3-6 控制系统稳态误差的基本概念

t
lim
s0
s E(s)
lim
s0
s[Cr (s) C(s)]
当输入信号为 (t),1(t),t, 1 t 2 时,可用
2
终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输
入时不能应用此定理。
(2).根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数 E (s)
R(s)
3.6.4动态误差系数
方法：利用误差系数求稳态误差。
途径：1）对误差传递函数求导 2）长除法 3）查表
一、求导法，以单位负反馈为特例进行讲解。
根据叠加原理，可求得系统的稳态误差：
ess essr essf
1、求 essr ，令 f (t) =0
根据图3.6-1可求得
(s)
R (s)
R(s)
1
1 G1 (s)G2
(s)
对于单位负反馈
图3.6-1 控制系统方块图
F (s)
F (s)
1
s(s 1) 5 2
0.02s 1 s(s 1)
(2 0.04s)
10 s 1.02s2 0.02s3
作整式除法
0.2 0.016s
10 s 1.02s2 0.02s3 2 0.04s
)2 0.2s 0.204s2 0.004s3
0.16s 0.204s2 0.004s3
ef (s)
EF (s) F(s)
f
F (s) G2 (s) （6）
F(s) 1 G1 (s)G2 (s)
在s=0的邻域展开泰勒级数
.
ef
(s)
EF (s) F(s)
ef
(0)
.
ef
(0)s
1 2!
ef
..
(0)s2
1 k!
e( kf
)
(0)s
k
.
→ ef
(s)
EF (s) F (s)
s
1. 2!C2d
s
2
1 l!Cld
sl
比较得
C0d
0;C1d
1 K
0.1;C2d
2( T K
1) K2
0.18
→
.
essr
(t)
C0d r(t)
C1d
.
r(t)
1 2! C 2 d
..
r(t)
0
0.1(a1
2a2t)
1 2
0.18
(2a2)
0.1a1 0.18a2 0.2a2t 例3，设有一随动系统如图所示,已知r(t) t 及f (t) 1(t) ,试
差信号er (t) 的稳态分量，即
.
essr
(t)
C0d
r(t)
C1d
.
r(t)
1 2!
C2d
..
r(t)
1 l!
Cld
r
(l)
(t)
l
i0
1i!Cid
r
(i)
(t)
(t ts)（5）
从上式可以看出，稳态误差不仅与系统的特性有关，还与控制信号 的特性有关。
2、求 essf ，令r(t) =0
由图3.6-1可求得
1.系统的类型 系统的开环传递函数G(s)H(s)可表示为
K2=2， 0.1，kc 0.05 伏/（转/分）。试求 r(t) 1(t（) 伏）时的
稳态误差。 解 对于非单位负反馈系统，我们先求系统的稳态偏差
由图可得
(s)
(s)
R(s)
1
1 kcG1 (s)G2 (s)
1
1
kc
K1 0.07s
1
K2 0.24s
1
已知K1=10，K2=2， 0.1
上式，并整理得
，kc 0.05伏/（转/分）将它们代入
(s)
1 0.31s 0.0168s 2 1.1 0.31s 0.0168s
2
采用长除法得
(s)
1 1.1
0.03 1.1
s
0.008 1.1
s2
0.909 0.0273s 0.0073s2
→ (s) 0.909R(s) 0.0273sR(s) 0.0073s2 R(s)
e (s)
ER (s) R(s)
(s)
R (s)
R(s)
1
1 G1 (s)G2 (s)
（1）
将上式在 s 0 的邻域展开成泰勒级数
.
(s)
ER (s) R(s)
e (0)
.
e (0)s
1 2!
..
e(0)s
2
1 l!
e(l
)
(0)s
l
（2）式还可写成
（2）
.
e (s)
ER (s) R(s)
C0d
0.92s2 0.082s3 0.002s4
得出
e (s)
ER (s) R(s)
0.1s
0.09s 2
.
..
→
essr (t) 0.1r(t) 0.092 r(t) 0.1 (t ts)
第二步,令 r(t) 0 ,求干扰信号引起的稳态误差
由图可得
2
ef
(s)
EF (s) F (s)
3.6.2 稳态误差分析
根据误差和稳态误差的定义，系统误差
e(t)的象函数
E(s) R(s) Y(s) R(s) G(s)H(s)E(s)
定义
E(s)
1
R(s)
1 G(s)H(s)
er
(s)
E(s) R(s)
1
1 G(s)H (s)
为系统对输入信号的误差传递函数。
由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，
……
.
已知 f (t) 1(t) ,则 f (t) 0
.
→
essf (t) [0.2 f (t) 0.016 f (t) ] =0.2
第三步,根据叠加原理,求得系统的总的稳态误差
ess (t) essr (t) essf (t) =0.1+0.2=0.3
例 4 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.7-3 所 示 。 图 中 K1=10 ，
通常情况下，对于单位负反馈系统，输出量的希望值就是输入信号，
即 (s)；对1 于非单位负反馈系统， (s) 1
所以
H (s)
E(s) (s)R(s) C(s) 1 R(s) C(s)
H (s)
误差与偏差
偏差：控制信号r(t) 与主反馈信号 y(t) 之差。即
(t) r(t) y(t)
图3.6-2 控制系统方块图
0.02s 1 s(s 1)
s 1.02s2 0.02s3 10 s 1.02s2 0.02s3
用分子除以分母,作整式除法
0.1s 0.092s 2 10 s 1.02s 2 0.02s3 s 1.02s 2 0.02s3
)s 0.1s2 0.102s3 0.002s4
s(Ts 1) ，其
中 K 10
态误差。
，T 1
，试求在 r(t) a0 a1t a2t 2 作用下的稳
解 由题意写出系统的误差闭环传递函数
E(s) 1
1
Ts 2 s
e (s) (s) R(s) 1 G(s) 1 K Ts 2 s K
s(Ts 1)
由上式求得误差系数
3、根据叠加原理，求得系统的稳态误差
(t ts)
1) 对于单位负反馈系统
ess (t) essr (t) essf (t) ssr (t) ssf (t)
2) 对于非单位负反馈系统
ess
(t)
essr
(t)
essf
(t)
ssr (t)
H (s)
ssf
计算举例
G(s) K
例1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
3-6 稳态误差的分析和计算
稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表 征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动 信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统 性能的重要指标。
控制系统的方块图如图3.6-1所示。 c(t) 表示系统的实际被控量（实
际值），cr (t)表示控制系统被控量的希望值（要求值）。
图3.6-1 控制系统方块图
进行拉氏反变换得
.
..
ss (t) 0.909r(t) 0.0273r(t) 0.0073r(t)
.
又已知r(t) 1(t) ， r(t) 0 代入上式得
ss (t) 0.909
已知
KH kc
→
ess
(t)
ss (t) kc
0.909 0.1 0.05
181.8
3.6.5 应用静态误差系数计算给定信号作用 下的稳态误差
对上式进行拉氏反变换得 (s) R(s) Y(s)
由 E(s) (s)R(s) C(s) 1 R(s) C(s) 变换得
H (s)
H(s)E(s) R(s) H(s)C(s) R(s) Y(s) (s)
→
E(s) 1 (s)
H (s)
● 对于单位负反馈系统，H(s) 1 ，偏差信号就是误差信号，是量
1 s (T 1 )s2 K K K2 1 1 s T s2 1 s T s2 KKKK
) 1 s 1 s2 T s3
K K2
K2
(T K
1 K2
)s2
T K2
s3
……
所以
e (s)
E(s) R(s)
1 K
s
(T K
1 K2
)s2
与公式(3)
e (s)
ER (s) R(s)
C0d
.
C1d
则
ess
lim e(t)
t
lim
s0
sE(s)
代入E(s)表达式得
ess
lim
s0
s 1
1 G(s)H (s)
R(s)
从上式得出两点结论：
1. 稳态误差与系统输入信号r(t)的形式有关；
2. 稳态误差与系统的结构及参数有关。
3.6.3.稳态误差的计算
(1).拉氏变换的终值定理
ess
lim e(t)
C0d e (0) 0
C1d
(1) e
(0)
1 K
0.1
C2d
(e2)
(0)
2(
T K
1 ) 0.18 K2
对控制信号求导 .
r(t) ..
a1
2a2t
r(t) 2a2
根据稳态误差计算公式： (t ts)
.
essr
(t)
C0d
r(t)
C1d
.
r(t)
1 2!C2d
..
r(t)
1 l!Cld
纲相同的同一个物理量。对于非单位负反馈系统，偏差信号与误差 信号是两个量纲不同的物理量。通常根据方块图，先求偏差再求误 差。
误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一 样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，
对于一个稳定系统，暂态分量随着时间
的推移逐渐消失，而我们主要关心的是
控制系统平稳以后的误差，即系统误差 响应的稳态分量——稳态误差记为ess。
通常希望输出信号与控制信号之间具有给定的函数关系，
例如
cr (t) ( p)r(t)
式中( p) 常常反映cr (t) 与r(t) 之间的比例，微分或积分等基本函
数关系。
将 e(t) cr (t) c(t) ； cr (t) ( p)r(t) 进行拉氏变换得
E(s) (s)R(s) C(s)
计算随动系统的稳态误差.
解 分别求得控制信号的稳态误差和干扰信号引起的稳 态误差,然后根据叠加原理求得系统总的稳态误差.
第一步,令 f (t) 0 ,求系统控制信号引起的误差
由图可得
e (s)
(s)
(s)
R(s)
1
1 5 2
s(0.02s 1)(s 1) s(0.02s 1)(s 1) 10
式除法求误差系数。★误差传递函数的分子、分母须排成s的升幂级 数，然后再作除法。
举例说明 例2 用整式除法求例1控制系统的稳态误差 。
e (s)
E(s) R(s)
1 1 G(s)
s Ts 2 K s Ts 2
1 s T s2 K K
1 1 s T s2
KK
作整式除法，用分子多项式除以分母多项式，具体算法如下
C0d
C1d s
1 2!
.
C2d
s
2
1 k!
来自百度文库
Ckd
s
k
.
→
EF
(s)
C0d
F
(s)
C1d
sF
(
s)
21!C2d
s
. 2
F
(s)
k1!Ckd
s
k
F
(
s)
→
.
essf (t) C0d
f (t) C1d
f
.
(t
)
1 2!
C2d
f
..
(t
)
k1!Ckd
f
(k) (t)
k j0
1C j!
jd
f
( j) (t)
C1d s
1 2!
C
. 2d
s
2
1 l!
Cld
s
l
（3）
式中C0d ，C1d ，C2d ，…… Cld 为单位负反馈系统的误差系数。
由(3)式可得
.
ER
(s)
C0d
R(s)
C1d
sR(s)
1 2!C2d
s
. 2
R(s)
1 l!Cld
sl
R(s)
(4)
在零初始条件下(忽略t=0的脉冲)，对上式进行拉氏反变换，得到误
定义稳态误差为稳定系统误差响应
e(t)的终值。当时间t趋于无穷时，e(t)的 极限存在，则稳态误差为
ess
lim e(t) t
稳态误差: ess C(t)
lim e(t)
t
ltim[Cr (t) c(t)]
Cr(t)
ess
0
t
系统的稳态误差与系统的结构有关,还与输 入信号的大小及形式有关。但是系统的稳 定性只取决于系统的结构。
系统的误差：被控量的希望值与实际被控量之差，记为 e(t)
e(t) cr (t) c(t)
c(t) ：暂态分量和稳态分量。 e(t) ：暂态分量和稳态分量。
稳态分量反映控制系统跟踪控制信号或干扰信号的能力和精度，即 反映控制系统的稳态性能。
稳态误差：当 t 时，系统误差称为稳态误差，记为ess 表示。
r (l)
(t)
l
i0
1 i!Cid
r
(i
)
(t)
将已知误差系数及控制信号的有关数据代入上式得
.
essr
(t)
C0d
r(t)
C1d
.
r(t)
1 2! C 2 d
..
r(t)
0
0.1(a1
2a2t)
1 2
0.18 (2a2)
0.1a1 0.18a2 0.2a2t
二、长除法
长除法：用误差传递函数e (s) 的分子多项式除以分母多项式的整