大学物理2复习提纲2010-2011.1

第五章 静电场（是保守力场）重点：求电场强度和电势。

（点电荷系、均匀带点体、对称性电场），静电场的高斯定理和安培环路定理。

主要公式： 一、 电场强度12．点电荷系场强：n E E E E+⋅⋅⋅++=21（矢量和）3（五步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写E d、分解、积分)4．对称性带电体场强：二、电势12．点电荷系电势：n V V V V+⋅⋅⋅++=21（代数和）3（四步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写dV 、积分)4．已知场强分布求电势：⎰⎰⋅=⋅=lv pdr E l d E V 0三、电势差：⎰⋅=∆BAAB l d E U四、电场力做功：⎰⋅=∆=2100l l l d E q U q A五、基本定理(1) 静电场高斯定理：物理意义：表明静电场中，通过任意闭合曲面的电通量（电场强度沿任意闭合曲面的面积分），等于该曲面内包围的电荷代数和除以0ε。

(3)静电场安培环路定理：物理意义：表明静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分为0。

【例题1】 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强和电势． 解:（1）求场强。

建立如图坐标系；在圆上取电荷元ϕλλd d d R l q==，ϕRd dl =它在O 点产生场强大小为：20π4d d R R E εϕλ=方向沿半径向外。

分解：ϕϕελϕd sin π4sin d d 0RE E x == 相互抵消y E d 。

积分RR E O000π2d sin π4ελϕϕελπ==⎰,沿X 轴正方向。

注意此题中若ϕ角度选取不同，积分上下限也会随之不同，但结果一样。

（2）求电势。

建立如图坐标系； 在圆上取电荷元ϕλλd d d R l q==，ϕRd dl =；它在O 点产生电势大小为：RR V0π4d d εϕλ=积分04d π4ελϕελπ==⎰O V【例题2】 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?解: (1)由高斯定理0d εqS E s⎰=⋅立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等。

∴ 各面电通量06εq e=Φ．(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量06εq e=Φ对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则024εq e=Φ，如果它包含q 所在顶点则0=Φe．【例题3】 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×510-C ·m -3求距球心5cm ，8cm ,12cm各点的场强． 解: 高斯定理d ε∑⎰=⋅q S E s,02π4ε∑=q r E 当5=r cm 时，0=∑q,0=E8=r cm 时，∑q 3π4p =3(r )3内r -∴ ()2023π43π4rr r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅， 方向沿半径向外．12=rcm 时,3π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()420331010.4π43π4⨯≈-=r r r Eερ内外1C N -⋅沿半径向外.【例题4 】半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅qS E s取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=则 rl E S E Sπ2d =⋅⎰对(1)1R r<0,0==∑E q (2)21R r R <<λl q =∑∴rE 0π2ελ=沿径向向外(3) 2R r>=∑q ∴ 0=E【例题5】 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，两面间， n E)(21210σσε-= 1σ面外， n E )(21210σσε+-=2σ面外， n E)(21210σσε+= n：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．【例题6】 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．（补偿法）解: 此题用补偿法的思路求解，将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见图(a)．由高斯定理可求得球对称性电场的场强分布。

(1) ρ+球在O 点产生电场010=E，ρ- 球在O 点产生电场'd π4π3430320OO r E ερ= ∴ O 点电场'd 33030OO r E ερ= ；(2) ρ+在O '产生电场'dπ4d 3430301OO E ερπ='ρ-球在O '产生电场002='E∴ O ' 点电场 003ερ='E'OO (3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r'，相对O 点位矢为r(如 (b)图)则 03ερrE PO =，03ερr E O P '-=' ,∴ 0003'3)(3ερερερdOO r r E E E O P PO P=='-=+=' ∴腔内场强是均匀的．【例题7 】 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?解:⎰⎰==⋅=22210212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε)11(21r r -61055.6-⨯-=J外力需作的功61055.6-⨯-=-='A A J【例题8】如图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．解:0π41ε=O U 0)(=-RqR q0π41ε=O U )3(R qR q -Rq 0π6ε-= ∴Rqq U U q A o C O 00π6)(ε=-=【例题9】如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =则θλd d R q =产生O 点Ed 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向 θεθλππcos π4d d 2220⎰⎰-==R R E E y R0π4ελ=［)2sin(π-2sinπ-］R0π2ελ-=(2)AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U⎰⎰===AB200012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ同理CD 产生 2ln π402ελ=U 半圆环产生 0034π4πελελ==R R U第七章 恒定磁场（非保守力场）重点：任意形状载流导线磁感应强度、对称性磁场的磁感应强度，安培力，磁场的高斯定理和安培环路定理。

主要公式：1．毕奥-萨伐尔定律表达式：204re l Id B d r⨯=πμ1）有限长载流直导线，垂直距离r 处磁感应强度：)cos (cos 4210θθπμ-=aIB （其中。

向之间的夹角流方向与到场点连线方分别是起点及终点的电和21θθ）2）无限长载流直导线，垂直距离r 处磁感应强度：aIB πμ20=3）半无限长载流直导线，过端点垂线上且垂直距离r 处磁感应强度：aIBπμ40=反向延长线上：0=B4）圆形载流线圈，半径为R ，在圆心O 处：R IB 200μ=5）半圆形载流线圈，半径为R ，在圆心O 处：RIB 400μ=6）圆弧形载流导线，圆心角为)(弧度制θ，半径为R ，在圆心O 处：θπμRIB 400=（θ用弧度代入）2．安培力：⎰⨯=lB l Id F（方向沿B l Id ⨯方向，或用左手定则判定）3．洛伦兹力： B v q F⨯=（磁场对运动电荷的作用力）4．磁场高斯定理：表达式：0=⋅=⎰sm S d Bφ（无源场）物理意义：表明稳恒磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量（磁场强度沿任意闭合曲面的面积分）等于0。

5．磁场安培环路定理：∑⎰=⋅I l d B l0μ（有旋场）表达式：∑⎰=⋅I l d B l0μ物理意义：表明稳恒磁场中，磁感应强度B 沿任意闭合路径的线积分，等于该路径内包围的电流代数和的0μ倍。

0μ称真空磁导率【例题1】 如图所示，AB 、CD 为长直导线，C B为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度．解： O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生．其中：AB 产生 01=BCD产生RIB 1202μ=，方向垂直向里CD 段产生 )231(2)60sin 90(sin 24003-πμ=-πμ=︒︒R I R I B ，方向⊥向里 ∴)6231(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向⊥向里． 【例题2】在真空中，有两根互相平行的无限长直导线1L 和2L ，相距0.1m ，通有方向相反的电流，1I =20A,2I =10A ，如题9-8图所示．A ，B 两点与导线在同一平面内．这两点与导线2L 的距离均为5.0cm ．试求A ，B 两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．解：如图所示,A B方向垂直纸面向里。

42010102.105.02)05.01.0(2-⨯=⨯+-=πμπμI I B A T(2)设0=B在2L 外侧距离2L 为r 处 则02)1.0(220=-+rI r Iπμπμ 解得1.0=r m 【例题3】如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度． 解：圆心O 点磁场由直电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但∞A 和∞B 在O 点产生的磁场为零。

且θ-πθ==21221R R I I 电阻电阻. 1I 产生1B 方向⊥纸面向外πθπμ2)2(2101-=R I B ，2I 产生2B 方向⊥纸面向里 πθμ22202R I B =∴1)2(2121=-=θθπI I B B 有 0210=+=B B B【例题4】 两平行长直导线相距d =40cm ，每根导线载有电流1I =2I =20A ，如题9-12图所示．求：(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A 处的磁感应强度；(2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(1r =3r =10cm,l =25cm)．解：(1)52010104)2(2)2(2-⨯=+=d I d I B A πμπμT方向⊥纸面向外。