al所有回路的回路增益之和cbll?两两互不接触回路的回路增益乘积之和两两互不接触回路的回路增益乘积之和fedlll?三三互不接触??第k条前向通路的总增益kp特征式k第k条前向通道的余因子式在特征式中将与第k条前向通道相接触的回路除去后所剩下的部分
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
25信号流图与梅森公式 共31页
i1
G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 H 1 G 2 G 3 H 2 G 4 G 5 H 3 G 3 G 4 H 4
L iL j L 2 L 3 ( G 2 G 3 H 2 ) G ( 4 G 5 H 3 )
G 2G 3G 4G 5H 2H 3
2－5 信号流图及梅森公式
是表示复杂系统的又一种图示方法。
重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x 2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
作业：
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)
30
谢谢！
xiexie!
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
11
所以
C (G s P ) 1 Δ 1
1
R(s) Δ R 1 R 2 C 1 C 2 s2 R 1 C 1 s R 1 C 2 s 1
28
练习eBiblioteka g1ab
c
d
R(s) f
C(s) h
四个单独回路，两个回路互不接触
信号流图梅森公式
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
2/5/2020
5
信号流图的等效变换
串联支路合并：
ab x1 x2 x3
并联支路的合并：
a
x1 b x2
ab
x1
x3
ab
x1
x2
回路的消除：
ab
x1
x2
x c
3
b
a 1 bc
x1 x2 x3
2/5/2020
6
信号流图的等效变换
P
1
n k1
Pkk
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
18
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2
1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
ug ue
u1
u2
ua
G f
[解]：前向通道有一条；ug ,P 1G 1G 2G 3G u
有一个回路； L a G 1 G 2 G 3 G u G f
梅逊公式的应用
系统信号流图及梅逊公式
②
-
1/G2(s) G2(s) H1(s)
①
H2(s) Y0 G4(s)
+
Xi(s)
+
G1(s)
+
X0(s)
-
-
-
G3(s)
③ ④
第二步、消去反馈回路①，另相加点（比较点）③前移
1/G2 H2
Xi(s)
+
G1
②
+
③
G3(1+G2H1)/G2G4
X0(s)
G2G4 /(1+G2 H1 )
P1=G1G2G3 G4G5； ； P2=G1G4G5G6； P3=G1G2G7
有4个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G4H1； L2=−G2G7H2； L3=−G4G5G6H2； L4=−G2G3G4G5H2； 有1个互不接触的反馈回路，即： L b L c G 4 H 1G 2 G 7 H 2
k
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
G (s) G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 G 4 G 5 G 6 G 1 G 2 G 7 (1 G 4 H 1 ) 1 G 4 H 1 G 2 G 7 H 2 G 4 G 5 G 6 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
-
④
2.6
第三步、消去并联回路③和反馈回路②
系统信号流图及梅逊公式
Xi(s)
+
G1
G2G4-(1+G2H1)/G2G4
G2G4 /(1+G2 H1 + G2G4)
X0(s)
信号流图与梅森公式
2.5 信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数.1. 信号流图的组成及基本性质信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语:前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益.回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益.不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X XX X X是节点；j h d c b a ,,,,, 为支路增益；4,1X X 为输入节点；7X 为输入节点；6532X X X X 为混合节点。
信号流图共有三条前向通道，第一条是765321XXXXXX →→→→→；第二条是76531X XXXX →→→→；第三条是765324X XXXXX→→→→→。
有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。
而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。
图2-31 信号流图注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。
2.5.2 信号流图的绘制信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。
自动控制原理 第二章 梅森公式-信号流图
已知系统信号流图， 例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。 。
∑L
则
a
= − d − eg − bcg
有两个互不接触回路 ∑ Lb Lc = deg
∆ = 1 + d + eg + bcg + deg
f
1. X 1 → X 4 , p1 = aef , p2 = abcf ∆1 = 1 + d , ∆ 2 = 1
G4 G1 H1 G4 G1 H1 H1 G2 G2
作用分解
G3 H3
G3 H3 H3
梅逊公式介绍 R-C :
C(s) = R(s)
∑Pk△k △
其中: 其中
△称为系统特征式 △= 1 - ∑La + ∑LbLc -∑LdLeLf+…
所有单独回路增益之和 所有单独回路增益之和 回路增益 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 —所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
R(s) 1
e
g
a f
b
c
h
d
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
信号流图
• 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络 是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 信号流图的基本性质 基本性质： 信号流图的基本性质： 1) 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信 节点标志系统的变量 标志系统的变量， 号的代数和， 表示； 号的代数和，用“O”表示； 表示 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 信号在支路上沿箭头单向传递 在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变 支路相当于乘法器 信号流经支路时， 相当于乘法器， 成另一信号； 成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 x6 信号流图中常用的名词术语： 信号流图中常用的名词术语： x5 x1 • 源节点（输入节点）： 源节点（输入节点）： x2 x3 x7 I(s) x4 o在源节点上，只有信号输出 在源节点上， 在源节点上 1/R1 1+R1C1s R2 支路而没有信号输入的支路， 支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。 它一般代表系统的输入变量。 -1 •阱节点（输出节点）： 阱节点（ 阱节点 输出节点）： 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路， 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它 一般代表系统的输出变量。 一般代表系统的输出变量。
控制工程基础6-第2章 (数学模型-4：信号流图及梅逊公式)
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
课件：信号流图和梅逊公式的应用
3、信号流图的性质
➢ 信号流图只适用于线性系统 ➢ 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号 只能沿着支路上的箭头指向传递,后一个节点对前一个 节点没有负载效应（即无反作用）. ➢ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相 加后的信号传送到所有的输出支路 ➢ 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理 ➢ 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。
知识点
LC
d 2uc dt2
RC
duc dt
uc
ur
1）R-L-C电路的传递函数
Uc s
1
Ur s LCs2 RCs 1
d 2 y(t) dy(t)
m
dt2
f
ky(t) F(t) dt
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数
Y s F s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
s2
1
fs
1
典型环节及其传递函数(具有基本输入和输出关系的环节)
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L4 G2G3H2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L5 G4H2
确定前向通路
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 G1G2G3
1 1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P2 G1G4
2 1
前向通路数：n 2
C 1
R
Pk k
G1G2G3 G1G4
1 G1G2G3 G1G2H1 G2G3H2 G1G4 G4H2
2.6信号流图与梅森公式
G2 ( s) H ( s) N ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
N ( s)
7）系统的总输出 X o (s) i (s) X i (s) N (s) N (s)
8）系统的总偏差 (s) i ( s) X i ( s) N (s) N (s) 结论
练习 试化简下图所示系统的方框图，并求系 统传递函数。
可看出此题方框图化简较复杂,试用梅森公式化简.
• 两条前向通路 • 两条回路 • 主特征式
P G1G3G5 , P2 G2G4G5 1
L1 G3 H , L2 G4 H
1 ( L1 L2 ) 1 G3 H G4 H
【例1】根据微分方程绘制信号流图
i1 (t ) 1 R1 [ui (t ) u A (t )]
1 u A (t ) [i1 (t ) i2 (t )]dt C1
1 i2 (t ) [u A (t ) uo (t )] R2
uo (t) 1 C2
i (t )dt
2
一般闭环控制系统的结构如下图所示
1）闭环系统的开环传递函数 将闭环控制系统主反馈 通道的输出断开，即 H(s)的输出通道断开 时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积 G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数 ,记为GK(s)。
闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信 号B(s)和偏差信号ε(s)之间的传递函数，即：
X o ( s) G( s) G1 ( s)G2 ( s) ( s)
B( s) H ( s) X o (s)
4）输入信号作用下的闭环传递函数
令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传 递函数为：
信号流图及梅逊公式
1 + G1 + G2 + G3 + 2G1G2 + G1G3 + G2G3 + 2G1G2G3
例5：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
解：系统有单个回路 6 条,两两互不接触回路 7 组,三 个互不接触回路 1 组:
= 1 [ag + bh + ci + dj + ek + fghi] + [agci + agdj + agek + bhdj + bhek
= 1 L(1) + L(2) L(3) + ..+ (−1)m L( m）
L(1) ―所有单独回路增益之和；
L(2) ―两个互不接触回路增益乘积之和；
L( m ) ―m个不接触回路增益乘积之和。
例7：求如图所示系统传递函数
h
1
a
b
c
d
e
f
1
R(s)
-i
-j
-k
C(s)
-m
解：系统向通道：4条 -n
单个回路：9条 bi, dj, fk , cdem, hmi,
abcdefn, gcd efn, affn, gihfn
两两互不接触回路：6组 三个互不接触回路：1组
P= C= R
3
pii
i =1
例2:
+
R+
+
G1
+C
-
+-
+
G2
G1
p3 = G1G4 , 3 = 1.
= 1 [ L1 + L2 ] = 1 + G1 H + G2 H
25控制系统的信号流图和梅森公式
15
例 绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)， 回路中电流的初始值为i(0)。
16.04.2019
16
1 列写网络微分方程式如下：
d it () L R it () u t－ u () t ＋ ＝ i() o d t
C
duo (t ) ＝i(t ) dt
2 方程两边进行拉氏变换：
d x5 f
x1
a
x2
b x3
c
x4
e
16.04.2019
13
2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。 3 混合节点可以通过增加一个增益为 1 的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。
x5 1
x1
a
x2
d
b x3
c
x4
e
16.04.2019
互不接触的回路L1 L2。所以，特征式
= 1 ( L + L + L + L ) + L L 1 2 3 4 1 2
33
16.04.2019
G6 R(s) G1 G2 G3
G7 G4 G5 C(s)
a
b
c
-H1
d
-H2
前向通道有三个：
P G G G G G 1= 1 2 3 4 5
1 1
16.04.2019 27
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
16.04.2019
28
G6
R(s)
G7
G3
G1 a
G2 b
G4 c
-H1 -H2
G5
d
梅森公式-信号流图
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
1 (a23a32 a23a34a42 a44 a23a34a52 a23a35a52 ) a23a32 a44 a23a35a52a44
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
1 G1H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G5G7 H1H 2
x1
x2
x3
x7 I(s) x4
x5
o在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，
1/R1 1+R1C1s R2
它一般代表系统的输入变量。
-1
•阱节点（输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它
控制系统的信号流图和梅森公式.
11:29
电子信息工程学院
一 信号流图的组成和绘制
对于复杂的控制系统，结构图的简化过程 仍较复杂，且易出错。
信号流图：对系统的结构和信号（变量）传
递过程的数学关系的图解描述。
优点：用梅森公式可以直接写出系统的传递函 数，无需对信号流图进行化简和变换。
11:29 电子信息工程学院
G1 R G2 C
11:29
电子信息工程学院
解：由结构图绘制出信号流图。
x2 R(s) 1 x1 1 1 1 x6
基本组成： 由节点、支路组成
x
G
y
x
G
y
节点：节点表示信号。输入节点表示输入信号，输出 节点表示输出信号。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向 表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边， 称支路增益。
11:29
电子信息工程学院
x5
f
x1
a
x2
b x3
c
x4
d
有关术语
e
输入节点：源节点。只有输出支路。 输出节点：阱节点。只有输入支路。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。相 当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信 号是所有输入支路引进信号的叠加。
电子信息工程学院
P 3 = G1G2G7
11:29
Δ=1-(L1+L2+L3+L4)+L1L2
将
G1= G1G2G3G4G5 G2= G1G6G4G5 G3= G1G2G7
Δ1=1 Δ2=1 Δ3=1-L1
1 N Gk Δ k 代入 G kΣ Δ 1
得系统的传递函数C(s)/R(s)为
信号流图梅森公式
2/5/2020
14
梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
I(s) C 1s
-
1
1 uo(s)
R 2 I2(s) C 2 s
[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如
18
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2
1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
P7 G6G3G4 P8 G6G8G4
P 9G 6H 2G 2G 7G 4
2/5/2020
19
梅逊公式||例2-15
对应的结构图为：
G6 G5
R - G1
R 1
G6
G5
1
G1
+
-
G2
H2
H1
G7
G2 1
G3
1
Байду номын сангаас
H2
G8
H1
G7
G3
+
++
+
G4
C
G8
为节点
注意：①信号流
G4
1
图与结构图的对
梅森公式-信号流图PPT课件
作用分解
G1
G2
G3
H1
G4
G1
G2
H3 G3
H1
H3
H1
H3
梅逊公式介绍 R-C : △称为系统特征式
C(s) R(s)
=
∑Pk△k △
△= 1 - ∑La + ∑LbLc -∑LdLeLf+…
其中:
—∑La 所有单独回路增益之和
∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和
∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和
1 - G1H1 + G2H2 + G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
e
g
R(s) 1
a
b
c
d
C(s)
f
h
前向通路两条
四个单独回路，两个回路互不接触
C(s) R(s)
=
1
abc d + e d (1 – bg) – af – bg – ch– eh g f +af ch
信号流图
• 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。
Uo(s)
Ui(s)
-1
1/R1
1/C1s
IC(s)
-1
U(s)
1/R2
1/C2s
I2(s)
-1
Uo(s) Uo(s)
例3 已知系统信号流图，求传递函数。
解：三个回路：L1 G 2H 2
-H1
L2 G1G 2H2
L3 G 2G 3H1
• 回路相互均接触，则：
R
G1 G2 G3
C
H2 -H2
G4
L 3 a 44 互不接触 L 22 a 23 a 35 a 52 a 44
2.4 系统信号流图及梅逊公式
Fc(s)
cs
例 ：绘制如图所示系统的方块图
R1 i1(t) ui(t) C1
A
R2
i2(t)
uA(t)
u0(t)
C2
U i s - U A s = R1 I 1 s
拉氏变换后方程组
U A s - U 0 s = R2 I 2 s 1 I2 s = U0 s c2 s
Ө(t)
D
f(t)
P74 2-25 已知：f(t)为输入力，θ(t) 为轴的输出转角，弹簧刚度k,轴的 转动惯量J，阻尼系数D,轴的半径r， 求系统的传递函数。
解：该系统可以看作是一个质量、弹簧、 阻尼系统。
对于质量,这里用转动惯量J来代替。 对J、k、D分别列方程，有
J t f t r TK TD
1 I1 s - I 2 s = UA s c1 s
各环节的方块图如下所示。
Ui s -U A s = R1 I1 s
Ui(s)
+
1/R1
I1(s)
1 I1 s I 2 s UA s c1s
I1(s)
TK K t TD D t
J t f t r K t D t J t D t K t f t r
拉氏变换后，得 2 Js s Ds s K s F s r
X0(s)
H(S)
-H(s)
从图中可以我们可以定义： 通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。 节点：用来表示变量或信号的点，像输 回路：起点与终点重合且与任何节点 前向通路：从输入节点到输出节点的通路上通 入节点、输出节点、比较点以及引出点， 支路：定向线段，箭头表明信号的流向， 相交不多于一次的通路。 过任何节点不多于一次的通路。 标明有传递函数。 用符号“。”表示。
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
信号流图及梅森增益公式示例
例1:只有一条前向通路 6543211G G G G G G p = 共有4个单回路：n 4i i1234i 1i 11234561232453344L LL L L L G G G G G G H G G H G G H G G H ====+++=----∑∑只有II 、III 两个回路不接触：L L L H H G G G G )H G G )(H G G (L L L L kji32543235423232j i ==--==∑∑∑3254324433542321654321j i i H H G G G G H G G H G G H G G H G G G G G G 1L L L -1 +++++=+=∆∴∑∑所有回路均与之接触11=∆325432443354232165432165432111H H G G G G H G G H G G H G G H G G G G G G 1G G G G G G p )(s +++++=∆∆=Φ∴ 例2: 有五个回路：4124232121321iji4124232121321i G G HG H G G H G G G G G 1L 10L L GG H G H G G H G G G G G L +++++=-=∆=-----=∑∑∑两条前向通路：412423212132141321221124121 3211G G H G H G G H G G G G G 1G G G G G p p (s) 1; G G p 1; G G G p ++++++=∆∆+∆=Φ∴=∆==∆=例3:有五个单回路：并且CRs5L CRs1L L L i 521-=∴-====∑可找出六组两两互不接触的回路：Ⅰ-Ⅱ; Ⅰ-Ⅲ;Ⅰ-Ⅴ; Ⅱ-Ⅲ; Ⅲ-Ⅳ; Ⅳ-Ⅴ2j i )CRs (6)CRs1)(CRs 1.(6L L =--=∴∑有一组三个互不接触回路Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ333222k j i j i i 3333k j i sR C 1s R C 6CRs 51L L L L L L 1 sR C 1)CRs 1(L L L ∑∑∑∑+++=-+-=∆∴-=-=∴前向通路一条： 1 ; sR C 1p 13331=∆=3C 11R 23321U (s)p (CRs) (s)U (s)1CRs (CRs)(CRs)1(CRs)5(CRs)6CRs 1∆∴Φ===∆+++=+++例4:回路4个：333212211i H G H G G H G H G L --+-=∑ 两两不接触回路两个：Ⅰ-Ⅱ， Ⅱ-ⅣL L L )H G )(H (G )H )(G H G (L L kji33222211j i =-+-=∑∑32322121333212211H H G G H H G G H G H G G H G H G 1 --++-+=∆∴前向通道两条：32322121333212211223212211222321211H H G G H H G G H G H G G H G H G 1)H G -(1G G G p p (s) H G -1; G p 1; G G p --++-++=∆∆+∆=Φ∴=∆==∆=例5 已知系统结构图，求?)s (R )s (C =解：本结构图有2条前向通道，6个回路(其中I ，V 两回路不相交)H G G G G G H 1H)(1 G G G (s) H 1; G p 1; G G p H G G G G G H 1 )H )].(G ([)]}G ([)G (G G G G H {1321123212321211321123332112-+++++-=Φ∴+=∆-==∆=-++++=---+----------=∆例6 求?)s (R )s (C =解：共有3个单回路(全部有公共接触部分)H G H G G G H G G G G 1 L 1Δ HG H G G G H G G G G L L 2214211432131i i 2214211432131i i i-++=-=∴+--==∑∑∑==前向通道共有6条：1 G G G G p 143211=∆=1 G G G p 24212=∆= 1 G G G G p 343253=∆= 1 G G G p 44254=∆= 1 G G G p 54365=∆-= 1 G G H G p 642266=∆-= G H G G G H G G G G 142114321+-由梅逊公式：2214211432142264364254325421432166554433221161i iiH G H G G G H G G G G 1G G H G G G G G G G G G G G G G G G G G G Δp Δp Δp Δp Δp Δp Δp )s (-++--+++=∆+++++=∆=Φ∑= 例7 已知系统结构图 1).画出系统信号流图 2).求(s)R C(s),(s)R C(s)21解：1).2).)II I,.(3.2:C R .:C R 21互不相交其中个回路共有条前向通道有有3条前向通道⎭⎬⎫→→{}4321321432143211324321G G G G G G G G G G G 1 )G G G )(G ()G G G (G G G G 1+-++=--+-----=∆1G G G G p 1 G G G p G G G 1 G p :C R 343213232124321111=∆-==∆-=+=∆=→1G G p G 1 G G G p :C R 23221143212=∆=+=∆=→∆-=+-++--+=∴321143213214321432132143211G G G G G G G G G G G G G G G 1G G G G G G G )G G G (1G )s (R C(s) 432132143213214322G G G G G G G G G G G 1G G )G (1G G G )s (R C(s)+-++++= 例6 求?)()(=s R s C ?)()(=s N s C 解：431214332212143121433221211))((][1H H H G G H H H H G H G G H H H G G H H H H G H G G ++++--+----=∆ ＝对R(s)：∆+=∴--=∆=)1()()()(1;4321431211H H G G s R s C H H G G P 对N(s)：∆∆∆)1)(()()()(1;)(1;P 4332432214313n1H H G G s N s C H H G P H H G n n n ++=∴--==--== 例7 求?)(/)(=s R s C解：212121211))((][1G G G G G G G G +++=--+---=∆ 1;1211==∆ G G P )(1;12322G G G P --==∆ ∆∆=+---==2121333][1;G G G G G P ∆∆⋅+++=∴313221)1()()(G G G G G G s R s C例8 求?)()(=s R s C 解：][121122121G G G G G G G G -----=∆1111=-=∆ G P 1222==∆ G P 1))((3213=--=∆ G G P 14124==∆ G G P 21212121212112212131231)()(G G G G G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++-++-=++-+++-=∴。
自动控制原理 第二章 梅森公式信号流图
Uo(s)
-1
Ui ( s )
1/R1
IC(s)
1/C1s
1/R2
1/C2s
I2(s)
Uo ( s ) Uo ( s )
U(s)
-1
-1
例3 已知系统信号流图，求传递函数。
L1 G 2 H 2 解：三个回路：
-H1 R G1 G2 G3 C -H2 G4
L 2 G 1G 2 H 2
L 3 G 2G 3 H1
信号流图的绘制
由系统结构图绘制信号流图 1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。
注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s) C(s) R(s) G(s) C(s)
(节点)
G ( s)
(节点) (支路)
D ( s) R(s) E(s) G ( s) (- ) 1 V(s)G (s) 2 H ( s)
ab c d + e d (1 – b g) C(s) = R(s) 1 – a f – b g – ch– e h g f + af c h
信号流图
• 信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 信号流图的基本性质： 1) 节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信 号的代数和，用“O”表示； 2) 信号在支路上沿箭头单向传递； 3) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变 成另一信号； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 x6 信号流图中常用的名词术语： x5 x1 • 源节点（输入节点）： x3 x7 I(s) x4 x2 o在源节点上，只有信号输出 1/R1 1+R1C1s R2 支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。 -1 •阱节点（输出节点）： 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它 一般代表系统的输出变量。
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G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 H 1 G 2 G 3 H 2 G 4 G 5 H 3 G 3 G 4 H 4
L iL j L 2 L 3 ( G 2 G 3 H 2 ) G ( 4 G 5 H 3 )
G 2G 3G 4G 5H 2H 3
LiLjLk不存在
19
利用梅森公式求传递函数(1)
-
G5
H2
H3
H1
反馈回路1： L1 = －G1G2G3G4G5G6H1
C(s) G6
1
15
1.寻找反馈回路之二
反馈回路2：
L2 = - G2G3H2
H4
R(s) G1
-
-
G2
G3
-
2
H2
G4
G5
-
H3
H1
C(s) G6
1
16
1.寻找反馈回路之三
R(s) G1
-
反馈回路3：
H4
L3 = - G4G5H3
-
G2
G3
-
2
H2
H1
G4
G5
-
3
H3
C(s) G6
1
17
1.寻找反馈回路之四
反馈回路4： L4 = - G3G4H4
R(s) G1
-
H4
4
-
G2
-
G3
G4
G5
-
2
H2
H3
3
H1
C(s) G6
1
18
利用梅森公式求传递函数(1)
1.求
4
1Li LiLj LiLjLk i1 4
Li L1L2L3L4
+ G 11(s)
C 1(s) +
R1(s)
G 11(s) C 1(s)
5
G 21(s)
R 2 (s)
G 12 (s) G 22 (s)
+ + C 2 (s)
G 12 (s) R 2 (s)
G 21(s) C 2 (s)
G 22 (s)
5
2、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下：
x1 x1
H3
H1
C(s) G6
1
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特
征式 的求法，计算 1
22
求余式1
R(s) G1
-
H4 4
-
G2
G3
G4
G5
-
-
2
H2
H3
3
H1
将第一条前向通道从图上除掉后的图
R(s)
-
H4 4
-
-
-
2
H2
H3
3
H1
C(s) G6
1
C(s)
1
图中不再有回路，故1=1
23
例2 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s）
精品jing
25信号流图与梅森公式
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x 2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
混x合3。节点：既有输出支路,又有输入支路的节点,如：x2、
传之间的输增：益两为个a节，点则之传间输的也增为益a。叫传输。如：x1→x2
回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。图中有两 个回路，一个是x2→x3→x2，其回路增益为be， 另一个回 路是x2→x2，又叫自回路，其增益为d。
不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。图中无。
3
二、信流图的性质
1、每一个节点表示一个变量。 2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关 系。支路上的箭头方向表示信号的流向。 3、混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变 成为输出节点,且两节点的变量相同。
三、信号流图的绘制 1、根据方框图绘制
4
序号
方 块图
1
R (s)
G (s)
C (s)
信 号流 程 图
R (s)
G (s) C (s)
R (s) +
E (s) G (s)
C (s)
2
_
H (s)
N (s)
R (s) + E (s)
+
+
C (s)
3
_
G1(s)
G 2(s)
H (s)
R (s) 1 E (s)
x2 x3
ax1
dx2 bx2
ex3
x4
cx3
x5
fx5 x5
x5
信流图的表示形式
x1 a x 2
b
d
e
f
c
x4
x3
6
四、梅逊 (Mason)公式
❖ 梅森公式的一般式为：
n
PK K
G(s) K1
7
梅森公式参数解释：
G(s)：待求的总传递函数；
Δ称为特征式， 且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+… Pk：从输入端到输出端第k条前向通路的总 增益； Δk：在Δ中，将与第k条前向通路相接触的 回路所在项除去后所余下的部分，称余子式；
前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个
节点只通过一次的通路称为前向通路。如
x1→x2→x3→x4 。
2
x5
前向通路总增益：前向通路 x1 a x 2 b
上各支路增益的乘积 ，如： x1→x2→x3→x4总增益abc。
d
e
f
c x4
x3
回 路：通路的起点就是通路的终点，并且与其它节 点 相交不多于一次的闭合通路叫回路。
10
举例说明（梅森公式）
❖ 例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
C(s) G6
11
求解步骤之一（例1）
❖ 找出前向通路数n
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
C(s) G6
12
求解步骤之一（例1）
R(s) G1
4
1Li LiLj LiLjLk i1
1G1G2G3G4G5G6H1G2G3H2 G4G5H3 G3G4H4 G2G3G4G5H2H3
20
利用梅森公式求传递函数(2)
2.求Pk,k
P 1G 1G 2G 3G 4G 5G 6
1 ?
21
求余子式1
R(s) G1
-
H4
4
-
G2
-
H2
G3
G4
-
G5
2
3
8
ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和； ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
❖ “回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
G (s) C (s)
H (s)
N (s)
1
R (s) 1 E ( s ) G1(s)
G 2(s) C ( s )
H (s)
N (s)
R (s) +
E (s)
+
+ C (s)
G (s)
4
_
H (s)
R (s) 1 E (s)
G (s)
H (s)
N (s) 1
1 C (s) C (s)
R1(s)
G7
R(s)
+
G1
G2
-
G6
G3 + + G4 H1
H2
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3Biblioteka H1❖ 前向通路数：n＝1
P 1G 1G 2G 3G 4G 5G 6
C(s) G6
13
求解步骤之二（例1）
❖ 确定系统中的反馈回路数
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
C(s) G6
14
1.寻找反馈回路之一
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4