18 19专题强化训练3概率

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北师大版2018-2019学年度九年级数学上册第3章概率的进一步认识单元考试试题(含答案)

第三章概率的进一步认识考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，掷两次骰子，掷得面朝上的点数之和是的概率是（）A. B. C. D.2.某人在做抛掷硬币试验中，抛掷次，正向朝上有次（正面朝上的频率是），则下列说法正确的是（）A.（正面朝上）一定等于B.（正面朝上）一定不等于C.多投一次，（正面朝上）更接近D.投掷次数逐渐增加，（正面朝上）稳定在附近3.如图，甲、乙两个转盘同时转动，两指针指向的数之积不小于的概率是（）A. B. C. D.4.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球，则下列说法中正确的是（）A.摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大B.摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小C.重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定D.重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定5.如图，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关、、都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）A. B. C. D.6.某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了次，其中有次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为，则下列说法正确的是（）A.一定等于B.一定不等于C.一定大于D.投掷的次数很多时，稳定在附近7.鹰城中学“春雨文学社”为了便于开展工作，社长将全部社员随机分成组进行活动，则小明和小华被分在一组的概率是（）A. B. C. D.8.甲、乙两人进行象棋比赛，比赛规则为局胜制．如果两人在每局比赛中获胜的机会均等，且比赛开始后，甲先胜了第局，那么最后甲获胜的概率是（）A. B. C. D.9.一箱灯泡的合格率是，小刚由箱中任意买一个，则他买到次品的概率是（）A.B.C. D.10.一个口袋中装有个绿球，个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出两个球都是绿球的概率是（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个．12.同时抛掷两枚均匀的“硬币”，出现“两个正面朝上”的机会是________；出现“一正一反”的机会是________．13.在一次摸球试验中，袋中共有红球白球个，在次摸球实验中，有次摸到红球，则2摸到红球的概率是________．14.在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为、、、，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球标号都是的概率为________．15.学校组织团员同学参加实践活动，共安排辆车，小王和小李随机上了一辆车，结果他们同车的概率是________．16.在一个不透明的布袋中装有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝球共个，墨墨通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在和，则口袋中可能有黄球________个．17.某商场为了促销，凡购买元商品的顾客获抽奖券一张．抽奖活动设置了如下的电翻奖牌，一张抽奖券只能有一次机会在个数字中选中一个翻牌，其对应的反面就是奖品（重新启动会自动随机交换位置），有两张抽奖券翻奖牌，两张抽奖券是“谢谢参与”的概率是________．翻奖牌正面翻奖牌反面一个18.在研究抛掷分别标有，，，，，的质地均匀的正六面体骰子时，提出了一个问题：连续抛掷三次骰子，正面朝上的点数是三个连续整数的概率有多大假设下表是几位同学抛掷骰子的实验数据．请你根据这些数据估计上面问题的答案大约是________．（之间的任意一个数值答案有多个）19.某校食堂有、两层，学生可以任意选择楼层就餐，则甲乙丙三名学生中至少有两人在同一楼层就餐的概率是________．20.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.一个不透明的布袋里装有个完全相同的小球，每个球上面分别标有数字、、，小明先从布袋中随机抽取一个小球，然后放回搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，求第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．22.一个口袋中有除颜色外其余均相同的个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的情况下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出个球，求出其中白球数与的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，得到的白球数与的比值分别为：，，，，．根据上述数据，求口袋中黑球的个数．23.为了估计某鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞出若干条，分别数出标有记号的条数．进行重复试验，试验数据如下表：根据表中的数据，频率的值稳定在哪个常数附近？（结果用小数表示，精确到）请你估算出这个鱼塘中鱼数有多少条？24.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有个分别标有数字、、的小球，乙口袋中装有分别标有数字、的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．请用列表或树状图的方法（只选其4中一种）求出两个数字之和能被整除的概率．25.在一个不透明的盒子里有红球、白球、黑球各一个，它们除了颜色外其余都相同．小明从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色．请用列表法或画树状图（树形图）法求小明两次摸出的球颜色不同的概率．26.对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查，分别抽取件、件、件、件、数求该厂产品的合格率．答案1.B2.D3.C4.D5.A6.D7.D8.B9.D10.B11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.解：树状图如下：所有可能出现的结果共有种，其中满足条件的结果有种∴（所得的两数的绝对值相等）．或列表格如下：所有可能出现的结果共有种，其中满足条件的结果有种，∴（所得的两数的绝对值相等），．22.解：∵，∴口袋中球的总数为：，∴口袋中共有黑球：个．故口袋中黑球一共个．23.解：的值稳定在附近．（条），∴估计这个鱼塘中有条鱼．24.解：画树状图为：共有种等可能的结果数，其中两个数字之和能被整除的结果数为，所以两个数字之和能被整除的概率．25.解：画树状图得：∵共有种等可能的结果，小明两次摸出的球颜色不同的有种情况，6∴小明两次摸出的球颜色不同的概率为：．26.解：从上表的数据可看到，当抽取件数（即重复试验次数）越大，“一件产品合格”事件发生的频率就越接近常数，所以“一件产品合格”的概率约为，我们通常说该厂产品的合格率为．。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题11 概率(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题11 概率（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·安徽·高三竞赛）从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=_________. 【答案】115【解析】【详解】123x x x <<的样本方差()3221113i i s x x ==-≤∑，当且仅当1x 、2x 、3x 是连续的正整数.故()231081115P s C ≤==.故答案为1152．（2018·广东·高三竞赛）袋中装有m 个红球和n 个白球，m ＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组（m ，n ）的个数为_______. 【答案】3 【解析】【详解】记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红一白两个球”为事件C ，则()22m m n C P A C +=，()22n m n C P B C +=，()112m nm nC C P C C +⋅=. 依题意得()()()P A P B P C +=，即2211m n m n C C C C +=.所以()2m n m n +=-，从而m n +为完全平方数.又由4m n >≥及40m n +≤，得940m n ≤+≤. 所以9,3,m n m n +=⎧⎨-=⎩或16,4,m n m n +=⎧⎨-=⎩或25,5,m n m n +=⎧⎨-=⎩或36,6,m n m n +=⎧⎨-=⎩. 解之得（m ，n ）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）. 故符合题意的数组（m ，n ）有3个.故答案为33．（2018·广东·高三竞赛）已知点A （1，1），B （1,02），C （3,02）经过点A 、B 的直线和经过点A 、C 的直线与直线()01y a a =<<所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域(){},02,01x y x y <<<<中任意一点进入区域G 的可能性为116，则a=__________. 【答案】12 【解析】【详解】直线AB 方程为21y x =-，直线AC 方程为23y x =-+，直线y a =与它们的交点为D （1,2a a -），E （3,2a a -）.G 的面积等于三角形ADE 的面积()212a -，因此()211416a -=，解之得12a =. 故答案为124．（2019·全国·高三竞赛）已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束那么，需要进行的游戏局数的数学期望为_______. 【答案】185. 【解析】【详解】设所求的数学期望为E ξ.注意到，两局就结束的概率等于22215339⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若两局没有结束，则必定恰赢了一局，回到初始状态，此时的数学期望为2E ξ+，从而， ()541822995E E E ξξξ⨯++=⇒=. 故答案为1855．（2019·全国·高三竞赛）两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5min 分钟，如果没有见到对方则自己先行.设两人到达B 地的时间是随机的、独立的、等可能的.那么，两人能够在当天一同去A 地的概率是______. 【答案】23144【解析】【详解】设两人到达A 地的时间分别是7点过m 分和7点过n 分（0m ≤、60n ≤）.用数对(),m n 表示两人分别到达A 地的时间.则在直角坐标系中，点(),m n 的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600.显然，两人能够在当天一同去A 地等价于5m n -≤.此时，相应点的存在域是正方形中位于两直线5m n -=±之间的部分区域（如图），其面积为2360055575-=. 故所求概率为575233600144=. 故答案为231446．（2019·全国·高三竞赛）在面积为1的正方形ABCD 中任取一点P ，则PAB △、PBC 、PCD 、PDA 的面积均大于16的概率是____．【答案】19【解析】【详解】如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系.设(),p x y ，01x <<，01y <<. 由题设知x ，y 必满足()()112611261112611126x y x y ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪->⎪⎪⎪->⎩，即12331233x y ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩. 因此，满足题设条件的点p 必在直线13x =，23x =和13y =，23y =所围成的正方形区域内.所以所求概率为2211319⎛⎫⎪⎝⎭=. 故答案为197．（2019·全国·高三竞赛）圆周上有10个等分点.则以这10个等分点中的4个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的个数比为______. 【答案】27【解析】【详解】任选4点，共有410210C =个凸四边形，其中，梯形的两条平行边既可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个.所以，梯形所占的个数比为27. 故答案为278．（2019·全国·高三竞赛）记{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8A B ==．现抛掷硬币从A 、B 中无放回地取出数字组成九位数，规则是：若硬币出现正面时，就从集合A 中取出一个最小的数；若硬币出现反面时，就从集合B 中取出一个最小的数．当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时，另一集合剩下的数字就按从小到大的顺序添在后面按此规则，取出的数字恰好为123456789的概率为________．【答案】1256【解析】【详解】由规则知，抛掷硬币的正反面序列为：正反正反正反正反．所以，取出的数字恰好为123456789的概率为8112256⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为12569．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=__________．【答案】65【解析】【分析】【详解】易知ξ的取值为1,2,3，且：327741013233765C C E C ξ⨯⨯+⨯⨯+⨯==．故答案为：65.10．（2018·全国·高三竞赛）甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人．一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为______．【答案】19【解析】【详解】 433139P ⨯== 11．（2018·全国·高三竞赛）袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回1只白球．则第四次恰取完所有红球的概率为______．【答案】0.0434 【解析】【详解】第四次恰取完所有红球的概率为2229182918210.043410101010101010101010⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12．（2019·全国·高三竞赛）从{}1,2,,100中任取5个数（可以相同）．则取到合数的个数的数学期望是______．【答案】3710【解析】【详解】{}1,2,,100中合数共有74个，设ξ为取到合数的个数．则()()557426i 05100100iiP C i ξ-⎛⎫⎛⎫==≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故ξ服从二项分布．因此，7437510010E ξ=⨯=．故答案为371013．（2018·全国·高三竞赛）甲有一个箱子，里面有红球和白球共4个；乙有一个箱子，里面有2个红球、1个白球、1个黄球.现在，甲从他的箱子中任取2个球，乙从他的箱子中任取1个球，如果取出的3个球颜色全不同，则甲获胜.为了保证甲获胜的概率最大，则甲的箱子中的红球个数为____. 【答案】2 【解析】【详解】设甲的箱子中有()1n n ≥个红球，则白球有4n -个.故甲获胜的概率为()114214414.24n n C C P n n C C -==-422n n +-≤=，即()44n n -≤，当且仅当2n =时，上式等号成立，P 最大.14．（2019·全国·高三竞赛）两人作一种游戏:连续旋转一枚硬币若干次,当正(或反)面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时,如果正面向上的次数累计达到5次,则A 胜;否则B 胜.那么,旋转不足9次就决出胜负的概率为______.【答案】93128【解析】【详解】考察旋转9次才结束游戏的情形.此时,前8次旋转中正面向上和反面向上各有4次,其概率为488C 352128=,于是,旋转不足9次就结束游戏的概率为35931128128-=. 故答案为9312815．（2019·全国·高三竞赛）设1210,,,a a a 是2000,2001,,2009的一个排列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．则排列1210,,,a a a 满足“()110i S i ≤≤都不是3的倍数”的概率为______.【答案】150【解析】【详解】设2000,2001,,2009的一个排列为一个基本事件M .则基本事件总数为1010N A =.下面计算所求事件M 含的基本事件数．（1）首项不能是3的倍数，除首项以外各项均可是3的倍数，从而，3的倍数有39A 种排法；（2）去掉3的倍数后，考虑模3余2、余1的数的位置（用i a 模3的余数代替i a ）：当11a =时，21a =，32a =，41a =，……此时，含1的项比含2的项多，这与已知矛盾；当12a =时，22a =，31a =，……此时，满足题设要求．综上，模3余2、余l 的数的位置唯一确定，它们的各自排法分别有44A 和33A 种．因此，事件M 含基本事件数为343943m A A A =.故所求概率150m P N ==．故答案为15016．（2019·全国·高三竞赛）一副扑克牌除去大、小王共52张.洗好后，四个人顺次每人抓13张.则两个红A （即红桃A 、方块A ）在同一个人手中的概率为________. 【答案】417【解析】【详解】注意到，牌洗好后每个人的牌就定下来了，即已将52张牌排在了52个位置上. 记四组牌号为：1，5，9，13，⋯，49；2，6，10，14，⋯，50； 3，7，11，15，⋯，51；4，8，12，16，⋯，52．则红桃A 、方块A 在同一组中的排列数为25013504M A A =.从而，所求概率为452!17M P ==. 故答案为41717．（2018·湖北·高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______. 【答案】772【解析】【详解】设1234a a a a 、、、分别是四次投掷骰子得到的点数，那么()1234,,,a a a a 共有46种不同的情况. 如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则 1234a a a a ≤≤≤.若1234a a a a 、、、的值都相等，则()1234,,,a a a a 有16C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取两个不同的值，则()1234,,,a a a a 有263C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取3个不同的值，则()1234,,,a a a a 有363C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取4个不同的值，则()1234,,,a a a a 有46C 种不同的情况.因此，满足1234a a a a ≤≤≤的情况共有1234666633126C C C C +++=（种）.故所求的概率为41267672=. 18．（2019·上海·高三竞赛）某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________.【答案】311【解析】【详解】由题意可知，所有的分组方法34129C C N =，满足题意的分组方法23973!C C n =，则满足题意的概率值：2397341293!C C 3C C 11P ==.故答案为：311． 19．（2019·贵州·高三竞赛）已知m ∈{11，13，15，17，19}，n ∈{2000，2001，…，2019}，则mn 的个位数是1的概率为____________ . 【答案】25【解析】【详解】当m =11，n ∈{2000，2001，…，2019}时，mn 的个位数都是1，此时有20种选法；当m =13，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法；当m =15时，mn 的个位数不可能为1，此时有0种选法；当m =17，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法；当m =19，n ∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m 的个位数都是1，此时有10种选法. 综上，所求概率为205051025205++++=⨯.故答案为：25．20．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______. 【答案】319512【解析】【分析】【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率，即5101011101051319222512i i p CC ===+=∑.故答案为：319512. 21．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________．【答案】23108【解析】【分析】【详解】有两次为5的概率为213531166216C C +=，有两次为6和4的概率为211134323306216A C C C +=，所以概率为163023216216108+=. 故答案为：23108. 22．（2018·福建·高三竞赛）从如图所示的，由9个单位小方格组成的，33⨯方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．【答案】514【解析】【详解】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成224436C C ⨯=个不同的矩形．又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．因此，可得436144⨯=个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．再算直角顶点不在矩形顶点：（1）在12⨯的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为()2,2,2的直角三角形两个．而12⨯矩形横向、纵向各有6个，故共有21224⨯=个．（2）在23⨯的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为5,5,10的直角三角形4个，边长分别为(2,22,10的直角三角形4个．而23⨯矩形横向、纵向各有两个，故共有()44432+⨯=个．所以，所求的概率31614424322005401414P C ++===⨯． 23．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}1,2,,2014中随机地、不放回地取出三个数123a a a 、、，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数123b b b 、、.则将123a a a ⨯⨯为长、宽、高的砖能放进以123b b b ⨯⨯为长、宽、高的盒子中的概率为__________．【答案】14【解析】【详解】不妨设123a a a <<，123b b b <<，当且仅当11a b <，22a b <，33a b <时砖可放入盒中. 设126c c c <<<是从{}1,2,,2014中选出的六个数，再从中选出三个，有36C =20种方法.这三个作为123a a a 、、，剩下三个作为123b b b 、、，符合要求的1a 只能为1c . 2a 若为2c ，则3a 可为3c 或4c 或5c ；2a 若为3c ，则3a 可为4c 或5c .故符合要求的取法为5种，概率51204p ==. 24．（2018·全国·高三竞赛）小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第-次出现6点为止．则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为________．【答案】833【解析】【详解】设小明、小红投掷次数分别为ξη、.则所求为()()()1,11,]i P i P i i P i i ξηξηξη+∞===+==++=+=∑.由独立性,知所求概率为()()()()()()111)i P i P i P i P i P i P i ξηξηξη+∞=⎡⎤==+==++=+=⎣⎦∑=111151515151266666666i i i ii ---+∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑=833.25．（2018·全国·高三竞赛）设n 为正整数.从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为方程236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解的概率为_______（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. 【答案】10072015【解析】【详解】当()6n k k Z +=∈时，6322n k k ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，66233636n n k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.满足题中方程的n 为6，12，…，2010，共335个；当()65n k k Z +=-∈时，653322n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6565221333636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 为1，7，13，…，2011，共336个；当()64n k k Z +=-∈时，643222n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6464221333636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在；当()63n k k Z +=-∈时，633222n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6363211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 为3，9，15，…，2013，共336个；当()62n k k Z +=-∈时，623122n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，6262211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在；当()61n k k Z +=-∈时，613122n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6161211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在. 因此，从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为题中方程的解的概率为335336336100720152015++=. 26．（2018·全国·高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为m 、n 、p .则函数322132n y mx x px =--+在[)1,+∞上为增函数的概率为______. 【答案】1124【解析】【详解】注意到，()322132n f x mx x px =--+ 在[)1,+∞上为增函数等价于()220f x mx nx p =-->'在[)1,+∞上恒成立，等价于()10f '>，即2m n p >+.当2m =时，3n p +≤，有3种；当3m =时，5n p +≤，有10种；当4m =时，7n p +≤，有21种；当5m =时，9n p +≤，有30种；当6m =时，11n p +≤，有35种. 故所求概率为331021303511624++++=.27．（2019·全国·高三竞赛）将编号为1，2，…，9的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为T 则T 取得最小值的放法的概率为______. 【答案】1315【解析】【详解】由题设，知珍珠的固定方法共有9!47!92=⨯⨯（种）. 在项链所在的圆周上，从1~9有优弧和劣弧两条路径，设12,,,k x x x ⋅⋅⋅是依次排列在这段弧上的珍珠号码.则()()()11211219198k k T x x x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-≥-+-+⋅⋅⋅+-=，当且仅当1219k x x x <<<⋅⋅⋅<<时，等号成立.因此，T 取得最小值的放法共有0123677772C C C C +++=（种）.故所求概率为62147!315=⨯. 28．（2018·全国·高三竞赛）小张、小李、小华、小明四人玩轮流投掷一枚标准色子的游戏.若有一人投到的数最小，且无人与他并列，则判他获胜；若投出最小数的人多于一个，则将没投出最小数的人先淘汰，再让剩下的人重新做一轮游戏，这样不断地进行下去，直到某个人胜出为止.已知第一个投掷色子的小张投到了数3.则他获胜的概率是______. 【答案】175864【解析】【详解】考虑第一轮次中可能出现的四种情形. （1）小张获胜.这种概率是313168P ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）小张与另外某一人打成平局.这种概率是213131668C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是21118216P =⨯=（注意该游戏永不停止地进行下去的概率是0，下同）.（3）小张与另外某两个人打成平局，这种概率是2231316624C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是311124372P =⨯=. （4）所有人均打成平局．这种概率是3116216⎛⎫= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是41112164864P =⨯=. 综上，小张在游戏中获胜的概率为1234111117581672864864P P P P P =+++=+++=. 29．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}1,2,,2011⋅⋅⋅中任意选取两个不同的数a 、b ，使得a b n +=（n 为某正整数）的概率为12011．则ab 的最小值为______．【答案】2010．【解析】【详解】记使得a b n +=的方法有k 种．则22011110052011k k C=⇒=．考虑ab 尽量小，且使a b n +=的方法有1005种．取2011n =．则120102************+=+=⋅⋅⋅=+．此时，2011a b +=的选法恰有1005种．于是，ab 的最小值为120102010⨯=．30．（2018·全国·高三竞赛）A B 、两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各三名队员,每名队员出场一次. A B 、两队的三名队员分别是1A 、23A A 、,123B B B 、、,且i A 对j B 的胜率为()13ii j i j ≤≤+、.则A 队得分期望的最大可能值是______. 【答案】9160【解析】【详解】设123A A A ，，胜率为123,,,p p p A 则队得分期望为123p p p ++，计算123123123123123123246255336354446435++++++++++++，，，，，，可知,当132132:,:,:A B A B A B 时,期望最大为9160. 31．（2018·全国·高三竞赛）将1~6这16个正整数随机地填入44⨯棋盘的16个格子中（每格填写一数），则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为______．【答案】412145【解析】【详解】首先，将44⨯棋盘染黑白两色，使黑、白两种格子各有8个，且每行（或列）中同色的格子有偶数个．分三种情况讨论：（1）若第一列为两黑两自，则该列有24C 种染法．考虑后三列每行黑格的个数，则有12323223334+⨯⨯+⨯⨯+⨯=种染法．（2）若第一列为四黑，则后三列共有2234321C C +=种染法．（3）若第一列为四白，则后三列共有21种染法．对于以上每种染法，将1~16中的偶数填入黑格中，奇数填入白格中，得到满足条件的填法．故所求概率为()()26342128!4116!2145⨯+⨯⨯=．32．（2019·全国·高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶100m ，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退50m 进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退50m ，直到命中为止，已知他第一次的命中率为14，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________. 【答案】12 【解析】【详解】记事件“第n 次射击命中”为n A ，其概率为()n P A .则()114P A =. 又第n 次射击时距离靶()()()100501501n n m +-=-，则()()()2122111n P A P A n n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭+.于是，前n 次内命中的概率为()()()()121211n n n P P A A A P A P A P A =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅()21111324211111492233111n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()1212121n nn n +=-⋅=++.令n →∞，得1lim 2n n P →∞=. 因此，此人能够命中的概率是12.故答案为1233．（2019·全国·高三竞赛）如图，给定由()12n n +个点组成的正三角形点阵．在其中任意取三个点，以这三点为顶点构成的正三角形的概率为__________．【答案】224n n +-【解析】【详解】设正三角形点阵的凸包为正ABC ∆，边长为1n -.首先，计算正△DEF 的个数，其中，D 、E 、F 为上述正三角形点阵内的点. 如图，将AB 、AC 分别延长到点,B C ''，使得''1BB CC ==.将BB '分成n 等份.对正三角形点阵内任一点X ，过X 作AB 、AC 的平行线与B C ''的交点，并分别记为b c X X 、. 下面分两种情形.1.正△DEF 与正△ABC 的对应边平行，则正△DEF 与边B C ''上有序三点组()b ,,c c E F F 一一对应，有3n+1C 个正三角形.2.正△D E F '''不与正△ABC 对应边平行，作正△D E F '''的外接正△DEF ，使得正△DEF 与正△ABC 的对应边平行，则正△D E F '''与边B’C’上有序四点组()b b ,',',c c E D D F 一一对应，有41n C +个正三角形.综上，共有344n+112n n C C C +++=个正三角形.从而，所求概率为()42321224n n n C C n n ++=+-. 故答案为224n n +-34．（2019·全国·高三竞赛）有7名运动员分别获得某项比赛的一、二、三等奖，已知一等奖的人数不少于1人，二等奖的人数不少于2人，三等奖的人数不少于3人.则恰有2人获一等奖的概率为______. 【答案】613【解析】【详解】按一、二、三等奖的顺序，获奖人数有三种情况：()1,2,4，()1,3,3，()2,2,3.当()1,2,4时，发奖方式有12476465711052C C C ⨯=⨯⨯=（种）；当()1,3,3时，发奖方式有1337636547114032C C C ⨯⨯=⨯⨯=⨯（种）；当()2,2,3时，发奖方式有322742765431210322C C C ⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯（种）. 故恰有2人获一等奖的概率为 210621014010513=++.35．（2019·全国·高三竞赛）某校进行投篮比赛，共有64人参加.已知每名参赛者每次投篮的命中率为34.规定：只有连续命中两次才能被录取，一旦录取就停止投篮，否则一直投满4次.设ξ表示录取人数.则E ξ______. 【答案】54 【解析】【详解】每位参赛者被录取的概率为33133113313321644444444434444256p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故录取人数ξ服从二项分布，即216~64,256B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以，2166454256E ξ=⨯=. 故答案为5436．（2019·全国·高三竞赛）数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒（如10:03:18）.在同一天的05:00:00~23:00:00（按小时计算）之间，钟面上的六个数字都不相同的概率是______. 【答案】61540【解析】【详解】为了满足题中的条件，设钟面显示应为()1212121112::6,6,h h m m s s m s h h <<≠. 当16h <，26h <时，1m 和1s 应在小于7中的另外四个数中选择.因而，1m 有四种选择方式，1s 有三种选择方式.由于已选择了四个数字，2m 和2s 就只能从剩余的六个数字中选择，它们分别有六种、五种的选择方式.在05:00:00—23:00:00之间，这种情形共有时间总数是743652520⨯⨯⨯⨯=.当1h 、2h 中只有一个小于6时，类似可求在05:00:00~23:00:00之间，这种情形共有时间总数是854654800⨯⨯⨯⨯=.因此，钟面上的六个数字都不相同的次数是250048007320+=，概率为732061183600540=⨯.37．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有12的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______．【答案】3516【解析】【分析】【详解】由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为X ,则X 可能取值为1,2,3,4, 比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场,63615(1)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场,63515(2)2216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场,53411(3)224P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,比四局,胜方连胜四局,411(4)228P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以551135()123416164816E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：3516. 38．（2019·四川·高三竞赛）设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为_____ . 【答案】12 【解析】【详解】设所求数学期望为E ，第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数ξ的数学期望为E (a )、E (b )、E (c ).则E (b )=E (c ).因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的，所以()2()3E a E b E +=，①先考虑第一次取出的球是红色的，若第二次取出的球是红色的，则操作结束；若不然，第一个为红球，第二个球的颜色为黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法(即第一个球的颜色是黄或蓝)，则12()2(1())33E a E b =⨯++②再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法，则()1E b E =+③ 由①、②、③，解得E =12. 故答案为：12．39．（2019·广西·高三竞赛）从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________ . 【答案】338【解析】【详解】设取出的3个不同的数分别为a 、b 、c .不同的取法共有320C 种，若这3个数构成等差数列，则有a +c =2b .故、c 同为奇数或同为偶数，且a 与c 确定后，b 随之而定.从而所求概率为221010320338C C P C +==. 故答案为：338．二、解答题(共0分)40．（2018·黑龙江·高三竞赛）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征如《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示.（1）求图中x 的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.06x =（2）分布列见解析，期望为1.8 【解析】【详解】（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，解得0.06x =.（2）.用分层抽样的方法，从100志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6铭，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0，1，2，3.()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===.故X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1303101216所以()13110123 1.8301026E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.41．（2018·湖南·高三竞赛）棋盘上标有第0，1，2，⋅⋅⋅，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）是，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P . （1）求3P 的值；（2）证明：111()(299)2n n n n P P P P n ++-=--≤≤；（3）求99100P P 、的值.【答案】（1）58（2）111()(2n 99)2n n n n P P P P +--=-≤≤（3）1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【解析】【详解】（1）棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在18；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为14；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为14，因此3P =58.（2）易知棋子先跳到第2n -站，再掷出反面，其概率为212n P -；棋子先跳到第1n -站，再掷出正面，其概率为112n P -，因此有()1212n n n P P P --=+，即()11212n n n n P P P P ----=-+，也即()()1112992n n n n P P P P n +--=-≤≤. （3）由（2）知数列{}()11n n P P n --≥是首项为{}()11n n P P n --≥ 1011122P P -=-=-，公比为12-的等比数列.因此有()()11101122nn n n n P P P P ---⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.由此得到 999899100111211122232P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 42．（2018·全国·高三竞赛）已知数列{}n a 满足10a =，并且对任意的1,11n n n n Z a a a 取或++∈-+的概率均为12．（1）设21n a +的值为随机变量X ，试求X 的概率分布；（2）求X 的绝对值的数学期望E|X|．【答案】（1）见解析；（2）2212n n n nC -．【解析】【详解】（1）设1n n n d a a +=-.则对任意正整数,n n d 取1或-1的概率均为12，且()22211111n nn i i i i i a a a a d ++===+-=∑∑.设21n a k +=.显然，2k n ≤，并设此时122,,,n d d d ⋅⋅⋅中有x 个1,2n-x 个-1.则X-(2n-x)=k. 因此，k=2(x-n)只能取[-2n,2n]之间的偶数值.对于偶数2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相当于在2n 个数122,,,n d d d ⋅⋅⋅中，有n+m 个取1，n-m 个取-1，因此，X 的概率分布可表示为()()2220,1,,2n mn n C P X m m n +=-==±⋅⋅⋅±（2）对任意1≤i≤n ，易知P(X=-2m)=P(X=2m).从而，()()22121,2,,2n m nn C P X m m n +-===⋅⋅⋅.2222211112?22n m nn n m nn n n m m C E X m mC ++--====∑∑()2222112nn mn mnn n m n m CnC ++-=⎡⎤=+-⎣⎦∑()1212221122nn m n mn nn m nCnC +-+--==-∑ 12122211122n nn m n m n n n m m n C n C +-+--==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑ ()212222*********.2222n n n n n n n n nC n C n ---⎡⎤=⨯⨯--=⎢⎥⎣⎦ 43．（2018·全国·高三竞赛）掷骰子（为均匀的正方体，六个面分别标有1、2、3、4、5、6）游戏规则如下：第一次掷9枚骰子，将其中显示为1的骰子拿出放到一边；第二次掷剩下的骰子，再将显示为1的骰子拿出；……，直到未掷出显示为1的骰子或骰子全部拿出，游戏结束.已知恰好掷9次结束游戏的概率为u v uab c d（a、b 、c 、d 为不同的质数，u v N +∈、）.求uv bcd +. 【答案】2012 【解析】【详解】由游戏规则，知若恰好掷9次结束游戏，则前八次中每次恰好有1枚骰子显示为1，第九次无论显示是否为1，游戏均结束，其中，第()1,2,,8k k =⋅⋅⋅次掷10k -枚骰子，恰有1枚显示为1的概率为191010156k k k C ---⨯⨯. 则191891010125566k u k k v u kk k k C ab k c d ----==⨯⨯==∏∏ 363737444040379!5565756632⨯⨯⨯===⨯ 7a ⇒=，5b =，3c =，2d =，37u =，40v =.故37405322012uv bcd +=⨯+=.44．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}()1,2,,,2S n n N n +=⋅⋅⋅∈≥的子集中先后取出两个不同的子集P 、Q ，求以下事件发生的概率：（1）PQ ，且Q P ；（2）Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤- 【答案】（1）()1321221n n n n ----；（2）()3221kn n- 【解析】【详解】由集合S 共有2n 个子集，知有序子集对(),P Q 的取法共有()22221n nn A =-种.（1）考虑“P Q ，且Q P ”的对立事件：“P ⊂≠ Q 或Q ⊂≠ P ”.若P ⊂≠ Q ，记Card ()()1Q i i n =≤≤..则Q 有in C 种取法.而P 是Q 的真子集，于是，P 有21i -种取法.从而，满足P ⊂≠ Q 的子集对(),P Q 的取法总数为()121232nn niiiiin n n nn i i i C C C ===-=-=-∑∑∑.由对称性，Q ⊂≠ P 的取法也有32n n -种.因此，P Q ，且Q P 的概率为()()()12323211221221n n nnnnn n----=---. （2）集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅中含有n 的子集的个数为12n -个.于是，事件Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤-等价于在n k -元集合S S '=\()P Q ⋂中先后选取两个子集P '、Q '，使得P Q '⋂'=∅.设Card ()()0P i i k ='≤≤.则P '有ik C 种取法.于是，,s Q C P '⊆'.从而，Q '有2k i -种取法.此时，子集对(),P Q ''共有12k ik C -种选法.故满足P Q '⋂'=∅的子集对(),P Q ''有023kk i i kk i C -==∑（个）.因此，Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤-的概率为()3221kn n-. 45．（2019·全国·高三竞赛）甲乙两人参加竞选，结果是甲得n 票，乙得m 票()n m >. 试求：唱票中甲累计的票数始终超过乙累计的票数的概率. 【答案】n mn m-+ 【解析】【详解】若唱甲当选，则记为1；若唱乙当选，则记为1-. 每一种唱票方式都对应一个由n 个1和m 个1-组成的排列. 用k S 表示谴责k 项的和，在直角坐标系中标出点(),k k S ，并将点(),k k S 与点()11,k k S ++用线段联结()00,1,2,,,0k m n S 其中=⋅⋅⋅+=. 这样，每一种唱票方式都对应一条联结()0,0O 与(),A m n n m +-的折线. 而甲累计的票数始终领先等价于所有的点(),k k S 都在x 轴的上方，即折线与x 轴无交点（我们称为“好折线”，反之为“坏折线”）.显然，联结O 、A 的“自由”（无限定条件）折线有C nm n +条，这是因为在m n +段中选择n 段为上升有C nm n +种方法.对每一条坏折线，有如下两种情形：一是经过点()1,1S -，二是经过点()1,1T . 对于第一种情形，坏折线是由S 到A 的自由折线，从而，这样的折线有1C nn m +-条.对于第二种情形，注意到过()1,1T 的坏折线必与x 轴相交，设其横坐标最小的交点为P . 将此折线位于P 左边的部分作关于x 轴的对称折线，便得到过点()1,1S -的坏折线，于是，坏折线的条数也有1C nn m +-条. 所以，合乎条件的好折线的条数为11111C 2C C C 1C n n n nm n m n m n m n m n m m n -++-+-+-+-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.综上所述，所求的概率为()11C C 1C C m mn m n m n nn m n mn m m n mn n n m +-+-++--⎛⎫-⋅== ⎪+⎝⎭. 46．（2019·全国·高三竞赛）如图，正六边形ABCDEF 的中心为O ，对A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量ξ.试求ξ的概率分布列及其数学期望E ξ.【答案】见解析【解析】【详解】所作出的向量数为2721C =，则可取221210C =对向量.设所取向量分别为a 、b .由于···cos ,a b a b a b ξ==，因此，可不考虑向量的方向.不妨令所取两向量的夹角均为它们所在直线的夹角（取值范围为[]0,90︒︒），则任意两向量之间的夹角均属于集合{}0,30,60,90︒︒︒︒，每个向量的模值属于集合{}3,2，其中，模为1的个数为1236，模为2的个数为3.若2a b ==，则它们之间的夹角必为60︒，·2a b =，其概率为1321221070⨯⨯=. 若3a b =0︒或60︒.当夹角为0︒时，·3a b =，其概率为1611221070⨯⨯=；当夹角为60︒时，3·2a b =，其概率为1462221035⨯⨯=. 若1a b ==，则它们之间的夹角可能为0︒或60︒.易知其概率分别为。

必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：

高中数学必修3 第三章概率知识点总结及强化训练一、知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

2023-2024学年四川省眉山市高中数学人教A版必修二第十章概率强化训练-2-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年四川省眉山市高中数学人教A 版必修二第十章概率强化训练(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知他们答对的概率分别为，，则恰有一人答对的概率为（）A. B. C. D.至多两件次品至多一件次品至多两件正品至少两件正品2. 抽查10件产品，设事件 “至少有两件次品”，则的对立事件为（）A. B. C. D. 甲48枚，乙48枚甲64枚，乙32枚甲72枚，乙24枚甲80枚，乙16枚3. 概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是A. B. C. D. 4.甲､乙､丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A.B.C.D.B 与C 互斥A 与C 互斥任何两个均互斥任何两个均不互斥5. 从一批产品中取出三件产品，设A 为“三件产品全不是次品”，B 为“三件产品全是次品”，C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.6. 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是（）A. B. C. D.400200100807. 某5个同学进行投篮比赛，已知每个同学投篮命中率为，每个同学投篮2次，且投篮之间和同学之间都没有影响.现规定：投中两个得100分，投中一个得50分，一个未中得0分，记为5个同学的得分总和，则的数学期望为（）A. B. C. D. 事件A 、B 同时发生事件A 、B 至少有一个发生事件A 、B 都不发生事件A 、B 至多有一个发生8. 已知、分别表示随机事件A 、B 发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（）A. B. C. D. 9. 甲、乙两人独立地破译一份密码，密码被成功破译的概率为，已知甲单独破译密码的概率为，则乙单独破译密码的概率为（）A.B.C.D.10. 从4名男生和2名女生中任选3人参加一项“智力大比拼”活动，则所选的3人中女生人数不超过1人的概率是（）A.B.C.D.11. 在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件“第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件“第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（）A. B. C. D.抽得3件正品抽得至少有1件正品抽得至少有1件次品抽得3件正品或2件次品1件正品12. 12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（）A. B. C. D. 13. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为 .14. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）.15. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为．16. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，乙以获胜的概率为 .17. 我市某校为了解高一新生对文理科的选择，对1000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科.分别从选择理科和文科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：分数段理科人数文科人数(1) 利用统计表数据分析：；并绘制选择成绩的频率分布直方图；(2) 从数学成绩不低于70分的选择理科和文科的学生中一名学生的数学成绩，求选取理科学生的数学成绩至少高于选取文科学生的数学成绩一个分数段的概率.选择文理科学生的数学平均分及数学成绩对学生选择文理科的影响理科的学生的数学各取18. 已知甲箱的产品中有件正品和件次品，乙箱的产品中有件正品和件次品.(1) 若从甲箱中取出件产品，求在件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率；(2) 若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出件产品，求取到一件正品的概率.19. 学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，射击B 靶如果连续命中两次则得5分.甲同学准备参赛，经过一定的训练甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是；向B 靶射击，命中的概率为 .假设甲同学每次射击结果相互独立.(1) 求甲同学恰好命中一次的概率；(2) 求甲同学获得的总分X的分布列及数学期望.20. 某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A､B､C三道工序，三道工序相互独立.工序A的加工成本为70元/件，合格率为，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/件，合格率为，合格品进入工序C：工序C的加工成本为30元/件，合格率为 .每道工序后产生的不合格品均为废品.(1) 求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；(2) 已知坯件加工成本为A､B､C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望.21. 甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.(1) 求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率；(2) 求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页共 11 页。

2020-2021学年数学第一册专题强化训练3指数运算与指数函数含解析

2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册专题强化训练3指数运算与指数函数含解析专题强化训练（三)指数运算与指数函数(建议用时:40分钟)一、选择题1．若a〈错误!，则化简错误!的结果是（）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!C［∵a〈错误!，∴2a－1<0，于是，原式＝错误!＝错误!。

］2．若函数f(x)＝错误!·a x是指数函数,则f错误!的值为（) A．2B．－2 C．－2错误!D．2错误!D[∵函数f(x)是指数函数，∴错误!a－3＝1，∴a＝8.∴f（x）＝8x，f错误!＝8错误!＝错误!＝2错误!.]3．函数y＝a x＋1（a＞0且a≠1)的图象必经过点(）A．（0，1) B．（1,0）C．(2，1) D．（0,2）D[因为a0＝1,所以,当x＝0时，y＝1＋1＝2。

]4．已知函数f（x）＝3x－错误!错误!，则f（x)（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数,且在R上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数A [∵函数f (x ）的定义域为R ,f （－x )＝3－x －错误!错误!＝错误!错误!－3x ＝－f (x ），∴函数f （x )是奇函数．∵函数y ＝错误!错误!在R 上是减函数，∴函数y ＝－错误!错误!在R 上是增函数．又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x ）＝3x －错误!错误!在R 上是增函数．故选A 。

]5．函数f （x )＝(错误!)错误!的单调递减区间为( )A ．（－∞，＋∞)B ．［－3,3]C ．（－∞，3］D ．［3，＋∞)D ［令u ＝x 2－6x ＋5＝错误!错误!－4，则u 的单调递增区间为错误!，又y ＝错误!错误!是减函数，所以函数f （x ）＝（错误!）错误!的单调递减区间为［3，＋∞）]二、填空题6．方程3x －1＝19的解为________．－1 ［∵3x －1＝错误!＝3－2,∴x －1＝－2，∴x ＝－1.］7．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为_____________．y ＝13×（1＋1%）x ，x ∈N * ［经过1年后人口数为13×(1＋1％)＝13（1＋1%）；经过2年后人口数为13×（1＋1%)2;…经过x年后人口数为13×（1＋1%）x。

强化训练部编版数学三年级下册统计与概率

第4课时统计与概率1．下面是调查的三年级学生最喜欢的动画片情况。

把这些表格合并成复式统计表。

(1)三年级学生最喜欢( )类动画片的人数最多，最喜欢( )类动画片的人数最少。

(2)男生最喜欢( )类动画片的人数最多，女生最喜欢( )类动画片的人数最多。

(3)三年级学生一共有( )人，其中男生有( )人，女生有( )人。

2．下面是三年级学生购买教学辅导用书的情况。

(1)三年级这两个班购买( )的最多，( )的最少。

(2)三(1)班学生购买的试卷和口算一共有( )本。

(3)三(2)班学生购买的同步练习比试卷多( )本。

3．国学达人比赛。

4．京沪高铁从北京南站到滕州东站一共有10个站点，从北京南站到滕州东站方向需要准备多少种票？第4课时统计与概率1．解析对应题目中给出的数据，把最喜欢这四种类型动画片的男、女生人数填入相应的表格中。

(1)情感搞笑解析把表格中每一列的两个数据相加，分别计算出最喜欢每种类型动画片的总人数，得数最大的所对应的动画片类型就是同学们最喜欢的人数最多的；相反，得数最小的对应的动画片类型就是同学们最喜欢的人数最少的。

(2)科幻情感解析复式统计表中，把男生这一行的4个数据相比较，哪个数据最大，所对应的动画片类型就是男生最喜欢的人数最多的；同样的，把女生这一行的4个数据相比较，哪个数据最大，所对应的动画片类型就是女生最喜欢的人数最多的。

(3)122 72 50解析把复式统计表中男生这一行的4个数据相加，可求出男生有多少人；把女生这一行的4个数据相加，可求出女生有多少人；把男生总数和女生总数相加，就是三年级学生一共有多少人。

2．(1)同步练习口算解析把表格中每一列的两个数据相加，分别计算出这两个班购买各种教学辅导用书的总数，再比较大小，找出购买最多和最少的种类。

(2)29解析从题表中可知，三(1)班购买的试卷有17本，口算有12本，求购买的试卷和口算一共有多少本，把这两个数相加即可。

(3)15解析三(2)班购买的同步练习有35本，试卷有20本，求三(2)班购买的同步练习比试卷多几本，用减法计算。

2023-2024学年云南省昆明市高中数学人教A版必修二第十章概率强化训练-3-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年云南省昆明市高中数学人教A 版必修二第十章概率强化训练(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分） 1. 一个袋子中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个黄色球，3个红色球，从袋中不放回的依次随机摸出2个球，则事件“两次都摸到红色球”的概率为（）A.B. C.D.01232. 设，，是一个随机试验中的三个事件，且，，，给出下列结论：①若与互斥，则；②若与独立，则；③若，，两两独立，则；④若，则，，两两独立．则其中正确结论的个数为（）A. B. C. D. 3. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为 .若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（）A. B. C. D.厦门市明天将有80%的地区降雨厦门市明天将有80%的时间降雨明天出行不带雨具肯定要淋雨明天出行不带雨具淋雨的可能性很大4. 气象台预报“厦门市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是（）A. B. C. D. 5. 从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得的概率是( )A. B. C.D.图1图2图3图46. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A. B. C. D. 7. 已知甲射击命中目标的概率为，乙射击命中日标的概率为，甲、乙是否命中目标相互之间无影响，现在甲、乙两人同时射击目标一次，则目标被击中的概率是（）A. B. C. D.213819208. 某校为了调查高一学生对食堂伙食的满意度，对该校420名男同学和380名女同学，按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为40的样本，则应从男同学中抽取的人数为（）A. B. C. D. 01239. 已知事件A 与事件B 发生的概率分别为、，有下列命题：①若A 为必然事件，则； ②若A 与B 互斥，则；③若A 与B 互斥，则.其中真命题有（）个A. B. C. D. 10. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 .若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（）A. B. C. D.（1）（2）（1）（3）（2）（3）（1）（2）（3）11. 下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（）（1）在大量随机试验中，事件出现的频率与其概率很接近；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；（3）计算频率通常是为了估计概率．A. B. C. D. 互斥互为对立相互独立相等12. 掷两枚质地均匀的骰子，设A ＝“第一枚出现奇数点”，B ＝“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为（）A. B. C. D. 13. 某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12：00～13：00，13：00～14：00，14：00 ～15：00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12：00～15：00时间段内降雨的概率为 .14. 有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为．15. 下列命题中，正确命题的序号为．①已知随机变量服从二项分布，若，，则；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③某厂家声称自己的产品合格率为99%，市场质量管理人员抽取了这个厂家的2件产品进行检验，发现不都合格，由此可知厂家所声称的合格率不可信。

2019中考数学专题强化训练--实际应用型问题(含答案)

2019中考数学专题强化训练--实际应用型问题（含答案）第二部分专题二类型1 购买、销售、分配类问题．某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克．若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？解：设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意，得8x＋18y＝1700，10x＋20y＝1700＋300，解得x＝100，y＝50.答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为元，则购进乙种水果千克，根据题意，得＝10a＋20＝－10a＋2400.∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3，解得a≤90.∵＝－103.4，答：该企业XX年的利润能超过3.4亿元．．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知XX年该市投入基础教育经费5000万元，XX年投入基础教育经费7200万元．求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；如果按中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划XX年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需XX元，则最多可购买电脑多少台？解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意得50002＝7200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.XX年投入基础教育经费为7200×＝8640，设购买电脑台，则购买实物投影仪台，根据题意得3500＋XX≤86400000×5%，解得≤880.答：XX年最多可购买电脑880台．类型4 方案设计问题与最值问题．某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解：根据题意，得y＝90x＋70＝20x＋1470，∴y与x的函数表达式为y＝20x＋1470.∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，∴21－x10.5.又∵y＝20x＋1470，且x取整数，∴当x＝11时，y有最小值为1690，答：使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．．某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．求A型空调和B型空调每台各需多少元；若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？在的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？解：设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，由题意得3x＋2y＝39000，4x－＝6000，解得x＝9000，y＝6000，答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元．设购买A型空调a台，则购买B型空调台，a≥1230－a9000a＋600030－a217000，解得10≤a≤1213，∴a＝10,11,12，共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，方案三：采购A型空调12台，B型空调18台．设总费用为元，＝9000a＋6000＝3000a＋180000，∴当a＝10时，取得最小值，此时＝210000，答：采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．．我市从XX年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．求A，B两种型号电动自行车的进货单价；若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与之间的函数关系式；该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？解：设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x 元、元．由题意得50000x＝60000x＋500，解得x＝2500，检验：当x＝2500时，x≠0，所以x＝2500是分式方程的解，且符合题意，此时x＋500＝3000.答：A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元，3000元．∵购进A型电动自行车辆，∴购进B型电动自行车辆．根据题意得y＝＋＝－200＋15000.根据题意得，2500＋3000≤80000，解得≥20.又∵＜30，∴20≤＜30，由得y＝－200＋15000，∵－200＜0，∴y随的增大而减小，∴当＝20时，y取最大值，最大值为－200×20＋15000＝11000．此时30－＝10.答：当购进A种型号电动自行车20辆，B种型号电动自行车10辆时，能获得最大利润，此时最大利润是11000元．．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求y关于x的函数关系式；该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解：根据题意，y＝400x＋500＝－100x＋50000.∵100－x≤2x，∴x≥1003＝3313.∵y＝－100x＋50000中＝－1000，y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．类型5 图象类问题．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y与行驶路程x之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．求y关于x的函数关系式；已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？解：设该一次函数的解析式为y＝x＋b，将，代入y＝x ＋b中，0＋b＝45，b＝60，解得＝－110，b＝60，∴该一次函数的解析式为y＝－110x＋60.当y＝－110x＋60＝8时，解得x＝520.即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．30－520＝10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．．一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y与销售价x之间的函数关系如图所示．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；求每天的销售利润与销售价x之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：设y与x的函数解析式为y＝x＋b，将，代入，得10＋b＝30，16＋b＝24，解得＝－1，b＝40，所以y与x的函数解析式为y＝－x＋40．根据题意知，＝＝＝－x2＋50x－400＝－2＋225，∵a＝－1163；由y1>y2得，15x＋80>30x，解得x<163.故当租车时间为163小时时，两种选择一样；当租车时间大于163小时时，选择租车公司合算；当租车时间小于163小时时，选择共享汽车合算．。

2023-2024学年上海市杨浦区高中数学人教A版必修二第十章概率强化训练-3-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市杨浦区高中数学人教A 版必修二第十章概率强化训练(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）是J 或Q 或K 比6大比9小既是红心又是草花是红色或黑色1. 从52张扑克牌（没有大小王）中，随机地抽取一张牌，这张牌出现的概率为0的情形是（）A. B. C. D. 2. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（）A. B. C. D.两次都中靶只有一次中靶最多有一次中靶至少有一次中靶3. 一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是（）A. B. C. D. 0.0060.0180.060.0144. 一个工人看管三台机床，在一小时内，这三台机床需要工人照管的概率分别0.9、0.8、0.7，则没有一台机床需要工作照管的概率为（）A. B. C. D. 25%30%40%45%5. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．用设计模拟试验的方法求这三天中恰有一天下雨的概率，利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这样可以体现下雨的概率是40%，因为是三天，所以每三个随机数作为一组，例如，产生了20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，028，556，488，720，123，536，983，则得到三天中恰有一天下雨的概率近似为（）A. B. C. D. 6. 新高考选课“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门.已知甲同学选择物理的概率为，乙同学选择历史的概率为，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名同学至少有1人选择物理的概率为（）A. B. C. D.0.550.60.70.757. 10支步枪中有6支已经校准过，4支未校准，一名射击运动员用校准过的枪射击时，中靶的概率为，用未校准的枪射击时，中靶的概率为，现从10支中任取一支射击，则中靶的概率为（）A. B. C. D.恰好有1件次品和恰好有两件次品至少有1件次品和全是次品至少有1件次品和全是正品至少有1件正品和至少有1件次品8. 从一堆产品（其中正品与次品数均多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（）A. B.C. D.9. 箱中有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第四次取球之后停止的概率为（）A. B. C. D.10. 某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A. B. C. D.0组1组2组3组11. 从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．其中互斥而不对立的事件共有（）A. B. C. D.若事件发生的概率为，则互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的12. 下列叙述错误的是（）.A.B.C.D.阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 已知事件A与互斥，且，，则， .14. 已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④；其中正确的式子是 .（填序号）15. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为.16. 已知甲、乙丙3名射击运动员击中目标的概率分别为，，，且每名运动员是否击中目标互不影响，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少有两枪命中的概率为．17. 某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每环节通过的概率依次为，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．(1) 求乙能参与面试的概率；(2) 记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望．18. 随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1) 求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2) 若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.19. 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1) 求该射手恰好命中一次得的概率；(2) 求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．20. 为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”.为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80% .(1) 根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生36合计100(2) 若用频率估计概率，在随机抽取的100名学生中，从男学生和女学生中各随机抽取1名学生，求这2人中恰有1人不感兴趣的概率；(3) 若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生．现从不感兴趣的男学生中随机选出3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.702 2.0763.841 5.024 6.6357.87910.828，其中 .21. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和 .(1) 求2个人都译出密码的概率；(2) 求2个人都译不出密码的概率；(3) 求至多1个人都译出密码的概率；(4) 求至少1个人都译出密码的概率.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(3)21.(1)(2)(3)(4)。

高中数学-概率专题强化训练(解析版)

高中数学-概率专题强化训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（） A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.82．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（） A ．A BB ．A BC ．A B ⊆D ．A B =3．2020年起，山东省高考实行新方案.新高考规定：语文、数学、英语是必考科日，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为（） A ．相互独立事件 B ．对立事件C ．不是互斥事件D ．互斥事件但不是对立事件4．同时投掷两颗质地均匀且大小相同的骰子，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的样本点个数是（） A ．3 B ．4 C ．5D ．65．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2，不用现金支付的概率为0.45，则既用现金支付也用非现金支付的概率为（） A ．0.35B ．0.65C ．0.25D ．06．下列说法正确的是（）A ．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D ．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是57．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p ，使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（） A ．115B ．215 C ．15D ．4158．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率为710的事件是（） A ．恰有一个红球 B ．两个小球都是白球 C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球9．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（） A ．0.25B ．0.2C ．0.35D ．0.410．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F =“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，①F AB =，①F A B =+，①G A B =+，①G AB AB =+，①()()1P F P E =-，①()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题11．某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为1p ，2p ，则下列判断不正确的是（） A ．1212p p == B ．1213p p ==C ．112p =，213p =D ．113p =，212p =12．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为p 和q ，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（） A ．目标未被命中的概率为1pq -B ．目标恰好被命中一次的概率为p q +C ．目标恰好被命中两次的概率为pqD ．目标被命中的概率为1(1)(1)p q ---13．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（） A ．3件都是正品 B ．至少有1件次品 C ．3件都是次品D ．至少有1件正品14．下列说法错误的有（）A ．随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B ．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生C ．任意事件A 发生的概率()P A 满足()01P A <<D ．若事件A 发生的概率趋近于0，则事件A 是不可能事件15．（多选）某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（） A ．两件都是次品的概率为0.28 B ．至多有一件正品的概率为0.72 C ．恰有一件正品的概率为0.26 D ．至少有一件正品的概率为0.98 三、填空题16．2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.17．若分别以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标，则点M 落在圆229x y +=内的概率为______________.18．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为____.19．在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为25，那么此袋中原有绿球________个.20．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．21．从3名男生和2名女生中随机选出2名志愿者，其中至少有1名男生的概率为______.22．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位，且每个岗位至少1人，则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________.23．某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是_______．24．2021年7月9日，第18届中国（长春）国际汽车博览会正式启幕，某汽车企业以“与进取者同享”为主题，携旗下21款重磅车型震撼亮相，展示出该汽车企业的实力和对未来移动出行时代的前瞻性思考.某模特公司从甲､乙､丙､丁､戊5人中随机抽取3人作为该汽车企业A型车的车模，则甲､乙同时被抽到的概率为___________.25．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；①基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；①某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为na mbm n；①如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交．其中真命题的序号是__________．四、解答题26．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：（1）A=“第一次摸到红球”；（2）B=“第二次摸到红球”；（3）AB=“两次都摸到红球”.27．下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）求此人停留期间空气重度污染恰有1天的概率.28．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：[]0,20，(]20,40，(]40,60，(]60,80，(]80,100，绘成如下频率分布直方图：(1)求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；(2)学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A ，B 两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A ，B 两人至少1人被选中的概率.29．某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲､乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图.（1）写出所有选购方案；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)30．某数学兴趣小组有男生3名，记为1a ，2a ，3a ；有女生2名，记为1b ，2b ．现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛． (1)写出样本空间所包含的样本点； (2)求参赛学生中恰好有1名男生的概率； (3)求参赛学生中至少有1名男生的概率．31．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A 为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B 为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件C 为“恰有一个人猜对”，求事件C 发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D 为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D 发生的概率． 32．抛掷两颗骰子，求：（1）向上点数之和是4的倍数的概率；（2）向上点数之和大于5小于10的概率.33．为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级．(2)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．34．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.35．某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.参考答案：1．B 【解析】【分析】甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式进行求解即可. 【详解】甲不输棋的设为事件A ，甲胜乙设为事件B ，甲乙下成平局设为事件C ，则事件A 是事件B 与事件C 的和，显然B 、C 互斥，所以()()()P A P B P C =+，而()0.8P A =，()0.5P C =，所以()()()0.3P B P A P C =-=，所以甲胜的概率是0.3故选:B 2．B 【解析】根据事件A 和事件B ，计算A B ，A B ，根据结果即可得到符合要求的答案. 【详解】由题意可得：{}1,2A =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B ∴=，{}2A B ⋂=.故选B. 【点睛】本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题. 3．D 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出考生选择的两个考试科目的所有可能情况，然后令这些选择构成的集合为Q ，A =“思想政治、化学”，B =“地理、生物”，最后根据A B Q 且A 和B不能同时发生即可得出结果. 【详解】由题意得，考生选择的两个考试科目可能为“思想政治、化学”、“思想政治、历史”、“思想政治、地理”、“思想政治、生物”、“历史、地理”、“历史、化学”、“历史、生物”、“地理、化学”、“地理、生物”、“化学、生物”，设这些选择构成的集合为Q，令A=“思想政治、化学”，B=“地理、生物”，则A B Q，且A和B不能同时发生，故该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”是互斥事件但不是对立事件，故选：D.【点睛】本题考查互斥事件以及对立事件的相关性质，主要考查互斥事件以及对立事件的判定，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.4．D【解析】【分析】根据题意列出所有情况即可得出.【详解】解析：由题可得“所得点数之和小于5”包含{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}共6个样本点．故选：D.5．A【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式，计算结果.【详解】支付方式中包含3种方法：只用现金支付，不用现金支付，既用现金，也用非现金支付，这三种支付方法，并且是互斥事件，p=--=.所以既用现金，也用非现金支付的概率10.20.450.35故选：A6．B【解析】【分析】根据统计量，对各项分析判断即可得解.【详解】对于A ，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A 错误；对于B ，因为方差越小越稳定，故B 正确；对于C ，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C 错误；对于D ，数据1､2､5､5､5､3､3按从小到大排列后为1､2､3､3､5､5､5，则其中位数为3，故D 错误，故选：B. 7．C 【解析】【分析】由题意得不超过15的素数有6个，满足题意的孪生素数对有3对，利用古典概型公式可得结果. 【详解】不超过15的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，则从不超过15的素数中任取两个素数共有2615C =种根据素数对(),2p p +称为孪生素数，则由不超过15的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13), 共有3组，能够组成孪生素数的概率为31155P == 故选：C 【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题. 8．C 【解析】根据题意可得概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件即可得出. 【详解】因为7311010=-，所以概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．9．A 【解析】当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz 中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得．【详解】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为510.25204==. 故选：A 【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题． 10．B 【解析】【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；①事件F =“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以①错误；①F A B =+，正确，①A B +表示靶被击中，所以①错误；①G AB AB =+，正确；①,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；①()()()()P F P A P B P AB =+-，所以①不正确．正确的是①①①①．故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析. 11．ABD【分析】用列表法列举基本事件，分别求概率，即可判断. 【详解】记“车况好、中、差”分别为A ，B ，C ，方案一包含的基本事件数为1n ，方案二包含的基本事件数为2n ，列表如下由表中所列事件数可知，13162p ==，22163p ==，所以选项C 正确．故选：ABD. 12．CD 【解析】【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解. 【详解】对A ，目标未被命中，则两次都不中，概率为(1)(1)1p q p q pq --=--+，故A 错误；对B ，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，概率为(1)(1)2p q p q p q pq -+-=+-，故B 错误；对C ，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为pq ，故C 正确；对D ，目标被命中，从反面考虑可得概率为1(1)(1)p q ---，故D 正确；13．CD 【解析】【分析】根据题意25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，且至少有1件正品，即可得解. 【详解】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件，而A ，B 是随机事件，故选：CD 14．CD 【解析】【分析】根据概率与频率的关系判断①正确，根据基本事件的特点判断①正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断①错误，根据小概率事件的概念判断①错误．【详解】①随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，①A 中说法正确；基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，①在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，①B 中说法正确；必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0且小于1.①任意事件A 发生的概率P （A ）满足()01P A ≤≤.①C 中说法错误；若事件A 发生的概率趋近于0，则事件A 是小概率事件，但不是不可能事件，①D 中说法错误. 故选CD 【点睛】本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清． 15．CD【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算概率后判断．【详解】记事件A 为“从甲机床制造的产品中抽到一件正品”，事件B 为“从乙机床制造的产品中抽到一件正品”，事件C 为“抽取的两件产品中至多有一件正品”，事件D 为“抽取的两件产品中恰有一件正品”，事件E 为“抽取的两件产品中至少有一件正品”．由题意知A ，B 是相互独立事件，则()()()0.10.20.02P AB P A P B ==⨯=，故A 错误； ()()()()P C P AB P AB P AB =++()()()()()()0.90.20.10.80.10.20.28P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯=，故B 错误；()()()()()()()0.90.20.10.80.26P D P AB P AB P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=，故C 正确； ()()110.020.98P E P AB =-=-=，故D 正确．故选：CD ． 16．12【解析】【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可. 【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个. 甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个, ①甲被选中的概率为p 3162==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 17．19【解析】求出以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标样本点的个数，列出在圆229x y +=内的样本点，即可求解. 【详解】分别以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标，样本点总数6636n =⨯=.点M 落在圆229x y +=内包含的样本点有()1,1，()1,2，()2,1，()2,2，共4个，故点M 落在圆229x y +=内的概率41369P ==. 故答案为:19.【点睛】本题考查古典概型的概率，常见类型事件样本点个数要多加归纳总结，属于基础题. 18．316【解析】【分析】【详解】试题分析：总的数对有4416⨯=，满足条件的数对（1，4），（4，1），（2，2）共有3个，故概率为316P =考点：等可能事件的概率．点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式 19．4 【解析】【分析】设袋中原有x 个绿球，利用最终摸到红球的概率构建关系式，解得x 即可. 【详解】设此袋中原有绿球x 个，共有6+x 个，再往此袋中放入5个白球后，共11+x 个，其中红球6个，所以摇匀后摸出一球，摸到红球的概率为62 115x=+解得4x=，所以原有绿球4个，故答案为：4.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.20．0.3【解析】甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率．【详解】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P=⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：0.3．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．9 10【解析】【分析】首先设3名男生为A，B，C，2名女生为a，b，再用列举法列出全部基本事件，找到至少有1名男生的基本事件个数，即可得到答案.【详解】设3名男生为A，B，C，2名女生为a，b，从5名学生中选2名志愿者，共有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个基本事件.至少有1名男生共有9个基本事件，概率为9 10.故答案为：9 10【点睛】本题主要考查古典概型，列举法列出全部基本事件为解题的关键，属于简单题.22．1 3【解析】【分析】这是一个古典概型，利用列举法得到分配的基本事件总数，再找出甲、乙两人被分到同一岗位的基本事件数，代入公式求解.【详解】所有可能的分配方式如表:则样本空间共有6个样本点，令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”，则事件M包含2个样本点，所以()2163p M==，故答案为：1 323．0.2【解析】【分析】设这个班有100人，根据题意可分析数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，因此可知一学生数学不及格，则他语文也不及格的为15人中有3人，计算概率即可.【详解】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，则数学不及格的人里头有3人语文不及格，①已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为：30.215p==．故答案为：0.2．24．310##0.3【解析】【分析】列出从5人中随机抽取3人的所有的情况，由古典概型概率计算公式可得答案.【详解】从5人中随机抽取3人，所有的情况为（甲､乙､丙），（甲､乙､丁），（甲､乙､戊），（甲､丙､丁），（甲､丙､戊），（甲､丁､戊），（乙､丙､丁），（乙､丙､戊），（乙､丁､戊），（丙､丁､戊），共10种，其中满足甲､乙同时被抽到的情况有（甲､乙､丙），（甲､乙､丁），（甲､乙､戊），共3种，故答案为：3 10.25．①①.【解析】【分析】根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假.【详解】因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度，所以①对因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B 不为互斥事件，所以①错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是,m n，若一模考试数学平均分分别是,a b，则这两个班的数学平均分为ma nbm n++，所以①错；因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以①对. 因此真命题的序号是①①. 故答案为：①①.26．（1）25（2）25（3）110【解析】首先写出整个样本空间中的所有可能的结果，然后再分别列举出事件,,A B AB 所含的结果，再由概率公式计算概率．【详解】解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表表示.（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5A =，所以()82205P A == （2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =，所以()82205P B == （3）事件AB 包含2个可能结果，即()(){}1,2,2,1AB =，所以()212010P AB == 【点睛】本题考古典概型，属于基础题．解题关键是列举出样本空间中所有基本事件．27．（1）512 （2）512【解析】【分析】（1）由图查出11月1日至11月12日中空气重度污染的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案．【详解】解：（1）某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，其到达日期的所有可能结果有1日，2日，3日，…，12日，共12种，其中此人到达当日空气重度污染的有1日，2日，3日，7日，12日，共5种，①此人到达当日空气重度污染的概率为512. （2）此人停留3天的所有可能结果有123（，，），234（，，），345（，，），456（，，），567（，，），678（，，），789（，，），8910（，，），91011（，，），101112（，，），111213（，，），121314（，，），共12种，其中恰有1天重度污染的有345（，，），567（，，），678（，，），789（，，），101112（，，）共5种， ①此人停留期间空气重度污染恰有1天的概率为512. 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了学生的读图能力，是基础题． 28．(1)56 (2)1328【解析】【分析】（1）利用平均数公式即可求得结果；（2）列出所有基本事件，利用古典概型概率公式计算即可求得结果. (1)由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0.1，0.15，0.3，0.25，0.2，所以得分的平均数100.1300.15500.3700.25900.256x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)所抽取的40人中，得分在80分以上的有400.28⨯=人，。

2018高中数学3-1-3概率的基本性质能力强化提升新人教A

【成才之路】2018高中数学 3-1-3 概率的基本性质能力强化提升新人教A 版必修3一、选择题1．下列各式正确的是( ) A ．P (A ＋B )≤P (A ) B ．P (AB )≥P (A )＋P (B )C ．若A 、B 是对立事件，则P (AB )＝P (A )P (B )D ．若A 、B 是互斥事件，则P (AB )＝0 [答案] D[解析] A 、B 互斥即不可能同一时发生，故P (AB )＝0.2．如果事件A 、B 互斥，记A －，B －分别为事件A ，B 的对立事件，那么( ) A ．A ∪B 是必然事件 B.A －∪B －是必然事件 C.A －与B －一定互斥 D.A －与B －一定不互斥 [答案] B[解析] 用Venn 图解决此类问题较为直观．如上图所示，A －∪B －是必然事件，故选B. 3．对于对立事件和互斥事件，下列说法正确的是( ) A ．如果两个事件是互斥事件，那么这两个事件一定是对立事件 B ．如果两个事件是对立事件，那么这两个事件一定是互斥事件 C ．对立事件和互斥事件没有区别，意义相同 D ．对立事件和互斥事件没有任何联系 [答案] B[解析] 互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，则B 项正确，A 、C 、D 项不正确4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．恰有一个红球与恰有两个红球 [答案] D[解析] A 项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A 项不符合题意；B 项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B 项不符合题意；C 项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C 项不符合题意；D 项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D 项符合题意．5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，且已知P (A )＝0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3[答案] C[解析] 设抽到的不是一等品为事件B ，则A 与B 不能同时发生，且必有一个发生，则A 与B 是对立事件，故P (B )＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.6．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( )A ．0.65B ．0.55C ．0.35D ．0.75[答案] C[解析] 设该地6月1日下雨为事件A ，阴天为事件B ，晴天为事件C ，则事件A ，B ，C 两两互斥，且A ∪B 与C 是对立事件，则P (C )＝1－P (A ∪B )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.45－0.20＝0.35.7．P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ∪B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1 D ．不确定 [答案] D[解析] 由于不能确定A 与B 互斥，则P (A ∪B )的值不能确定．8．抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A 为“出现奇数点\”，事件B 为“出现2点\”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，出现奇数点或2点的概率之和为( )A.12B.56C.16 D.23[答案] D[解析] 记“出现奇数点或2点\”为事件C ，因为事件A 与事件B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.故选D.二、填空题9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则事件A ＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是一级品”B ＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是二级品”C ＝“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”D ＝“在这200件产品中任意选出9件，其中一定有一级品”其中，(1)________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． (2)P (D )＝________，P (B )＝________，P (A )＋P (C )＝________. [答案] (1)D B A ，C (2)1 0 1P (D )＝1；P (B )＝0；A 与C 是对立事件，∴P (A )＋P (C )＝P (A ＋C )＝1.10．某地区年降水量在下列范围内的概率如下表如示：________．[答案] 0.62 0.24[解析] 0.30＋0.32＝0.62；1－(0.14＋0.30＋0.32)＝0.24.11．已知事件A 与事件B 是互斥事件，P (A ＋B )＝0.8，P (B )＝0.2，则P (AB )＝________，P (A )＝________.[答案] 0,0.6[解析] 由于A 、B 互斥，所以事件A 、B 不可能同时发生，因此，P (AB )＝0，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，∴P (A )＝P (A ＋B )－P (B )＝0.8－0.2＝0.6.12．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．[答案] 0.2[解析]由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”，也是对立事件．∵P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.三、解答题13．某商场有甲乙两种电子产品可供顾客选购．记事件A为“只买甲产品”，事件B 为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E 为“一种产品也不买”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[分析] 利用互斥事件和对立事件的概念进行判断．[解析](1)由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C 有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件．(3)事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件．(4)若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件．(5)若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足E⊆C，所以二者不是互斥事件．14．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．[解析]设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D 表示军火库爆炸，已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.12，P(C)＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A、B、C是互斥事件，且D＝A∪B∪C，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.15．一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，取出红球的概率为512，取出黑球的概率为13，取出白球的概率为16，取出绿球的概率为112.求：(1)取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．[解析] 记事件A 1＝{任取1球为红球}；A 2＝{任取1球为黑球}；A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意，知事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥．由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34. (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋412＋212＝1112. 16．在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率； (2)小明考试及格的概率．[分析] 小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80～89分”与“90分及以上”的并事件，小明考试及格可看作是“60～69分”“70～79分”“80～89分”与“90分以上”这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看作是事件“不及格”的对立事件．[解析] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B 、C 、D 、E ，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.(2)方法一：小明考试及格的概率是P (B ∪C ∪D ∪E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.。

(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《统计与概率》专题训练(含答案解析)

中考数学压轴题强化训练：统计与概率1、在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x ，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y ，以此确定点M 的坐标（x ，y ）．（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M 所有可能的坐标；（2）求点M （x ，y ）在函数y=﹣2x的图象上的概率．2、某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B．C．D．E）．3、在四个完全相同的小球上分别标上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号；（1）请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果。

（2）按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点M的横坐标，把第二次取出的小球的数字作为点M的纵坐标，试求出点M（x，y）落在直线y=x上的概率是多少？4、《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城市”，D：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词．根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？（2）条形统计图中，m= ，n= ；（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？5、某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图(1)，图(2))，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有_______人；(2)请你将条形统计图补充完整；(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．图(1)项目人数/人108246C图(2)6、如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4。

专题强化训练3细节理解题——数字计算题(原卷版)

专题强化训练3细节理解题——数字计算题强化训练一ARE INSTANT POT ADD-ONS WORTH BUYING?One of the selling points of the popular Instant Pot multi-cooker is that it can be used as a slow cooker, pressure cooker, rice cooker, and steamer. But it also offers tempting add-on accessories. CR staffer Perry Santanachote bought six accessories to see which ones boost your Instant Pot game—and which ones aren't worth your cabinet space.Mesh Baskets$30A smaller basket nests inside a larger one, letting you steam two separate vegetables at once. But in our labs, Instant Pot models receive a Fair rating for steaming veggies. Do fine mesh wire baskets help at all? “They were not practical for me，” Santanachote says after trying them in her home kitchen.Metal Egg Rack$20Instant Pot egg racks come in metal and silicone. Both hold whole eggs(14 in the metal, nine in the silicone) so that they cook evenly and the yolks stay centered, Santanachote says. The multitiered metal racks are great for “pot-in-pot” cooking, meaning two dishes at once.Ceramic Nonstick Inner Pot$20Instant Pot models come with a stainless steel inner pot that's great for most meals “but can be a pain to clean if you make sticky, starchy foods，” Santanachote says. The ceramic pot was a breeze to clean, even after cooking cheesy pasta. And it's oven-safe up to 680°F.Tempered Glass Lid$15The glass lid lets you see what's cooking and provides a looser seal than the pressure-cooker lid. Instant Pot models underperform at slow-cooking in our lab tests, “and this lid didn't make it better for me，”Santanachote says. “My beef stew came out tough and watery.”Springform Cake Pan$13The moist environment of a multi-cooker is ideal for making custardy desserts. And though it's possible to make cheesecake in your Instant Pot without it, this affordable 7.5-inch pan is sized to fit snugly in the inner pot and locks into the silicone steam rack for easy removal.Silicone Steamer Basket$10This looks like a traditional bamboo steamer, but the silicone prevents food from sticking. It locks onto the silicone steam rack accessory, and you can nest three of them on top of each other. “It did a great job steaming dumplings and fish in my kitchen.” Sa ntanachote says.(Adopted and Revised from Consumer Reports)[链接外刊对点演练]【原创】How much does the Instant Pot with a cake pan and a steamer basket cost?A．$23.B．$103. C．$80.D．$53.[精读外刊积累语料]词块必背selling point卖点pressure cooker压力锅steamer n.蒸锅；蒸笼★tempting adj. 诱人的；吸引人的accessory n. 附件★boost v. 促进nest v. 套叠silicone n. 硅胶evenly ad v. 均匀地stainless steel 不锈钢underperform v. 表现不佳removal n. 移除熟词生义1.fine 熟义：adj.美好的生义：adj.细的2.breeze 熟义：n.微风生义：n.轻而易举的事3.size 熟义：n.尺寸生义：v.确定……的尺寸句法解密[译文]虽然不使用它也可以在你的快煲里做芝士蛋糕，但这款价格合理的7.5英寸平底锅可以紧紧地放在内胆里，并嵌在硅胶蒸汽架上，方便拆卸。

2022-2023学年九年级数学上学期期末高分必刷专题《旋转与概率初步》强化训练

期末高分必刷专题《旋转与概率初步》强化训练1．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（）A ．B ．C ．D ．2．下列图形是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．平行四边形、矩形、线段菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（） A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．点()5,7-关于原点对称的点为（） A ．()5,7--B ．()5,7-C ．()5,7D ．()5,7-5．在平面直角坐标系中，若点(,)P m n 与(2,3)Q -关于原点对称，则点(,)M m n -在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 、在y 轴上，Rt △ABC 经过变换得到Rt △ODE ．若点C 的坐标为（0，2），AC ＝4，则这种变换可以是（）A ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移2B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移2 C ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移6D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移67．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（）A ．旋转前和旋转后的图形全等B ．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等C ．图形上的每一个点旋转的角度都相同D ．图形上可能存在不动的点8．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为α（090α︒<<︒），若24α=°，则1∠的度数为（）A ．116︒B ．114︒C ．112︒D ．66︒9．如图，将Rt ABC △（其中34B ∠=︒，90C ∠=︒），绕A 点按顺时针方向旋转到11AB C △的位置，使得点C ，A ，1B 在同一直线上，则旋转角的度数为（）A ．56°B ．68°C ．124°D ．180°10．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB C ''的位置，使//CC AB '，则旋转角的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°11．如图，将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转55°后得到A B C ''，若25ACB ∠=︒，则BCA '∠的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°12．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，点P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是（）A．(3，-1) B．(1，-3) C．(23，-2) D．(2，-23)13．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（）A．（－4，2）B．（4，－2）C．（3，1）D．（4，0）14．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）A．4 B．5C．6 D．615．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC'''关于点P成中心对称，则点A'的坐标为（）＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与A B CA．(－4，－5) B．(－5，－4) C．(－3，－4) D．(－4，－3) 16．下列说法正确的是( )A．可能性很大的事情是必然发生的B．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件C．可能性很小的事情是不可能发生的D．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件17．从单词“wellcome”中随机抽取一个字母，抽中字母“l”的概率为（）A．43B．25C．12D．1418．如图，42的正方形网格中，在,,,A B C D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）A．12B．14C．13D．3419．小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（）A．公平B．对小丽有利C．对小刚有利D．公平性不可预测20．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明每次摸一个后放回再摸，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．8 B．5 C．12 D．1521．小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（）A．掷一枚骰子，出现3点的概率B．抛一枚硬币，出现反面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率22．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多23．现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（）A．14B．12C．18D．11624．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率A MPD=．如图，现向等边ABC的外接圆区域内射入一个点，则该点落在ABC内的概率是（）A．12B．14C．34πD．334π25．下列说法正确的是（）A ．为了解六名学生的视力情况，采用抽样调查B ．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2S 甲、2S 乙，若x x =甲乙，20.8S =甲，21.5S =乙，则甲的成绩比乙的稳定．C ．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件．D ．一个抽奖活动中，中奖概率为130，表示抽奖30次就有1次中奖． 26．如图所示是“赵爽弦图”飞镖板，是由直角边长分别为2和1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成，小明向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上)，则飞镖落在阴影部分的概率是（）A 5B ．15C ．14D ．1327．某校学生会文艺部换届选举，经初选、复选后，共有甲、乙、丙三人进入最后的竞选．最后决定利用投票的方式对三人进行选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内，全校设有四个投票箱，目前第一、第二、第三投票箱已开完所有选票，剩下第四投票箱尚未开箱，结果如表所示（单位：票）：投票箱候选人废票合计甲乙丙一20021114712570下列判断正确的是（）A．甲可能当选B．乙可能当选C．丙一定当选D．甲、乙、丙三人都可能当选28．甲、乙、丙进入了“中国主持人大赛”的东南区预选赛的决赛，他们三人擅长主持的节目分别是A、B、C．现将标有A、B、C的三个标签的球放入不透明的盒子中，让三位选手随机摸取一球，以确定比赛时的节目．则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是（）A．13B．12C．16D．1929．爸爸把正面写有1,2,3,4,5的五张卡片扣在桌子上，背面完全相同，每次洗匀后，爸爸先抽两张计算两个数字的和，然后放回由小丽抽两张计算两个数字的和，爸爸约定若和大于5爸爸赢：若和不大于5，小丽赢．轮流抽了几十次后，小丽发现爸爸赢的次数比自己多多了，小丽赶快用树状图计算了自己赢得概率后大吃惊，小丽赢的概率是（）A．12B．13C．25D．5930．典典、诺诺、悦悦三人参加学校的“幸运就是我”节目．幸运的是，她们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物（如下图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．典典第一个取得礼物，然后诺诺、悦悦依次取得第2件、第3件礼物．事后她们打开这些礼物品仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是（）A．典典B．诺诺C．悦悦D．无法确定二：解答题1．（2021·陕西扶风·九年级期末）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名. （1）该班男生“小刚被抽中”是事件，“小悦被抽中”是事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.2．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级期末）一个口袋中有9个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算其中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色…，小明重复上述过程共摸了100次，其中40次摸到白球，请回答：(1)口袋中的白球约有多少个？(2)有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，若彩球池里共有1200个球，则需准备多少个红球？3．（2021·吉林铁西·九年级期末）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）．（2021·广东·深圳市南山区第二外国语学校（集团）九年级期末）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．5．（2021·山东夏津·九年级期末）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD 绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．6．（2021·内蒙古霍林郭勒·九年级期末）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ ，求证：（1）EA 是∠QED 的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．7．（2021·山东河东·九年级期末）如图1，在ABC 中，90,21A AB AC ∠=︒==，点D ，E 分别在边,AB AC 上，且1AD AE ==，连接DE ．现将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()0360αα︒︒<<，如图2，连接,,CE BD CD ．（1）当0180α︒<<︒时，求证：CE BD =；（2）如图3，当90α=︒时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ；（3）在旋转过程中，求BCD △的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．8．（2021·江西大余·九年级期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC 绕点C 旋转．（1）当△DEC 统点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a 的式子表示)．（2）当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC 的面积与△AEC 的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．参考答案1．D解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．2．A解：A 、是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A ．3．C解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：C ．4．B解：点()5,7-关于原点对称的点为(5，-7)．故选B ．5．A解：∵点(,)P m n 与(2,3)Q -关于原点对称，∴m=2，n=﹣3，∴点M(2，3)在第一象限，故选：A ．6．C把Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，在向下平移6个单位可得到Rt △ODE ，故选：C ．7．B解：A 、旋转前和旋转后的图形全等，故A 选项不符合题意；B 、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B 选项符合题意；C 、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C 选项不符合题意；D 、图形上可能存在不动的点，故D 选项不符合题意；故选：B ．8．B∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠B=∠D=90，∵旋转角为α，24α=°，∴∠DA D =24︒，∴∠BA D =66︒，由旋转得∠D =∠D=90，∴∠2=360909066114---=，∴∠1=∠2=114︒，故选：B .9．C在ABC 中，∠BAC=90°-34°=56°，∴∠BAB 1=180°-56°=124°，即旋转角为124°，故选：C ．10．C根据旋转，'AC AC =，'CAC ∠即为旋转角，则'ACC 是等腰三角形，又由'CC AB ，得'65C CA CAB ∠=∠=︒，则在'ACC 内，'18026550CAC ∠=︒-⨯︒=︒，故选：C ．11．C由旋转的定义得：55ACA '∠=︒25ACB ∠=︒552530BCA ACA ACB '∴∠'=∠-∠=︒-︒=︒故选：C ．12．B解：根据题意画出△AOB 绕着O 点顺时针旋转120°得到的△COD ，连接OP ，OQ ，过Q 作QM ⊥y 轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP=PB ，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt △OMQ 中，OQ=OP=2，∴MQ=1，3则P 的对应点Q 的坐标为(1，3，故选：B ．13．D如图，正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90︒后得到正方形''A B C D''，则B点旋转后的对应点为B'(4，0)，故选：D．14．D解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴AD＝DC＝5∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE22AD DE+6．故选：D．15．A∵点B、C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A(4，3)，设直线AB解析式为y=kx+b，则3=4k+b，1=2k+b，解得k=1，b=−1；∴直线AB解析式为y=x−1，令x=0，则y=−1，∴P(0，−1)，又∵点A与点A′关于点P成中心对称，∴点P为AA′的中点，设A′(m,n)，则42m+=，n312+=-，∴m=−4，n=−5，∴A′(−4，−5)，故选：A．16．BA、可能性很大的事情也可能不会发生，故错误，不符合题意；B、“任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件”，正确，符合题意C、可能性很小的事情是也是可能发生的，故错误，不符合题意；D、“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故错误，不符合题意．故选：B．17．D单词“wellcome”中共有8个字母，其中字母“l”有2个，∴抽中字母“l”的概率为21 84 =，故选：D.18．A解：在A，B，C，D四个点中任选三个点，有四种情况：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，其中能够组成等腰三角形的有△ACD、△BCD两种情况，则能够组成等腰三角形的概率为21 42 =，故选A．19．C解：∵转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，其中奇数有2个，∴在该游戏中小刚获胜的概率是23，小丽获胜的概率是13，∵23＞13，∴对小刚有利，故选：C．20．A解：设袋子中红球有x 个，根据题意，得：0.420x ，解得x=8，∴袋子中红球的个数最有可能是8个，故选：A ．21．CA 、掷一枚骰子，出现4点的概率为16,不符合题意； B 、抛一枚硬币，出现反面的概率为12,不符合题意； C 、任意写出一个整数，能被3整除的概率为13，符合题意； D 、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率为154．故答案为C ．22．B解：取两个球的共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个，②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个，③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个；设一共有球2a 个，则a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为a ，其中红球x 个，黑球y 个，x+y=a ，则乙中有x 个球，其中k 个红球，j 个黑球，k+j=x ；丙中有y 个球，其中l 个红球，i 个黑球，i+l=y ；黑球总数a=y+i+j ，又x+y=a ，故x=i+j ，由于x=k+j ，所以可得i=k ，即乙中的红球等于丙中的黑球；故选B ．23．D解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有16种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有1种，所以，两道题恰好全部猜对的概率为116，故选：D ． 24．D解：如下图设正三角形ABC 外接圆的半径为r 易得12OD r =，3cos302CD r r =︒= ∴32AD r =，3BC r = ∴21332ABCS BC AD =⋅= 据A M P D=得该点落在ABC 223333rr π=．故选：D ．25．B 了解六名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A 不符合题意；根据平均数和方差的意义可得选项B 符合题意；任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项C不符合题意；一个抽奖活动中，中奖概率为130，表示中奖的可能性为130，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D不符合题意；故选：B．26．C∵总面积为22+12=5，其中阴影部分面积为1542112-⨯⨯⨯=，∴飞镖落在阴影部分的概率是15，故选：C．27．A三个投票箱中甲的得票率是5831550×100%≈37.6%；三个投票箱中乙的得票率是3371550×100%≈21.7%；三个投票箱中丙的得票率是5961550×100%≈38.5%；因为还有250人的投票没有统计，所以三人都有可能当选，可能性最大的是乙，最小的是乙. 但丙一定当选也不对，所以应判断甲可能当选.故选A.28．C解：根据题意画树状图如下：共有12种等情况数，其中三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的有2种，则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是21 126=；故选：C．29．C解：树状图如下：共有20种情况，其中两数和大于5的有12种情况，不大于5的有8种情况，∴小丽赢的概率是82 205=，故选：C．30．C解：∵取得礼物共有三种情况：（1）典典A，诺诺B，悦悦C；（2）典典C，诺诺A，悦悦B；（3）典典A，诺诺C，悦悦B．∴典典取得礼物B的概率=0；诺诺取得礼物B的概率1=3；悦悦取得礼物B的概率2=3∴悦悦取得礼物B可能性最大故选：C．二：解答题1【详解】（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为14，故答案为不可能，随机，14；（2）画树状图如下：由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能，所以“小惠被抽中”的概率是:61P122== .2：（1）解：设白球的个数为x个，根据题意得：解得：x=6小明可估计口袋中的白球的个数是6个．（2）1200× =720．答：需准备720个红球．3【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是14，故答案为：14；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=21 126．4【详解】（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样调查共抽取了50名学生. （2）50-10-20-4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名. 图形统计图补充完整如下图所示：（3）700×450=56（名）答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名. （4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率=21 126=．5：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，∴∠BAD=∠BCD=45°．由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴AC=2242AB BC+=．∵CD=3AD，∴AD=2，DC=32．由旋转的性质可知：AD=EC=2．∴DE=2225CE DC+=．6【详解】(1)、∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；(2)、由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．7【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90︒，∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90︒，∴∠CAE=∠BAD，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≅△ABD(SAS)，∴CE=BD；（2）根据题意：AB=AC ，AD=AE ，∠CAB=∠EAD=90︒，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≅△ABD(SAS)，∴∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠AEC=90︒，且∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90︒，∴∠EFB=90︒，∴CF⊥BD， ∵AB=AC=21+，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90︒，∴BC=2AB =22+，CD= AC+ AD=22+，∴BC= CD，∵CF⊥BD，∴CF 是线段BD 的垂直平分线；（3）BCD △中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD △的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD △的面积取得最大值，如图：∵∵AB=AC=21+，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90︒，DG⊥BC 于G ， ∴AG=12BC=222+，∠GAB=45︒， ∴DG=AG+AD=2224122+++=，∠DAB=180︒-45︒=135︒， ∴BCD △的面积的最大值为：()1124325222222BC DG ⎛⎫++⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭，旋转角α135=︒．8解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．②如图2中，作CH⊥AD 于H ．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°， ∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B 作BN⊥CD 于N ，过E 作EM⊥AC 于M ，如图3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC12=•CD•BN，S△ACE12=•AC•EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．。

2023-2024学年天津市宁河区高中数学人教A版必修二第十章概率强化训练-18-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年天津市宁河区高中数学人教A 版必修二第十章概率强化训练(18)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）0.830.790.210.171. 有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为10%，乙厂生产的次品率为20%，丙厂生产的次品率为30%，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%、30%、20%，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是（）A. B. C. D. 2. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为，那么两人中恰有一人通过的概率为（）A. B. C. D. 至多有两只不成对恰有两只不成对4只全部不成对至少有两只不成对3. 从四双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是（）A. B. C. D. 0.90.80.70.64. 我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩.在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：813，502，659，491，275，937，740，632，845，936.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为（）A. B. C. D. 明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨明天本地下雨的机会是80%气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报5. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（）A. B. C. D.一枚骰子掷一次得到2点的概率为，这说明一枚骰子掷6次会出现一次2点某地气象台预报说，明天本地降水的概率为70%，这说明明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨某中学高二年级有12个班，要从中选2个班参加活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两枚骰子得到的点数是几，就选几班，这是很公平的方法在一场乒乓球赛前，裁判一般用掷硬币猜正反面来决定谁先打球，这应该说是公平的6. 下列说法正确的是（）A. B. C. D. 0.180.210.390.427. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过场即获胜的概率是（）A. B. C. D. 8. 已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A. B. C. D.0.420.280.3 0.79. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A. B. C. D. ，，，，10. 已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为（）A. B. C. D. 11. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）A. B. C. D.12. 小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P （B|A ）=（）A. B. C. D.阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 已知随机事件，互斥，且，，则 .14. 甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（用分数作答）．15. 在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有8%，6%，4%的人患了流感.若这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是 .16. 某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12：00～13：00，13：00～14：00，14：00 ～15：00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12：00～15：00时间段内降雨的概率为 .17. 甲，乙二人进行乒乓球比赛，比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率是，假设每局比赛结果相互独立.(1) 求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；(2) 设随机变量为甲在一场比赛中获胜的局数，求 .18. 甲，乙两人进行了一次羽毛球比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利比赛结束．假设在一局比赛中若甲先发球，则这局甲获胜的概率是；若乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是．已知第1局比赛甲先发球，以后每局比赛由前1局获胜的一方先发球，且各局比赛结果相互独立．每局比赛都分出胜负．(1) 求比赛只进行3局就结束的概率；(2) 记比赛结束后，甲获胜的局数为X，求X的分布列及期望．19. 书籍是精神世界的人口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为中学生的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了n名中学生，对这些人每周的平均阅读时间（单位：小时）进行统计，并将样本数据分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知这n名中学生中每周平均间读时间不低于16小时的人数是2人．(1) 求n和a的值；(2) 为进一步了解这n名中生数字媒体读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从周平均时间在[8，10），[10，12），[12，14）三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在[10，12）内的中学生人数为X，求X的分布列和数学期望．20. 如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）的频率0.10.20.30.20.2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．21. 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．(1) 一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；(2) 依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；(3) 依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.21.(1)(2)(3)第 11 页共 11 页。

2023-2024学年浙江省宁波市高中数学人教B版必修二统计与概率强化训练-19-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省宁波市高中数学人教B 版必修二统计与概率强化训练(19)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 从4名男生和2名女生中任选3人参加一项“智力大比拼”活动，则所选的3人中女生人数不超过1人的概率是（）A. B. C. D.M n min{M ，n}max{M ，n}2. 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则X 的最大值是（）A. B. C. D. ①②④②④②③④③④3. 给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；③一组数据a ，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则样本的标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=a+bx 中，b=2，=1，=3，则a=1．其中真命题为（）A. B. C. D. 931231371674. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A. B. C. D. 5. 在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（）A. B. C. D.1001201303906.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)（单　位：元），其中支出在[30,50)（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n 的值为（）A. B. C. D. 7. 将5个0和3个1随机排成一行，则3个1不相邻的概率为（）A. B. C. D.19和219和319和419和88. 已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（）A. B. C. D. 自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年2018年上半年的票房收入增速最大2020年上半年的票房收入增速最小9. 在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失.2011～2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（）A. B. C. D. 甲的极差是29甲的中位数是24甲罚球命中率比乙高乙的众数是2110. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A. B. C. D. 11. 如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第50百分位数是（）2℃1℃0℃℃A. B. C. D. 30名40名50名60名12. 在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：.据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在中的学生有（）A. B. C. D. 阅卷人得分二、填空13. 如图所示是某商家根据去年甲、乙两种产品的月销售额（单位：万元）作出的统计图（称为雷达图），根据图中信息，写出一个关于甲、乙两种产品销售额的统计结论：．比较14. 某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n=15. 2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为．16. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是。

2019-2020华师附中实验学校人教版九年级数学上册第二十五章概率初步单元强化训练考试试卷解析版

人教版2019-2020华师附中实验学校九年级数学上册第二十五章概率初步单元强化训练试卷解析版一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列成语中，表示不可能事件的是（）A. 缘木求鱼B. 杀鸡取卵 C. 探囊取物 D. 日月经天，江河行地2.下列事件为必然事件的是( )A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 任意画—个三角形，其内角和是180°C. 买—张电影票，座位号是奇数号D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上3.如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（）A. B.C.D.4.不透明袋子中有2个红球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（）A. B.C.D.5.在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A. 4个 B. 5个 C. 不足4个 D. 6个或6个以上6.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下:根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A. 0.85B. 0.57 C. 0.42D. 0.157.甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（）A. B.C.D.8.小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( )A. B.C.D.9.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x ＋c＝0有实数解的概率为（）A. B.C.D.10.在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（）.A. B.C.D.二、填空题（每小题4分，共24分）11.现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是________．12.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是________.13.在两个暗盒中，各自装有编号为1，2，3的三个球，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为________．14.小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是________．15.一口袋中装有若干红色和白色两种小球，这些小球除颜色外没有任何区别，袋中小球已搅匀，蒙上眼睛从中取出一个白球的概率为．若袋中白球有4个，则红球的个数是________个16.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为________（精确到0.1）．三、解答题（每小题6分，共18分）17.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字，，，除所标数字不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再随机摸出一个小球.用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标数字之和大于的概率.18.如图，现有三张不透明的卡片，卡片的正面分别标有字母、、，每张卡片除字母不同之外，其余均相同.将三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记下字母后放回，重新洗匀，再从中随机抽取一张.请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的字母相同的概率.19.中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》被称为“四大古典名著”，是我国古代长篇小说的经典代表，小花和等等两名同学，准备从这四大名著中各自随机选择一部来阅读，请你用画树状图（或列表）的方法，求他们选中同一名著的概率.四．解答题（每小题8分，共48分）20.《中国诗词大会》栏目中，外卖小哥击败北大硕士引发新一轮中华优秀传统文化热。

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专题强化训练(三)概率(建议用时：45分钟)［学业达标练］一、填空题1. _____________________________ 下列事件中，随机事件有•①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任意抽一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在40 °C时结冰.【导学号：20192200】①②③［对于①②③事件是不一定发生的，是随机事件；对于④“在标准大气压下，水在4C时结冰”是不可能发生的事件，因为标准大气压下，温度低于0C，水才会结冰.］2•某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环, 有4次中8环，有1次未中靶.假设此人射击1次，则其中靶的概率约为________________________________________________________________________ ；中10环的概率约为________ .90.9 0.2 ［中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为兀=0.9,所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.］3. 用两种不同的颜色给图3-1中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是_________ .14 ［设两种不同颜色为a, b，则所有可能为(a，a, a)，(a，a，b)，(a，b，a)，(b, a, a), (a, b, b), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b).其中满足条件的32 1有(a , b , a), (b , a , b)，所以所求概率为§ = 4.］ 4. _________________________________________ 给出下列三个命题，其中正确的命题有 _____________________________________ .① 有一大批产品，已知次品率为10%,从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是3；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.30 ［①错，不一定有10件次品；②错，3是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念.］5•从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A+ B)二___________ (结果用最简分数表示).26 ［事件A与事件B为互斥事件，由互斥事件概率公式得P(A + B)= P(A)1 13 7+ P(B)二52 + 52二26.]6•我国已经正式加入WTO,包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内关税达到要求，求进口商品在不超过4年的时间内关税达到要求的概率为79% ［记“进口商品在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M，其对立事件N为“进口商品恰好5年关税达到要求”，所以P(M)= 1- P(N)= 10.21 = 0.79.即进口商品在不超过4年的时间内关税达到要求的概率是79%.］7.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A= ｛两次都击中飞机｝，B =｛两次都没击中飞机｝，C= ｛恰有一次击中飞机｝，D = ｛至少有一次击中飞机｝，其中彼此互斥的事件是 ______________________________ ，互为对立事件的是A与B，A与C，B与C, B与D B与D ［设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A n B= ?，A n C= ?，B n C= ?，B n D = ?，故A与B，A 与C，B与C，B与D为互斥事件.而B n D = ?，B U D = I,故B与D互为对立事件.］38•从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 _________ •34［共有4种取法，其中能构成三角形的取法有(2,3,4), (2,4,5), (3,4,5)共3 3种，因此P = 4.］9 •某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个•设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A ，B ，C ,求：(1) P(A)，P(B)，P(C)；(2) 1张奖券的中奖概率.小 1 101 ［解］⑴申戶而，P (沪而二而(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖•设“张奖券中奖”这个事件为 M ，贝U M _ A U B U C.因为A ，B ，C 两两互斥，所以 P(M)_ P(A U B U C)_ P(A) + P(B) + P(C)1 + 10+ 50 61_ 1 000 _ 1 000-61故1张奖券的中奖概率为1 000-10.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段［40,50)，［50,60)，［60,70)，［70,80)，［80,90)，［90,100］进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代解答题P(C)二 50 _丄 1 000_ 20.1 故事件A ，B ，C 的概率分别为1000 1 1100，20.替，则得到体育成绩的折线图如图3-2所示.图3-2(1) 体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好” •已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2) 为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在［60,70)和［80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在［60,70) 的概率.［解］ (1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14+ 3+ 13=30(人).30所以该校高一年级中，体育良好”的学生人数大约有1 000爼二750(人).(2)设至少有1人体育成绩在［60,70)为事件M，记体育成绩在［60,70)的数据为A1, A2,体育成绩在［80,90)的数据为B1，B2, B3，则从这两组数据中随机抽取2 个,所有可能的结果有10种，即(A1, A2), (A1,B1)，(A1, B2), (A1, B3), (A2, B1), (A2, B2), (A2, B3), (B1, B2), (B1, B3), (B2, B3).而事件M 的结果有7 种，即(A1, A2), (A1, B1), (A1 , B2), (A1, B3), (A2 ,B1) , (A2 , B2) , (A2 , B3),因此事件M 的概率P(M) = £［冲A挑战练］一、填空题1 .连续掷两次骰子，以先后得到的点数m , n为点P(m , n)坐标，那么点P 在圆x2+ y2= 17内部的概率是_________ .2 ［这是一个古典概型，总的基本事件有36个，而满足x2+ y2<17的有(1,1),8 2(1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2)共8 个，故P= 0二9」2. 抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察第4页掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(A U B) = ___________ .12［事件A为掷出向上为偶数点，所以P(A) =空.又事件A, B是互斥事件，32事件(A U B)为事件A, B有一个发生的事件，所以P(A U B) = P(A) + P(B) = 3J3•记事件A=｛某人射击一次，中靶｝，且P(A) = 0.92,则事件A的对立事件是它的概率值是.｛某人射击一次，不中靶｝ 0.08 ［某人射击一次，可能的结果只有2种：中靶，不中靶.则A的对立事件就是从这两种结果中去掉事件A的结果.对立事件的概率则是1 —P(A).］4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为【导学号：20192204】1 2［甲、乙每一位同学均有3种选法，因此共有32种选法，其中甲、乙两位33 1同学参加同一个兴趣小组的方法有3种，利用古典概型公式得P =寺二1.］二、解答题5. 某地医院一天派医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率.【导学号：20192205】［解析］对于含有“至多”“至少”字眼的求概率问题，可利用互斥事件的概率加法公式，也可考虑对立事件的概率.［解］设事件A= ｛不派医生｝，事件B= ｛派出1名医生｝，事件C = ｛派出2名医生｝，事件D = ｛派出3名医生｝，事件E=｛派出4名医生｝，事件F=｛派出5名及5名以上医生｝.⑴：事件A, B, C, D, E, F 彼此互斥，且P(A)= 0.1, P(B) = 0.16, P(C) =0.2,••• P(A+ B+ C) = 0.1 + 0.16+ 0.2= 0.46.故派出医生至多2人的概率为0.46.(2)设G= ｛派出医生至少2人｝,则石=｛派出医生最多1人｝，二石=A+ B.••• P(~G) = P(A) + P(B)= 0.26.••• P(G) = 1—0.26= 0.74.故派出医生至少2人的概率为0.74.。