初中数学九年级上册讲义第01讲-菱形-教案

四边形

平行四边形

第01讲菱形温故知新

我们之前学习了平行四边形，下面简单的回顾一下：

1、四边形

2、平行四边形的性质：

边：角：

对角线：

3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？

智慧乐园

探究活动：让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。

我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.

观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？

边：菱形的两组对边分别平行。（这是平行四边形具有的性质）

菱形的四条边都相等。（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）

角：菱形的两组对角分别相等。

菱形的邻角互补。

对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。

知识要点一

菱形的定义与性质

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

注意：（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。

（2）菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法。

2、性质：

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（3）菱形具有平行四边形的一切性质；

（4）菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线；

（5）利用菱形的性质可证线段相等，角相等；

（6）菱形的面积计算：

①菱形的面积等于底乘高；

②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用

两条对角线乘积的一半来进行计算。

➢典例分析

例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A．对边相等 B．对角相等

C．对角线互相平分D．对角线互相垂直

【解析】选D．

例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．

C．5 D．4

【解析】选A．

例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）

A．2 B．3 C．D．2

【解析】选：D．

例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）

A．2 B．C．D．

【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，

∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，∴AB==5．

∵OH⊥AB，∴AO•BO=AB•OH，∴OH=，故选D．

例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．

【解析】∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，

∵∠BAC=60°，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，

∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．

∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．

故答案为30°或60°．

例6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．

【解析】∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，

在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，

∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．

例7、如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图

（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；

（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．

【解析】

如图所示：

学霸说：

（1）菱形具有平行四边形的一切性质；

（2）菱形的四条边都相等；

（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（4）掌握菱形的性质和三角形中位线定理。

➢举一反三

1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）

A．3cm B．4cm

C．2.5cm D．2cm

【解析】∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=24÷4=6cm，

∵对角线AC、BD相交于O点，∴OB=OD，

∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，

∴OE=AB=×6=3cm．

故选A．

2、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为3．

【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，

∴△ABC，△ACD是等边三角形，

∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，

∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，

∴2•S△ABC=BC•FG，∴2××（6）2=6•FG，

∴FG=3．故答案为3．

3、如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点．

（1）求证：△ABE≌△ADE；

（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠CAB=∠CAD，

在△ABE和△ADE中，，

∴△ABE≌△ADE（SAS）；

（2）解：∵AB=AE，∠BAE=36°，

∴∠AEB=∠ABE=，

∵△ABE≌△ADE，∴∠AED=∠AEB=72°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠DCA=∠BAE=36°，

∴∠CDE=∠AED﹣∠DCA=72°﹣36°=36°．