关于贝特朗悖论的总结 final

关于“贝特朗悖论”的总结齐尽欢高等研究院2014级理工创新实验班指导教师王雄博士摘要：简要分析人们现普遍认同的三种对“贝特朗悖论”的理解方法；介绍关于引入“密度”概念的贝特朗解法；探索解析几何概率问题中出现多解的原因；运用程序验证前两种假设。

关键词：贝特朗悖论、等概率事件、随机事件的定界。

一、“贝特朗悖论”的概述贝特朗悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。

若随机选方圆上的一条弦，则此弦的长度比三角形的边较长的概率为何？常见的分析有如下三种：如图a：由于对称性，可预先指定弦的方向。

作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。

所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

此时假定弦的中心在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1。

如图b：由于对称性，可预先固定弦的一端。

仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。

所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。

此时假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2。

如图c：弦被其中点位置唯一确定。

只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。

中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

此时假定弦长被其中心唯一确定，弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。

二、关于方法三的新思考在黄晶晶《关于贝特朗悖论的新思考》一文中提到了关于方法三的质疑，创新性联想到“点的密度”的概念，并结合积分的方式，得到与传统理解答案不同的结论。

但关于其结果与积分过程，个人不完全认同。

我们知道弦被其中点位置唯一确定。

所以只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。

但问题出在“弦的中点在大圆内分布均匀”这里，也就是中点在圆内位置都是等可能的。

实际上，圆内的点是均匀分布的,但所有直径都要通过圆心O。

这样圆心O是无穷多条弦(即直径)的中点, 所以点O作为弦的中点的密度最大，为+∞。

而除O点之外，⊙O内其它任一点M ,以M为中点的弦有并且只有一条,这只要连接0M，再过点M作直线SS′垂直于OM且交⊙O于S，S′，易证0M是SS′的中点(存在性得证)。

另外，若还有一条弦 HH′以M为中点，则由垂径定理知HH′⊥OM。

这样，在平面上过M就会有两条直线与OM垂直，矛盾。

所以，弦的中点在圆内的分布，在O 点是无穷多条弦（直径）的中点在这里迭加，密度为+∞；而圆内其它点都只是圆内某一条弦的中点。

个人认为简言之，圆内的所有点分布均匀，但圆内所有弦的中点构成了另一个与圆内点的不同的集合，可以类似于为圆内不同点加了不同的权重。

所以，接下来下面说明⊙O的所有弦的中点在圆内的分布是不均匀的。

对于圆周上的任一点P来说，可以这样规定，它是弦PP的中点。

这样弦的中点可以覆盖整个闭圆面。

如图，我们先作两个圆⊙O(r), ⊙O(r/2)，再任作⊙O(s＊)。

圆周上任取两点 P、Q，连接OP，OQ交⊙O（r/2）于P0、Q0，交⊙O(s＊)于 P＊、Q＊。

这样，我们可以建立从⊙O(r)到⊙O（r/2）的点的对应，P对应P0,Q对应Q0。

这种对应是可逆的，故我们可以认为⊙O(r)上的点与⊙O（r/2）上的点是一样多的。

但是⊙O(r)的周长2πr，而⊙O（r/2）的周长是πr。

所以⊙O(r/2)的密度是⊙O(r)的2倍。

对于同心圆⊙O(s＊)来说（P＊为OP上之动点，0 ≤s＊≤r)，s＊越小，⊙O(s＊)上的密度越大。

至此, 关于圆的弦的中点的分布可以得出这样的结论：弦的中点(所有)覆盖整个闭圆面。

其密度随它越靠近圆心O密度越大, 设该点为P＊，它离圆心的距离为O＊=s＊，与圆心O距离相同的点，其密度是相同的。

一个点 P＊的密度与它至O的距离s＊成反比。

故⊙O(s＊)上P＊点的密度可设为 k/s＊(k为密度常数)。

只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆⊙O（r/2）内时，其弦长才合乎要求。

设弦的中点为P，PO =s，则P点的密度为k/s(k为密度常数)0 ≤s ≤r。

A表示事件:在已知⊙O(r)内任作一弦，其长大于3r。

P(A)表示事件A的概率。

P A=2πs∙ksrds2πs∙ksdsr=dsr2dsr=r2=1我认为在笔者的意图是将“密度”定义为一个类似单位长度内中点个数的概念。

从而使用积分的方法求得符合题目中条件的点的“数量”与圆内所有点的“数量”作比，求得概率。

但s的取值范围并不准确，事实上s取0值极为s是圆心点，而在计算中s 取0时周长2πs为0、密度k/s则在分母为0是无意义。

所以与其说圆内做任意一弦大于3r的概率为1/2，不如说“圆内做任意一弦（除直径外）大于3r的概率为1/2”更令人信服。

三、用计算机模拟上述过程（此处添加玮玮代码吧，然后玮玮来讲编程吧，吼吼吼，个人觉得C会low一点，不过也可以作为语句对比，也可以哈）#include "afx.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#include "time.h"int main()//随机生成一点，如果该点在圆内，总量total+1，然后验证是否对应弦大于根号三{int i = 0;float x, y;float count = 0;float total = 0;srand(time(NULL));for (; i < 10000; i++){x = (rand() % 201) / 100.0 - 1.0;y = (rand() % 201) / 100.0 - 1.0;if (sqrt(pow(x, 2) + pow(y, 2)) <= 1){total++;if (sqrt(pow(x, 2) + pow(y, 2)) <= 0.5)count++;}}printf("%f\n", count / total);return 0;}int main(){int i = 0;float ang1, ang2;float x1, y1;float x2, y2;float count = 0;int sign1, sign2;srand(time(NULL));for (; i < 10000; i++){ang1 = (rand() % 36001) / 100.0;ang2 = (rand() % 36001) / 100.0;x1 = cos(ang1) + 1.0;x2 = cos(ang2) + 1.0;y1 = sin(ang1);sign1 = rand() % 2;if (sign1 == 0) y1 = -y1;y2 = sin(ang2);sign2 = rand() % 2;if (sign2 == 0) y2 = -y2;if (sqrt(pow((((x1 + x2)) / 2) - 1, 2) + pow(((y1 + y2) / 2), 2)) <= 0.5)count++;}printf("%f\n", count / 10000);return 0;}四、随机试验的界定问题为什么我们在计算取到的弦大于3r的概率时会出现不同结论，而在计算类似从袋子里随机取一个红球的概率问题时往往都会得到明确的答案呢。

如文〔2〕中所提到的，人们混淆了两个只在表面形式上相同，但在实质上不同的问题。

即当一随机试验有无穷多个可能结果时, 有时很难客观地规定“等可能”这一概念。

所以在假设不同的条件为等可能的时候，就会出现不同的结果。

在一篇82年的论文〔3〕中，运用与先前提到的类似方法二（即概率为1/3）的思想，结合做外同心圆的方法，证明该悖论有无穷个连续解，1/2、1/3、1/4的结果仅是其中的特殊形式（想想他的证明结果都觉得内心是崩溃的）。

分析到这里，总有点想把贝特朗悖论评为一场盛大的“喜剧”。

对于时刻苛求唯一标准答案的我们，贝特朗含笑，以一切皆有可能答复世人。

就像是充斥在周遭中的各种问题，规则要求越多，可选用的解决办法就越有限，人们创造性得以发挥的空间就越少。

待一切行事规则都得到统一，那便是专制。

扯得有点远，不知道该怎么收场了…数学的魔性之处大概就在于每次深入的探索挖掘后，总能顺路带着思想兜兜风。

五、关于“贝特朗悖论”的解的个数的讨论在圆0的一个同心园(半径大于l)上任取一点A1，从A1向单位圆O作割线与之相交,单位圆O上这些弦的中点轨迹显然是以A1O为直径的圆周上的一段弧MN。

假定弦的中点等可能落在弧MN上。

对于固定点A1来说,过A1,作单位圆的切线A1M,令β=∠OA1M，则β是常数，A1M的弦心距t=A1O*sinβ；再设∠OA1B=α，其中A1B被圆O截得弦长AB=。

P（A1）=α/βOA1=R,(R≥1),因OM=1，易证OM1=1/2,由sinβ=1/R得β=arcsin(1/R)sinα=1/2R得α=arcsin（1/2R）故α/β=arcsin(1/2R)/arcsin(1/R),为R的函数。

当R取不同值，α/β的值也不相同。

当R为1时，α/β=1/3；当R趋近+∞时，α/β趋近1/2。

参考文献：〔1〕黄晶晶，黄世同.关于贝特朗悖论的新思考.昆明师范高等专科学校校报，2004，26（4）：10-12〔2〕谢琳，张晓庆.贝特朗奇论与随机试验的界定问题.辽宁师范大学数学学院.中国数学教育，2009(1-2)〔3〕潘泽彬.关于贝特朗奇论解的个数.四川师院学报（自然科学版），1982(4)：266-268 〔4〕苏同安.都是圆心惹的祸——“贝特朗悖论”新说.山东省桓台第一中学.中学数学，2010（1）：64〔5〕黄加流.也谈“贝特朗悖论”——驳“都是圆心惹的祸”.广东省珠海市第一中学. 中学数学，2011（11）：61-62〔6〕张敏，何小亚.贝特朗悖论之争的终结.华南师范大学数学科学学院.数学教育学报，2015，24（2）：51-54〔7〕贝特朗悖论_百度百科/link?url=kTGu6jgaBPHKT6n0KwnBO96h8A0HHuDnnxA7j5imyVHB5oLvco4dDGEyM-E0kQBqj6-OGAwW_oMSRSu9UiDwrq。