四年级三角形等高模型和鸟头模型

三角形等高模型和鸟头模型
知识框架
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1
3
，则三角形面积与
原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： （1） 等底等高的两个三角形面积相等；
（2） 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
b
a
S 2S 1
D
C B
A
（3） 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
（4） 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； （5） 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
（6） 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的
高之比．
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
D
E
C
B
A
例题精讲
【例 1】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形
EBC 面积的几倍？
E
D
C
B
A
【巩固】 如图30-5，设正方形ABCD 的面积为1，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，FC=3GC ，则阴影部分的面
积是多少?
【例 2】 ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，
那么阴影部分的面积是 ．
P
N
L
K
D C
B
【巩固】 在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与P 点连接,求阴影部分面积．
【例 3】 已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．
G
A
B
【巩固】 如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积
为 ．
F
【例 4】 已知正方形的边长为10，3EC =，2BF =，则ABCD S =四边形 ．
F
E
D
C
B
A
【巩固】 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平
方厘米？
【例 5】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中
阴影部分的面积是多少？
E
【巩固】 如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．
A
B
【例 6】 图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长
是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？
C
B
【巩固】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC
的面积是多少？
E
D
C
B
A
【例 7】 如下图，已知．AE=
15AC ，CD=14
BC ，BF=1
6AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?
【巩固】 如下图，在△ABC 中，BD=2AD ，AG=2CG ，BE=EF=FC ，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？
【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；
延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．
F
E
D
C
B A
【巩固】 如图，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘
米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?
【例 9】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是2
21cm．问：长方形的面积是多少平方厘米？
红
绿
黄
红
【巩固】将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如下图，则阴影部分的面积是_______平方厘米．
【例 10】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？
F
D
C
B
A
【巩固】如右图，ABCD是正方形．E是BC边的中点，三角形ECF与三角形ADF面积一样大，那么三角形AEF(阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的
()
().
【例 11】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．
M
N
C
B
A
12cm2
36cm2
24cm2
48cm2
【巩固】
图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。

连接BE交AD于P，再连接PC。

则图中阴影部分的面积是( )平方厘米。

P
A
B C
D
E
F
(A)6.36(B)3.18(C)2.12（D）1.59
课堂检测
【随练1】如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边
上，且AN=
1
2
BN．那么，阴影部分的面积等于_____.
【随练2】如右图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角直角三角形面积为7平方厘米，那么中间三角形(阴影部分)面积是______平方厘米．
【随练3】如图，梯形ABCD的面积为20．点E在BC上，三角形ADE的面积是三角形ABE的面积的2倍．BE
的长为2，EC 的长为5，那么，三角形DEC 的面积为_____．
.
【随练4】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
课后作业
【作业1】 如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部
分面积是甲部分面积的几倍？
乙
甲
E D
C
B
A
【作业2】 图中两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是______平方厘米．
【作业3】 如右图ABCD 是直角梯形，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，那么△OBC 的面积为____．
【作业4】 已知正方形的边长为10，3EC =，2BF =，则
ABCD S =
四边形 ．
F
E D
B
A
【作业5】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD
的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
G
A
B C
D E
F
【作业6】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的
面积为 ．
O G
E
D
B
A。