【南通七市】2018-2019学年高三数学二模试卷

2019届高三年级第二次模拟考试

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值为________．

2. 复数z ＝

2i

2＋i

(i 为虚数单位)的实部为________． 3. 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为________．

4. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________．

5. 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________． i ←1 S ←2 While i<7 S ←S ×i i ←i ＋2 End While Print S

6. 函数y ＝4x －16的定义域为________．

7. 将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12y ＝f(x)的图象，则f ⎝⎛π

3的值为

________．

8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点A(2，0)到渐

近线的距离为2，则b 的值为________．

9. 在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．

10. 设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2m ，PB

＝3m ，PC ＝4m ，则球O 的表面积为________m 2

.

11. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上，f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧2－x ，2≤x <3，

x －4，3≤x <4，则函数y ＝f (x )－log 5|x |的零点的个数为________．

12. 已知关于x 的不等式ax 2

＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R ) 的解集为{x |3

a ＋b

的最

小值为________．

13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P(3，－1)，PO →·(PA →＋PB →

)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．

14. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈N *

}，B ＝{x |x ＝8k －8，k ∈N *

}，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T .若S ＋T ≤967，则m ＋2n 的最大值为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在平面直角坐标系中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin

⎝⎛⎭⎫α＋π6，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，其中0<α<π2

. (1) 若a ∥b ，求α的值； (2) 若tan2α＝－1

7，求a ·b 的值．

16. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1.设A 1C 与AC 1

交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E.求证：

(1) DE ∥平面ABB 1A 1；

(2) BC 1⊥平面A 1B 1C.

17. (本小题满分14分)

图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M.已知HM ＝5 m ，BC ＝10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH ＝θ⎝⎛⎭

⎫0<θ<π4. (1) 求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；

(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k 为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？

①

②

18. (本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24y 2

＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，

C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．

(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上一点．

①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PA

PB

为定值；

②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：k 1·k 2为定值．

19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝2ln x＋1

2

x2－ax，a∈R.

(1) 当a＝3时，求函数f(x)的极值；

(2) 设函数f(x)在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)，若函数y＝f(x)－g(x)是(0，＋∞)上的单调增函数，求x0的值；

(3) 是否存在一条直线与函数y＝f(x)的图象相切于两个不同的点？并说明理由．