第五讲空间等参薄板优秀课件
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指定对称模式
轴对称问题分析实例
材料属性定义
模型及有限元网格剖分
轴对称问题分析实例
添加约束：
添加载荷：
轴对称问题分析实例
5-3 空间问题有限元法
1、基本方程
u
x
x
y
z xy
u
v y
w z
y v
x
yz
z x
v
z
w
y
u
z
w
x
x
y
z xy
第五讲空间等参薄 板
Ø空间与轴对称问题 Ø等参数单元 Ø薄板弯曲问题
5-1 空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意空间载荷 作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作用的回转体，本章 简单介绍两类问题：轴对称问题和空间问题的有限元计算。
空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）未知量的数目剧增。———— （对某些问题简化）———
———（轴对称问题）
空间分析的优点： 精确。
5-1 空间问题简介
某一平面图形绕平面上某一轴旋转形成的回转体称为轴对称物体， 此平面称为子午面。在动力机械，特别是叶轮机械中，有很多零 件都具有轴对称特性，比如轮盘、旋转轴、承力环等。
对于直齿圆柱齿轮，由于齿的存在，严格地说它并非轴对称物体。 如果忽略齿的部分(将齿用外载荷表示)，则所得到的齿根以内的 旋转体部分为轴对称物体。
5、单元刚度矩阵 K 6 e 62 B T[D ][B ]rdrdz
5-2 轴对称问题
6、轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)
轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连 接；
节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； 单元边界是一回转面；
应变分量 中出现了 u r r ，即应变不是常量；
应力分量 {}{rzrz}T
应变分量 {}{r zrz}T
注意：应变 虽然与 无关，但是周向应变 0 ，周
向应力 0 ，由径向位移 u r 引起，因为径向位移会导致
周长的改变。
5-2 轴对称问题
2、基本方程
应变分量
{}{r z rz}T
=来自百度文库urr
ur r
w z
urzwr}T
轴对称问题的弹性矩阵：
轴对称物体的变形及应力分布不一定是轴对称的，只有当其约束 和载荷都对称于旋转轴时，轴对称物体的变形和应力分布才是轴 对称的。 轴对称物体+轴对称约束+轴对称载荷=轴对称系统 对轴对称系统的应力分析=轴对称物体
5-2 轴对称问题
1）几何形状关于轴线对称； 2）作用于其上的载荷关于轴线对称。 3）约束条件关于轴线对称。
且应变矩阵在r--》0时，存在奇异点，需特殊处理， 通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。
5-2 轴对称问题
刚度矩阵近似表达：
K 6 e 62 B T[D ][B ]rdrdz
r
rc
1 3
( ri
rj
rm
)
z
zc
1 3
( zi
z
j
zm
)
K e 66
2
BT
[D][B]rdrdz
2[B]T[D][B]rc drdz
5-2 轴对称问题
4、应变矩阵
r
bi 0 bj 0 bm 0 uri
{}
z rz
1
fi
2A0
ci
0 ci bi
fj 0 cj
0 cj bj
fm 0 cm
0
bcmm
wi
wm
=Bi Bj Bm e [B] e
其中 fi ari bicri z i,j,m 轮 换 为r的函数，故[B]的元素不是常 量，与平面三角形单元有区别。当r---》0时，f不存在，即奇 异，需近似处理。
因过z轴的任一子午面都是对称面，其 上任一点p只在该平面上发生位移，即 弹性体内任一点的位移、应力与应变只 与坐标r、z有关，与 无关。从而，轴 对称问题可转化为二维问题，但因与平 面问题有区别，常称为二维半问题。
柱坐标系
z
p (r, , z)
x r
5-2 轴对称问题
2、基本方程
位移分量 {urw }T u=0
5-2 轴对称问题
单元类型：三角形单元
wj
3、单元位移函数
ur 1 2r 3z
z
j(r z) jj
urj
w4 5r 6z
wi
利用节线位移，待定系数，可得
ur Niuri Njurj Nmurm
wm
uri i(r z)
ii
wNiwi Njwj Nmwm
urm
m(r z)
o
mm
r
uwr
N
e
N i2 1 A(aibirciz) i,j,m 轮 换
5-3 四面体单元
利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式
u v ( (x x ,,y y ,,z z) ) N 0 1 N 0 1 0 0N 0 2 N 0 2 0 0N 0 3 N 0 3 0 0N 0 4 N 0 4 0 0 u 1 w (x ,y ,z) 0 0N 1 0 0N 2 0 0N 3 0 0N 4 w 4
2rc[B]T[D][B]
为三角形面积
轴对称问题分析实例
问题描述： 如下图所示，一个半径为100m的正方形截面圆环，截面尺寸 为10m×10m，底端固定，径向受100N轴对称载荷，材料的 弹性模量为3.0×1011Pa，试用有限元法进行分析。
F
轴对称问题分析实例
分析类型：Structural 单元类型：Solid和Quad 4node 42
yz
z x
D
5-3 四面体单元
1）单元类型：四面体单元节点位移向量
e u 1 v 1 w 1 u 2 v 2w 2 u 3 v 3 w 3 u 4 v 4w 4 T
2）位移函数：线性位移函数
u(x, y,z) a1 a2xa3ya4z v(x,y,z)a5 a6xa7ya8z w(x, y,z)a9 a10xa11ya12z
其中
N i ( 1 )i 1 6 1 V (a i b ix c iy d iz )i 1 ,2 ,3 ,4
x2 y2 z2 a1 x3 y3 z3
x4 y4 z4
1
1
1 2 2(1 )
0
1
0
0
D
E(1 ) (1 )(1 2)
对
1
1
称
1 2 2(1 )
2
虚功方程 d 2 则 { * } T { F } 2 { * } T { } rd rd z
0
5-2 轴对称问题
• 刚度矩阵的推导：
➢ 步骤1：选择单元类型 ➢ 步骤2：选择位移函数 ➢ 步骤3：确定应变位移和应力应变关系 ➢ 步骤4：推导单元刚度阵
轴对称问题分析实例
材料属性定义
模型及有限元网格剖分
轴对称问题分析实例
添加约束：
添加载荷：
轴对称问题分析实例
5-3 空间问题有限元法
1、基本方程
u
x
x
y
z xy
u
v y
w z
y v
x
yz
z x
v
z
w
y
u
z
w
x
x
y
z xy
第五讲空间等参薄 板
Ø空间与轴对称问题 Ø等参数单元 Ø薄板弯曲问题
5-1 空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意空间载荷 作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作用的回转体，本章 简单介绍两类问题：轴对称问题和空间问题的有限元计算。
空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）未知量的数目剧增。———— （对某些问题简化）———
———（轴对称问题）
空间分析的优点： 精确。
5-1 空间问题简介
某一平面图形绕平面上某一轴旋转形成的回转体称为轴对称物体， 此平面称为子午面。在动力机械，特别是叶轮机械中，有很多零 件都具有轴对称特性，比如轮盘、旋转轴、承力环等。
对于直齿圆柱齿轮，由于齿的存在，严格地说它并非轴对称物体。 如果忽略齿的部分(将齿用外载荷表示)，则所得到的齿根以内的 旋转体部分为轴对称物体。
5、单元刚度矩阵 K 6 e 62 B T[D ][B ]rdrdz
5-2 轴对称问题
6、轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)
轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连 接；
节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； 单元边界是一回转面；
应变分量 中出现了 u r r ，即应变不是常量；
应力分量 {}{rzrz}T
应变分量 {}{r zrz}T
注意：应变 虽然与 无关，但是周向应变 0 ，周
向应力 0 ，由径向位移 u r 引起，因为径向位移会导致
周长的改变。
5-2 轴对称问题
2、基本方程
应变分量
{}{r z rz}T
=来自百度文库urr
ur r
w z
urzwr}T
轴对称问题的弹性矩阵：
轴对称物体的变形及应力分布不一定是轴对称的，只有当其约束 和载荷都对称于旋转轴时，轴对称物体的变形和应力分布才是轴 对称的。 轴对称物体+轴对称约束+轴对称载荷=轴对称系统 对轴对称系统的应力分析=轴对称物体
5-2 轴对称问题
1）几何形状关于轴线对称； 2）作用于其上的载荷关于轴线对称。 3）约束条件关于轴线对称。
且应变矩阵在r--》0时，存在奇异点，需特殊处理， 通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。
5-2 轴对称问题
刚度矩阵近似表达：
K 6 e 62 B T[D ][B ]rdrdz
r
rc
1 3
( ri
rj
rm
)
z
zc
1 3
( zi
z
j
zm
)
K e 66
2
BT
[D][B]rdrdz
2[B]T[D][B]rc drdz
5-2 轴对称问题
4、应变矩阵
r
bi 0 bj 0 bm 0 uri
{}
z rz
1
fi
2A0
ci
0 ci bi
fj 0 cj
0 cj bj
fm 0 cm
0
bcmm
wi
wm
=Bi Bj Bm e [B] e
其中 fi ari bicri z i,j,m 轮 换 为r的函数，故[B]的元素不是常 量，与平面三角形单元有区别。当r---》0时，f不存在，即奇 异，需近似处理。
因过z轴的任一子午面都是对称面，其 上任一点p只在该平面上发生位移，即 弹性体内任一点的位移、应力与应变只 与坐标r、z有关，与 无关。从而，轴 对称问题可转化为二维问题，但因与平 面问题有区别，常称为二维半问题。
柱坐标系
z
p (r, , z)
x r
5-2 轴对称问题
2、基本方程
位移分量 {urw }T u=0
5-2 轴对称问题
单元类型：三角形单元
wj
3、单元位移函数
ur 1 2r 3z
z
j(r z) jj
urj
w4 5r 6z
wi
利用节线位移，待定系数，可得
ur Niuri Njurj Nmurm
wm
uri i(r z)
ii
wNiwi Njwj Nmwm
urm
m(r z)
o
mm
r
uwr
N
e
N i2 1 A(aibirciz) i,j,m 轮 换
5-3 四面体单元
利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式
u v ( (x x ,,y y ,,z z) ) N 0 1 N 0 1 0 0N 0 2 N 0 2 0 0N 0 3 N 0 3 0 0N 0 4 N 0 4 0 0 u 1 w (x ,y ,z) 0 0N 1 0 0N 2 0 0N 3 0 0N 4 w 4
2rc[B]T[D][B]
为三角形面积
轴对称问题分析实例
问题描述： 如下图所示，一个半径为100m的正方形截面圆环，截面尺寸 为10m×10m，底端固定，径向受100N轴对称载荷，材料的 弹性模量为3.0×1011Pa，试用有限元法进行分析。
F
轴对称问题分析实例
分析类型：Structural 单元类型：Solid和Quad 4node 42
yz
z x
D
5-3 四面体单元
1）单元类型：四面体单元节点位移向量
e u 1 v 1 w 1 u 2 v 2w 2 u 3 v 3 w 3 u 4 v 4w 4 T
2）位移函数：线性位移函数
u(x, y,z) a1 a2xa3ya4z v(x,y,z)a5 a6xa7ya8z w(x, y,z)a9 a10xa11ya12z
其中
N i ( 1 )i 1 6 1 V (a i b ix c iy d iz )i 1 ,2 ,3 ,4
x2 y2 z2 a1 x3 y3 z3
x4 y4 z4
1
1
1 2 2(1 )
0
1
0
0
D
E(1 ) (1 )(1 2)
对
1
1
称
1 2 2(1 )
2
虚功方程 d 2 则 { * } T { F } 2 { * } T { } rd rd z
0
5-2 轴对称问题
• 刚度矩阵的推导：
➢ 步骤1：选择单元类型 ➢ 步骤2：选择位移函数 ➢ 步骤3：确定应变位移和应力应变关系 ➢ 步骤4：推导单元刚度阵